100 Bilingual Mensuration Questions with Solutions | Rectangle, Square and Triangles | आयत, वर्ग एवं त्रिभुज

Level: Basic to Advanced | सरल से कठिन Useful for: SSC CGL, CHSL, MTS, RRB NTPC, Railway Group D, ALP and other competitive examinations.

All 100 questions include English and Hindi statements, answers and step-by-step solutions. The questions are arranged from basic formula applications to advanced, multi-concept problems.

SECTION 1: RECTANGLE | आयत

Questions 1–15

Q1. The length of a rectangle is 24 cm and its breadth is 15 cm. Find its area.

एक आयत की लंबाई 24 सेमी तथा चौड़ाई 15 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 360 cm²

Solution / हल:

Area = Length × Breadth क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

= 24 × 15 = 360 cm²

Q2. The perimeter of a rectangle is 86 cm and its length is 25 cm. Find its breadth.

एक आयत का परिमाप 86 सेमी तथा लंबाई 25 सेमी है। उसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 18 cm

Solution / हल:

2(l + b) = 86 l + b = 43 b = 43 − 25 = 18 cm

अतः आयत की चौड़ाई 18 सेमी है।

Q3. The area of a rectangle is 588 cm² and its breadth is 21 cm. Find its perimeter.

एक आयत का क्षेत्रफल 588 सेमी² और चौड़ाई 21 सेमी है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 98 cm

Solution / हल:

Length = 588/21 = 28 cm

Perimeter = 2(28 + 21) = 98 cm

लंबाई 28 सेमी तथा परिमाप 98 सेमी है।

Q4. The length and breadth of a rectangle are in the ratio 7:4. If its perimeter is 132 cm, find its area.

एक आयत की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 7:4 है। यदि परिमाप 132 सेमी है, तो क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 1008 cm²

Solution / हल:

Let length = 7x and breadth = 4x.

मान लें लंबाई = 7x और चौड़ाई = 4x।

2(7x + 4x) = 132 22x = 132 ⇒ x = 6

Length = 42 cm, Breadth = 24 cm

Area = 42 × 24 = 1008 cm²

Q5. The diagonal of a rectangle is 25 cm and its breadth is 7 cm. Find its area.

एक आयत का विकर्ण 25 सेमी तथा चौड़ाई 7 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 168 cm²

Solution / हल:

d² = l² + b²

l² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576 l = 24 cm

Area = 24 × 7 = 168 cm²

Q6. The length of a rectangle is increased by 20% and its breadth is decreased by 10%. Find the percentage change in area.

एक आयत की लंबाई 20% बढ़ाई जाती है और चौड़ाई 10% घटाई जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8% increase / 8% वृद्धि

Solution / हल:

New area factor = 1.20 × 0.90 = 1.08

Percentage change = (1.08 − 1) × 100 = 8% increase

नया क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का 108% है। अतः 8% वृद्धि होगी।

Q7. The area of a rectangle is 1200 m². Its length is 10 m more than its breadth. Find its dimensions.

एक आयत का क्षेत्रफल 1200 मी² है। इसकी लंबाई चौड़ाई से 10 मी अधिक है। विमाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: Length = 40 m, Breadth = 30 m

Solution / हल:

Let breadth = x.

x(x + 10) = 1200 x² + 10x − 1200 = 0 (x − 30)(x + 40) = 0

x = 30 (positive value)

अतः चौड़ाई = 30 मी और लंबाई = 40 मी।

Q8. A rectangular field is 80 m long and 50 m wide. A path 2 m wide is constructed inside along its boundary. Find the area of the path.

एक आयताकार मैदान की लंबाई 80 मी और चौड़ाई 50 मी है। उसके अंदर चारों ओर 2 मी चौड़ा रास्ता बनाया गया है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 504 m²

Solution / हल:

Outer area = 80 × 50 = 4000 m²

Inner dimensions = 76 m × 46 m

Inner area = 76 × 46 = 3496 m²

Path area = 4000 − 3496 = 504 m²

Q9. The cost of fencing a rectangular plot at ₹35 per metre is ₹6300. If its length is 55 m, find its area.

एक आयताकार भूखंड की बाड़ लगाने का खर्च ₹35 प्रति मीटर की दर से ₹6300 है। यदि लंबाई 55 मी है, तो क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 1925 m²

Solution / हल:

Perimeter = 6300/35 = 180 m

l + b = 90

b = 90 − 55 = 35 m

Area = 55 × 35 = 1925 m²

Q10. The length of a rectangle is twice its breadth. Its diagonal is 10√5 cm. Find its perimeter.

एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई की दोगुनी है। उसका विकर्ण 10√5 सेमी है। परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60 cm

Solution / हल:

Let breadth = x and length = 2x.

(10√5)² = (2x)² + x² 500 = 5x² x = 10

Length = 20 cm, Breadth = 10 cm

Perimeter = 2(20 + 10) = 60 cm

Q11. The perimeter of a rectangle is 100 cm. What is its maximum possible area?

एक आयत का परिमाप 100 सेमी है। उसका अधिकतम संभव क्षेत्रफल कितना होगा?

Answer / उत्तर: 625 cm²

Solution / हल:

For a fixed perimeter, the rectangle has maximum area when its length and breadth are equal.

निश्चित परिमाप के लिए अधिकतम क्षेत्रफल तब होगा जब लंबाई और चौड़ाई बराबर हों।

Side = 100/4 = 25 cm

Maximum area = 25² = 625 cm²

Q12. The area of a rectangle remains unchanged when its length is increased by 25%. Find the required percentage decrease in breadth.

यदि किसी आयत की लंबाई 25% बढ़ाने पर क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है, तो चौड़ाई कितने प्रतिशत घटानी होगी?

Answer / उत्तर: 20%

Solution / हल:

New length factor = 1.25

Required breadth factor = 1/1.25 = 0.80

Decrease = (1 − 0.80) × 100 = 20%

Q13. A rectangle has an area of 600 cm² and a perimeter of 100 cm. Find the difference between its length and breadth.

एक आयत का क्षेत्रफल 600 सेमी² और परिमाप 100 सेमी है। लंबाई और चौड़ाई का अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10 cm

Solution / हल:

l + b = 50, lb = 600

(l − b)² = (l + b)² − 4lb

= 2500 − 2400 = 100

l − b = 10 cm

Q14. The length of a rectangular garden is increased by 5 m and breadth decreased by 5 m. Its area decreases by 75 m². If its original perimeter is 90 m, find its original dimensions.

एक आयताकार बगीचे की लंबाई 5 मी बढ़ाने और चौड़ाई 5 मी घटाने पर क्षेत्रफल 75 मी² कम हो जाता है। यदि मूल परिमाप 90 मी है, तो मूल विमाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: Length = 30 m, Breadth = 15 m

Solution / हल:

l + b = 45

(l + 5)(b − 5) = lb − 75

lb − 5l + 5b − 25 = lb − 75

l − b = 10

Solving / हल करने पर:

l = 27.5 m, b = 17.5 m

Correct answer / सही उत्तर: Length = 27.5 m, Breadth = 17.5 m.

Q15. The diagonal of a rectangle is 41 cm and its perimeter is 116 cm. Find its area.

एक आयत का विकर्ण 41 सेमी और परिमाप 116 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 840 cm²

Solution / हल:

l + b = 58

l² + b² = 41² = 1681

(l + b)² = l² + b² + 2lb

3364 = 1681 + 2lb

2lb = 1683

Area = 841.5 cm²

Correct answer / सही उत्तर: 841.5 cm².

SECTION 2: SQUARE | वर्ग

Questions 16–30

Q16. Find the area and perimeter of a square whose side is 18 cm.

18 सेमी भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 324 cm²; 72 cm

Solution / हल:

Area = 18² = 324 cm²

Perimeter = 4 × 18 = 72 cm

Q17. The area of a square is 729 cm². Find its diagonal.

एक वर्ग का क्षेत्रफल 729 सेमी² है। उसका विकर्ण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 27√2 cm

Solution / हल:

Side = √729 = 27 cm

Diagonal = Side × √2 = 27√2 cm

Q18. The diagonal of a square is 20√2 cm. Find its perimeter.

एक वर्ग का विकर्ण 20√2 सेमी है। परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 80 cm

Solution / हल:

Side = 20√2/√2 = 20 cm

Perimeter = 4 × 20 = 80 cm

Q19. The perimeter of a square is 124 m. Find its area.

एक वर्ग का परिमाप 124 मी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 961 m²

Solution / हल:

Side = 124/4 = 31 m

Area = 31² = 961 m²

Q20. The side of a square is increased by 30%. Find the percentage increase in area.

एक वर्ग की भुजा 30% बढ़ाई जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 69%

Solution / हल:

New area factor = (1.30)² = 1.69

Increase = (1.69 − 1) × 100 = 69%

Q21. The area of a square is increased by 44%. Find the percentage increase in its side.

एक वर्ग का क्षेत्रफल 44% बढ़ जाता है। उसकी भुजा में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20%

Solution / हल:

New side factor = √1.44 = 1.20

Increase = 20%

Q22. Two squares have sides in the ratio 3:5. Find the ratio of their areas and diagonals.

दो वर्गों की भुजाओं का अनुपात 3:5 है। उनके क्षेत्रफलों और विकर्णों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: Areas = 9:25; Diagonals = 3:5

Solution / हल:

Area ratio = 3²:5² = 9:25

Diagonal is proportional to side.

विकर्ण भुजा के समानुपाती होता है।

Diagonal ratio = 3:5

Q23. A square field has an area of 2500 m². Find the cost of fencing it at ₹45 per metre.

एक वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल 2500 मी² है। ₹45 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का खर्च ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: ₹9000

Solution / हल:

Side = √2500 = 50 m

Perimeter = 4 × 50 = 200 m

Cost = 200 × 45 = ₹9000

Q24. A wire is bent into a square of area 196 cm². The same wire is bent into a rectangle of length 20 cm. Find the breadth of the rectangle.

एक तार को मोड़कर 196 सेमी² क्षेत्रफल वाला वर्ग बनाया जाता है। उसी तार से 20 सेमी लंबाई वाला आयत बनाया जाता है। आयत की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8 cm

Solution / हल:

Square side = √196 = 14 cm

Wire length = 4 × 14 = 56 cm

2(20 + b) = 56

20 + b = 28

b = 8 cm

Q25. The difference between the areas of two squares is 180 cm². Their sides differ by 3 cm. Find the sides.

दो वर्गों के क्षेत्रफलों का अंतर 180 सेमी² है। उनकी भुजाओं का अंतर 3 सेमी है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 31.5 cm and 28.5 cm

Solution / हल:

Let larger side = a and smaller side = b.

a² − b² = 180

(a − b)(a + b) = 180

3(a + b) = 180

a + b = 60

a = (60 + 3)/2 = 31.5

b = (60 − 3)/2 = 28.5

अतः भुजाएँ 31.5 सेमी और 28.5 सेमी हैं।

Q26. The diagonal of a square is 14 cm. Find its area.

एक वर्ग का विकर्ण 14 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 98 cm²

Solution / हल:

Area = d²/2

= 14²/2 = 196/2 = 98 cm²

Q27. A square has the same perimeter as a rectangle of dimensions 36 cm × 20 cm. Find the difference between their areas.

एक वर्ग का परिमाप 36 सेमी × 20 सेमी वाले आयत के परिमाप के बराबर है। दोनों के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 64 cm²

Solution / हल:

Rectangle perimeter = 2(36 + 20) = 112 cm

Square side = 112/4 = 28 cm

Square area = 784 cm²

Rectangle area = 720 cm²

Difference = 784 − 720 = 64 cm²

Q28. The side of a square is reduced by 20%. By what percentage does its diagonal decrease?

एक वर्ग की भुजा 20% घटाई जाती है। उसका विकर्ण कितने प्रतिशत घटेगा?

Answer / उत्तर: 20%

Solution / हल:

Diagonal = a√2

The diagonal is directly proportional to the side.

विकर्ण भुजा के समानुपाती होता है।

Therefore, diagonal decreases by 20%.

Q29. A square courtyard is surrounded externally by a uniform path 3 m wide. If the courtyard side is 24 m, find the path area.

24 मी भुजा वाले वर्गाकार आँगन के बाहर चारों ओर 3 मी चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 324 m²

Solution / हल:

Outer side = 24 + 6 = 30 m

Outer area = 30² = 900 m²

Inner area = 24² = 576 m²

Path area = 900 − 576 = 324 m²

Q30. A square is inscribed in a circle of radius 7√2 cm. Find the area of the square.

7√2 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अंदर एक वर्ग इस प्रकार बनाया गया है कि उसके चारों शीर्ष वृत्त पर हैं। वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 196 cm²

Solution / हल:

Square diagonal = Circle diameter

d = 2 × 7√2 = 14√2 cm

Area = d²/2

= (14√2)²/2 = 196 cm²

SECTION 3: TRIANGLE AND HERON'S FORMULA | त्रिभुज एवं हीरोन सूत्र

Questions 31–45

Q31. Find the area of a triangle with base 32 cm and height 15 cm.

32 सेमी आधार और 15 सेमी ऊँचाई वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 240 cm²

Solution / हल:

Area = 1/2 × Base × Height

= 1/2 × 32 × 15 = 240 cm²

Q32. The area of a triangle is 360 cm² and its base is 40 cm. Find its height.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 360 सेमी² और आधार 40 सेमी है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 18 cm

Solution / हल:

Height = 2 × Area/Base

= 720/40 = 18 cm

Q33. The sides of a triangle are 13 cm, 14 cm and 15 cm. Find its area using Heron's formula.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी हैं। हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 84 cm²

Solution / हल:

s = (13 + 14 + 15)/2 = 21

Area = √[21 × 8 × 7 × 6]

= √7056 = 84 cm²

Q34. Find the area of a triangle whose sides are 10 cm, 17 cm and 21 cm.

10 सेमी, 17 सेमी और 21 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 84 cm²

Solution / हल:

s = (10 + 17 + 21)/2 = 24

Area = √[24 × 14 × 7 × 3]

= √7056 = 84 cm²

Q35. A triangle has sides 9 cm, 10 cm and 17 cm. Find its area.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 9 सेमी, 10 सेमी और 17 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 36 cm²

Solution / हल:

s = (9 + 10 + 17)/2 = 18

Area = √[18 × 9 × 8 × 1]

= √1296 = 36 cm²

Q36. The sides of a triangular field are 25 m, 39 m and 56 m. Find its area.

एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ 25 मी, 39 मी और 56 मी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 420 m²

Solution / हल:

s = (25 + 39 + 56)/2 = 60

Area = √[60 × 35 × 21 × 4]

= √176400 = 420 m²

Q37. A triangle has sides 7 cm, 24 cm and 25 cm. Find its area and determine whether it is right-angled.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 24 सेमी और 25 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और बताइए कि क्या वह समकोण त्रिभुज है।

Answer / उत्तर: 84 cm²; Yes / हाँ

Solution / हल:

7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²

Therefore, it is right-angled.

अतः यह समकोण त्रिभुज है।

Area = 1/2 × 7 × 24 = 84 cm²

Q38. The sides of a triangle are in the ratio 3:4:5 and its perimeter is 96 cm. Find its area.

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है और परिमाप 96 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 384 cm²

Solution / हल:

3x + 4x + 5x = 96

x = 8

Sides = 24, 32, 40 cm

Area = 1/2 × 24 × 32 = 384 cm²

Q39. Find the area of a triangle whose sides are 15 cm, 20 cm and 25 cm.

15 सेमी, 20 सेमी और 25 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 150 cm²

Solution / हल:

15² + 20² = 25²

Area = 1/2 × 15 × 20 = 150 cm²

Q40. A triangle has sides 26 cm, 28 cm and 30 cm. Find its area using Heron's formula.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं। हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 336 cm²

Solution / हल:

s = 42

Area = √[42 × 16 × 14 × 12]

= √112896 = 336 cm²

Q41. The perimeter of a triangle is 60 cm and its sides are in the ratio 5:5:6. Find its area.

एक त्रिभुज का परिमाप 60 सेमी है और भुजाओं का अनुपात 5:5:6 है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 108 cm²

Solution / हल:

16x = 60 ⇒ x = 3.75

Sides = 18.75, 18.75, 22.5 cm

Height = √(18.75² − 11.25²) = 15 cm

Area = 1/2 × 22.5 × 15 = 168.75 cm²

Correct answer / सही उत्तर: 168.75 cm².

Q42. A triangular field has sides 50 m, 65 m and 65 m. Find its area.

एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ 50 मी, 65 मी और 65 मी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 1500 m²

Solution / हल:

Height = √(65² − 25²)

= √(4225 − 625) = 60 m

Area = 1/2 × 50 × 60 = 1500 m²

Q43. A triangle has sides 20 cm, 21 cm and 29 cm. Find its area and the altitude corresponding to the longest side.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 20 सेमी, 21 सेमी और 29 सेमी हैं। क्षेत्रफल तथा सबसे बड़ी भुजा पर डाली गई ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: Area = 210 cm²; Height = 420/29 cm

Solution / हल:

20² + 21² = 29²

Area = 1/2 × 20 × 21 = 210 cm²

Height on 29 cm side = 2 × 210/29

= 420/29 cm

Q44. The sides of a triangle are 13 cm, 20 cm and 21 cm. Find its area.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 20 सेमी और 21 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 126 cm²

Solution / हल:

s = 27

Area = √[27 × 14 × 7 × 6]

= √15876 = 126 cm²

Q45. A triangle has a perimeter of 42 cm. Two sides are 13 cm and 14 cm. Find its area.

एक त्रिभुज का परिमाप 42 सेमी है। उसकी दो भुजाएँ 13 सेमी और 14 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 84 cm²

Solution / हल:

Third side = 42 − 13 − 14 = 15 cm

s = 21

Area = √[21 × 8 × 7 × 6] = 84 cm²

SECTION 4: EQUILATERAL TRIANGLE | समबाहु त्रिभुज

Questions 46–60

Q46. Find the area of an equilateral triangle of side 12 cm.

12 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 36√3 cm²

Solution / हल:

Area = (√3/4)a²

= (√3/4) × 144 = 36√3 cm²

Q47. The perimeter of an equilateral triangle is 54 cm. Find its height.

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 54 सेमी है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9√3 cm

Solution / हल:

Side = 54/3 = 18 cm

Height = (√3/2) × 18 = 9√3 cm

Q48. The height of an equilateral triangle is 15√3 cm. Find its area.

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 15√3 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 225√3 cm²

Solution / हल:

a = 2h/√3 = 30 cm

Area = (√3/4) × 30²

= 225√3 cm²

Q49. The area of an equilateral triangle is 64√3 cm². Find its perimeter.

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 64√3 सेमी² है। परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 48 cm

Solution / हल:

(√3/4)a² = 64√3

a² = 256 ⇒ a = 16 cm

Perimeter = 3 × 16 = 48 cm

Q50. Find the inradius of an equilateral triangle of side 18 cm.

18 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 3√3 cm

Solution / हल:

r = a√3/6

= 18√3/6 = 3√3 cm

Q51. The circumradius of an equilateral triangle is 8 cm. Find its side.

एक समबाहु त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या 8 सेमी है। भुजा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8√3 cm

Solution / हल:

R = a/√3

a = R√3 = 8√3 cm

Q52. The inradius of an equilateral triangle is 5 cm. Find its height and circumradius.

एक समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 5 सेमी है। ऊँचाई और परिवृत्त त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: Height = 15 cm; Circumradius = 10 cm

Solution / हल:

h = 3r = 15 cm

R = 2r = 10 cm

अतः ऊँचाई 15 सेमी और परिवृत्त त्रिज्या 10 सेमी है।

Q53. The side of an equilateral triangle is increased by 50%. Find the percentage increase in its area.

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 50% बढ़ाई जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 125%

Solution / हल:

New area factor = (1.5)² = 2.25

Increase = (2.25 − 1) × 100 = 125%

Q54. Two equilateral triangles have areas in the ratio 25:49. Find the ratio of their heights.

दो समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 25:49 है। उनकी ऊँचाइयों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 5:7

Solution / हल:

Area is proportional to side², and height is proportional to side.

क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के समानुपाती तथा ऊँचाई भुजा के समानुपाती होती है।

Height ratio = √25:√49 = 5:7

Q55. The height of an equilateral triangle is 12 cm. Find its area.

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 12 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 48√3 cm²

Solution / हल:

Area = h²/√3

= 144/√3 = 48√3 cm²

Q56. An equilateral triangle has a circumradius of 6√3 cm. Find its area.

एक समबाहु त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या 6√3 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 81√3 cm²

Solution / हल:

a = R√3 = 6√3 × √3 = 18 cm

Area = (√3/4) × 18² = 81√3 cm²

Q57. The numerical value of the area of an equilateral triangle is 4√3 times the numerical value of its perimeter, when measured in cm² and cm respectively. Find its side in centimetres.

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान उसके परिमाप के संख्यात्मक मान का 4√3 गुना है, जब दोनों को क्रमशः सेमी² और सेमी में मापा जाए। भुजा सेमी में ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 48 cm

Solution / हल:

(√3/4)a² = 4√3 × 3a

a²/4 = 12a

a = 48 cm

Q58. An equilateral triangle is divided into four congruent equilateral triangles by joining the midpoints of its sides. If the original area is 144√3 cm², find the area of each smaller triangle.

एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाकर उसे चार सर्वांगसम समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है। यदि मूल क्षेत्रफल 144√3 सेमी² है, तो प्रत्येक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 36√3 cm²

Solution / हल:

Each smaller triangle has one-fourth the original area.

प्रत्येक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का एक-चौथाई है।

Area = 144√3/4 = 36√3 cm²

Q59. The inradius of an equilateral triangle is 4√3 cm. Find its perimeter.

एक समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 4√3 सेमी है। परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 72 cm

Solution / हल:

a = 2√3r

= 2√3 × 4√3 = 24 cm

Perimeter = 3 × 24 = 72 cm

Q60. The area of an equilateral triangle is 100√3 cm². Find the area of the circle inscribed in it.

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 100√3 सेमी² है। उसके अंतःवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100π/3 cm²

Solution / हल:

(√3/4)a² = 100√3

a² = 400 ⇒ a = 20 cm

r = a√3/6 = 10√3/3 cm

Circle area = πr² = 100π/3 cm²

SECTION 5: ISOSCELES TRIANGLE | समद्विबाहु त्रिभुज

Questions 61–70

Q61. An isosceles triangle has equal sides of 13 cm and a base of 10 cm. Find its area.

एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 13 सेमी तथा आधार 10 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60 cm²

Solution / हल:

Height = √(13² − 5²)

= √144 = 12 cm

Area = 1/2 × 10 × 12 = 60 cm²

Q62. The equal sides of an isosceles triangle are 17 cm each and its base is 16 cm. Find its height.

एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 17 सेमी तथा आधार 16 सेमी है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 15 cm

Solution / हल:

h = √(17² − 8²)

= √225 = 15 cm

Q63. An isosceles triangle has a perimeter of 50 cm and a base of 16 cm. Find its area.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 50 सेमी और आधार 16 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 120 cm²

Solution / हल:

Equal side = (50 − 16)/2 = 17 cm

Height = √(17² − 8²) = 15 cm

Area = 1/2 × 16 × 15 = 120 cm²

Q64. The area of an isosceles triangle is 96 cm² and its base is 16 cm. Find each equal side.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 96 सेमी² तथा आधार 16 सेमी है। प्रत्येक समान भुजा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4√13 cm

Solution / हल:

Height = 2 × 96/16 = 12 cm

Equal side = √(12² + 8²)

= √208 = 4√13 cm

Q65. An isosceles triangle has equal sides 25 cm and base 14 cm. Find its area.

एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 25 सेमी तथा आधार 14 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 168 cm²

Solution / हल:

Height = √(25² − 7²)

= √576 = 24 cm

Area = 1/2 × 14 × 24 = 168 cm²

Q66. The base of an isosceles triangle is 24 cm and its height is 16 cm. Find its perimeter.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 24 सेमी और ऊँचाई 16 सेमी है। परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 64 cm

Solution / हल:

Equal side = √(12² + 16²) = 20 cm

Perimeter = 20 + 20 + 24 = 64 cm

Q67. The perimeter of an isosceles triangle is 36 cm and its base is 10 cm. Find its area.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी और आधार 10 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60 cm²

Solution / हल:

Equal side = (36 − 10)/2 = 13 cm

Height = √(13² − 5²) = 12 cm

Area = 1/2 × 10 × 12 = 60 cm²

Q68. An isosceles triangle has equal sides 10 cm and an area of 48 cm². Find all possible lengths of its base.

एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 10 सेमी और क्षेत्रफल 48 सेमी² है। आधार की सभी संभावित लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm or 16 cm

Solution / हल:

Let half-base = x.

Area = x√(100 − x²) = 48

Squaring:

x²(100 − x²) = 2304

Let y = x².

y² − 100y + 2304 = 0

(y − 36)(y − 64) = 0

x = 6 or 8

Base = 2x = 12 cm or 16 cm

Q69. An isosceles triangle has a base of 30 cm and an area of 300 cm². Find the length of each equal side.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 30 सेमी और क्षेत्रफल 300 सेमी² है। प्रत्येक समान भुजा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 25 cm

Solution / हल:

Height = 2 × 300/30 = 20 cm

Half-base = 15 cm

Equal side = √(20² + 15²)

= √625 = 25 cm

Q70. An isosceles triangle has equal sides of 41 cm and an area of 360 cm². Find its possible base lengths.

एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 41 सेमी तथा क्षेत्रफल 360 सेमी² है। आधार की संभावित लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 18 cm or 80 cm

Solution / हल:

Let half-base = x.

x√(1681 − x²) = 360

Squaring and putting y = x²:

y(1681 − y) = 129600

y² − 1681y + 129600 = 0

(y − 81)(y − 1600) = 0

x = 9 or 40

Base = 18 cm or 80 cm

SECTION 6: RIGHT-ANGLED TRIANGLE | समकोण त्रिभुज

Questions 71–85

Q71. The perpendicular and base of a right triangle are 9 cm and 12 cm. Find its hypotenuse and area.

एक समकोण त्रिभुज का लम्ब 9 सेमी तथा आधार 12 सेमी है। कर्ण और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: Hypotenuse = 15 cm; Area = 54 cm²

Solution / हल:

h = √(9² + 12²) = √225 = 15 cm

Area = 1/2 × 9 × 12 = 54 cm²

Q72. The hypotenuse of a right triangle is 26 cm and one perpendicular side is 10 cm. Find the other side.

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 26 सेमी और एक लम्बवत भुजा 10 सेमी है। दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 24 cm

Solution / हल:

Other side = √(26² − 10²)

= √576 = 24 cm

Q73. The legs of a right triangle are in the ratio 5:12 and its hypotenuse is 65 cm. Find its area.

एक समकोण त्रिभुज की लम्बवत भुजाओं का अनुपात 5:12 है और कर्ण 65 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 750 cm²

Solution / हल:

The corresponding Pythagorean ratio is 5:12:13.

Scale factor = 65/13 = 5

Legs = 25 and 60 cm

Area = 1/2 × 25 × 60 = 750 cm²

Q74. The area of a right triangle is 210 cm² and one leg is 20 cm. Find its hypotenuse.

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 210 सेमी² और एक लम्बवत भुजा 20 सेमी है। कर्ण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 29 cm

Solution / हल:

Other leg = 2 × 210/20 = 21 cm

Hypotenuse = √(20² + 21²)

= √841 = 29 cm

Q75. The perimeter of a right triangle is 60 cm and its hypotenuse is 25 cm. Find its area.

एक समकोण त्रिभुज का परिमाप 60 सेमी और कर्ण 25 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 150 cm²

Solution / हल:

Let legs = a, b.

a + b = 35

a² + b² = 625

(a + b)² = a² + b² + 2ab

1225 = 625 + 2ab

ab = 300

Area = ab/2 = 150 cm²

Q76. The circumradius of a right triangle is 17 cm. If one leg is 16 cm, find its area.

एक समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या 17 सेमी है। यदि एक लम्बवत भुजा 16 सेमी है, तो क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 240 cm²

Solution / हल:

Hypotenuse = 2R = 34 cm

Other leg = √(34² − 16²)

= √900 = 30 cm

Area = 1/2 × 16 × 30 = 240 cm²

Q77. A right triangle has an area of 120 cm² and a hypotenuse of 26 cm. Find the sum of its perpendicular sides.

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 120 सेमी² और कर्ण 26 सेमी है। दोनों लम्बवत भुजाओं का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 34 cm

Solution / हल:

ab = 240

a² + b² = 26² = 676

(a + b)² = 676 + 480 = 1156

a + b = 34 cm

Q78. The altitude drawn from the right angle to the hypotenuse of a right triangle divides the hypotenuse into segments of 9 cm and 16 cm. Find the altitude.

एक समकोण त्रिभुज में समकोण शीर्ष से कर्ण पर खींची गई ऊँचाई कर्ण को 9 सेमी और 16 सेमी के भागों में विभाजित करती है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution / हल:

Altitude² = Product of the two hypotenuse segments

ऊँचाई² = कर्ण के दोनों खंडों का गुणनफल

h² = 9 × 16 = 144

h = 12 cm

Q79. The hypotenuse of a right triangle is 25 cm and its inradius is 3 cm. Find its area.

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 25 सेमी और अंतःत्रिज्या 3 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 84 cm²

Solution / हल:

For a right triangle:

r = (a + b − c)/2

3 = (a + b − 25)/2

a + b = 31

a² + b² = 625

2ab = 31² − 625 = 336

Area = ab/2 = 336/4 = 84 cm²

Q80. The legs of a right triangle differ by 7 cm and its hypotenuse is 13 cm. Find its area.

एक समकोण त्रिभुज की लम्बवत भुजाओं का अंतर 7 सेमी है और कर्ण 13 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30 cm²

Solution / हल:

Let legs = a, b, where a − b = 7.

a² + b² = 169

(a − b)² = 49 = 169 − 2ab

2ab = 120

Area = ab/2 = 30 cm²

Q81. A ladder 25 m long rests against a vertical wall. Its foot is 7 m from the wall. Find the height reached by the ladder.

25 मी लंबी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे रखी है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 7 मी दूर है। सीढ़ी कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?

Answer / उत्तर: 24 m

Solution / हल:

Height = √(25² − 7²)

= √576 = 24 m

Q82. A right triangle has a perimeter of 120 cm and its sides are in the ratio 3:4:5. Find its circumradius.

एक समकोण त्रिभुज का परिमाप 120 सेमी है और भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है। परिवृत्त त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 25 cm

Solution / हल:

12x = 120 ⇒ x = 10

Hypotenuse = 5 × 10 = 50 cm

R = Hypotenuse/2 = 25 cm

Q83. The hypotenuse of a right triangle is 50 cm and its area is 600 cm². Find the difference between its perpendicular sides.

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 50 सेमी और क्षेत्रफल 600 सेमी² है। दोनों लम्बवत भुजाओं का अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10 cm

Solution / हल:

ab = 1200

a² + b² = 2500

(a − b)² = a² + b² − 2ab

= 2500 − 2400 = 100

Difference = 10 cm

Q84. The altitude from the right angle to the hypotenuse is 12 cm, and the hypotenuse is 25 cm. Find the area of the triangle.

एक समकोण त्रिभुज में समकोण से कर्ण पर खींची गई ऊँचाई 12 सेमी तथा कर्ण 25 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 150 cm²

Solution / हल:

Area = 1/2 × Hypotenuse × Altitude

= 1/2 × 25 × 12 = 150 cm²

Q85. The inradius and circumradius of a right triangle are 2 cm and 5 cm respectively. Find its area.

एक समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 2 सेमी तथा परिवृत्त त्रिज्या 5 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 24 cm²

Solution / हल:

Hypotenuse = 2R = 10 cm

r = (a + b − 10)/2 = 2

a + b = 14

a² + b² = 100

2ab = 14² − 100 = 96

Area = ab/2 = 24 cm²

SECTION 7: ADVANCED TRIANGLE FORMULAS | त्रिभुज के उन्नत सूत्र

Questions 86–100

Q86. A triangle has an area of 84 cm² and a semiperimeter of 21 cm. Find its inradius.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 84 सेमी² तथा अर्धपरिमाप 21 सेमी है। अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4 cm

Solution / हल:

Δ = rs

r = Δ/s = 84/21 = 4 cm

Q87. A triangle has sides 13 cm, 14 cm and 15 cm. Find its inradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी हैं। अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4 cm

Solution / हल:

s = 21

Area = 84 cm²

r = Area/s = 84/21 = 4 cm

Q88. A triangle has sides 13 cm, 14 cm and 15 cm. Find its circumradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी हैं। परिवृत्त त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 65/8 cm

Solution / हल:

Area = 84 cm²

R = abc/(4Δ)

= (13 × 14 × 15)/(4 × 84)

= 2730/336 = 65/8 cm

Q89. The sides of a triangle are 5 cm, 12 cm and 13 cm. Find its inradius and circumradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी हैं। अंतःत्रिज्या और परिवृत्त त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: r = 2 cm; R = 6.5 cm

Solution / हल:

It is a right triangle.

Area = 1/2 × 5 × 12 = 30 cm²

s = 15 cm

r = 30/15 = 2 cm

R = 13/2 = 6.5 cm

Q90. A triangle has sides 20 cm, 21 cm and 29 cm. Find its circumradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 20 सेमी, 21 सेमी और 29 सेमी हैं। परिवृत्त त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 14.5 cm

Solution / हल:

20² + 21² = 29²

Therefore, it is right-angled.

अतः यह समकोण त्रिभुज है।

R = 29/2 = 14.5 cm

Q91. A triangle has an inradius of 6 cm and a perimeter of 70 cm. Find its area.

एक त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 6 सेमी और परिमाप 70 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 210 cm²

Solution / हल:

s = 70/2 = 35 cm

Area = rs = 6 × 35 = 210 cm²

Q92. The sides of a triangle are 10 cm, 10 cm and 12 cm. Find its inradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 10 सेमी, 10 सेमी और 12 सेमी हैं। अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 3 cm

Solution / हल:

Height = √(10² − 6²) = 8 cm

Area = 1/2 × 12 × 8 = 48 cm²

s = 16 cm

r = 48/16 = 3 cm

Q93. A triangle has sides 7 cm, 8 cm and 9 cm. Find its area and inradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 8 सेमी और 9 सेमी हैं। क्षेत्रफल और अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: Area = 12√5 cm²; r = √5 cm

Solution / हल:

s = 12

Area = √[12 × 5 × 4 × 3]

= √720 = 12√5 cm²

r = Area/s = 12√5/12 = √5 cm

Q94. A triangle has sides 6 cm, 8 cm and 10 cm. Find its circumradius and the area of its circumcircle.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी हैं। परिवृत्त त्रिज्या तथा परिवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: R = 5 cm; Circle area = 25π cm²

Solution / हल:

6² + 8² = 10²

R = 10/2 = 5 cm

Circumcircle area = πR² = 25π cm²

Q95. The sides of a triangle are 15 cm, 20 cm and 25 cm. Find the difference between its circumradius and inradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 15 सेमी, 20 सेमी और 25 सेमी हैं। परिवृत्त त्रिज्या और अंतःत्रिज्या का अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 7.5 cm

Solution / हल:

R = 25/2 = 12.5 cm

Area = 1/2 × 15 × 20 = 150 cm²

s = 30 cm

r = 150/30 = 5 cm

Difference = 12.5 − 5 = 7.5 cm

Q96. A triangle has sides 25 cm, 39 cm and 56 cm. Find its inradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 25 सेमी, 39 सेमी और 56 सेमी हैं। अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 7 cm

Solution / हल:

s = 60 cm

Area = √[60 × 35 × 21 × 4] = 420 cm²

r = 420/60 = 7 cm

Q97. The sides of a triangle are 13 cm, 20 cm and 21 cm. Find its circumradius.