1. Question / प्रश्न
If P(x)=x³−4x²+ax+6 is divisible by (x−2), find a.
यदि P(x)=x³−4x²+ax+6, (x−2) से विभाज्य है, तो a ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 1
Solution / हल:
Since (x−2) is a factor,
P(2)=0
2³−4(2²)+2a+6=0
8−16+2a+6=0
2a−2=0
a=1
2. Question / प्रश्न
The remainder when x⁴+3x²+5 is divided by (x−2) is:
x⁴+3x²+5 को (x−2) से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
Answer / उत्तर: 33
Solution / हल:
By Remainder Theorem,
Remainder = f(2)
= 2⁴+3(2²)+5
=16+12+5
=33
3. Question / प्रश्न
If x+y=15 and xy=44, find x²+y².
यदि x+y=15 तथा xy=44 है, तो x²+y² ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 137
Solution / हल:
x²+y²=(x+y)²−2xy
=(15)²−2×44
=225−88
=137
4. Question / प्रश्न
Find the least positive integer divisible by 12, 15 and 20 and leaving remainder 5 when divided by 7.
12, 15 तथा 20 से विभाज्य तथा 7 से भाग देने पर 5 शेष छोड़ने वाली सबसे छोटी धनात्मक संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 180
Solution / हल:
LCM(12,15,20)=60
Required number = 60k
60 ≡ 4 (mod 7)
4k ≡ 5 (mod 7)
k=3
Required number = 60×3
=180
5. Question / प्रश्न
Number of factors of 2⁶×3⁴×5³ which are perfect squares.
2⁶×3⁴×5³ के पूर्ण वर्ग भाजकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 24
Solution / हल:
Perfect square divisors require even powers.
For 2⁶ → powers: 0,2,4,6 → 4 choices
For 3⁴ → powers: 0,2,4 → 3 choices
For 5³ → powers: 0,2 → 2 choices
Total = 4×3×2
=24
6. Question / प्रश्न
If log₂x + log₂(x−2)=3, then x equals.
यदि log₂x + log₂(x−2)=3 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 4
Solution / हल:
log₂[x(x−2)] = 3
x(x−2)=2³
x²−2x−8=0
(x−4)(x+2)=0
x=4 or −2
Since logarithm requires x>0,
x=4
7. Question / प्रश्न
How many diagonals are there in a polygon of 30 sides?
30 भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या कितनी होगी?
Answer / उत्तर: 405
Solution / हल:
Number of diagonals
=n(n−3)/2
=30×27/2
=405
8. Question / प्रश्न
A bag contains 5 red and 7 blue balls. Probability that both drawn balls are red.
एक थैले में 5 लाल तथा 7 नीली गेंदें हैं। दोनों निकाली गई गेंदों के लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 5/33
Solution / हल:
Required probability
=(5C2)/(12C2)
=10/66
=5/33
9. Question / प्रश्न
Number of arrangements of the word "COMMITTEE".
"COMMITTEE" शब्द के विभिन्न व्यवस्थापनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 45360
Solution / हल:
Total letters = 9
Repeated letters:
M=2
T=2
E=2
Arrangements
=9!/(2!×2!×2!)
=362880/8
=45360
10. Question / प्रश्न
How many positive integer solutions exist for x+y+z=12?
x+y+z=12 के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 55
Solution / हल:
Number of positive integer solutions
=C(12−1,3−1)
=C(11,2)
=11×10/2
=55
11. Question / प्रश्न
Distance between points (2,−1) and (8,7).
(2,−1) तथा (8,7) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 10
Solution / हल:
Distance
=√[(8−2)²+(7+1)²]
=√(36+64)
=√100
=10
12. Question / प्रश्न
Area of triangle formed by (0,0), (4,0), (0,6).
(0,0), (4,0), (0,6) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 12
Solution / हल:
Area
=1/2 × Base × Height
=1/2 × 4 × 6
=12
13. Question / प्रश्न
The centroid of triangle with vertices (3,0),(0,6),(6,9).
(3,0),(0,6),(6,9) शीर्षों वाले त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: (3,5)
Solution / हल:
Centroid
=((3+0+6)/3,(0+6+9)/3)
=(3,5)
14. Question / प्रश्न
Volume ratio of two spheres whose radii are in ratio 2:3.
दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 है। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 8:27
Solution / हल:
Volume ∝ r³
Ratio
=2³:3³
=8:27
15. Question / प्रश्न
A cone and cylinder have same base radius and height. Ratio of volumes.
एक शंकु और बेलन की त्रिज्या एवं ऊँचाई समान है। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 1:3
Solution / हल:
Cone volume
=(1/3)πr²h
Cylinder volume
=πr²h
Ratio
=1:3
16. Question / प्रश्न
If tanθ=3/4, then secθ−cosθ equals.
यदि tanθ=3/4 है, तो secθ−cosθ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 9/20
Solution / हल:
Using 3-4-5 triangle,
cosθ=4/5
secθ=5/4
Required value
=5/4−4/5
=(25−16)/20
=9/20
17. Question / प्रश्न
A train crosses a pole in 12 sec at 72 km/h. Length of train.
72 किमी/घंटा की गति वाली ट्रेन 12 सेकंड में एक खंभे को पार करती है। ट्रेन की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 240 m
Solution / हल:
72 km/h
=20 m/s
Length
=20×12
=240 m
18. Question / प्रश्न
Simple interest on ₹5000 at 8% for 3 years.
₹5000 पर 8% वार्षिक दर से 3 वर्षों का साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: ₹1200
Solution / हल:
SI=P×R×T/100
=5000×8×3/100
=₹1200
19. Question / प्रश्न
Equivalent single discount of 30% and 20%.
30% तथा 20% की क्रमिक छूट का समतुल्य एकल छूट क्या होगी?
Answer / उत्तर: 44%
Solution / हल:
Equivalent discount
=a+b−ab/100
=30+20−600/100
=50−6
=44%
20. Question / प्रश्न
In a class, 80 like Maths, 70 Science, 20 neither. Total students 120. Number liking both.
एक कक्षा में 80 विद्यार्थियों को गणित, 70 को विज्ञान पसंद है तथा 20 को कोई नहीं। कुल विद्यार्थी 120 हैं। दोनों पसंद करने वालों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 50
Solution / हल:
At least one subject
=120−20
=100
Both
=80+70−100
=50
21. Question / प्रश्न
If α and β are roots of x²−9x+14=0, find α²β+αβ².
यदि α तथा β, x²−9x+14=0 के मूल हैं, तो α²β+αβ² ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 126
Solution / हल:
α+β=9
αβ=14
α²β+αβ²
=αβ(α+β)
=14×9
=126
22. Question / प्रश्न
Number of even divisors of 2⁵×3³×5².
2⁵×3³×5² के सम भाजकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 60
Solution / हल:
Even divisors must contain at least one factor of 2.
Power of 2: 1 to 5 → 5 choices
Power of 3: 0 to 3 → 4 choices
Power of 5: 0 to 2 → 3 choices
Total
=5×4×3
=60
23. Question / प्रश्न
Least number which when divided by 8,10,12 leaves remainder 7.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 8,10,12 से भाग देने पर 7 शेष छोड़े।
Answer / उत्तर: 127
Solution / हल:
Required number − 7
must be divisible by 8,10,12.
LCM(8,10,12)
=120
Required number
=120+7
=127
24. Question / प्रश्न
If x−1/x=4, then x²+1/x² equals.
यदि x−1/x=4 है, तो x²+1/x² का मान ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 18
Solution / हल:
(x−1/x)²
=x²+1/x²−2
16=x²+1/x²−2
x²+1/x²
=18
25. Question / प्रश्न
Find the number of ways to choose 3 persons from 8 persons.
8 व्यक्तियों में से 3 व्यक्तियों का चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है?
Answer / उत्तर: 56
Solution / हल:
Required ways
=⁸C₃
=8×7×6/(3×2×1)
=56
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