COORDINATE GEOMETRY – IMPORTANT FORMULAS

निर्देशांक ज्यामिति – महत्वपूर्ण सूत्र

Section Formula (विभाजन सूत्र)

If P(x, y) divides A(x1, y1) and B(x2, y2) in ratio m : n, then

यदि P(x, y), A(x1, y1) और B(x2, y2) को m : n में विभाजित करता है

x = (m x2 + n x1) / (m + n)

y = (m y2 + n y1) / (m + n)

Midpoint Formula (मध्यबिंदु सूत्र)

Midpoint of A(x1, y1) and B(x2, y2) is

A(x1, y1) और B(x2, y2) का मध्यबिंदु

M = ((x1 + x2) / 2 , (y1 + y2) / 2)

Centroid Formula (केंद्रक सूत्र)

Centroid of triangle A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)

त्रिभुज A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) का केंद्रक

G = ((x1 + x2 + x3) / 3 , (y1 + y2 + y3) / 3)

QUESTIONS WITH OPTIONS AND ANSWERS

प्रश्न, विकल्प और उत्तर

Q1.

बिंदुओं A(4, -3) और B(9, 7) को 3 : 2 में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Find the coordinates of point dividing A(4, -3) and B(9, 7) in ratio 3 : 2.

A. (6, 2)

B. (7, 3) ✅

C. (5, 4)

D. (8, 1)

Q2.

A(-5, 4) और B(7, -8) का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।

Find the midpoint of A(-5, 4) and B(7, -8).

A. (2, -1)

B. (1, -2) ✅

C. (3, -3)

D. (0, -2)

Q3.

A(-5, 6) और B(4, -3) के त्रिभाजन बिंदु ज्ञात कीजिए।

Find trisection points of A(-5, 6) and B(4, -3).

A. (-2, 3) और (1, 0) ✅

B. (2, -1) और (3, 2)

C. (-1, 2) और (2, 1)

D. (0, 0) और (1, 1)

Q4.

A(1, 2) और B(6, 7) के बीच ऐसा बिंदु P ज्ञात करें जहाँ AP = 2/5 AB।

Find point P on AB where AP = 2/5 AB.

A. (4, 5)

B. (3, 4) ✅

C. (5, 6)

D. (2, 3)

Q5.

A(2, 1) और B(5, -8) को P इस प्रकार विभाजित करता है कि AP/AB = 1/3। यदि P रेखा 2x - y + k = 0 पर है, तो k ज्ञात करें।

P divides A(2, 1) and B(5, -8) such that AP/AB = 1/3. If P lies on 2x - y + k = 0, find k.

A. -6

B. -7

C. -8 ✅

D. -9

Q6.

बिंदु P(2, -5), A(-3, 5) और B(4, -9) को किस अनुपात में विभाजित करता है?

In what ratio does P(2, -5) divide A(-3, 5) and B(4, -9)?

A. 3 : 2

B. 5 : 1

C. 5 : 2 ✅

D. 2 : 5

Q7.

P(x, 2), A(12, 5) और B(4, -3) को किस अनुपात में विभाजित करता है? x ज्ञात करें।

Find ratio in which P(x, 2) divides A(12, 5) and B(4, -3) and find x.

A. 2 : 3, x = 8

B. 3 : 5, x = 9 ✅

C. 5 : 3, x = 7

D. 1 : 2, x = 6

Q8.

P(11, y), A(15, 5) और B(9, 20) को किस अनुपात में विभाजित करता है? y ज्ञात करें।

Find ratio in which P(11, y) divides A(15, 5) and B(9, 20) and find y.

A. 2 : 1, y = 15 ✅

B. 1 : 2, y = 12

C. 3 : 2, y = 10

D. 2 : 3, y = 9

Q9.

यदि P(-1, 2), A(2, 5) और B को 3 : 4 में विभाजित करता है, तो B के निर्देशांक ज्ञात करें।

If P(-1, 2) divides A(2, 5) and B in ratio 3 : 4, find B.

A. (-5, -2) ✅

B. (-2, -5)

C. (5, -2)

D. (2, -5)

Q10.

त्रिभुज A(7, -3), B(5, 3), C(3, -1) की माध्यिकाएँ AD और BE की लंबाई ज्ञात करें।

Find medians AD and BE of triangle A(7, -3), B(5, 3), C(3, -1).

A. 4

B. 5 ✅

C. 6

D. 7

Q11.

समांतर चतुर्भुज ABCD में A(3, -4), B(-1, -3), C(-6, 2) दिए हैं। D ज्ञात करें।

Find D of parallelogram ABCD.

A. (-2, 1) ✅

B. (2, -1)

C. (1, -2)

D. (-1, 2)

Q12.

यदि (3, 3), (6, y), (x, 7), (5, 6) समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, x और y ज्ञात करें।

Find x and y.

A. x = 7, y = 3

B. x = 8, y = 4 ✅

C. x = 5, y = 6

D. x = 4, y = 8

Q13.

यदि D(3, -2), E(-3, 1), F(4, -3) मध्यबिंदु हैं, तो A, B, C ज्ञात करें।

Find vertices A, B, C.

A. A(-2, 0), B(10, -6), C(-4, 2) ✅

B. A(2, 0), B(-10, 6), C(4, -2)

C. A(-4, 2), B(10, -6), C(-2, 0)

D. A(0, -2), B(6, 10), C(2, -4)

Q14.

A(4, -1) व्यास का एक छोर है और केंद्र C(1, -3) है। B ज्ञात करें।

Find B.

A. (2, -5)

B. (-2, -5) ✅

C. (-5, -2)

D. (5, -2)

Q15.

त्रिभुज A(-3, 0), B(5, -2), C(-8, 5) का केंद्रक ज्ञात करें।

Find centroid.

A. (-1, 2)

B. (-2, 1) ✅

C. (1, -2)

D. (2, -1)

Q16.

A(6, 4), B(-2, 2) और केंद्रक G(3, 4) दिया है। तीसरा शीर्ष C ज्ञात करें।

Find third vertex C.

A. (5, 6) ✅

B. (6, 5)

C. (4, 7)

D. (7, 4)

Q17.

रेखा x - y - 2 = 0, बिंदुओं A(3, -1) और B(8, 9) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करती है?

In what ratio does the line x - y - 2 = 0 divide the line segment joining A(3, -1) and B(8, 9)?

A. 1 : 2

B. 2 : 3 ✅

C. 3 : 4

D. 4 : 5

Q18.

त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, -1), B(2, 1) और C(0, 3) हैं। इसकी माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Find the lengths of medians of triangle ABC whose vertices are A(0, -1), B(2, 1) and C(0, 3).

A. AD = √5, BE = 3, CF = √5

B. AD = √10, BE = 2, CF = √10 ✅

C. AD = 2, BE = 2, CF = 2

D. AD = √8, BE = 4, CF = √8

Q19.

त्रिभुज ABC का केंद्रक ज्ञात कीजिए जहाँ A(-1, 0), B(5, -2), C(8, 2) हैं।

Find the centroid of triangle ABC where A(-1, 0), B(5, -2), C(8, 2).

A. G(3, 0)

B. G(4, 0) ✅

C. G(5, 1)

D. G(2, -1)

Q20.

यदि G(-2, 1), त्रिभुज ABC का केंद्रक है तथा दो शीर्ष A(1, -6) और B(-5, 2) हैं, तो तीसरा शीर्ष ज्ञat कीजिए।

If G(-2, 1) is centroid of triangle ABC and two vertices are A(1, -6) and B(-5, 2), find the third vertex.

A. C(-2, 7) ✅

B. C(2, -7)

C. C(7, -2)

D. C(-7, 2)

Q21.

यदि त्रिभुज ABC के दो शीर्ष B(-3, 1) और C(0, -2) हैं तथा इसका केंद्रक मूलबिंदु पर है, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।

Find third vertex of triangle ABC if B(-3, 1), C(0, -2) and centroid is origin.

A. A(2, 1)

B. A(1, 3)

C. A(3, 1) ✅

D. A(-3, -1)

Q22.

सिद्ध कीजिए कि A(3, 1), B(0, -2), C(1, 1) और D(4, 4) समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं।

Show that A(3, 1), B(0, -2), C(1, 1) and D(4, 4) are vertices of parallelogram ABCD.

A. Rectangle

B. Rhombus

C. Parallelogram ✅

D. Square

Q23.

यदि P(a, -11), Q(5, b), R(2, 15) और S(1, 1) समांतर चतुर्भुज PQRS के शीर्ष हैं, तो a और b ज्ञात करें।

If P(a, -11), Q(5, b), R(2, 15) and S(1, 1) are vertices of parallelogram PQRS, find a and b.

A. a = 2, b = 4

B. a = 4, b = 3 ✅

C. a = 3, b = 4

D. a = 5, b = 2

Q24.

यदि समांतर चतुर्भुज ABCD के क्रमागत शीर्ष A(1, -2), B(3, 6), C(5, 10) हैं, तो चौथा शीर्ष D ज्ञात करें।

If consecutive vertices of parallelogram ABCD are A(1, -2), B(3, 6), C(5, 10), find fourth vertex D.

A. D(3, 2) ✅

B. D(2, 3)

C. D(4, 1)

D. D(1, 4)

Q25.

y-अक्ष बिंदुओं (-4, 7) और (3, -7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

In what ratio does y-axis divide the line segment joining (-4, 7) and (3, -7)?

A. 3 : 4

B. 4 : 3 ✅

C. 2 : 5

D. 5 : 2

Q26.

यदि बिंदु P(1/2, y), A(3, -5) और B(-7, 9) को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित है, तो P, AB को किस अनुपात में विभाजित करता है? तथा y ज्ञात करें।

If P(1/2, y) lies on line segment joining A(3, -5) and B(-7, 9), find ratio and y.

A. 1 : 2, y = -1

B. 1 : 3, y = -3/2 ✅

C. 2 : 3, y = -2

D. 3 : 1, y = -5/2

Q27.

बिंदुओं A(3, -3) और B(-2, 7) को जोड़ने वाला रेखाखंड x-अक्ष द्वारा किस अनुपात में विभाजित होता है? तथा विभाजन बिंदु ज्ञात करें।

In what ratio is line segment joining A(3, -3) and B(-2, 7) divided by x-axis? Also find point of division.

A. 2 : 5, (1, 0)

B. 3 : 7, (3/2, 0) ✅

C. 5 : 2, (2, 0)

D. 7 : 3, (0, 3/2)

Q28.

समबाहु त्रिभुज PQR का आधार QR, x-अक्ष पर है। Q(-4, 0) है तथा मूलबिंदु आधार का मध्यबिंदु है। P और R के निर्देशांक ज्ञात करें।

Base QR of equilateral triangle PQR lies on x-axis. Q(-4, 0) and origin is midpoint of base. Find coordinates of P and R.

A. P(0, 4√3), R(4, 0) ✅

B. P(4, 0), R(0, 4√3)

C. P(0, -4√3), R(-4, 0)

D. P(4√3, 0), R(0, 4)

Q29.

समबाहु त्रिभुज ABC का आधार BC, y-अक्ष पर है। C(0, -3) है तथा मूलबिंदु आधार का मध्यबिंदु है। A और B के निर्देशांक ज्ञात करें। साथ ही ऐसा बिंदु D ज्ञात करें कि ABCD एक समचतुर्भुज हो।

Base BC of equilateral triangle ABC lies on y-axis. C(0, -3) and origin is midpoint of base. Find coordinates of A, B and D such that ABCD is a rhombus.

A. A(3√3, 0), B(0, 3), D(3√3, -6) ✅

B. A(0, 3√3), B(3, 0), D(-3√3, 6)

C. A(-3√3, 0), B(0, -3), D(3√3, 6)

D. A(3, 0), B(0, 3√3), D(-6, 3√3)

Q30.

यदि बिंदु P(-1, y), A(-3, 10) और B(6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है, तो अनुपात तथा y ज्ञात करें।

If P(-1, y) divides line segment joining A(-3, 10) and B(6, -8), find ratio and y.

A. 2 : 7, y = 6 ✅

B. 7 : 2, y = -6

C. 3 : 5, y = 4

D. 5 : 3, y = -4

Q31.

रेखाखंड AB का मध्यबिंदु P है जहाँ A(-10, 4) और B(-2, 0) हैं। P, C(-9, -4) और D(-4, y) को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित है। CD को किस अनुपात में विभाजित करता है तथा y ज्ञात करें।

Midpoint P of AB where A(-10, 4), B(-2, 0) lies on line segment joining C(-9, -4) and D(-4, y). Find ratio and y.

A. 2 : 3, y = 5

B. 3 : 2, y = 6 ✅

C. 4 : 1, y = 3

D. 1 : 4, y = 2

Q32.

एक रेखा y-अक्ष और x-अक्ष को क्रमशः P और Q पर काटती है। यदि (2, -5), PQ का मध्यबिंदु है, तो P और Q ज्ञात करें।

A line intersects y-axis and x-axis at P and Q respectively. If (2, -5) is midpoint of PQ, find P and Q.

A. P(0, -10), Q(4, 0) ✅

B. P(-10, 0), Q(0, 4)

C. P(0, 10), Q(-4, 0)

D. P(4, 0), Q(0, -10)

Q33.

बिंदु (24/11, y), P(2, -2) और Q(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है? तथा y ज्ञात करें।

In what ratio does point (24/11, y) divide line segment joining P(2, -2) and Q(3, 7)? Also find y.

A. 2 : 9, y = -4/11 ✅

B. 9 : 2, y = 4/11

C. 3 : 7, y = -2/11

D. 7 : 3, y = 2/11

Q34.

यदि D(3, 4), E(8, 9) और F(6, 7), त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्यबिंदु हैं, तो A, B और C के निर्देशांक ज्ञात करें।

If D(3, 4), E(8, 9) and F(6, 7) are midpoints of sides BC, CA and AB respectively, find coordinates of A, B and C.

A. A(11, 12), B(1, 2), C(5, 8) ✅

B. A(12, 11), B(2, 1), C(8, 5)

C. A(10, 12), B(1, 3), C(5, 7)

D. A(11, 10), B(2, 2), C(4, 8)

Q35.

यदि समांतर चतुर्भुज के दो क्रमागत शीर्ष (3, 2) और (1, 0) हैं तथा विकर्ण (2, -5) पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो अन्य दो शीर्ष ज्ञात करें।

If two adjacent vertices of parallelogram are (3, 2) and (1, 0) and diagonals intersect at (2, -5), find other two vertices.

A. (1, -12), (3, -10) ✅

B. (3, -12), (1, -10)

C. (-1, 12), (-3, 10)

D. (2, -11), (4, -9)

Q36.

यदि A(3, 1), B(5, 1), C(a, b) और D(4, 3) समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं, तो a और b ज्ञात करें।

If A(3, 1), B(5, 1), C(a, b) and D(4, 3) are vertices of parallelogram ABCD, find a and b.

A. a = 5, b = 2

B. a = 6, b = 3 ✅

C. a = 3, b = 6

D. a = 2, b = 5

Q37.

रेखाखंड A(2, 1) और B(5, -8) को P और Q द्वारा त्रिभाजित किया गया है, जहाँ P, A के निकट है। यदि P रेखा 2x - y + k = 0 पर स्थित है, तो k ज्ञात करें।

Line segment joining A(2, 1) and B(5, -8) is trisected at P and Q. If P lies on line 2x - y + k = 0, find k.

A. -6

B. -7

C. -8 ✅

D. -9

Q38.

y-अक्ष, बिंदुओं A(5, -6) और B(-1, 4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है? तथा विभाजन बिंदु ज्ञात करें।

In what ratio does y-axis divide line segment joining A(5, -6) and B(-1, 4)? Also find point of division.

A. 5 : 1, (0, 7/3) ✅

B. 1 : 5, (7/3, 0)

C. 3 : 5, (0, -7/3)

D. 5 : 3, (7/3, 0)