Important Notes on Straight Lines / सरल रेखाओं के महत्वपूर्ण नोट्स
- Slope of a line means the inclination or steepness of the line.
- रेखा का slope या ढाल रेखा के झुकाव को दर्शाता है।
Slope formula between two points:
m = (y2 − y1) / (x2 − x1)
- If a line makes angle θ with the positive x-axis, then:
- यदि कोई रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ θ कोण बनाती है, तब:
m = tanθ
- Equation of a line passing through point (x1, y1) having slope m:
- (x1, y1) से गुजरने वाली तथा slope m रखने वाली रेखा की समीकरण:
y − y1 = m(x − x1)
- Equation of a line passing through two points (x1, y1) and (x2, y2):
- दो बिंदुओं (x1, y1) तथा (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण:
(y − y1)/(x − x1) = (y2 − y1)/(x2 − x1)
- Equation of x-axis:
- x-अक्ष की समीकरण:
y = 0
- Equation of y-axis:
- y-अक्ष की समीकरण:
x = 0
- Equation of a line parallel to x-axis:
- x-अक्ष के समानांतर रेखा की समीकरण:
If the line is a units above x-axis:
यदि रेखा x-अक्ष से a इकाई ऊपर है:
y = a
If the line is a units below x-axis:
यदि रेखा x-अक्ष से a इकाई नीचे है:
y = −a
- Equation of a line parallel to y-axis:
- y-अक्ष के समानांतर रेखा की समीकरण:
If the line is a units right of y-axis:
यदि रेखा y-अक्ष से a इकाई दाईं ओर है:
x = a
If the line is a units left of y-axis:
यदि रेखा y-अक्ष से a इकाई बाईं ओर है:
x = −a
- A horizontal line always has slope 0.
- एक क्षैतिज रेखा का slope हमेशा 0 होता है।
General equation:
सामान्य समीकरण:
y = k
- A vertical line is parallel to y-axis.
- एक ऊर्ध्वाधर रेखा y-अक्ष के समानांतर होती है।
General equation:
x = k
- Midpoint of two points (x1, y1) and (x2, y2):
- दो बिंदुओं (x1, y1) तथा (x2, y2) का मध्यबिंदु:
((x1 + x2)/2 , (y1 + y2)/2)
- Condition for perpendicular lines:
- लंब रेखाओं की शर्त:
m1 × m2 = −1
- Median of a triangle joins a vertex to the midpoint of opposite side.
- त्रिभुज की माध्यिका किसी शीर्ष को सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है।
- Altitude of a triangle is perpendicular from a vertex to opposite side.
- त्रिभुज का लम्ब किसी शीर्ष से सामने वाली भुजा पर डाला गया लंब होता है।
- Perpendicular bisector passes through midpoint and is perpendicular to the line segment.
- लंब समद्विभाजक मध्यबिंदु से गुजरता है तथा रेखाखंड पर लंब होता है।
- Angle bisector theorem:
- कोण समद्विभाजक प्रमेय:
BD / DC = AB / AC
Example 1
Question / प्रश्न
Find the angle which the line joining the points (1, √3) and (√2, √6) makes with the x-axis.
उस कोण को ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (1, √3) तथा (√2, √6) को मिलाने वाली रेखा x-अक्ष के साथ बनाती है।
Solution / हल
Using slope formula:
ढाल सूत्र का प्रयोग करने पर:
m = (√6 − √3) / (√2 − 1)
Also, m = tanθ
Therefore:
अतः
tanθ = √3
Hence / अतः
θ = 60°
Example 2
Question / प्रश्न
Prove that the points A(1, 4), B(3, -2) and C(4, -5) are collinear. Also find the equation of the line on which these points lie.
सिद्ध कीजिए कि बिंदु A(1, 4), B(3, -2) तथा C(4, -5) संरेखीय हैं। साथ ही उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिस पर ये बिंदु स्थित हैं।
Solution / हल
Using two-point form:
दो-बिंदु रूप का प्रयोग करने पर:
(y − 4)/(x − 1) = (−2 − 4)/(3 − 1)
(y − 4)/(x − 1) = −6/2
y − 4 = −3(x − 1)
3x + y − 7 = 0
Point C(4, −5) satisfies the equation.
बिंदु C(4, −5) समीकरण को संतुष्ट करता है।
Hence, the points are collinear.
अतः बिंदु संरेखीय हैं।
Example 3
Question / प्रश्न
If A(0, 0), B(2, 4) and C(6, 4) are the vertices of a triangle ΔABC, find the equations of its sides.
यदि A(0, 0), B(2, 4) तथा C(6, 4) त्रिभुज ΔABC के शीर्ष हों, तो इसकी भुजाओं की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Equation of AB:
AB की समीकरण:
(y − 0)/(x − 0) = (4 − 0)/(2 − 0)
y/x = 2
y = 2x
2x − y = 0
Equation of BC:
BC की समीकरण:
Since y-coordinate is same,
क्योंकि y-निर्देशांक समान है,
y = 4
Equation of AC:
AC की समीकरण:
(y − 0)/(x − 0) = (4 − 0)/(6 − 0)
y/x = 2/3
3y = 2x
2x − 3y = 0
Example 4
Question / प्रश्न
If A(-1, 6), B(-3, -9) and C(5, -8) are the vertices of a triangle ΔABC, find the equations of its medians.
यदि A(-1, 6), B(-3, -9) तथा C(5, -8) त्रिभुज ΔABC के शीर्ष हों, तो इसकी माध्यिकाओं की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Midpoint of BC:
BC का मध्यबिंदु:
((−3 + 5)/2 , (−9 − 8)/2)
= (1 , −17/2)
Median through A:
A से जाने वाली माध्यिका:
(y − 6)/(x + 1) = (−17/2 − 6)/(1 + 1)
2(y − 6) = −29(x + 1)
29x + 2y + 17 = 0
Similarly, other medians are:
इसी प्रकार अन्य माध्यिकाएँ हैं:
20x + 4y + 5 = 0
13x + 14y + 47 = 0
Example 5
Question / प्रश्न
Find the equation of the perpendicular bisector of the line segment whose end points are A(10, 4) and B(-4, 9).
उस रेखाखंड के लंब समद्विभाजक की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके सिरों के बिंदु A(10, 4) तथा B(-4, 9) हैं।
Solution / हल
Midpoint of AB:
AB का मध्यबिंदु:
((10 − 4)/2 , (4 + 9)/2)
= (3 , 13/2)
Slope of AB:
AB की ढाल:
m = (9 − 4)/(−4 − 10)
= 5/−14
= −5/14
Slope of perpendicular bisector:
लंब समद्विभाजक की ढाल:
m = 14/5
Equation using point-slope form:
बिंदु-ढाल रूप का प्रयोग करने पर:
(y − 13/2)/(x − 3) = 14/5
5(y − 13/2) = 14(x − 3)
28x − 10y − 19 = 0
Example 6
Question / प्रश्न
Find the equations of the altitudes of a triangle ΔABC, whose vertices are A(2, -2), B(1, 1) and C(-1, 0).
त्रिभुज ΔABC की लम्बों की समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष A(2, -2), B(1, 1) तथा C(-1, 0) हैं।
Solution / हल
Slope of BC:
BC की ढाल:
m = (0 − 1)/(−1 − 1)
= −1/−2
= 1/2
Slope of altitude through A:
A से जाने वाले लम्ब की ढाल:
m = −2
Equation:
समीकरण:
(y + 2)/(x − 2) = −2
y + 2 = −2(x − 2)
2x + y − 2 = 0
Similarly, other altitudes are:
इसी प्रकार अन्य लम्ब हैं:
3x − 2y − 1 = 0
x − 3y + 1 = 0
1. Question / प्रश्न
Find the equation of a line parallel to the x-axis at a distance of:
(i) 4 units above it
(ii) 5 units below it
x-अक्ष के समानांतर रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए:
(i) उससे 4 इकाई ऊपर
(ii) उससे 5 इकाई नीचे
Answer / उत्तर
(i) y − 4 = 0 ✅
(ii) y + 5 = 0 ✅
2. Question / प्रश्न
Find the equation of a line parallel to the y-axis at a distance of:
(i) 6 units to its right
(ii) 3 units to its left
y-अक्ष के समानांतर रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए:
(i) उससे 6 इकाई दाईं ओर
(ii) उससे 3 इकाई बाईं ओर
Answer / उत्तर
(i) x − 6 = 0 ✅
(ii) x + 3 = 0 ✅
3. Question / प्रश्न
Find the equation of a line parallel to the x-axis and having intercept −3 on the y-axis.
x-अक्ष के समानांतर तथा y-अक्ष पर −3 अवरोध रखने वाली रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर
y + 3 = 0 ✅
4. Question / प्रश्न
Find the equation of a horizontal line passing through the point (4, −2).
बिंदु (4, −2) से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर
y + 2 = 0 ✅
5. Question / प्रश्न
Find the equation of a vertical line passing through the point (−5, 6).
बिंदु (−5, 6) से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर
x + 5 = 0 ✅
6. Question / प्रश्न
Find the equation of a line which is equidistant from the lines x = −2 and x = 6.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो x = −2 तथा x = 6 से समान दूरी पर हो।
Answer / उत्तर
x = 2 ✅
7. Question / प्रश्न
Find the equation of a line which is equidistant from the lines y = 8 and y = −2.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो y = 8 तथा y = −2 से समान दूरी पर हो।
Answer / उत्तर
y = 3 ✅
8. Question / प्रश्न
Find the equation of a line:
(i) whose slope is 4 and which passes through the point (5, −7)
(ii) whose slope is −3 and which passes through the point (−2, 3)
(iii) which makes an angle of 2π/3 with the positive direction of the x-axis and passes through the point (0, 2)
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए:
(i) जिसका ढाल 4 हो तथा जो (5, −7) से गुजरती हो
(ii) जिसका ढाल −3 हो तथा जो (−2, 3) से गुजरती हो
(iii) जो x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 2π/3 का कोण बनाती हो तथा (0, 2) से गुजरती हो
Answer / उत्तर
(i) 4x − y − 27 = 0 ✅
(ii) 3x + y + 3 = 0 ✅
(iii) √3x + y − 2 = 0 ✅
9. Question / प्रश्न
Find the equation of a line whose inclination with the x-axis is 30° and which passes through the point (0, 5).
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका x-अक्ष के साथ झुकाव 30° हो तथा जो बिंदु (0, 5) से गुजरती हो।
Answer / उत्तर
x − √3y + 5√3 = 0 ✅
10. Question / प्रश्न
Find the equation of a line whose inclination with the x-axis is 150° and which passes through the point (3, −5).
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका x-अक्ष के साथ झुकाव 150° हो तथा जो बिंदु (3, −5) से गुजरती हो।
Answer / उत्तर
x + √3y + (−3 + 5√3) = 0 ✅
11. Question / प्रश्न
Find the equation of a line passing through the origin and making an angle of 120° with the positive direction of the x-axis.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूलबिंदु से गुजरती हो तथा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 120° का कोण बनाती हो।
Answer / उत्तर
√3x + y = 0 ✅
12. Question / प्रश्न
Find the equation of a line which cuts off intercept 5 on the x-axis and makes an angle of 60° with the positive direction of the x-axis.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष पर 5 का अवरोध काटती हो तथा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 60° का कोण बनाती हो।
Answer / उत्तर
√3x − y − 5√3 = 0 ✅
13. Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through the point P(4, −5) and parallel to the line joining the points A(3, 7) and B(−2, 4).
बिंदु P(4, −5) से गुजरने वाली तथा A(3, 7) और B(−2, 4) को मिलाने वाली रेखा के समानांतर रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर
3x − 5y − 37 = 0 ✅
14. Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through the point P(−3, 5) and perpendicular to the line passing through the points A(2, 5) and B(−3, 6).
बिंदु P(−3, 5) से गुजरने वाली तथा A(2, 5) और B(−3, 6) से गुजरने वाली रेखा पर लंब रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर
5x − y + 20 = 0 ✅
15. Question / प्रश्न
Find the slope and the equation of the line passing through the points:
(i) (3, −2) and (−5, −7)
(ii) (−1, 1) and (2, −4)
(iii) (5, 3) and (−5, −3)
(iv) (a, b) and (−a, b)
निम्न बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का ढाल तथा समीकरण ज्ञात कीजिए:
(i) (3, −2) और (−5, −7)
(ii) (−1, 1) और (2, −4)
(iii) (5, 3) और (−5, −3)
(iv) (a, b) और (−a, b)
Answer / उत्तर
(i) Slope = 5/8, Equation: 5x − 8y − 31 = 0 ✅
(ii) Slope = −5/3, Equation: 5x + 3y + 2 = 0 ✅
(iii) Slope = 3/5, Equation: 3x − 5y = 0 ✅
(iv) Slope = 0, Equation: y = b ✅
Equation of line in slope - intercept form
y = mx + c
where m is slope and c is y intercept
Example 1
Question / प्रश्न
Find the equation of a line whose slope is 1/2 and y-intercept equal to −5/4.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका ढाल 1/2 हो तथा y-अवरोध −5/4 हो।
Solution / हल
Using slope-intercept form:
ढाल-अवरोध रूप का प्रयोग करने पर:
y = mx + c
Here / यहाँ
m = 1/2 and c = −5/4
Substituting values / मान रखने पर:
y = (1/2)x − 5/4
4y = 2x − 5
2x − 4y − 5 = 0
Example 2
Question / प्रश्न
Find the equation of a line which intersects the y-axis at a distance of 3 units above the origin and makes an angle of 30° with the positive direction of the x-axis.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष को मूलबिंदु से 3 इकाई ऊपर काटती हो तथा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 30° का कोण बनाती हो।
Solution / हल
Slope / ढाल
m = tan30° = 1/√3
y-intercept / y-अवरोध
c = 3
Using slope-intercept form:
ढाल-अवरोध रूप का प्रयोग करने पर:
y = (1/√3)x + 3
√3y = x + 3√3
x − √3y + 3√3 = 0
Example 3
Question / प्रश्न
Find the equation of a line which cuts off an intercept of 4 units on the negative direction of the y-axis and makes an angle of 120° with the positive direction of the x-axis.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष की ऋणात्मक दिशा पर 4 इकाई का अवरोध काटती हो तथा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 120° का कोण बनाती हो।
Solution / हल
Slope / ढाल
m = tan120° = −√3
y-intercept / y-अवरोध
c = −4
Using slope-intercept form:
ढाल-अवरोध रूप का प्रयोग करने पर:
y = −√3x − 4
√3x + y + 4 = 0
Example 4
Question / प्रश्न
Find the equation of a line for which tanθ = 1/3 and x-intercept equal to 5 units.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके लिए tanθ = 1/3 हो तथा x-अवरोध 5 इकाई हो।
Solution / हल
Slope / ढाल
m = 1/3
x-intercept / x-अवरोध
d = 5
Using x-intercept form:
x-अवरोध रूप का प्रयोग करने पर:
y = (1/3)(x − 5)
3y = x − 5
x − 3y − 5 = 0
Example 5
Question / प्रश्न
Find the equation of a line which cuts the x-axis at a distance of 3 units to the left of the origin and has a slope equal to −2.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष को मूलबिंदु से 3 इकाई बाईं ओर काटती हो तथा जिसका ढाल −2 हो।
Solution / हल
Slope / ढाल
m = −2
x-intercept / x-अवरोध
d = −3
Using x-intercept form:
x-अवरोध रूप का प्रयोग करने पर:
y = −2(x + 3)
2x + y + 6 = 0
Example 6
Question / प्रश्न
Reduce the equation 6x + 3y − 5 = 0 to the slope-intercept form and find its slope and y-intercept.
समीकरण 6x + 3y − 5 = 0 को ढाल-अवरोध रूप में बदलिए तथा इसका ढाल और y-अवरोध ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Given equation / दी गई समीकरण
6x + 3y − 5 = 0
3y = −6x + 5
y = −2x + 5/3
Comparing with y = mx + c:
y = mx + c से तुलना करने पर:
m = −2
c = 5/3
Hence / अतः
Slope = −2
y-intercept = 5/3
Example 7
Question / प्रश्न
Prove that the lines x + 2y − 9 = 0 and 2x + 4y + 5 = 0 are parallel.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ x + 2y − 9 = 0 तथा 2x + 4y + 5 = 0 परस्पर समानांतर हैं।
Solution / हल
First line / पहली रेखा
x + 2y − 9 = 0
2y = −x + 9
y = −(1/2)x + 9/2
Slope / ढाल
m₁ = −1/2
Second line / दूसरी रेखा
2x + 4y + 5 = 0
4y = −2x − 5
y = −(1/2)x − 5/4
Slope / ढाल
m₂ = −1/2
Since / क्योंकि
m₁ = m₂
Hence, the lines are parallel.
अतः रेखाएँ समानांतर हैं।
Example 8
Question / प्रश्न
Show that the lines 27x − 18y + 25 = 0 and 2x + 3y + 7 = 0 are perpendicular to each other.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ 27x − 18y + 25 = 0 तथा 2x + 3y + 7 = 0 परस्पर लंबवत हैं।
Solution / हल
First line / पहली रेखा
27x − 18y + 25 = 0
18y = 27x + 25
y = (3/2)x + 25/18
Slope / ढाल
m₁ = 3/2
Second line / दूसरी रेखा
2x + 3y + 7 = 0
3y = −2x − 7
y = −(2/3)x − 7/3
Slope / ढाल
m₂ = −2/3
Now / अब
m₁ × m₂ = (3/2)(−2/3)
= −1
Hence, the lines are perpendicular.
अतः रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
Example 9
Question / प्रश्न
Find the angle made by the line x + √3y − 6 = 0 with the positive direction of the x-axis.
रेखा x + √3y − 6 = 0 द्वारा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Given equation / दी गई समीकरण
x + √3y − 6 = 0
√3y = −x + 6
y = −(1/√3)x + 6/√3
Slope / ढाल
m = −1/√3
Now / अब
tanθ = −1/√3
tanθ = tan150°
Therefore / अतः
θ = 150°
Example 10
Question / प्रश्न
Find the angle made by the line x cos30° + y sin30° + sin120° = 0 with the positive direction of the x-axis.
रेखा x cos30° + y sin30° + sin120° = 0 द्वारा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Substituting values / मान रखने पर:
(√3/2)x + (1/2)y + √3/2 = 0
√3x + y + √3 = 0
y = −√3x − √3
Slope / ढाल
m = −√3
Now / अब
tanθ = −√3
tanθ = tan120°
Therefore / अतः
θ = 120°
Example 11
Question / प्रश्न
Find the angles between the lines √3x + y = 1 and x + √3y = 1.
रेखाओं √3x + y = 1 तथा x + √3y = 1 के बीच के कोण ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
First line / पहली रेखा
√3x + y = 1
y = −√3x + 1
m₁ = −√3
Second line / दूसरी रेखा
x + √3y = 1
y = −(1/√3)x + 1/√3
m₂ = −1/√3
Using angle formula:
कोण सूत्र का प्रयोग करने पर:
tanθ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
tanθ = 1/√3
Therefore / अतः
θ = 30°
Other angle / दूसरा कोण
180° − 30° = 150°
Hence, the angles are 30° and 150°.
अतः कोण 30° तथा 150° हैं।
Example 12
Question / प्रश्न
Show that the lines a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, where b₁, b₂ ≠ 0 are:
(i) parallel, if a₁/b₁ = a₂/b₂
(ii) perpendicular, if a₁a₂ + b₁b₂ = 0
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0, जहाँ b₁, b₂ ≠ 0 हों:
(i) समानांतर होंगी, यदि a₁/b₁ = a₂/b₂
(ii) लंबवत होंगी, यदि a₁a₂ + b₁b₂ = 0
Solution / हल
For first line / पहली रेखा के लिए:
y = −(a₁/b₁)x − c₁/b₁
m₁ = −a₁/b₁
For second line / दूसरी रेखा के लिए:
y = −(a₂/b₂)x − c₂/b₂
m₂ = −a₂/b₂
(i) For parallel lines:
समानांतर रेखाओं के लिए:
m₁ = m₂
Therefore / अतः
a₁/b₁ = a₂/b₂
(ii) For perpendicular lines:
लंबवत रेखाओं के लिए:
m₁m₂ = −1
Therefore / अतः
a₁a₂ + b₁b₂ = 0
Example 13
Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through the point (2, −5) and parallel to the line 2x − 3y = 7.
बिंदु (2, −5) से गुजरने वाली तथा रेखा 2x − 3y = 7 के समानांतर रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Given line / दी गई रेखा
2x − 3y = 7
3y = 2x − 7
y = (2/3)x − 7/3
Slope / ढाल
m = 2/3
Equation through (2, −5):
(2, −5) से गुजरने वाली रेखा:
(y + 5)/(x − 2) = 2/3
3(y + 5) = 2(x − 2)
2x − 3y − 19 = 0
Example 14
Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through the point (−2, −4) and perpendicular to the line 3x − y + 5 = 0.
बिंदु (−2, −4) से गुजरने वाली तथा रेखा 3x − y + 5 = 0 पर लंब रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Given line / दी गई रेखा
3x − y + 5 = 0
y = 3x + 5
Slope / ढाल
m₁ = 3
Slope of perpendicular line / लंब रेखा का ढाल
m₂ = −1/3
Equation through (−2, −4):
(−2, −4) से गुजरने वाली रेखा:
(y + 4)/(x + 2) = −1/3
3(y + 4) = −(x + 2)
x + 3y + 14 = 0
Example 15
Question / प्रश्न
Find the equation of the line whose y-intercept is −3 and which is perpendicular to the line 3x − 2y + 5 = 0.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका y-अवरोध −3 हो तथा जो रेखा 3x − 2y + 5 = 0 पर लंब हो।
Solution / हल
Given line / दी गई रेखा
3x − 2y + 5 = 0
2y = 3x + 5
y = (3/2)x + 5/2
Slope / ढाल
m₁ = 3/2
Slope of perpendicular line / लंब रेखा का ढाल
m₂ = −2/3
Using y-intercept form:
y-अवरोध रूप का प्रयोग करने पर:
y = −(2/3)x − 3
2x + 3y + 9 = 0
Example 16
Question / प्रश्न
Find the equation of the line perpendicular to the line x − 7y + 5 = 0 and having x-intercept 3.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x − 7y + 5 = 0 पर लंब हो तथा जिसका x-अवरोध 3 हो।
Solution / हल
Given line / दी गई रेखा
x − 7y + 5 = 0
7y = x + 5
y = (1/7)x + 5/7
Slope / ढाल
m₁ = 1/7
Slope of perpendicular line / लंब रेखा का ढाल
m₂ = −7
x-intercept / x-अवरोध
d = 3
Using x-intercept form:
x-अवरोध रूप का प्रयोग करने पर:
y = −7(x − 3)
7x + y − 21 = 0
Example 17
Question / प्रश्न
Find the equations of the lines through the point (3, 2), which make an angle of 45° with the line x − 2y = 3.
उन रेखाओं की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (3, 2) से गुजरती हों तथा रेखा x − 2y = 3 के साथ 45° का कोण बनाती हों।
Solution / हल
Given line / दी गई रेखा
x − 2y = 3
2y = x − 3
y = (1/2)x − 3/2
Slope / ढाल
m₁ = 1/2
Let slope of required line be m.
माना आवश्यक रेखा का ढाल m है।
Using angle formula:
कोण सूत्र का प्रयोग करने पर:
|(m − 1/2)/(1 + m/2)| = 1
Solving / हल करने पर:
m = 3 or m = −1/3
Equation through (3, 2):
(3, 2) से गुजरने वाली रेखाएँ:
(y − 2)/(x − 3) = 3
3x − y − 7 = 0
and / तथा
(y − 2)/(x − 3) = −1/3
x + 3y − 9 = 0
1. Question / प्रश्न
Find the equation of the line whose:
(i) slope = 3 and y-intercept = 5
(ii) slope = −1 and y-intercept = 4
(iii) slope = −2/5 and y-intercept = −3
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका:
(i) ढाल = 3 तथा y-अवरोध = 5
(ii) ढाल = −1 तथा y-अवरोध = 4
(iii) ढाल = −2/5 तथा y-अवरोध = −3
Answer / उत्तर
(i) 3x − y + 5 = 0
(ii) x + y − 4 = 0
(iii) 2x + 5y + 15 = 0
2. Question / प्रश्न
Find the equation of the line which makes an angle of 30° with the positive direction of the x-axis and cuts off an intercept of 4 units with the negative direction of the y-axis.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 30° का कोण बनाती हो तथा y-अक्ष की ऋणात्मक दिशा पर 4 इकाई का अवरोध काटती हो।
Answer / उत्तर
x − √3y − 4√3 = 0
3. Question / प्रश्न
Find the equation of the line whose inclination is 5π/6 and which makes an intercept of 6 units on the negative direction of the y-axis.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका झुकाव 5π/6 हो तथा जो y-अक्ष की ऋणात्मक दिशा पर 6 इकाई का अवरोध बनाती हो।
Answer / उत्तर
x + √3y + 6√3 = 0
4. Question / प्रश्न
Find the equation of the line cutting off an intercept −2 from the y-axis and equally inclined to the axes.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष से −2 का अवरोध काटती हो तथा अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हो।
Answer / उत्तर
x − y − 2 = 0
or / अथवा
x + y + 2 = 0
5. Question / प्रश्न
Find the equation of the bisectors of the angles between the coordinate axes.
निर्देशांक अक्षों के बीच के कोणों के समद्विभाजकों की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर
x − y = 0
or / अथवा
x + y = 0
6. Question / प्रश्न
Find the equation of the line through the point (−1, 5) and making an intercept of −2 on the y-axis.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (−1, 5) से गुजरती हो तथा y-अक्ष पर −2 का अवरोध बनाती हो।
Answer / उत्तर
7x + y + 2 = 0
7. Question / प्रश्न
Find the equation of the line which is parallel to the line 2x − 3y = 8 and whose y-intercept is 5 units.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 2x − 3y = 8 के समानांतर हो तथा जिसका y-अवरोध 5 इकाई हो।
Answer / उत्तर
2x − 3y + 15 = 0
8. Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through the point (0, 3) and perpendicular to the line x − 2y + 5 = 0.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (0, 3) से गुजरती हो तथा रेखा x − 2y + 5 = 0 पर लंब हो।
Answer / उत्तर
2x + y − 3 = 0
9. Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through the point (2, 3) and perpendicular to the line 4x + 3y = 10.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (2, 3) से गुजरती हो तथा रेखा 4x + 3y = 10 पर लंब हो।
Answer / उत्तर
3x − 4y + 6 = 0
10. Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through the point (2, 4) and perpendicular to the x-axis.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (2, 4) से गुजरती हो तथा x-अक्ष पर लंब हो।
Answer / उत्तर
x = 2
11. Question / प्रश्न
Find the equation of the line that has x-intercept −3 and which is perpendicular to the line 3x + 5y = 4.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका x-अवरोध −3 हो तथा जो रेखा 3x + 5y = 4 पर लंब हो।
Answer / उत्तर
5x − 3y + 15 = 0
12. Question / प्रश्न
Find the equation of the line which is perpendicular to the line 3x + 2y = 8 and passes through the midpoint of the line joining the points (6, 4) and (4, −2).
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 3x + 2y = 8 पर लंब हो तथा बिंदुओं (6, 4) और (4, −2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु से गुजरती हो।
Answer / उत्तर
2x − 3y − 7 = 0
13. Question / प्रश्न
Find the equation of the line whose y-intercept is −3 and which is perpendicular to the line joining the points (−2, 3) and (4, −5).
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका y-अवरोध −3 हो तथा जो बिंदुओं (−2, 3) और (4, −5) को मिलाने वाली रेखा पर लंब हो।
Answer / उत्तर
3x − 4y − 12 = 0
14. Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through (−3, 5) and perpendicular to the line through the points (2, 5) and (−3, 6).
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो (−3, 5) से गुजरती हो तथा बिंदुओं (2, 5) और (−3, 6) को मिलाने वाली रेखा पर लंब हो।
Answer / उत्तर
5x − y + 20 = 0
15. Question / प्रश्न
A line perpendicular to the line segment joining the points (1, 0) and (2, 3) divides it in the ratio 1 : 2. Find the equation of the line.
बिंदुओं (1, 0) और (2, 3) को मिलाने वाले रेखाखंड पर लंब एक रेखा उसे 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करती है। उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर
3x + y − 13 = 0
Equation of line in intercept form :
x/a + y/b = 1
where a and b are intercept on x axis and y axis .
Example 1
Question / प्रश्न
Find the equation of the line which makes intercepts 2 and −3 on the x-axis and the y-axis respectively.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष तथा y-अक्ष पर क्रमशः 2 तथा −3 के अवरोध बनाती हो।
Solution / हल
Equation of line in intercept form is:
अवरोध रूप में रेखा की समीकरण होती है:
x/a + y/b = 1
Here / यहाँ:
a = 2, b = −3
Therefore / अतः:
x/2 + y/(−3) = 1
x/2 − y/3 = 1
Taking LCM / LCM लेने पर:
3x − 2y = 6
Hence / अतः:
3x − 2y − 6 = 0
Example 2
Question / प्रश्न
Find the equation of the line which passes through the point (3, 4), and the sum of whose intercepts on the axes is 14.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (3, 4) से गुजरती हो तथा जिसके अक्षों पर बने अवरोधों का योग 14 हो।
Solution / हल
Let the intercepts on x-axis and y-axis be a and 14 − a.
माना x-अक्ष तथा y-अक्ष पर अवरोध क्रमशः a तथा 14 − a हैं।
Then equation is:
तब समीकरण होगी:
x/a + y/(14 − a) = 1
Since the line passes through (3, 4):
क्योंकि रेखा (3, 4) से गुजरती है:
3/a + 4/(14 − a) = 1
3(14 − a) + 4a = a(14 − a)
42 − 3a + 4a = 14a − a²
42 + a = 14a − a²
a² − 13a + 42 = 0
(a − 6)(a − 7) = 0
Therefore / अतः:
a = 6 or a = 7
Case 1 / प्रथम स्थिति:
a = 6
b = 14 − 6 = 8
Equation / समीकरण:
x/6 + y/8 = 1
Taking LCM / LCM लेने पर:
4x + 3y = 24
4x + 3y − 24 = 0
Case 2 / द्वितीय स्थिति:
a = 7
b = 14 − 7 = 7
Equation / समीकरण:
x/7 + y/7 = 1
x + y = 7
x + y − 7 = 0
Example 3
Question / प्रश्न
Find the equations of the lines which cut off intercepts on the axes whose sum and product are 1 and −6 respectively.
उन रेखाओं की समीकरण ज्ञात कीजिए जिनके अक्षों पर बने अवरोधों का योग 1 तथा गुणनफल −6 हो।
Solution / हल
Let the x-intercept be a and y-intercept be b.
माना x-अवरोध a और y-अवरोध b है।
Equation in intercept form:
अवरोध रूप में समीकरण:
x/a + y/b = 1
Given / दिया है:
a + b = 1
ab = −6
From ab = −6:
ab = −6 से:
b = −6/a
Putting this in a + b = 1:
इसे a + b = 1 में रखने पर:
a − 6/a = 1
a² − 6 = a
a² − a − 6 = 0
(a − 3)(a + 2) = 0
Therefore / अतः:
a = 3 or a = −2
Case 1 / प्रथम स्थिति:
a = 3
b = 1 − 3 = −2
Equation / समीकरण:
x/3 + y/(−2) = 1
x/3 − y/2 = 1
Taking LCM / LCM लेने पर:
2x − 3y = 6
2x − 3y − 6 = 0
Case 2 / द्वितीय स्थिति:
a = −2
b = 1 − (−2) = 3
Equation / समीकरण:
x/(−2) + y/3 = 1
−x/2 + y/3 = 1
Taking LCM / LCM लेने पर:
−3x + 2y = 6
3x − 2y + 6 = 0
Example 4
Question / प्रश्न
If M(a, b) is the midpoint of a line segment intercepted between the axes, show that the equation of the line is x/a + y/b = 2.
यदि M(a, b) अक्षों के बीच कटे हुए रेखाखंड का मध्यबिंदु हो, तो सिद्ध कीजिए कि रेखा की समीकरण x/a + y/b = 2 है।
Solution / हल
Let the required line cut the x-axis at A(c, 0) and y-axis at B(0, d).
माना आवश्यक रेखा x-अक्ष को A(c, 0) पर और y-अक्ष को B(0, d) पर काटती है।
Equation of line in intercept form:
अवरोध रूप में रेखा की समीकरण:
x/c + y/d = 1
Since M(a, b) is midpoint of AB:
क्योंकि M(a, b), AB का मध्यबिंदु है:
a = (c + 0)/2
b = (0 + d)/2
So / अतः:
c = 2a
d = 2b
Now putting c = 2a and d = 2b in x/c + y/d = 1:
अब x/c + y/d = 1 में c = 2a और d = 2b रखने पर:
x/(2a) + y/(2b) = 1
Multiplying by 2 / 2 से गुणा करने पर:
x/a + y/b = 2
Hence proved / अतः सिद्ध हुआ।
Example 5
Question / प्रश्न
Find the equation of a line which passes through the point (−3, 7) and makes intercepts on the axes, equal in magnitude but opposite in sign.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (−3, 7) से गुजरती हो तथा अक्षों पर समान परिमाण लेकिन विपरीत चिन्ह वाले अवरोध बनाती हो।
Solution / हल
Let the intercepts be a and −a.
माना अवरोध a और −a हैं।
Equation in intercept form:
अवरोध रूप में समीकरण:
x/a + y/(−a) = 1
x/a − y/a = 1
(x − y)/a = 1
x − y = a
Since the line passes through (−3, 7):
क्योंकि रेखा (−3, 7) से गुजरती है:
−3 − 7 = a
a = −10
Therefore / अतः:
x − y = −10
x − y + 10 = 0
Example 6
Question / प्रश्न
Find the intercepts cut off by the line 2x − y + 16 = 0 on the coordinate axes.
रेखा 2x − y + 16 = 0 द्वारा निर्देशांक अक्षों पर काटे गए अवरोध ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Given equation / दी गई समीकरण:
2x − y + 16 = 0
2x − y = −16
Dividing by −16 / −16 से भाग देने पर:
2x/(−16) − y/(−16) = 1
x/(−8) + y/16 = 1
Comparing with x/a + y/b = 1:
x/a + y/b = 1 से तुलना करने पर:
x-intercept = −8
y-intercept = 16
Example 7
Question / प्रश्न
Find the equation of the line so that the line segment intercepted between the axes is bisected at the point (2, 3).
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए ताकि अक्षों के बीच कटने वाला रेखाखंड बिंदु (2, 3) पर समद्विभाजित हो।
Solution / हल
Let the line cut the x-axis at A(a, 0) and y-axis at B(0, b).
माना रेखा x-अक्ष को A(a, 0) पर और y-अक्ष को B(0, b) पर काटती है।
Equation in intercept form:
अवरोध रूप में समीकरण:
x/a + y/b = 1
Since midpoint of AB is (2, 3):
क्योंकि AB का मध्यबिंदु (2, 3) है:
(a + 0)/2 = 2
a/2 = 2
a = 4
(0 + b)/2 = 3
b/2 = 3
b = 6
Therefore equation is:
अतः समीकरण है:
x/4 + y/6 = 1
Taking LCM / LCM लेने पर:
3x + 2y = 12
3x + 2y − 12 = 0
Example 8
Question / प्रश्न
Find the equation of the line so that the line segment intercepted between the axes is divided by the point P(−5, 4) in the ratio 1 : 2.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए ताकि अक्षों के बीच कटने वाला रेखाखंड बिंदु P(−5, 4) द्वारा 1 : 2 के अनुपात में विभाजित हो।
Solution / हल
Let the line cut the x-axis at A(a, 0) and y-axis at B(0, b).
माना रेखा x-अक्ष को A(a, 0) पर और y-अक्ष को B(0, b) पर काटती है।
Equation of line in intercept form:
अवरोध रूप में रेखा की समीकरण:
x/a + y/b = 1
Point P(−5, 4) divides AB in the ratio 1 : 2.
बिंदु P(−5, 4), AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
Using section formula / विभाजन सूत्र का प्रयोग करने पर:
−5 = (1 × 0 + 2 × a)/(1 + 2)
−5 = 2a/3
a = −15/2
Also / और:
4 = (1 × b + 2 × 0)/(1 + 2)
4 = b/3
b = 12
Therefore equation is:
अतः समीकरण है:
x/(−15/2) + y/12 = 1
Multiplying and simplifying / सरल करने पर:
−2x/15 + y/12 = 1
Taking LCM / LCM लेने पर:
−8x + 5y = 60
8x − 5y + 60 = 0
Example 9
Question / प्रश्न
Find the equation of a line drawn perpendicular to the line x/4 + y/6 = 1 through the point where it meets the y-axis.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x/4 + y/6 = 1 पर लंब हो तथा उस बिंदु से गुजरती हो जहाँ यह y-अक्ष को काटती है।
Solution / हल
Given line / दी गई रेखा:
x/4 + y/6 = 1
Taking LCM / LCM लेने पर:
3x + 2y = 12
2y = −3x + 12
y = −3x/2 + 6
Therefore, slope of given line:
अतः दी गई रेखा की ढाल:
m1 = −3/2
Since required line is perpendicular:
क्योंकि आवश्यक रेखा लंब है:
m1 × m2 = −1
(−3/2) × m2 = −1
m2 = 2/3
The given line meets y-axis at B(0, 6).
दी गई रेखा y-अक्ष को B(0, 6) पर काटती है।
Equation of required line through B(0, 6):
B(0, 6) से गुजरने वाली आवश्यक रेखा की समीकरण:
(y − 6)/(x − 0) = 2/3
3(y − 6) = 2x
3y − 18 = 2x
2x − 3y + 18 = 0
Example 10
Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through the point of intersection of the lines 4x + 7y − 3 = 0 and 2x − 3y + 1 = 0, which has equal intercepts on the axes.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखाओं 4x + 7y − 3 = 0 तथा 2x − 3y + 1 = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरती हो तथा जिसके अक्षों पर समान अवरोध हों।
Solution / हल
Required line has equal intercepts.
आवश्यक रेखा के दोनों अवरोध समान हैं।
Let both intercepts be a.
माना दोनों अवरोध a हैं।
Equation of required line:
आवश्यक रेखा की समीकरण:
x/a + y/a = 1
So / अतः:
x + y = a
Given lines are:
दी गई रेखाएँ हैं:
4x + 7y − 3 = 0
2x − 3y + 1 = 0
That is / अर्थात:
4x + 7y = 3
2x − 3y = −1
Solving these equations / इन समीकरणों को हल करने पर:
x = 1/13
y = 5/13
Point of intersection is:
प्रतिच्छेद बिंदु है:
P(1/13, 5/13)
Since required line passes through P:
क्योंकि आवश्यक रेखा P से गुजरती है:
x + y = a
1/13 + 5/13 = a
a = 6/13
Therefore / अतः:
x + y = 6/13
13x + 13y = 6
13x + 13y − 6 = 0
Example 11
Question / प्रश्न
Find the area of the triangle formed by the coordinate axes and the line ax + by = 2ab.
निर्देशांक अक्षों तथा रेखा ax + by = 2ab द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Given line / दी गई रेखा:
ax + by = 2ab
Dividing by 2ab / 2ab से भाग देने पर:
ax/(2ab) + by/(2ab) = 1
x/(2b) + y/(2a) = 1
So, x-intercept = 2b and y-intercept = 2a.
अतः x-अवरोध = 2b और y-अवरोध = 2a.
Area of triangle formed by axes:
अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल:
Area = 1/2 × x-intercept × y-intercept
Area = 1/2 × 2b × 2a
Area = 2ab square units
Example 12
Question / प्रश्न
The area of the triangle formed by the coordinate axes and a line is 6 square units and the length of its hypotenuse is 5 units. Find the equation of the line.
निर्देशांक अक्षों तथा एक रेखा द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है तथा इसकी कर्ण की लंबाई 5 इकाई है। रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution / हल
Let the line make intercepts a and b on the coordinate axes.
माना रेखा निर्देशांक अक्षों पर a और b अवरोध बनाती है।
Area of triangle = 6
So / अतः:
1/2 ab = 6
ab = 12
Hypotenuse length = 5
So / अतः:
a² + b² = 25
From ab = 12:
ab = 12 से:
b = 12/a
Putting in a² + b² = 25:
a² + b² = 25 में रखने पर:
a² + (12/a)² = 25
a² + 144/a² = 25
Multiplying by a² / a² से गुणा करने पर:
a⁴ + 144 = 25a²
a⁴ − 25a² + 144 = 0
(a² − 16)(a² − 9) = 0
Therefore / अतः:
a² = 16 or a² = 9
Since length is positive:
क्योंकि लंबाई धनात्मक होती है:
a = 4 or a = 3
If a = 4, then b = 3.
यदि a = 4, तब b = 3.
If a = 3, then b = 4.
यदि a = 3, तब b = 4.
Therefore, equations are:
अतः समीकरणें हैं:
x/4 + y/3 = 1
Taking LCM / LCM लेने पर:
3x + 4y = 12
3x + 4y − 12 = 0
or / अथवा
x/3 + y/4 = 1
Taking LCM / LCM लेने पर:
4x + 3y = 12
4x + 3y − 12 = 0
- Question / प्रश्न
Find the equation of the line which cuts off intercepts −3 and 5 on the x-axis and y-axis respectively.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष तथा y-अक्ष पर क्रमशः −3 और 5 के अवरोध काटती हो।
Answer / उत्तर
5x − 3y + 15 = 0
- Question / प्रश्न
Find the equation of the line which cuts off intercepts 4 and −6 on the x-axis and y-axis respectively.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष तथा y-अक्ष पर क्रमशः 4 और −6 के अवरोध काटती हो।
Answer / उत्तर
3x − 2y − 12 = 0
- Question / प्रश्न
Find the equation of the line that cuts off equal intercepts on the coordinate axes and passes through the point (4, 7).
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों पर समान अवरोध काटती हो तथा बिंदु (4, 7) से गुजरती हो।
Answer / उत्तर
x + y − 11 = 0
- Question / प्रश्न
Find the equation of the line which passes through the point (3, −5) and cuts off intercepts on the axes which are equal in magnitude but opposite in sign.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (3, −5) से गुजरती हो तथा अक्षों पर समान परिमाण लेकिन विपरीत चिन्ह वाले अवरोध काटती हो।
Answer / उत्तर
x − y − 8 = 0
- Question / प्रश्न
Find the equation of the line passing through the point (2, 2) and cutting off intercepts on the axes, whose sum is 9.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (2, 2) से गुजरती हो तथा अक्षों पर ऐसे अवरोध काटती हो जिनका योग 9 हो।
Answer / उत्तर
First equation / पहली समीकरण
x + 2y − 6 = 0
Or / अथवा
Second equation / दूसरी समीकरण
2x + y − 6 = 0
- Question / प्रश्न
Find the equation of the line which passes through the point (22, −6) and whose intercept on the x-axis exceeds the intercept on the y-axis by 5.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (22, −6) से गुजरती हो तथा जिसका x-अक्ष पर अवरोध, y-अक्ष पर अवरोध से 5 अधिक हो।
Answer / उत्तर
First equation / पहली समीकरण
6x + 11y − 66 = 0
Or / अथवा
Second equation / दूसरी समीकरण
x + 2y − 10 = 0
- Question / प्रश्न
Find the equation of the line whose portion intercepted between the axes is bisected at the point (3, −2).
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अक्षों के बीच कटा हुआ भाग बिंदु (3, −2) पर समद्विभाजित होता हो।
Answer / उत्तर
2x − 3y − 12 = 0
- Question / प्रश्न
Find the equation of the line whose portion intercepted between the coordinate axes is divided at the point (5, 6) in the ratio 3 : 1.
उस रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका निर्देशांक अक्षों के between कटा हुआ भाग बिंदु (5, 6) पर 3 : 1 के अनुपात में विभाजित होता हो।
Answer / उत्तर
2x + 5y − 40 = 0
- Question / प्रश्न
A straight line passes through the point (−5, 2) and the portion of the line intercepted between the axes is divided at this point in the ratio 2 : 3. Find the equation of the line.
एक सरल रेखा बिंदु (−5, 2) से गुजरती है तथा अक्षों के बीच कटा हुआ इसका भाग इस बिंदु पर 2 : 3 के अनुपात में विभाजित होता है। रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर
3x − 5y + 25 = 0
- Question / प्रश्न
If the straight line
x/a + y/b = 1
passes through the points (8, −9) and (12, −15), find the values of a and b.
यदि सरल रेखा
x/a + y/b = 1
बिंदुओं (8, −9) तथा (12, −15) से गुजरती हो, तो a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर
a = 2
b = 3