Height and Distance Basics Questions (1–15) | ऊँचाई एवं दूरी के मूलभूत प्रश्न (1–15)
1. From a point on the ground, the angle of elevation of the top of a tower is 45°. If the distance from the point to the foot of the tower is 20 m, find the height of the tower.
भूमि पर एक बिंदु से किसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। यदि उस बिंदु से मीनार के आधार की दूरी 20 मीटर है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 20 m
2. A pole casts a shadow of 10 m when the angle of elevation of the Sun is 45°. Find the height of the pole.
जब सूर्य का उन्नयन कोण 45° है, तब एक खंभे की छाया 10 मीटर है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 10 m
3. The angle of elevation of the top of a building is 30° from a point 20√3 m away. Find the height of the building.
एक भवन के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है तथा प्रेक्षक भवन से 20√3 मीटर दूर है। भवन की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 20 m
4. A ladder 10 m long reaches the top of a wall making an angle of 30° with the ground. Find the height of the wall.
10 मीटर लंबी सीढ़ी भूमि के साथ 30° का कोण बनाते हुए दीवार के शीर्ष तक पहुँचती है। दीवार की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 5 m
5. The angle of elevation of the top of a tree is 60° from a point 10 m away. Find the height of the tree.
एक वृक्ष के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है तथा प्रेक्षक वृक्ष से 10 मीटर दूर है। वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 10√3 m
6. A kite is flying vertically above a point on the ground. The angle of elevation is 45° and the horizontal distance is 30 m. Find the height of the kite.
एक पतंग भूमि के एक बिंदु के ठीक ऊपर उड़ रही है। उन्नयन कोण 45° तथा क्षैतिज दूरी 30 मीटर है। पतंग की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 30 m
7. A building is 15 m high. From its top, the angle of depression of a car is 45°. Find the distance of the car from the building.
एक भवन की ऊँचाई 15 मीटर है। भवन के शीर्ष से एक कार का अवनमन कोण 45° है। कार भवन से कितनी दूर है?
Answer / उत्तर: 15 m
8. The angle of elevation of the top of a tower is 60° from a point 20 m away. Find the height of the tower.
एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है तथा प्रेक्षक मीनार से 20 मीटर दूर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 20√3 m
9. A man standing 25 m away from a building observes its top at an angle of 45°. Find the height of the building.
एक व्यक्ति भवन से 25 मीटर दूर खड़ा है और भवन के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° देखता है। भवन की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 25 m
10. The shadow of a tower is 20√3 m when the angle of elevation of the Sun is 30°. Find the height of the tower.
जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° है, तब एक मीनार की छाया 20√3 मीटर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 20 m
11. A ladder 8 m long is placed against a wall making an angle of 60° with the ground. Find the height reached on the wall.
8 मीटर लंबी सीढ़ी भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है। दीवार पर प्राप्त ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 4√3 m
12. The angle of elevation of the top of a tower is 30° from a point 30 m away. Find the height of the tower.
एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है तथा प्रेक्षक मीनार से 30 मीटर दूर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 10√3 m
13. From the top of a 40 m high building, the angle of depression of a person is 45°. Find the distance of the person from the building.
40 मीटर ऊँचे भवन के शीर्ष से एक व्यक्ति का अवनमन कोण 45° है। व्यक्ति भवन से कितनी दूरी पर है?
Answer / उत्तर: 40 m
14. The angle of elevation of the top of a tower is 45°. If the height of the tower is 35 m, find the distance of the observer from the tower.
एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। यदि मीनार की ऊँचाई 35 मीटर है, तो प्रेक्षक की मीनार से दूरी ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 35 m
15. A tree is observed at an angle of elevation of 60° from a point 15 m away. Find the height of the tree.
एक वृक्ष के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है तथा प्रेक्षक वृक्ष से 15 मीटर दूर है। वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात करें।
Answer / उत्तर: 15√3 m
16. A pole 10 m long rests against a vertical wall making an angle of 30° with the horizontal ground. Find the distance of the foot of the pole from the wall.
10 मीटर लंबा एक डंडा क्षैतिज भूमि के साथ 30° का कोण बनाते हुए एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिका है। डंडे का निचला सिरा दीवार से कितनी दूरी पर है?
17. A house has height h. A ladder 5.2 m long reaches the top of the house and makes an angle of 45° with the horizontal ground. Find the height of the house.
एक घर की ऊँचाई h है। 5.2 मीटर लंबी सीढ़ी घर की छत तक पहुँचती है तथा भूमि के साथ 45° का कोण बनाती है। घर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
18. A pole is held vertically by a 12 m steel wire fixed to its top. If the wire makes an angle of 30° with the horizontal ground, find the height of the pole.
एक खंभे के शीर्ष से बंधी 12 मीटर लंबी स्टील की तार भूमि के साथ 30° का कोण बनाती है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
19. A 15 m tall tree is broken by the wind so that its top touches the ground making an angle of 60° with the ground. At what height from the ground did the tree break?
15 मीटर ऊँचा एक वृक्ष हवा से टूट जाता है तथा उसका ऊपरी भाग भूमि को 60° के कोण पर स्पर्श करता है। वृक्ष भूमि से कितनी ऊँचाई पर टूटा?
20. A 12 m high tree is broken by the wind so that its top touches the ground making an angle of 60° with the ground. Find the height at which the tree broke.
12 मीटर ऊँचा एक वृक्ष हवा से टूट जाता है तथा उसका ऊपरी भाग भूमि को 60° के कोण पर स्पर्श करता है। वृक्ष किस ऊँचाई पर टूटा?
21. From the top of a 30 m high tower, a man observes a child on the ground at an angle of depression of 30°. Find the distance between the foot of the tower and the child. (Ignore the heights of the man and the child.)
30 मीटर ऊँची मीनार के शीर्ष से एक व्यक्ति भूमि पर खड़े एक बच्चे को 30° के अवनमन कोण पर देखता है। मीनार के आधार और बच्चे के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (व्यक्ति और बच्चे की ऊँचाई की उपेक्षा करें।)
22. From a woman's initial position, the angle of elevation of the top of a 36 m tower is 60°. She moves away in the same straight line until the angle of elevation becomes 30°. How far did she move?
एक महिला की प्रारंभिक स्थिति से 36 मीटर ऊँची मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। वह उसी सीधी रेखा में दूर चली जाती है, जहाँ उन्नयन कोण 30° हो जाता है। उसने कितनी दूरी तय की?
23. A window of a building is 10 m above the ground. The angle of depression from the window to a point P on the ground is 30°. The angle of elevation of the top of the building from P is 60°. Find the height of the building.
एक भवन की खिड़की भूमि से 10 मीटर ऊपर है। खिड़की से भूमि पर स्थित बिंदु P का अवनमन कोण 30° है। बिंदु P से भवन के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
24. A person standing at point P observes the top of a 60 m high tower. He walks 40√3 m towards the tower, and now the angle of elevation becomes 60°. Find the angle of elevation from the initial point.
एक व्यक्ति बिंदु P से 60 मीटर ऊँची मीनार के शीर्ष को देखता है। वह मीनार की ओर 40√3 मीटर चलता है, तब उन्नयन कोण 60° हो जाता है। प्रारंभिक बिंदु से उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
25. When the angle of elevation of the Sun changes from 60° to 30°, the shadow of a tower increases by 40√3 m. Find the height of the tower.
जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है, तब मीनार की छाया 40√3 मीटर बढ़ जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
26. The angle of elevation of the top of an unfinished tower from a point 78 m away is 30°. To make the angle of elevation 60° from the same point, how much additional height must be built?
एक अधूरी मीनार के आधार से 78 मीटर दूर स्थित एक बिंदु से उसके शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। उसी बिंदु से उन्नयन कोण 60° करने के लिए मीनार में कितनी अतिरिक्त ऊँचाई जोड़नी होगी?
27. A person standing at the top of a vertical tower sees a car moving directly towards the tower at a uniform speed. The angle of depression changes from 45° to 60° in 10 minutes. How much more time will the car take to reach the tower?
एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शीर्ष पर खड़ा व्यक्ति एक कार को मीनार की ओर समान गति से आते हुए देखता है। कार का अवनमन कोण 45° से 60° होने में 10 मिनट लगते हैं। कार को मीनार तक पहुँचने में और कितना समय लगेगा?
28. The angles of elevation of the top of a tower from two points on the ground, 18 m and 32 m away from its foot, are complementary. Find the height of the tower.
मीनार के आधार से क्रमशः 18 मीटर और 32 मीटर दूर स्थित दो बिंदुओं से उसके शीर्ष के उन्नयन कोण परस्पर पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
29. Two points M and N are 72 m and 128 m away from the foot of a building in the same straight line. The angles of elevation of the top of the building from these points are complementary. Find the height of the building.
भवन के आधार से एक ही सीधी रेखा में स्थित बिंदु M और N क्रमशः 72 मीटर तथा 128 मीटर दूर हैं। इन दोनों बिंदुओं से भवन के शीर्ष के उन्नयन कोण परस्पर पूरक हैं। भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
30. The angles of elevation of the tops of two towers P and Q from the midpoint of the line joining their feet are 45° and 60°, respectively. Find the ratio of their heights.
दो मीनारों P और Q के आधारों को जोड़ने वाली रेखा के मध्य बिंदु से उनके शीर्षों के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। उनकी ऊँचाइयों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
31. Two vertical lighthouses of equal height stand on opposite sides of a 50 m wide road. From a point on the road between them, the angles of elevation of their tops are 60° and 30°. Find the height of each lighthouse.
50 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर समान ऊँचाई के दो प्रकाश स्तंभ हैं। सड़क पर उनके बीच स्थित एक बिंदु से उनके शीर्षों के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। प्रत्येक प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
32. A 13 m long ladder reaches a window 12 m above the ground on one side of a road. Keeping its foot at the same point, the ladder is turned to the other side and reaches a window 5 m above the ground. Find the width of the road.
13 मीटर लंबी सीढ़ी सड़क के एक ओर स्थित 12 मीटर ऊँची खिड़की तक पहुँचती है। उसी आधार बिंदु पर रखते हुए सीढ़ी को सड़क की दूसरी ओर घुमाया जाता है, जहाँ वह 5 मीटर ऊँची खिड़की तक पहुँचती है। सड़क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
33. Two ships are on opposite sides of a lighthouse. The angles of elevation of the top of the lighthouse from the ships are 45° and 60°, respectively. If the lighthouse is 81 m high, find the distance between the two ships.
दो जहाज एक प्रकाश स्तंभ के विपरीत दिशाओं में हैं। जहाजों से प्रकाश स्तंभ के शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। यदि प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई 81 मीटर है, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
34. Two poles of equal height are erected on opposite sides of a 150 m wide road. From a point between them, the angles of elevation of their tops are such that tan x = 2/5 and tan y = 3/5. Find the height of each pole.
150 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर समान ऊँचाई के दो खंभे हैं। सड़क के बीच स्थित एक बिंदु से उनके शीर्षों के उन्नयन कोण ऐसे हैं कि tan x = 2/5 तथा tan y = 3/5 है। प्रत्येक खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
35. An observer of height 1.5 m stands 24.5 m away from a 26 m high tower. Find the angle of elevation of the top of the tower from the observer's eye.
1.5 मीटर लंबा एक प्रेक्षक 26 मीटर ऊँची मीनार से 24.5 मीटर दूर खड़ा है। प्रेक्षक की आँख से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
36. The distance between the feet of two poles is 48 m, and the distance between their tops is 50 m. If the shorter pole is 10 m high, find the height of the taller pole.
दो खंभों के आधारों के बीच की दूरी 48 मीटर तथा उनके शीर्षों के बीच की दूरी 50 मीटर है। यदि छोटे खंभे की ऊँचाई 10 मीटर है, तो बड़े खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
37. The horizontal distance between two towers is 40√3 m. From the top of the taller tower, the angle of depression of the top of the shorter tower is 30°. If the shorter tower is 130 m high, find the height of the taller tower.
दो मीनारों के आधारों के बीच की क्षैतिज दूरी 40√3 मीटर है। ऊँची मीनार के शीर्ष से छोटी मीनार के शीर्ष का अवनमन कोण 30° है। यदि छोटी मीनार की ऊँचाई 130 मीटर है, तो ऊँची मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
38. From the top of a 17.75 m high pillar, the angle of elevation of the top of a vertical tower is 60°. If the height of the tower is 57.75 m, find the distance between the bases of the pillar and the tower.
17.75 मीटर ऊँचे खंभे के शीर्ष से एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार की ऊँचाई 57.75 मीटर है, तो खंभे और मीनार के आधारों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
39. From the top of a 24√3 ft high pillar, the angle of elevation of the top of a tower is 60°. If the distance between the bases of the pillar and the tower is 60 ft, find the height of the tower.
24√3 फीट ऊँचे खंभे के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। यदि खंभे और मीनार के आधारों के बीच की दूरी 60 फीट है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
40. A vertical pole and a vertical tower stand on level ground. The angle of elevation of the top of the pole from the top of the tower is 60°, and the angle of depression of the foot of the pole from the top of the tower is 30°. If the tower is 76 m high, find the height of the pole.
समतल भूमि पर एक ऊर्ध्वाधर खंभा और एक ऊर्ध्वाधर मीनार खड़े हैं। मीनार के शीर्ष से खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° तथा खंभे के आधार का अवनमन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई 76 मीटर है, तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
41. An electric pole casts a shadow of 28 m. At the same time, a nearby 8 m tall tree casts a shadow of 14 m. Find the height of the electric pole.
एक बिजली का खंभा 28 मीटर लंबी छाया डालता है। उसी समय 8 मीटर ऊँचा एक पेड़ 14 मीटर लंबी छाया डालता है। बिजली के खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
42. A 6 m high vertical pole casts a shadow of 4 m. At the same time, a tower casts a shadow of 28 m. Find the height of the tower.
6 मीटर ऊँचा एक ऊर्ध्वाधर खंभा 4 मीटर लंबी छाया डालता है। उसी समय एक मीनार 28 मीटर लंबी छाया डालती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
43. A man sees the image of the top of a lamp post in a mirror placed on the ground. The mirror is 6.6 m from the foot of the lamp post and 1.25 m from the man. If the man's eye level is 2 m, find the height of the lamp post.
एक व्यक्ति भूमि पर रखे दर्पण में लैम्प पोस्ट के शीर्ष का प्रतिबिंब देखता है। दर्पण लैम्प पोस्ट के आधार से 6.6 मीटर तथा व्यक्ति से 1.25 मीटर दूर है। यदि व्यक्ति की आँखों की ऊँचाई 2 मीटर है, तो लैम्प पोस्ट की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
44. A man stands on a road 1425 m away from a mall. A 10 m high tree is 30 m from him and lies exactly in the line joining him and the top of the mall. Find the height of the mall.
एक व्यक्ति सड़क पर मॉल से 1425 मीटर दूर खड़ा है। 10 मीटर ऊँचा एक पेड़ उससे 30 मीटर दूर है और उसका शीर्ष मॉल के शीर्ष के साथ एक ही सीधी रेखा में है। मॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
45. A person stands 1215 m away from a mall. A 20 m high tree is 60 m from him and lies exactly in the line joining him and the top of the mall. Find the height of the mall.
एक व्यक्ति मॉल से 1215 मीटर दूर खड़ा है। 20 मीटर ऊँचा एक पेड़ उससे 60 मीटर दूर है और उसका शीर्ष मॉल के शीर्ष के साथ एक ही सीधी रेखा में है। मॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
46. An electric pole casts a shadow 28 m long when the shadow of a nearby 8 m tall tree is 14 m long. Find the height of the electric pole.
एक बिजली का खंभा 28 मीटर लंबी छाया डालता है। उसी समय पास के 8 मीटर ऊँचे पेड़ की छाया 14 मीटर लंबी होती है। बिजली के खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
47. A vertical pole of length 6 m casts a shadow 4 m long on the ground. At the same time, a tower casts a shadow 28 m long. Find the height of the tower.
6 मीटर ऊँचा एक ऊर्ध्वाधर खंभा भूमि पर 4 मीटर लंबी छाया डालता है। उसी समय एक मीनार की छाया 28 मीटर लंबी होती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
48. A man views the image of the top of a lamppost in a mirror that is 6.6 m from the foot of the lamppost. The man is 1.25 m tall and stands 2 m away from the mirror. Assuming that the mirror is placed on the ground and that the man, the mirror and the lamppost are in a straight line, find the height of the lamppost.
एक व्यक्ति भूमि पर रखे दर्पण में लैम्पपोस्ट के शीर्ष का प्रतिबिंब देखता है। दर्पण लैम्पपोस्ट के आधार से 6.6 मीटर दूर है। व्यक्ति की ऊँचाई 1.25 मीटर है और वह दर्पण से 2 मीटर दूर खड़ा है। यदि व्यक्ति, दर्पण और लैम्पपोस्ट एक सीधी रेखा में हैं, तो लैम्पपोस्ट की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
49. A man was standing on the road near a mall. He was 1425 m away from the mall and could see the top of a tree between him and the mall in such a way that the top of the tree was in a perfect straight line with the top of the mall. The tree was 10 m high and 30 m away from him. Find the height of the mall.
एक व्यक्ति मॉल के पास सड़क पर खड़ा था। वह मॉल से 1425 मीटर दूर था और अपने तथा मॉल के बीच स्थित एक पेड़ के शीर्ष को इस प्रकार देख रहा था कि पेड़ का शीर्ष और मॉल का शीर्ष एक ही सीधी रेखा में थे। पेड़ की ऊँचाई 10 मीटर थी और वह व्यक्ति से 30 मीटर दूर था। मॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
50. A person was standing on a road near a mall. He was 1215 m away from the mall and was able to see the top of the mall from the road in such a way that the top of a tree, which was between him and the mall, was exactly in line of sight with the top of the mall. The tree height is 20 m and it is 60 m away from him. Find the height of the mall.
एक व्यक्ति मॉल के पास सड़क पर खड़ा था। वह मॉल से 1215 मीटर दूर था और मॉल के शीर्ष को इस प्रकार देख रहा था कि उसके और मॉल के बीच स्थित एक पेड़ का शीर्ष मॉल के शीर्ष के साथ ठीक उसी दृष्टि-रेखा में था। पेड़ की ऊँचाई 20 मीटर है और वह व्यक्ति से 60 मीटर दूर है। मॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
51. The angle of elevation of an aeroplane from a point on the ground is 45°. After flying for 15 seconds, the angle of elevation changes to 30°. If the aeroplane is flying at a height of 2500 m, find its speed in km/h.
भूमि पर किसी बिंदु से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 45° है। 15 सेकंड उड़ने के बाद उसका उन्नयन कोण 30° हो जाता है। यदि हवाई जहाज 2500 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है, तो उसकी गति किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।
52. A boy standing in the middle of a field observes a flying bird in the north at an angle of elevation of 30°. After 2 minutes, he observes the same bird in the south at an angle of elevation of 60°. If the bird flies along a straight line at a height of 50√3 m, find its speed in km/h.
एक लड़का मैदान के बीच में खड़ा होकर उत्तर दिशा में उड़ते हुए एक पक्षी को 30° के उन्नयन कोण पर देखता है। 2 मिनट बाद वह उसी पक्षी को दक्षिण दिशा में 60° के उन्नयन कोण पर देखता है। यदि पक्षी 50√3 मीटर की ऊँचाई पर एक सीधी रेखा में उड़ रहा है, तो उसकी गति किमी/घंटा में ज्ञात कीजिए।
53. The angle of elevation of an aeroplane as observed from a point 30 m above the water surface of a lake is 30°, and the angle of depression of the image of the aeroplane in the water of the lake is 60°. Find the height of the aeroplane from the water surface of the lake.
झील की जल-सतह से 30 मीटर ऊपर स्थित एक बिंदु से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 30° है तथा झील के पानी में बने उसके प्रतिबिंब का अवनमन कोण 60° है। झील की जल-सतह से हवाई जहाज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
54. A 23 m long pole reaches a window that is 3√5 m above the ground on one side of a road. Keeping its foot at the same point, the pole is rotated to reach a window that is 4√15 m high on the other side of the road. Find the width of the road.
23 मीटर लंबा एक खंभा सड़क के एक ओर भूमि से 3√5 मीटर ऊँची खिड़की तक पहुँचता है। उसके आधार को उसी स्थान पर रखते हुए खंभे को सड़क की दूसरी ओर घुमाया जाता है, जहाँ वह 4√15 मीटर ऊँची खिड़की तक पहुँचता है। सड़क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
55. A vertical pole and a vertical tower are on the same horizontal ground such that the angle of elevation of the top of the tower from the top of the pole is 60°, and the angle of depression of the base of the tower from the top of the pole is 30°. If the height of the pole is 24 m, find the height of the tower.
एक ऊर्ध्वाधर खंभा और एक ऊर्ध्वाधर मीनार समान क्षैतिज भूमि पर स्थित हैं। खंभे के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° तथा मीनार के आधार का अवनमन कोण 30° है। यदि खंभे की ऊँचाई 24 मीटर है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
56. A mirror is placed on the ground facing upwards. A person sees the top of a tower in the mirror. The tower is 105 m away from the mirror, while the person is 0.5 m away from the mirror. If the person's height is 1.5 m, find the height of the tower.
एक दर्पण को भूमि पर ऊपर की ओर मुख करके रखा गया है। एक व्यक्ति दर्पण में मीनार के शीर्ष को देखता है। मीनार दर्पण से 105 मीटर दूर है तथा व्यक्ति दर्पण से 0.5 मीटर दूर है। यदि व्यक्ति की ऊँचाई 1.5 मीटर है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
57. Suhas, a 3.15 m tall tree and a building are positioned such that their bases on the ground are collinear, and the tree is located between Suhas and the building. The tree is 7.5 m away from Suhas and 45 m away from the building. The top of the tree, the top of the building and Suhas's eyes are in a straight line. If Suhas's eyes are 1.8 m above the ground, find the height of the building.
सुहास, 3.15 मीटर ऊँचा एक पेड़ और एक इमारत इस प्रकार स्थित हैं कि उनके आधार एक सीधी रेखा में हैं तथा पेड़ सुहास और इमारत के बीच स्थित है। पेड़ सुहास से 7.5 मीटर और इमारत से 45 मीटर दूर है। पेड़ का शीर्ष, इमारत का शीर्ष और सुहास की आँखें एक सीधी रेखा में हैं। यदि सुहास की आँखों की ऊँचाई भूमि से 1.8 मीटर है, तो इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
58. From a point 200 m above a lake, the angle of elevation of a cloud is 30°, and the angle of depression of its reflection in the lake is 60°. Find the height of the cloud above the lake.
झील से 200 मीटर ऊपर स्थित एक बिंदु से किसी बादल का उन्नयन कोण 30° तथा झील में उसके प्रतिबिंब का अवनमन कोण 60° है। झील से बादल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
59. A flag post is mounted on the top of a building. A man standing at a horizontal distance of 20 m from the building observes the angles of elevation of the top and bottom of the flag post as 60° and 45°, respectively. Find the height of the flag post.
एक भवन के शीर्ष पर एक ध्वज-दंड लगा हुआ है। भवन से 20 मीटर की क्षैतिज दूरी पर खड़ा व्यक्ति ध्वज-दंड के शीर्ष और आधार के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° देखता है। ध्वज-दंड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
60. Two poles of equal height stand opposite each other on either side of a road that is 30 m wide. From a point between them on the road, the angles of elevation of their tops are 30° and 60°. Find the height of each pole.
30 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर समान ऊँचाई के दो खंभे एक-दूसरे के सामने खड़े हैं। सड़क पर उनके बीच स्थित एक बिंदु से उनके शीर्षों के उन्नयन कोण 30° और 60° हैं। प्रत्येक खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
61. Two boats approach a lighthouse in mid-sea from opposite directions. The angles of elevation of the top of the lighthouse from the two boats are 30° and 45°, respectively. If the distance between the two boats is 100 m, find the height of the lighthouse.
दो नावें समुद्र के बीच स्थित एक प्रकाश स्तंभ की ओर विपरीत दिशाओं से आ रही हैं। दोनों नावों से प्रकाश स्तंभ के शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि दोनों नावों के बीच की दूरी 100 मीटर है, तो प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
62. The angle of elevation of the top of a tower which is 30 m high, from the foot of another tower is 60°, and the angle of elevation of the top of the second tower from the foot of the first tower is 30°. The distance between the two towers is n times the height of the shorter tower. Find the value of n.
30 मीटर ऊँची एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण दूसरी मीनार के आधार से 60° है तथा दूसरी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण पहली मीनार के आधार से 30° है। दोनों मीनारों के बीच की दूरी छोटी मीनार की ऊँचाई की n गुनी है। n का मान ज्ञात कीजिए।
63. A perpendicular tree and a 60 m high tower stand on the same horizontal plane. The angle of elevation of the top of the tree from the base of the tower is 30°, and the angle of depression of the base of the tree from the top of the tower is 60°. Find the height of the tree.
एक सीधा वृक्ष तथा 60 मीटर ऊँची मीनार एक ही क्षैतिज तल पर खड़े हैं। मीनार के आधार से वृक्ष के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° तथा मीनार के शीर्ष से वृक्ष के आधार का अवनमन कोण 60° है। वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
64. The distance between two multi-storeyed buildings is 60 m. The angle of depression of the top of the first building, as seen from the top of the second building which is 150 m high, is 30°. Find the height of the first building.
दो बहुमंजिला इमारतों के बीच की दूरी 60 मीटर है। 150 मीटर ऊँची दूसरी इमारत के शीर्ष से पहली इमारत के शीर्ष का अवनमन कोण 30° है। पहली इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
65. There are two temples, one on each bank of a river, situated directly opposite each other. One temple is 54 m high. From the top of this temple, the angles of depression of the top and the foot of the other temple are 30° and 60°, respectively. Find the width of the river and the height of the other temple.
नदी के विपरीत किनारों पर आमने-सामने दो मंदिर स्थित हैं। एक मंदिर की ऊँचाई 54 मीटर है। इस मंदिर के शीर्ष से दूसरे मंदिर के शीर्ष और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। नदी की चौड़ाई तथा दूसरे मंदिर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
66. A man is standing on one bank of a river and observes a tree standing on the other bank at an angle of elevation of 60°. If he moves 40 m away from the bank, the angle of elevation becomes 30°. Find the width of the river.
एक व्यक्ति नदी के एक किनारे पर खड़ा होकर दूसरे किनारे पर स्थित एक वृक्ष के शीर्ष को 60° के उन्नयन कोण पर देखता है। यदि वह किनारे से 40 मीटर दूर चला जाता है, तो उन्नयन कोण 30° हो जाता है। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
67. The banks of a river are parallel to each other. A swimmer starts from a point on one bank and swims 20 m in a straight line making an angle of 45° with the bank and reaches the opposite bank. Find the breadth of the river.
एक नदी के दोनों किनारे एक-दूसरे के समानांतर हैं। एक तैराक एक किनारे के किसी बिंदु से शुरू होकर किनारे के साथ 45° का कोण बनाते हुए सीधी रेखा में 20 मीटर तैरकर दूसरे किनारे पर पहुँचता है। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
68. A hill and a tower stand on the same horizontal plane. The angle of elevation of the top of the hill from the foot of the tower is 60°, and the angle of elevation of the top of the tower from the foot of the hill is 30°. If the tower is 50 m high, find the height of the hill.
एक पहाड़ी और एक मीनार समान क्षैतिज तल पर स्थित हैं। मीनार के आधार से पहाड़ी के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के आधार से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है, तो पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
69. The angle of elevation of the top of a vertical tower situated perpendicularly on a plane is 60° from a point P on the same plane. From another point Q, which is 10 m vertically above P, the angle of depression of the foot of the tower is 30°. Find the height of the tower.
एक समतल भूमि पर लंबवत स्थित एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण उसी तल पर स्थित बिंदु P से 60° है। बिंदु P से 10 मीटर ऊर्ध्वाधर ऊपर स्थित बिंदु Q से मीनार के आधार का अवनमन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
70. A person of height 2 m wants to get a fruit which is on a pole of height 10/3 m. If he stands at a distance of 4/√3 m from the foot of the pole, find the angle at which he should throw a stone so that it hits the fruit.
2 मीटर ऊँचा एक व्यक्ति 10/3 मीटर ऊँचे खंभे पर लगे फल को प्राप्त करना चाहता है। यदि वह खंभे के आधार से 4/√3 मीटर की दूरी पर खड़ा है, तो वह पत्थर किस कोण पर फेंके ताकि वह फल को लगे?
71. A bird is flying above a pole of height h with an angle of 45° from the horizontal. The bird makes an angle of depression of 60° to the base of the pole at the same time. Find the height of the bird above the pole.
एक पक्षी h ऊँचे खंभे के ऊपर उड़ रहा है और खंभे के शीर्ष से पक्षी का उन्नयन कोण क्षैतिज के साथ 45° है। उसी समय पक्षी से खंभे के आधार का अवनमन कोण 60° है। खंभे के शीर्ष से पक्षी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer Key – Height & Distance (1–71)
| Q. | Answer | Q. | Answer | Q. | Answer | Q. | Answer |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 20 m | 19 | 15√3/(2+√3) m | 37 | 170 m | 55 | 96 m |
| 2 | 10 m | 20 | 12√3/(2+√3) m | 38 | 40√3/3 m | 56 | 315 m |
| 3 | 20 m | 21 | 30√3 m | 39 | 84√3 ft | 57 | 11.25 m |
| 4 | 5 m | 22 | 24√3 m | 40 | 304 m | 58 | 400 m |
| 5 | 10√3 m | 23 | 30 m | 41 | 16 m | 59 | 20(√3 − 1) m |
| 6 | 30 m | 24 | 30° | 42 | 42 m | 60 | 13 m |
| 7 | 15 m | 25 | 60 m | 43 | 10.56 m | 61 | 50(√3 − 1) m |
| 8 | 20√3 m | 26 | 52√3 m | 44 | 475 m | 62 | √3 |
| 9 | 25 m | 27 | 5(√3 + 1) min | 45 | 405 m | 63 | 20 m |
| 10 | 20 m | 28 | 24 m | 46 | 16 m | 64 | 150 − 20√3 m |
| 11 | 4√3 m | 29 | 96 m | 47 | 42 m | 65 | 18√3 m, 36 m |
| 12 | 10√3 m | 30 | 1 : √3 | 48 | 4.13 m | 66 | 20 m |
| 13 | 40 m | 31 | 25√3/2 m | 49 | 475 m | 67 | 10√2 m |
| 14 | 35 m | 32 | 17 m | 50 | 405 m | 68 | 150 m |
| 15 | 15√3 m | 33 | 81 + 27√3 m | 51 | 600(√3 − 1) km/h | 69 | 30 m |
| 16 | 5√3 m | 34 | 36 m | 52 | 6 km/h | 70 | 30° |
| 17 | 13√2/5 m | 35 | 45° | 53 | 60 m | 71 | h/(√3 − 1) |
| 18 | 6 m | 36 | 24 m | 54 | 39 m |
Questions 1–15
1.
Given: Distance = 20 m, angle = 45°
tan 45° = Height / Distance
1 = h / 20
h = 20 m
Answer: 20 m
2.
Shadow = 10 m, angle = 45°
tan 45° = h / 10
1 = h / 10
h = 10 m
Answer: 10 m
3.
Distance = 20√3 m, angle = 30°
tan 30° = h / 20√3
1/√3 = h / 20√3
h = 20 m
Answer: 20 m
4.
Ladder = 10 m, angle with ground = 30°
sin 30° = h / 10
1/2 = h / 10
h = 5 m
Answer: 5 m
5.
Distance = 10 m, angle = 60°
tan 60° = h / 10
√3 = h / 10
h = 10√3 m
Answer: 10√3 m
6.
Horizontal distance = 30 m, angle = 45°
tan 45° = h / 30
h = 30 m
Answer: 30 m
7.
Building height = 15 m, depression angle = 45°
tan 45° = 15 / d
d = 15
Answer: 15 m
8.
Distance = 20 m, angle = 60°
tan 60° = h / 20
h = 20√3
Answer: 20√3 m
9.
Distance = 25 m, angle = 45°
tan 45° = h / 25
h = 25
Answer: 25 m
10.
Shadow = 20√3 m, angle = 30°
tan 30° = h / 20√3
1/√3 = h / 20√3
h = 20 m
Answer: 20 m
11.
Ladder = 8 m, angle = 60°
sin 60° = h / 8
√3/2 = h/8
h = 4√3 m
Answer: 4√3 m
12.
Distance = 30 m, angle = 30°
tan 30° = h / 30
h = 30/√3
h = 10√3 m
Answer: 10√3 m
13.
Building height = 40 m, depression = 45°
tan 45° = 40/d
d = 40
Answer: 40 m
14.
Tower height = 35 m, angle = 45°
tan 45° = 35/d
d = 35
Answer: 35 m
15.
Distance = 15 m, angle = 60°
tan 60° = h/15
h = 15√3
Answer: 15√3 m
Questions 16–25
16.
Pole length = 10 m and angle with ground = 30°.
Required distance is the adjacent side.
cos 30° = d/10
√3/2 = d/10
d = 5√3 m
Answer: 5√3 m
17.
Ladder = 5.2 m, angle = 45°.
sin 45° = h/5.2
h = 5.2 × 1/√2
h = 2.6√2
h = 13√2/5 m
Answer: 13√2/5 m
18.
Wire = 12 m, angle = 30°.
sin 30° = h/12
h = 12 × 1/2
h = 6 m
Answer: 6 m
19.
Let the tree break at height x m.
Length of broken part = 15 − x
The broken part makes 60° with the ground.
x = (15 − x) sin 60°
x = (15 − x)√3/2
2x = 15√3 − x√3
x(2 + √3) = 15√3
x = 15√3/(2 + √3)
Rationalising:
x = 30√3 − 45 m
Answer: 30√3 − 45 m
20.
Let breaking height = x.
Broken part = 12 − x
x = (12 − x)sin60°
x = (12 − x)√3/2
2x = 12√3 − x√3
x(2 + √3) = 12√3
x = 12√3/(2 + √3)
= 24√3 − 36 m
Answer: 24√3 − 36 m
21.
Tower = 30 m.
tan 30° = 30/d
1/√3 = 30/d
d = 30√3 m
Answer: 30√3 m
22.
Initially:
tan60° = 36/x₁
x₁ = 36/√3 = 12√3
Finally:
tan30° = 36/x₂
x₂ = 36√3
Distance moved:
x₂ − x₁ = 36√3 − 12√3
= 24√3 m
Answer: 24√3 m
23.
Window height = 10 m.
Let horizontal distance = x.
tan30° = 10/x
x = 10√3
Now for total building height H:
tan60° = H/(10√3)
√3 = H/(10√3)
H = 30 m
Answer: 30 m
24.
Tower = 60 m.
At the nearer point:
tan60° = 60/x
x = 20√3
Initial distance:
20√3 + 40√3 = 60√3
Let initial angle = θ.
tanθ = 60/(60√3)
= 1/√3
Therefore,
θ = 30°
Answer: 30°
25.
Let tower height = h.
Shadow at 60°:
x₁ = h/tan60° = h/√3
Shadow at 30°:
x₂ = h/tan30° = h√3
Given:
x₂ − x₁ = 40√3
h√3 − h/√3 = 40√3
2h/√3 = 40√3
2h = 120
h = 60 m
Answer: 60 m
Questions 26–35
26.
Original height:
h₁ = 78 tan30°
= 78/√3
= 26√3
Required height:
h₂ = 78 tan60°
= 78√3
Additional height:
= 78√3 − 26√3
= 52√3 m
Answer: 52√3 m
27.
Let tower height = h.
At 45°:
Initial distance = h
At 60°:
Distance = h/√3
Distance travelled in 10 min:
h − h/√3
Remaining distance:
h/√3
Required time:
t = 10 × [h/√3] / [h − h/√3]
= 10/(√3 − 1)
Rationalising:
= 10(√3 + 1)/2
= 5(√3 + 1) minutes
Answer: 5(√3 + 1) min
28.
Let complementary angles be θ and 90° − θ.
tanθ = h/18
tan(90°−θ) = h/32
For complementary angles:
tanθ × tan(90°−θ) = 1
(h/18)(h/32) = 1
h² = 576
h = 24 m
Answer: 24 m
29.
Using the same complementary-angle property:
(h/72)(h/128) = 1
h² = 72 × 128
h² = 9216
h = 96 m
Answer: 96 m
30.
Both towers are observed from the same midpoint.
Let common horizontal distance = x.
Height of P:
h₁ = x tan45° = x
Height of Q:
h₂ = x tan60° = x√3
Therefore:
h₁ : h₂ = x : x√3
= 1 : √3
Answer: 1 : √3
31.
Let distances from the observation point be x and 50 − x.
Since heights are equal:
x tan60° = (50 − x)tan30°
x√3 = (50 − x)/√3
3x = 50 − x
4x = 50
x = 12.5
Height:
h = 12.5√3
h = 25√3/2 m
Answer: 25√3/2 m
32.
For the 12 m high window:
Horizontal distance:
= √(13² − 12²)
= √25
= 5 m
For the 5 m high window:
Distance:
= √(13² − 5²)
= √144
= 12 m
Road width:
5 + 12
= 17 m
Answer: 17 m
33.
For the first ship:
tan45° = 81/x
x = 81
For the second ship:
tan60° = 81/y
y = 81/√3
= 27√3
Ships are on opposite sides.
Distance:
= 81 + 27√3
Answer: 81 + 27√3 m
34.
Let height of each pole = h.
For first pole:
tan x = h/d₁ = 2/5
d₁ = 5h/2
For second:
tan y = h/d₂ = 3/5
d₂ = 5h/3
Since:
d₁ + d₂ = 150
5h/2 + 5h/3 = 150
25h/6 = 150
h = 36 m
Answer: 36 m
35.
Difference between tower height and observer's height:
26 − 1.5 = 24.5 m
Horizontal distance = 24.5 m.
tanθ = 24.5/24.5
= 1
θ = 45°
Answer: 45°
Questions 36–45
36.
Horizontal separation = 48 m.
Distance between tops = 50 m.
Let difference in heights = x.
x² + 48² = 50²
x² = 2500 − 2304
x² = 196
x = 14
Shorter pole = 10 m.
Taller pole:
10 + 14
= 24 m
Answer: 24 m
37.
Horizontal distance = 40√3 m.
Height difference = h.
tan30° = h/(40√3)
1/√3 = h/(40√3)
h = 40
Taller tower:
130 + 40
= 170 m
Answer: 170 m
38.
Difference in heights:
57.75 − 17.75 = 40 m
Let distance = d.
tan60° = 40/d
√3 = 40/d
d = 40/√3
= 40√3/3 m
Answer: 40√3/3 m
39.
Let tower height = H.
Difference in heights:
H − 24√3
tan60° = (H − 24√3)/60
√3 = (H − 24√3)/60
60√3 = H − 24√3
H = 84√3
Answer: 84√3 ft
40.
Tower height = 76 m.
Let horizontal distance = d.
From depression angle 30°:
tan30° = 76/d
d = 76√3
Height of pole above tower top:
= d tan60°
= 76√3 × √3
= 228 m
Total pole height:
76 + 228
= 304 m
Answer: 304 m
41.
At the same time, height : shadow ratio is equal.
h/28 = 8/14
h = 28 × 8/14
h = 16 m
Answer: 16 m
42.
Using similar triangles:
6/4 = H/28
H = 28 × 6/4
H = 42 m
Answer: 42 m
43.
By similar triangles:
Lamp height / 6.6 = Man's height / Man-mirror distance
H/6.6 = 1.25/2
H = 6.6 × 1.25/2
H = 4.125
Approximately,
H = 4.13 m
Answer: 4.13 m
44.
Using similar triangles:
10/30 = H/1425
H = 1425 × 10/30
H = 475 m
Answer: 475 m
45.
Using similar triangles:
20/60 = H/1215
H = 1215 × 20/60
H = 405 m
Answer: 405 m
Questions 46–55
46.
Height = 2500 m.
At 45°:
x₁ = 2500 m
At 30°:
x₂ = 2500√3 m
Distance travelled:
= 2500(√3 − 1)
Time = 15 sec.
Speed in m/s:
= 2500(√3 − 1)/15
Convert to km/h:
= [2500(√3 − 1)/15] × 18/5
= 600(√3 − 1) km/h
Answer: 600(√3 − 1) km/h
47.
Bird height = 50√3 m.
At 30°:
tan30° = 50√3/x
x = 150 m
At 60° on the other side:
tan60° = 50√3/y
y = 50 m
Total distance travelled:
150 + 50 = 200 m
Time = 2 min = 120 sec.
Speed:
200/120 = 5/3 m/s
In km/h:
5/3 × 18/5
= 6 km/h
Answer: 6 km/h
48.
Let aeroplane height above lake = H and horizontal distance = x.
Observer is 30 m above the lake.
For aeroplane:
tan30° = (H − 30)/x
x = √3(H − 30)
For reflection:
tan60° = (H + 30)/x
x = (H + 30)/√3
Equating:
√3(H − 30) = (H + 30)/√3
3(H − 30) = H + 30
3H − 90 = H + 30
2H = 120
H = 60 m
Answer: 60 m
49.
Pole length = 23 m.
First side height = 3√5.
Horizontal distance:
x = √[23² − (3√5)²]
= √(529 − 45)
= √484
= 22 m
Other side height = 4√15.
y = √[23² − (4√15)²]
= √(529 − 240)
= √289
= 17 m
Road width:
22 + 17
= 39 m
Answer: 39 m
50.
Pole height = 24 m.
Let horizontal distance = d.
tan30° = 24/d
d = 24√3
Height difference between tower and pole:
= d tan60°
= 24√3 × √3
= 72
Tower height:
72 + 24
= 96 m
Answer: 96 m
51.
Using mirror and similar triangles:
Tower height / 105 = 1.5/0.5
H/105 = 3
H = 315 m
Answer: 315 m
52.
Suhas's eye height = 1.8 m.
Tree height = 3.15 m.
Height difference:
3.15 − 1.8 = 1.35 m
Distance Suhas to tree = 7.5 m.
Total distance Suhas to building:
7.5 + 45 = 52.5 m
Using similar triangles:
(H − 1.8)/52.5 = 1.35/7.5
H − 1.8 = 52.5 × 1.35/7.5
= 9.45
H = 9.45 + 1.8
H = 11.25 m
Answer: 11.25 m
53.
Let cloud height above lake = H.
Observation point = 200 m above lake.
For cloud:
tan30° = (H − 200)/x
x = √3(H − 200)
For reflection:
tan60° = (H + 200)/x
x = (H + 200)/√3
Equating:
3(H − 200) = H + 200
3H − 600 = H + 200
2H = 800
H = 400 m
Answer: 400 m
54.
Building height:
tan45° = h/20
h = 20 m
Total height up to top of flag post:
tan60° = H/20
H = 20√3
Flag post height:
= 20√3 − 20
= 20(√3 − 1) m
Answer: 20(√3 − 1) m
55.
Let distance from one pole = x.
Distance from other pole = 30 − x.
Equal pole height = h.
h = x tan30°
= x/√3
Also:
h = (30 − x)tan60°
= √3(30 − x)
Thus:
x/√3 = √3(30 − x)
x = 90 − 3x
4x = 90
x = 22.5
h = 22.5/√3
= 7.5√3
h = 15√3/2 m ≈ 13 m
Answer: 15√3/2 m ≈ 13 m
Questions 56–65
56.
Let lighthouse height = h.
Distance of boat at 30°:
x = h/tan30°
= h√3
Distance of boat at 45°:
y = h
Given:
x + y = 100
h√3 + h = 100
h(√3 + 1) = 100
h = 100/(√3 + 1)
Rationalising:
h = 50(√3 − 1)
Answer: 50(√3 − 1) m ≈ 36.6 m
57.
First tower height = 30 m.
From second tower's foot:
tan60° = 30/d
d = 30/√3
d = 10√3 m
Height of second tower:
h = d tan30°
= 10√3 × 1/√3
= 10 m
Shorter tower = 10 m.
Given:
d = n × 10
10√3 = 10n
n = √3
Answer: √3
58.
Tower = 60 m.
Let horizontal separation = d.
tan60° = 60/d
d = 60/√3
= 20√3
Tree height:
h = d tan30°
= 20√3 × 1/√3
h = 20 m
Answer: 20 m
59.
Second building = 150 m.
Horizontal distance = 60 m.
Difference in heights:
tan30° = difference/60
Difference = 60/√3
= 20√3
First building:
= 150 − 20√3
Answer: 150 − 20√3 m ≈ 115.36 m
60.
First temple = 54 m.
Let river width = x.
From depression to foot:
tan60° = 54/x
x = 54/√3
x = 18√3 m
Now depression to top of second temple = 30°.
Let height difference = y.
tan30° = y/(18√3)
y = 18 m
Other temple height:
54 − 18
= 36 m
Answer: River width = 18√3 m; other temple height = 36 m
61.
Let width of river = x and tree height = h.
Initially:
tan60° = h/x
h = x√3
After moving 40 m away:
tan30° = h/(x + 40)
h = (x + 40)/√3
Equating:
x√3 = (x + 40)/√3
3x = x + 40
2x = 40
x = 20 m
Answer: 20 m
62.
Swimming distance = 20 m.
Angle with river bank = 45°.
River breadth is perpendicular component:
Breadth = 20 sin45°
= 20/√2
= 10√2 m
Answer: 10√2 m
63.
Tower height = 50 m.
Let distance between hill and tower = d.
tan30° = 50/d
d = 50√3
Hill height:
H = d tan60°
= 50√3 × √3
H = 150 m
Answer: 150 m
64.
Point Q is 10 m vertically above P.
Let horizontal distance to tower = d.
tan30° = 10/d
d = 10√3
Tower height:
H = d tan60°
= 10√3 × √3
H = 30 m
Answer: 30 m
65.
Fruit height = 10/3 m.
Person height = 2 m.
Required vertical rise:
10/3 − 2
= 10/3 − 6/3
= 4/3 m
Horizontal distance:
= 4/√3 m
Let throwing angle = θ.
tanθ = (4/3)/(4/√3)
= √3/3
= 1/√3
θ = 30°
Answer: 30°
Questions 66–71
66.
Let river width = x.
Initially:
h = x tan60°
= x√3
After moving 40 m:
h = (x + 40)tan30°
= (x + 40)/√3
Therefore:
x√3 = (x + 40)/√3
3x = x + 40
2x = 40
x = 20 m
Answer: 20 m
67.
Swimmer travels 20 m at 45° with the river bank.
Breadth:
= 20 sin45°
= 20 × 1/√2
= 10√2 m
Answer: 10√2 m
68.
Tower height = 50 m.
From hill foot:
tan30° = 50/d
d = 50√3
Hill height:
H = d tan60°
= 50√3 × √3
H = 150 m
Answer: 150 m
69.
Point Q is 10 m above point P.
From Q:
tan30° = 10/d
d = 10√3
From P to tower top:
tan60° = H/d
H = 10√3 × √3
H = 30 m
Answer: 30 m
70.
Difference between fruit and person's height:
10/3 − 2
= 4/3 m
Horizontal distance:
4/√3 m
tanθ = (4/3)/(4/√3)
= 1/√3
Therefore:
θ = 30°
Answer: 30°
71.
Let the height of the bird above the top of the pole be x, and horizontal distance be d.
From the top of the pole, elevation angle = 45°.
tan45° = x/d
Therefore:
x = d
The bird's angle of depression to the base of the pole is 60°.
Total vertical height of bird from ground:
= h + x
tan60° = (h + x)/d
√3 = (h + x)/x
√3x = h + x
x(√3 − 1) = h
Therefore:
x = h/(√3 − 1)
Rationalising:
x = h(√3 + 1)/2
Answer: h/(√3 − 1) = h(√3 + 1)/2