Mathematics / गणित Surds and Indices Complete Notes करणी एवं घातांक सम्पूर्ण नोट्स
Comprehensive notes on Surds and Indices with rules, examples, and simplification techniques for SSC, Railway, and Indian government exam preparation.
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If x = √5 + 2, find x⁴ + 1/x⁴. / यदि x = √5 + 2 है, तो x⁴ + 1/x⁴ ज्ञात कीजिए।
x+1/x=2√5, so x²+1/x²=20-2=18. Therefore x⁴+1/x⁴=18²-2=322. / गणना करने पर मान 322 है।
If x = √5 + 2, find x³ + 1/x³. / यदि x = √5 + 2 है, तो x³ + 1/x³ ज्ञात कीजिए।
x+1/x=2√5. Hence x³+1/x³=(2√5)³-3(2√5)=40√5-6√5=34√5. / सूत्र से मान 34√5 प्राप्त होता है।
Simplify: √(13 + 4√10) / सरल कीजिए।
(2√2+√5)² = 8+5+4√10 = 13+4√10. / वर्ग करने पर ठीक वही व्यंजक मिलता है।
Simplify: √(19 + 6√10) / सरल कीजिए।
(√10+3)²=10+9+6√10=19+6√10. / (√10+3)² = 19+6√10।
If x = 2 + √3, find x⁴ + 1/x⁴. / यदि x = 2 + √3 है, तो x⁴ + 1/x⁴ ज्ञात कीजिए।
x+1/x=4, so x²+1/x²=14. Therefore x⁴+1/x⁴=14²-2=194. / गणना करने पर मान 194 है।
If x - 1/x = 3, find x⁴ + 1/x⁴. / यदि x - 1/x = 3 है, तो x⁴ + 1/x⁴ ज्ञात कीजिए।
x²+1/x²=11. Hence x⁴+1/x⁴=11²-2=119. / x²+1/x²=11 से उत्तर 119 है।
If x + 1/x = 5, find x⁴ + 1/x⁴. / यदि x + 1/x = 5 है, तो x⁴ + 1/x⁴ ज्ञात कीजिए।
x²+1/x²=25-2=23. Therefore x⁴+1/x⁴=23²-2=527. / पहले मान 23 और फिर वर्ग से 527 प्राप्त होता है।
Simplify: (81/16)^(-3/4) / सरल कीजिए।
81/16=(3/2)⁴. Therefore [(3/2)⁴]^(-3/4)=(3/2)⁻³=(2/3)³=8/27. / घात सरल करने पर मान 8/27 है।
If 3ˣ + 3^(x+1) = 108, find x. / यदि 3ˣ + 3^(x+1) = 108, तो x ज्ञात कीजिए।
3ˣ(1+3)=108 ⇒ 4×3ˣ=108 ⇒ 3ˣ=27=3³. Hence x=3. / 4×3ˣ=108 से 3ˣ=27, अतः x=3।
Solve: 2^(2x) - 5(2ˣ) + 4 = 0. / हल कीजिए: 2^(2x) - 5(2ˣ) + 4 = 0।
Put y=2ˣ. Then y²-5y+4=0 ⇒ (y-1)(y-4)=0. Thus 2ˣ=1 or 4, so x=0 or 2. / y=2ˣ रखने पर द्विघात समीकरण से x=0 या 2 मिलता है।
If 27^(x+1) = 9^(2x-1), find x. / यदि 27^(x+1) = 9^(2x-1), तो x ज्ञात कीजिए।
3^(3x+3)=3^(4x-2). Hence 3x+3=4x-2, giving x=5. / घात समान करने पर x=5।
Simplify: 1/(2 - √3)³ / सरल कीजिए।
1/(2-√3)=2+√3. Thus required value = (2+√3)³ = 26+15√3. / परिमेयकरण के बाद घन करने पर 26+15√3 मिलता है।
Simplify: 1/(√2 - 1)² / सरल कीजिए।
1/(√2-1)=√2+1. Squaring gives 3+2√2. / व्युत्क्रम √2+1 है, जिसका वर्ग 3+2√2 है।
Find: (√3 + √2)⁶ + (√3 - √2)⁶ / ज्ञात कीजिए।
Let x=√3+√2. Then x³+1/x³=18√3. Hence x⁶+1/x⁶=(18√3)²-2=970. / गणना करने पर मान 970 है।
Simplify: (√7 + √2)² - (√7 - √2)² / सरल कीजिए।
Using (a+b)²-(a-b)²=4ab, result = 4√14. / सूत्र से उत्तर 4√14 है।
Simplify: (√5 + √3)² + (√5 - √3)² / सरल कीजिए।
Using (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²), result = 2(5+3)=16. / सूत्र से मान 16 है।
If x - 1/x = √5, find x² + 1/x². / यदि x - 1/x = √5 है, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए।
Squaring gives x²+1/x²-2 = 5, hence value = 7. / वर्ग करने पर मान 7 है।
If x - 1/x = 2, find x² + 1/x². / यदि x - 1/x = 2 है, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए।
Squaring gives x²+1/x²-2 = 4, so value = 6. / वर्ग करने पर x²+1/x²=6।
If x + 1/x = 4, find x³ + 1/x³. / यदि x + 1/x = 4 है, तो x³ + 1/x³ ज्ञात कीजिए।
x³+1/x³ = 4³ - 3×4 = 52. / सूत्र से 64-12=52।
If x + 1/x = 3, find x² + 1/x². / यदि x + 1/x = 3 है, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए।
Squaring gives x²+1/x²+2 = 9. Hence value = 7. / वर्ग करने पर मान 7 मिलता है।
If x = √3 + √2, find x⁴ + 1/x⁴. / यदि x = √3 + √2 है, तो x⁴ + 1/x⁴ ज्ञात कीजिए।
x²+1/x²=10, therefore x⁴+1/x⁴ = 10²-2 = 98. / x²+1/x²=10 से उत्तर 98 है।
If x = √5 + √3, find x² + 4/x². / यदि x = √5 + √3 है, तो x² + 4/x² ज्ञात कीजिए।
2/x=√5-√3, so x+2/x=2√5. Squaring gives x²+4/x²=16. / वर्ग करने पर मान 16 प्राप्त होता है।
If x = 2 + √3, find x³ + 1/x³. / यदि x = 2 + √3 है, तो x³ + 1/x³ ज्ञात कीजिए।
x+1/x=4. Thus x³+1/x³ = 4³-3×4 = 52. / सूत्र से मान 52 मिलता है।
If x = 2 + √3, find x² + 1/x². / यदि x = 2 + √3 है, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए।
1/x=2-√3, so x+1/x=4. Hence x²+1/x²=16-2=14. / x+1/x=4, अतः मांगा गया मान 14 है।