Introduction / परिचय
Indices are powers or exponents used to represent repeated multiplication. A surd is an irrational root that cannot be simplified into a rational number.
Indices या घातांक किसी संख्या के बार-बार गुणन को संक्षिप्त रूप में दर्शाते हैं। Surd या करणी ऐसी अपरिमेय मूल संख्या है जिसे पूर्णतः परिमेय संख्या के रूप में सरल नहीं किया जा सकता।
For example / उदाहरण:
2³ = 2 × 2 × 2 = 8
and / तथा
√2, √3, √5
are surds. / करणियाँ हैं।
Laws of Indices / घातांक के नियम
Rule 1 / नियम 1
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
When bases are the same, add the powers during multiplication.
समान आधार वाली घातों को गुणा करते समय घातांक जोड़ दिए जाते हैं।
Example / उदाहरण:
2³ × 2⁴
= 2⁷
= 128
Rule 2 / नियम 2
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
समान आधार की घातों को भाग देते समय घातांक घटाए जाते हैं।
Example / उदाहरण:
5⁶ ÷ 5²
= 5⁴
= 625
Rule 3 / नियम 3
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Example / उदाहरण:
(2³)⁴
= 2¹²
Rule 4 / नियम 4
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
Example / उदाहरण:
(2×3)²
= 2²×3²
= 36
Rule 5 / नियम 5
a⁰ = 1, where a ≠ 0.
a⁰ = 1, जहाँ a ≠ 0।
Example / उदाहरण:
7⁰ = 1
Rule 6 / नियम 6
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Negative power means reciprocal.
ऋणात्मक घात का अर्थ व्युत्क्रम होता है।
Example / उदाहरण:
2⁻³
= 1/2³
= 1/8
Fractional Indices / भिन्नात्मक घातांक
a¹⁄² = √a
a¹⁄³ = ∛a
More generally / सामान्यतः:
aᵐ⁄ⁿ = ⁿ√(aᵐ)
Example / उदाहरण:
16¹⁄² = √16 = 4
27¹⁄³ = ∛27 = 3
What is a Surd? / करणी क्या है?
A root that gives an irrational value is generally called a surd.
ऐसा मूल जिसका मान अपरिमेय हो, सामान्यतः करणी कहलाता है।
Examples / उदाहरण:
√2
√3
√5
√7
But / लेकिन:
√4 = 2
Therefore √4 is not a surd after simplification.
अतः सरल करने के बाद √4 करणी नहीं है।
Simplification of Surds / करणियों का सरलीकरण
Example / उदाहरण
√12
= √(4×3)
= √4 × √3
= 2√3
Example / उदाहरण
√72
= √(36×2)
= 6√2
Addition and Subtraction of Surds
करणियों का जोड़ एवं घटाव
Like surds can be added or subtracted.
समान करणियों को जोड़ा या घटाया जा सकता है।
Example / उदाहरण:
3√2 + 5√2
= 8√2
Similarly / इसी प्रकार:
7√3 − 2√3
= 5√3
But:
√2 + √3 cannot be simplified by direct addition.
लेकिन √2 + √3 को सीधे जोड़कर सरल नहीं किया जा सकता।
Multiplication of Surds / करणियों का गुणन
√a × √b = √ab
Example / उदाहरण:
√3 × √12
= √36
= 6
Important Identity / महत्वपूर्ण सर्वसमिका
(√a + √b)(√a − √b) = a − b
Example / उदाहरण:
(√7+√3)(√7−√3)
= 7−3
= 4
Rationalisation / परिमेयकरण
Rationalisation is the process of removing a surd from the denominator.
हर से करणी हटाने की प्रक्रिया को परिमेयकरण कहते हैं।
Example / उदाहरण
1/√2
Multiply numerator and denominator by √2.
अंश और हर दोनों में √2 से गुणा करें।
= √2 / 2
Rationalising a Binomial Denominator
द्विपद हर का परिमेयकरण
For:
1/(√a+√b)
multiply by its conjugate:
√a−√b
For / के लिए:
1/(√5+√3)
Multiply by / से गुणा करें:
(√5−√3)/(√5−√3)
Denominator:
5−3 = 2
Therefore / अतः:
(√5−√3)/2
Important Surd Results / महत्वपूर्ण करणी परिणाम
√a × √a = a
√(a²) = |a|
For positive a:
धनात्मक a के लिए:
√(a²)=a
Also:
(√a+√b)² = a+b+2√ab
and / तथा
(√a−√b)² = a+b−2√ab
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