1. Question / प्रश्न
If P(x) leaves remainder 5 when divided by (x−2) and remainder 7 when divided by (x−3), then the remainder when P(x) is divided by (x−2)(x−3) is:
यदि P(x) को (x−2) से भाग देने पर शेष 5 तथा (x−3) से भाग देने पर शेष 7 प्राप्त होता है, तो P(x) को (x−2)(x−3) से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
Answer / उत्तर: 2x + 1
Solution / हल:
Remainder will be linear: ax + b
P(2) = 5
2a + b = 5
P(3) = 7
3a + b = 7
Subtract:
a = 2
Now, 2a + b = 5
4 + b = 5
b = 1
Remainder = 2x + 1
2. Question / प्रश्न
If x + 1/x = 3, find x⁷ + 1/x⁷.
यदि x + 1/x = 3 है, तो x⁷ + 1/x⁷ ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 843
Solution / हल:
Let Sn = xⁿ + 1/xⁿ
S1 = 3
S2 = S1² - 2
= 3² - 2 = 7
S3 = S1 × S2 - S1
= 3 × 7 - 3 = 18
S4 = 3 × 18 - 7 = 47
S5 = 3 × 47 - 18 = 123
S6 = 3 × 123 - 47 = 322
S7 = 3 × 322 - 123 = 843
3. Question / प्रश्न
If f(f(x)) = 4x + 3 and f(x) = ax + b, then a + b equals:
यदि f(f(x)) = 4x + 3 तथा f(x) = ax + b है, तो a + b का मान क्या है?
Answer / उत्तर: 3
Solution / हल:
f(x) = ax + b
f(f(x)) = a(ax + b) + b
= a²x + ab + b
Given:
a²x + ab + b = 4x + 3
So,
a² = 4
a = 2
ab + b = 3
b(a + 1) = 3
b(2 + 1) = 3
3b = 3
b = 1
a + b = 2 + 1 = 3
4. Question / प्रश्न
The least positive integer satisfying N ≡ 1 (mod 4), N ≡ 2 (mod 5), N ≡ 3 (mod 7) is:
N ≡ 1 (mod 4), N ≡ 2 (mod 5), N ≡ 3 (mod 7) को संतुष्ट करने वाली सबसे छोटी धनात्मक संख्या क्या है?
Answer / उत्तर: 17
Solution / हल:
Check 17:
17 ÷ 4 gives remainder 1
17 ÷ 5 gives remainder 2
17 ÷ 7 gives remainder 3
So, least positive integer = 17
5. Question / प्रश्न
The number of trailing zeros in 100! is:
100! में अंतिम शून्यों की संख्या कितनी है?
Answer / उत्तर: 24
Solution / हल:
Trailing zeros depend on number of 5s in 100!
Number of 5s = 100/5 + 100/25
= 20 + 4
= 24
6. Question / प्रश्न
How many 5-digit numbers can be formed using digits 1,2,3,4,5 without repetition such that 1 and 2 are never adjacent?
1,2,3,4,5 अंकों से बिना पुनरावृत्ति के कितनी 5-अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं जिनमें 1 और 2 साथ न हों?
Answer / उत्तर: 72
Solution / हल:
Total arrangements = 5! = 120
When 1 and 2 are together, treat them as one block.
Blocks = (12), 3, 4, 5
Arrangements = 4! × 2!
= 24 × 2
= 48
Not adjacent = 120 - 48 = 72
7. Question / प्रश्न
In how many ways can 4 men and 4 women be seated around a circle if men and women alternate?
4 पुरुष और 4 महिलाएँ एक वृत्त में कितने तरीकों से बैठ सकते हैं यदि पुरुष और महिलाएँ क्रमशः वैकल्पिक हों?
Answer / उत्तर: 144
Solution / हल:
First arrange 4 men around the circle:
(4 - 1)! = 3! = 6
Now 4 women can sit in 4 gaps:
4! = 24
Total ways = 6 × 24 = 144
8. Question / प्रश्न
Three fair coins are tossed. Given that at least one head appears, probability of exactly two heads is:
तीन निष्पक्ष सिक्के उछाले जाते हैं। यह ज्ञात है कि कम से कम एक हेड आया है। ठीक दो हेड आने की प्रायिकता क्या है?
Answer / उत्तर: 3/7
Solution / हल:
Total outcomes for 3 coins = 8
At least one head means exclude TTT.
Valid outcomes = 7
Exactly two heads outcomes:
HHT, HTH, THH
Number = 3
Probability = 3/7
9. Question / प्रश्न
A box contains 4 red and 6 blue balls. Two balls are drawn. If the first ball is red, probability second is blue is:
एक डिब्बे में 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। दो गेंदें निकाली जाती हैं। यदि पहली गेंद लाल है, तो दूसरी के नीली होने की प्रायिकता क्या है?
Answer / उत्तर: 2/3
Solution / हल:
Initially red = 4, blue = 6
First ball is red, so remaining balls = 9
Blue balls still = 6
Probability second is blue = 6/9 = 2/3
10. Question / प्रश्न
If P(A)=1/2, P(B)=1/3 and P(A∩B)=1/6, then P(A∪B) equals:
यदि P(A)=1/2, P(B)=1/3 तथा P(A∩B)=1/6 है, तो P(A∪B) क्या होगा?
Answer / उत्तर: 2/3
Solution / हल:
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
= 1/2 + 1/3 - 1/6
= 3/6 + 2/6 - 1/6
= 4/6 = 2/3
11. Question / प्रश्न
The area of triangle formed by points (1,2), (4,6) and (8,3) is:
बिंदुओं (1,2), (4,6) तथा (8,3) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?
Answer / उत्तर: 12.5
Solution / हल:
Area = 1/2 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|
= 1/2 |1(6 - 3) + 4(3 - 2) + 8(2 - 6)|
= 1/2 |3 + 4 - 32|
= 1/2 × 25
= 12.5
12. Question / प्रश्न
Distance between parallel lines 4x + 3y + 5 = 0 and 4x + 3y − 20 = 0 is:
समानांतर रेखाओं 4x + 3y + 5 = 0 तथा 4x + 3y − 20 = 0 के बीच की दूरी क्या है?
Answer / उत्तर: 5
Solution / हल:
Distance between parallel lines ax + by + c1 = 0 and ax + by + c2 = 0:
Distance = |c1 - c2| / √(a² + b²)
= |5 - (-20)| / √(4² + 3²)
= 25 / √25
= 25/5
= 5
13. Question / प्रश्न
The centroid of triangle with vertices (0,0), (6,0), (0,9) is:
शीर्ष (0,0), (6,0), (0,9) वाले त्रिभुज का केन्द्रक क्या है?
Answer / उत्तर: (2,3)
Solution / हल:
Centroid = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3)
= ((0 + 6 + 0)/3, (0 + 0 + 9)/3)
= (6/3, 9/3)
= (2,3)
14. Question / प्रश्न
A sphere of radius 6 cm is melted into small spheres of radius 2 cm. Number of small spheres formed is:
6 सेमी त्रिज्या वाले गोले को पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या वाले छोटे गोलों में बदला जाता है। छोटे गोलों की संख्या क्या होगी?
Answer / उत्तर: 27
Solution / हल:
Number of small spheres = Volume of big sphere / Volume of small sphere
= 6³ / 2³
= 216 / 8
= 27
15. Question / प्रश्न
A cone of height 12 cm and radius 5 cm is cut parallel to base at half its height. Ratio of volume of small cone to frustum is:
12 सेमी ऊँचाई और 5 सेमी त्रिज्या वाले शंकु को आधार के समानांतर आधी ऊँचाई पर काटा जाता है। छोटे शंकु और शंकुखंड के आयतन का अनुपात क्या है?
Answer / उत्तर: 1:7
Solution / हल:
Cut is made at half height.
Small cone and original cone are similar.
Linear ratio = 1:2
Volume ratio = 1³ : 2³ = 1:8
Small cone volume = 1 part
Frustum volume = 8 - 1 = 7 parts
Ratio = 1:7
16. Question / प्रश्न
Milk and water are in ratio 7:3. If 20 litres mixture is removed and replaced by water, ratio becomes 7:5. Initial quantity was:
दूध और पानी का अनुपात 7:3 है। यदि 20 लीटर मिश्रण निकालकर पानी भर दिया जाए तो अनुपात 7:5 हो जाता है। प्रारंभिक मात्रा क्या थी?
Answer / उत्तर: 120 litres / 120 लीटर
Solution / हल:
Let initial mixture = x litres
Milk = 7x/10
Water = 3x/10
20 litres mixture removed:
Milk removed = 20 × 7/10 = 14 litres
Water removed = 20 × 3/10 = 6 litres
After replacing with water:
Milk = 7x/10 - 14
Water = 3x/10 - 6 + 20
= 3x/10 + 14
New ratio = 7:5
(7x/10 - 14)/(3x/10 + 14) = 7/5
5(7x/10 - 14) = 7(3x/10 + 14)
35x/10 - 70 = 21x/10 + 98
14x/10 = 168
x = 120 litres
17. Question / प्रश्न
A invests ₹10000 for 12 months, B invests ₹15000 for 8 months. Profit ratio is:
A ₹10000 को 12 महीने तथा B ₹15000 को 8 महीने के लिए निवेश करता है। लाभ का अनुपात क्या होगा?
Answer / उत्तर: 1:1
Solution / हल:
Profit ratio = Investment × Time
A = 10000 × 12 = 120000
B = 15000 × 8 = 120000
Ratio = 120000 : 120000
= 1:1
18. Question / प्रश्न
A train 240 m long crosses a platform in 24 sec at 54 km/h. Length of platform is:
240 मीटर लंबी ट्रेन 54 किमी/घंटा की गति से एक प्लेटफॉर्म को 24 सेकंड में पार करती है। प्लेटफॉर्म की लंबाई क्या है?
Answer / उत्तर: 120 m
Solution / हल:
Speed = 54 km/h
54 km/h = 15 m/s
Distance covered in 24 sec = 15 × 24 = 360 m
Train length + Platform length = 360
240 + Platform length = 360
Platform length = 120 m
19. Question / प्रश्न
If CP is increased by 20% and SP is increased by 32%, profit percentage changes by:
यदि क्रय मूल्य 20% बढ़ता है और विक्रय मूल्य 32% बढ़ता है, तो लाभ प्रतिशत में कितना परिवर्तन होगा?
Answer / उत्तर: Cannot be determined uniquely / निश्चित रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता
Solution / हल:
इस प्रश्न में original CP और original SP या original profit percentage नहीं दिया गया है।
मान लें CP = 100 और SP = 100
तो नया CP = 120
नया SP = 132
Profit% = 12/120 × 100 = 10%
लेकिन यदि original SP अलग हो, तो profit percentage अलग आएगा।
इसलिए केवल CP 20% और SP 32% बढ़ने से profit percentage का change निश्चित नहीं किया जा सकता।
20. Question / प्रश्न
If 20% discount and then 10% discount are given successively, equivalent discount is:
यदि पहले 20% तथा फिर 10% की क्रमिक छूट दी जाए, तो समतुल्य छूट क्या होगी?
Answer / उत्तर: 28%
Solution / हल:
Let marked price = 100
After 20% discount:
100 × 80/100 = 80
After 10% discount:
80 × 90/100 = 72
Final selling price = 72
Equivalent discount = 100 - 72 = 28%
21. Question / प्रश्न
In a class of 100 students, 60 study Maths, 50 Physics and 20 neither. Number studying both is:
100 विद्यार्थियों की कक्षा में 60 गणित, 50 भौतिकी पढ़ते हैं तथा 20 कोई भी नहीं पढ़ते। दोनों पढ़ने वालों की संख्या क्या है?
Answer / उत्तर: 30
Solution / हल:
Total students = 100
Neither = 20
Students studying at least one subject = 100 - 20 = 80
Maths = 60
Physics = 50
Both = Maths + Physics - At least one
= 60 + 50 - 80
= 30
22. Question / प्रश्न
If a number leaves remainder 3 when divided by 5 and remainder 4 when divided by 7, then remainder when divided by 35 is:
यदि कोई संख्या 5 से भाग देने पर 3 तथा 7 से भाग देने पर 4 शेष छोड़ती है, तो 35 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
Answer / उत्तर: 18
Solution / हल:
Check numbers that leave remainder 3 when divided by 5:
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33
Now check division by 7:
18 ÷ 7 gives remainder 4
So number leaves remainder 18 when divided by 35.
23. Question / प्रश्न
The number of positive integer solutions of x + y + z = 10 is:
समीकरण x + y + z = 10 के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या कितनी है?
Answer / उत्तर: 36
Solution / हल:
For positive integer solutions of x + y + z = 10:
Number of solutions = C(10 - 1, 3 - 1)
= C(9,2)
= 9 × 8 / 2
= 36
24. Question / प्रश्न
If α and β are roots of x²−8x+12=0, then α²+β² equals:
यदि α और β, x²−8x+12=0 के मूल हैं, तो α²+β² का मान क्या है?
Answer / उत्तर: 40
Solution / हल:
For x²−8x+12=0:
α + β = 8
αβ = 12
α² + β² = (α + β)² - 2αβ
= 8² - 2 × 12
= 64 - 24
= 40
25.Question / प्रश्न
If α and β are the roots of x² − 10x + 16 = 0, find the value of α³β + αβ³.
यदि α और β, x² − 10x + 16 = 0 के मूल हैं, तो α³β + αβ³ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 1088
Solution / हल:
For x² − 10x + 16 = 0,
α + β = 10
αβ = 16
Now,
α³β + αβ³ = αβ(α² + β²)
α² + β² = (α + β)² − 2αβ
= 10² − 2 × 16
= 100 − 32
= 68
So,
αβ(α² + β²) = 16 × 68
= 1088
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