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1. Question / प्रश्न
If P(x) = x³ + ax² − 5x + 6 leaves remainder 4 when divided by x − 2, find a.
यदि P(x) = x³ + ax² − 5x + 6 को x − 2 से भाग देने पर शेषफल 4 आता है, तो a ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 0
Solution / हल:
By Remainder Theorem,
P(2) = 4
2³ + a(2²) − 5(2) + 6 = 4
8 + 4a − 10 + 6 = 4
4 + 4a = 4
4a = 0
a = 0
2. Question / प्रश्न
If f(n) = 2f(n−1) + n and f(1) = 3, find f(5).
यदि f(n) = 2f(n−1) + n और f(1) = 3 है, तो f(5) ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 89
Solution / हल:
f(1)=3
f(2)=2×3+2=8
f(3)=2×8+3=19
f(4)=2×19+4=42
f(5)=2×42+5=89
3. Question / प्रश्न
If f(x) = (2x + 5)/(x − 1), find f⁻¹(3).
यदि f(x) = (2x + 5)/(x − 1) है, तो f⁻¹(3) ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 8
Solution / हल:
Let
(2x+5)/(x−1)=3
2x+5=3x−3
x=8
Hence,
f⁻¹(3)=8
4. Question / प्रश्न
Find the least positive integer N such that N ≡ 3 (mod 8), N ≡ 5 (mod 9), and N ≡ 7 (mod 11).
सबसे छोटी धनात्मक संख्या N ज्ञात कीजिए जिसके लिए N ≡ 3 (mod 8), N ≡ 5 (mod 9), और N ≡ 7 (mod 11) हो।
Answer / उत्तर: 491
Solution / हल:
Checking 491:
491 ÷ 8 gives remainder 3
491 ÷ 9 gives remainder 5
491 ÷ 11 gives remainder 7
Therefore,
N = 491
5. Question / प्रश्न
Find the HCF of 5/12, 25/36 and 35/48.
5/12, 25/36 और 35/48 का HCF ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 5/144
Solution / हल:
HCF of fractions
= HCF of numerators / LCM of denominators
HCF(5,25,35)=5
LCM(12,36,48)=144
Therefore,
HCF = 5/144
6. Question / प्रश्न
Find the LCM of 4/15, 8/45 and 16/75.
4/15, 8/45 और 16/75 का LCM ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 16/15
Solution / हल:
LCM of fractions
= LCM of numerators / HCF of denominators
LCM(4,8,16)=16
HCF(15,45,75)=15
LCM = 16/15
7. Question / प्रश्न
Find the number of divisors of 2⁴ × 3⁵ × 5² which are divisible by 18.
2⁴ × 3⁵ × 5² के ऐसे भाजकों की संख्या ज्ञात कीजिए जो 18 से विभाज्य हों।
Answer / उत्तर: 48
Solution / हल:
For divisibility by 18,
factor must contain
2¹ and 3²
Exponent choices:
For 2: 1,2,3,4 → 4 choices
For 3: 2,3,4,5 → 4 choices
For 5: 0,1,2 → 3 choices
Total divisors
= 4×4×3
= 48
8. Question / प्रश्न
Simplify: 1/(√11 − √10) + 1/(√11 + √10).
सरलीकृत कीजिए: 1/(√11 − √10) + 1/(√11 + √10)।
Answer / उत्तर: 2√11
Solution / हल:
Taking LCM,
[(√11+√10)+(√11−√10)] / [(11−10)]
= 2√11/1
= 2√11
9. Question / प्रश्न
Evaluate: (32^(4/5) × 27^(2/3)) / 16^(3/4).
मान ज्ञात कीजिए: (32^(4/5) × 27^(2/3)) / 16^(3/4)।
Answer / उत्तर: 18
Solution / हल:
32^(4/5)
=(2⁵)^(4/5)
=2⁴
=16
27^(2/3)
=(3³)^(2/3)
=3²
=9
16^(3/4)
=(2⁴)^(3/4)
=2³
=8
Value
=(16×9)/8
=18
10. Question / प्रश्न
How many 6-digit numbers can be formed using digits 0,1,2,3,4,5 without repetition such that the number is divisible by 5?
0,1,2,3,4,5 अंकों का बिना पुनरावृत्ति उपयोग करके कितनी 6-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जो 5 से विभाज्य हों?
Answer / उत्तर: 216
Solution / हल:
Case 1: Last digit 0
First digit = 5 choices
Remaining = 4!
=5×24
=120
Case 2: Last digit 5
First digit cannot be 0
=4 choices
Remaining = 4!
=96
Total
=120+96
=216
11. Question / प्रश्न
In how many ways can 5 boys and 5 girls sit in a row so that no two girls sit together?
5 लड़के और 5 लड़कियाँ एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठ सकते हैं ताकि कोई भी दो लड़कियाँ साथ न बैठें?
Answer / उत्तर: 86400
Solution / हल:
Arrange boys
=5!
=120
Available gaps
_ B _ B _ B _ B _ B _
=6 gaps
Choose 5 gaps
=⁶C₅
=6
Arrange girls
=5!
=120
Total ways
=120×6×120
=86400
12. Question / प्रश्न
Four persons are to be seated around a circular table. In how many ways can they sit if two particular persons must not sit together?
4 व्यक्तियों को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर बैठाना है। यदि दो विशेष व्यक्ति साथ न बैठें, तो वे कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?
Answer / उत्तर: 2
Solution / हल:
Total circular arrangements
=(4−1)!
=6
Together cases:
Treat pair as one block
=(3−1)!×2
=4
Required
=6−4
=2
13. Question / प्रश्न
A bag contains 5 red, 6 blue and 4 green balls. Three balls are drawn. Find the probability that exactly two are blue.
एक थैले में 5 लाल, 6 नीली और 4 हरी गेंदें हैं। 3 गेंदें निकाली जाती हैं। ठीक 2 गेंदों के नीली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 27/91
Solution / हल:
Exactly 2 blue:
=⁶C₂ × ⁹C₁
=15×9
=135
Total ways
=¹⁵C₃
=455
Probability
=135/455
=27/91
14. Question / प्रश्न
Two dice are thrown. Given that the sum is greater than 8, find the probability that the sum is 10.
दो पासे फेंके जाते हैं। यदि योग 8 से अधिक है, तो योग 10 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 3/10
Solution / हल:
Sum > 8
Possible sums:
9 → 4 outcomes
10 → 3 outcomes
11 → 2 outcomes
12 → 1 outcome
Total outcomes =10
Favourable outcomes =3
Probability
=3/10
15. Question / प्रश्न
The area of triangle formed by points (2,3), (7,5), and (4,11) is.
बिंदुओं (2,3), (7,5), और (4,11) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 18
Solution / हल:
Area
=1/2 |2(5−11)+7(11−3)+4(3−5)|
=1/2 |−12+56−8|
=1/2 ×36
=18
16. Question / प्रश्न
Find the image of point (4,-7) in the x-axis.
बिंदु (4,-7) का x-अक्ष में प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: (4,7)
Solution / हल:
Reflection in x-axis changes sign of y-coordinate.
Therefore,
(4,-7) → (4,7)
17. Question / प्रश्न
A line passes through (3,4) and cuts equal intercepts on both axes. Find its equation.
एक रेखा (3,4) से गुजरती है और दोनों अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है। उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: x + y = 7
Solution / हल:
Equal intercept form:
x/a + y/a =1
x+y=a
Since point (3,4) lies on line,
3+4=a
a=7
Equation:
x+y=7
18. Question / प्रश्न
A right circular cone has radius 9 cm and height 12 cm. Find its total surface area.
एक समवृत्तीय शंकु की त्रिज्या 9 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 216π cm²
Solution / हल:
Slant height
=√(9²+12²)
=15
TSA
=πrl+πr²
=π(9×15)+π(9²)
=135π+81π
=216π
19. Question / प्रश्न
A solid cylinder of radius 6 cm and height 14 cm is melted into spheres of radius 3 cm. Find the number of spheres formed.
6 सेमी त्रिज्या और 14 सेमी ऊँचाई वाले ठोस बेलन को पिघलाकर 3 सेमी त्रिज्या वाले गोलों में ढाला जाता है। बने गोलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 14
Solution / हल:
Cylinder volume
=πr²h
=π×6²×14
=504π
Sphere volume
=(4/3)π×3³
=36π
Number
=504π/36π
=14
20. Question / प्रश्न
A and B together can complete a work in 18 days. A alone can complete it in 30 days. In how many days can B alone complete it?
A और B मिलकर एक कार्य 18 दिनों में पूरा करते हैं। A अकेला उसे 30 दिनों में पूरा करता है। B अकेला कार्य कितने दिनों में पूरा करेगा?
Answer / उत्तर: 45 days
Solution / हल:
B's work/day
=1/18−1/30
=(5−3)/90
=2/90
=1/45
Hence,
B alone =45 days
21. Question / प्रश्न
A train 300 m long crosses a 450 m platform in 30 seconds. Find the speed of the train.
300 मीटर लंबी ट्रेन 450 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को 30 सेकंड में पार करती है। ट्रेन की गति ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 90 km/h
Solution / हल:
Distance covered
=300+450
=750 m
Speed
=750/30
=25 m/s
=25×18/5
=90 km/h
22. Question / प्रश्न
A vessel contains milk and water in the ratio 9:4. If 26 litres of mixture is removed and replaced with water, the ratio becomes 3:2. Find initial quantity of mixture.
एक बर्तन में दूध और पानी का अनुपात 9:4 है। यदि 26 लीटर मिश्रण निकालकर पानी भर दिया जाए, तो अनुपात 3:2 हो जाता है। प्रारंभिक मिश्रण की मात्रा ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 130 litres
Solution / हल:
Let total mixture = x litres
Milk = 9x/13
After removing 26 litres and replacing water:
Milk remaining
=(9x/13)(1−26/x)
Ratio becomes 3:2
Milk fraction =3/5
So,
(9/13)(x−26)=3x/5
45x−1170=39x
6x=1170
x=195
Wait, rechecking:
Using replacement formula:
Final milk
=(9x/13)(1−26/x)
=9(x−26)/13
Since final ratio is 3:2,
Milk =3/5 of total x
9(x−26)/13 = 3x/5
45x−1170=39x
6x=1170
x=195 litres
Therefore the mathematically correct answer is 195 litres. The given options and answer key are incorrect.
23. Question / प्रश्न
A shopkeeper marks an article 60% above cost price and gives a discount of 25%. Find the profit percentage.
एक दुकानदार वस्तु का अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 60% अधिक रखता है और 25% छूट देता है। लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 20%
Solution / हल:
Let CP=100
MP=160
SP=160×75/100
=120
Profit
=20
Profit%
=20%
24. Question / प्रश्न
In a group of 150 students, 90 like Maths, 80 like Reasoning, and 70 like English. If 30 like all three and 20 like none, find the number of students who like exactly two subjects.
150 विद्यार्थियों के समूह में 90 को गणित, 80 को रीजनिंग और 70 को अंग्रेजी पसंद है। यदि 30 को तीनों और 20 को कोई भी विषय पसंद नहीं है, तो ठीक दो विषय पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: Cannot be determined uniquely
Solution / हल:
Students liking at least one subject
=150−20
=130
Sum of individual preferences
=90+80+70
=240
Using inclusion-exclusion,
240−(sum of pairwise intersections)+30=130
Sum of pairwise intersections =140
This gives only the total pairwise intersections.
Exactly two subjects
=(sum of pairwise intersections)−3×(all three)
=140−90
=50
Therefore exactly two subjects = 50.
So the given answer is actually 50.
25. Question / प्रश्न
If roots of x² − 13x + k = 0 differ by 7, find k.
यदि x² − 13x + k = 0 के मूलों का अंतर 7 है, तो k ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 30
Solution / हल:
Let roots be α and β
α+β=13
|α−β|=7
Using
(α−β)²=(α+β)²−4αβ
49=169−4k
4k=120
k=30