English: Solve a series by testing a rule
A series question shows several terms and asks for a missing or incorrect term. The aim is to find one simple rule that explains all the given terms, not a rule that merely fits the last two. In a multiple-choice examination, several patterns may initially seem possible. Prefer a consistent rule that works from the beginning and uses ordinary operations such as differences, ratios, squares, alternating positions or alphabet ranks. Always substitute your proposed answer back into the full sequence.
First check: differences and second differences
Subtract each number from the next. For 7, 12, 19, 28, 39, ?, the differences are 5, 7, 9 and 11. The differences rise by 2, so the next difference is 13 and the answer is 52. This is a second-difference pattern: the differences between consecutive differences are constant. Another way to verify it is to write the terms as n² + 2n + 4 for n = 1, 2, 3 and so on, but that formula is unnecessary for a quick exam solution. If differences are constant, as in 11, 17, 23, 29, the next number is 35. Do not jump to a multiplication pattern before testing simple subtraction.
Second check: multiplication and mixed operations
For 3, 8, 18, 38, 78, ?, each term is twice the previous term plus 2. Thus 78 × 2 + 2 = 158. The differences 5, 10, 20 and 40 also reveal doubling. This double check makes the answer stronger. For 2, 6, 18, 54, ?, a constant ratio of 3 gives 162. A ratio is useful when numbers grow rapidly, but 'multiply by 3' must fit every adjacent pair. A mixed rule can be written above the arrows so that an arithmetic slip is visible.
Squares, cubes and primes
Recognise familiar sequences before inventing complicated arithmetic. The squares of 1 through 6 are 1, 4, 9, 16, 25 and 36. The cubes of 1 through 5 are 1, 8, 27, 64 and 125. Primes begin 2, 3, 5, 7, 11 and 13; 1 is not prime. In 3, 8, 15, 24, 35, ?, the terms can be written as 2² − 1, 3² − 1, 4² − 1, 5² − 1, 6² − 1, so the next is 7² − 1 = 48. The differences 5, 7, 9 and 11 independently confirm the next difference of 13.
Alternating and interleaved series
When one rule does not fit adjacent terms, split odd and even positions. In 4, 11, 7, 15, 10, 19, ?, positions 1, 3, 5 and 7 read 4, 7, 10, ? and rise by 3; hence the answer is 13. Even positions read 11, 15, 19 and rise by 4. Do not apply the +4 rule to the seventh term. Another common construction alternates operations: in 5, 10, 13, 26, 29, ?, the transitions are ×2, +3, ×2, +3, ×2, so the next term is 58. Write the operation between every pair to check the complete pattern.
Alphabet series: convert letters to positions
Use A = 1, B = 2, ..., Z = 26. The series C, F, J, O, ? becomes 3, 6, 10, 15, ?. Its jumps are +3, +4, +5, so the next jump is +6, giving position 21 or U. For Z, W, S, N, ?, the positions are 26, 23, 19, 14 and then 8 after jumps of −3, −4, −5 and −6; position 8 is H. Write the positions on rough paper rather than repeatedly reciting the alphabet. If a series crosses Z, use the cyclic convention only when the question's pattern supports it: Z (26), C (3), F (6) may represent a forward jump of 3 with wrapping, but never assume wrapping automatically.
Find the wrong term
For 6, 12, 20, 30, 42, 58, the first five terms follow n(n + 1) for n = 2, 3, 4, 5, 6. The sixth should be 7 × 8 = 56, so 58 is the wrong term. Verify from differences: 6, 8, 10, 12 should be followed by 14. A wrong-term question differs from a missing-term question because one printed value must be replaced, not appended. If the pattern is ambiguous, compare the proposed correction against all neighbouring terms and the answer choices.
Practice before checking the answers
1. 9, 16, 25, 36, ? Answer: 49, consecutive squares from 3² onward. 2. 2, 7, 17, 37, ? Answer: 77; multiply by 2 and add 3 each time. 3. B, E, I, N, ? Answer: T; positions 2, 5, 9, 14, 20 have jumps +3, +4, +5, +6. 4. 1, 8, 2, 16, 3, 24, ? Answer: 4; odd positions count 1, 2, 3, 4 and even positions are eight times those values. Check all terms before choosing an option.
Further official practice
For topic practice, use IIT Kanpur SATHEE's SSC series guide and SATHEE Railway number and letter series. The examples and explanations in this lesson are original Vitorr Classes practice, not claimed as previous-year questions.
हिन्दी: नियम जाँचकर श्रेणी हल करें
श्रेणी के प्रश्न में कुछ पद दिए जाते हैं और लुप्त या गलत पद पूछा जाता है। उद्देश्य ऐसा सरल नियम खोजना है जो केवल अंतिम दो पदों पर नहीं, पूरी श्रेणी पर लागू हो। बहुविकल्पीय परीक्षा में शुरू में कई नियम संभव लग सकते हैं। वह नियम चुनें जो आरंभ से अंत तक समान रूप से काम करे और अंतर, अनुपात, वर्ग, एकांतर स्थान या वर्णमाला के क्रमांक जैसी सामान्य अवधारणाओं पर आधारित हो। अपना उत्तर पूरी श्रेणी में रखकर अवश्य जाँचें।
पहली जाँच: अंतर और अंतर का अंतर
हर संख्या को अगली संख्या से घटाएँ। श्रेणी 7, 12, 19, 28, 39, ? के अंतर क्रमशः 5, 7, 9 और 11 हैं। प्रत्येक अगला अंतर 2 बढ़ रहा है। इसलिए नया अंतर 13 और उत्तर 52 है। यहाँ पहले अंतर के बीच का अंतर स्थिर है। यदि अंतर शुरू से समान हों, जैसे 11, 17, 23, 29 में प्रत्येक बार +6, तो अगला पद 35 होगा। साधारण घटाव की जाँच से पहले किसी कठिन गुणन नियम की कल्पना न करें।
दूसरी जाँच: गुणन और मिश्रित क्रिया
श्रेणी 3, 8, 18, 38, 78, ? में प्रत्येक अगला पद पिछले पद का दोगुना करके उसमें 2 जोड़ने से मिलता है। अतः 78 × 2 + 2 = 158। इसके अंतर 5, 10, 20 और 40 भी क्रमशः दोगुने हो रहे हैं; यह स्वतंत्र जाँच है। श्रेणी 2, 6, 18, 54, ? में हर बार 3 से गुणा करने पर उत्तर 162 है। तेज गति से बढ़ती संख्याओं में अनुपात देखना उपयोगी है, लेकिन '3 से गुणा' का नियम प्रत्येक पड़ोसी जोड़ी पर लागू होना चाहिए। मिश्रित क्रिया को पदों के बीच लिखने से गणना की गलती पकड़ में आती है।
वर्ग, घन और अभाज्य संख्याएँ
अनावश्यक कठिन नियम बनाने से पहले परिचित संख्याएँ पहचानें। 1 से 6 तक के वर्ग 1, 4, 9, 16, 25 और 36 हैं। 1 से 5 तक के घन 1, 8, 27, 64 और 125 हैं। अभाज्य संख्याओं का आरंभ 2, 3, 5, 7, 11 और 13 से होता है; 1 अभाज्य नहीं है। श्रेणी 3, 8, 15, 24, 35, ? को 2² − 1, 3² − 1, 4² − 1, 5² − 1, 6² − 1 के रूप में लिख सकते हैं। अगला पद 7² − 1 = 48 होगा। अंतर 5, 7, 9 और 11 भी अगले अंतर 13 की पुष्टि करते हैं।
एकांतर और परस्पर गुंथी श्रेणियाँ
यदि लगातार पदों पर एक नियम न मिले, तो विषम और सम स्थानों की अलग-अलग जाँच करें। 4, 11, 7, 15, 10, 19, ? में पहले, तीसरे, पाँचवें और सातवें स्थान पर 4, 7, 10, ? आते हैं। इनमें 3 की वृद्धि है, इसलिए उत्तर 13 होगा। दूसरे, चौथे और छठे स्थान पर 11, 15, 19 आते हैं, जिनमें 4 की वृद्धि है। सातवें पद पर सम स्थानों वाला नियम न लगाएँ। एक दूसरी रचना में क्रियाएँ बदल-बदलकर आती हैं: 5, 10, 13, 26, 29, ? में ×2, +3, ×2, +3, ×2 है। इसलिए अगला पद 58 है। हर जोड़ी के बीच क्रिया लिखकर जाँचें।
वर्णमाला श्रेणी: अक्षरों को क्रमांक दें
अंग्रेज़ी वर्णमाला में A = 1, B = 2, ..., Z = 26 मानें। C, F, J, O, ? के क्रमांक 3, 6, 10, 15, ? हैं। वृद्धि +3, +4, +5 है, इसलिए अगली वृद्धि +6 और उत्तर क्रमांक 21 अर्थात U है। Z, W, S, N, ? के क्रमांक 26, 23, 19, 14 और फिर 8 हैं। यहाँ क्रमशः −3, −4, −5 और −6 घटते हैं; क्रमांक 8 का अक्षर H है। बार-बार अक्षर बोलने के बजाय क्रमांक लिखें। यदि श्रेणी Z के आगे जाती हो, तो वापस A से गिनती तभी मानें जब पूरे प्रश्न का नियम इसकी पुष्टि करे।
गलत पद पहचानें
श्रेणी 6, 12, 20, 30, 42, 58 में पहले पाँच पद n(n + 1) के अनुसार हैं, जहाँ n क्रमशः 2, 3, 4, 5 और 6 है। छठा पद 7 × 8 = 56 होना चाहिए। इसलिए 58 गलत है। अंतर से भी जाँचें: 6, 8, 10, 12 के बाद 14 आना चाहिए। गलत पद वाले प्रश्न में छपी हुई एक संख्या को सुधारना होता है, अंत में नया पद जोड़ना नहीं। संदेह हो तो प्रस्तावित सुधार को दोनों ओर के पदों और विकल्पों से मिलाएँ।
उत्तर देखने से पहले अभ्यास करें
1. 9, 16, 25, 36, ? उत्तर: 49; ये 3² से आगे लगातार वर्ग हैं। 2. 2, 7, 17, 37, ? उत्तर: 77; हर बार पिछले पद को 2 से गुणा करके 3 जोड़ें। 3. B, E, I, N, ? उत्तर: T; क्रमांक 2, 5, 9, 14, 20 में वृद्धि +3, +4, +5, +6 है। 4. 1, 8, 2, 16, 3, 24, ? उत्तर: 4; विषम स्थानों पर 1, 2, 3, 4 तथा सम स्थानों पर इनके आठ गुने मान हैं। विकल्प चुनने से पहले सभी पद जाँचें।
अतिरिक्त आधिकारिक अभ्यास
विषयवार अभ्यास के लिए आईआईटी कानपुर साथी का एसएससी श्रेणी मार्गदर्शक और रेलवे संख्या तथा अक्षर श्रेणी अभ्यास देखें। इस पाठ के उदाहरण और व्याख्याएँ वीटोर क्लासेस के लिए मौलिक अभ्यास हैं; इन्हें पिछली परीक्षा के प्रश्न बताकर प्रस्तुत नहीं किया गया है।
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