For Competitive Exams | Vitorr Classes | Set 1
These 30 questions cover different concepts of probability, including coins, dice, playing cards, coloured balls, conditional probability, independent events, combinations, arrangements, Bayes' theorem, and probability distributions. Every question includes a step-by-step solution in English and Hindi.
इन 30 प्रश्नों में प्रायिकता के विभिन्न प्रकार शामिल हैं, जैसे सिक्के, पासे, ताश के पत्ते, रंगीन गेंदें, सशर्त प्रायिकता, स्वतंत्र घटनाएँ, संचय, व्यवस्थाएँ, बेयज़ प्रमेय और प्रायिकता वितरण। प्रत्येक प्रश्न का अंग्रेज़ी और हिंदी में चरणबद्ध समाधान दिया गया है।
Questions with Solutions / प्रश्न एवं समाधान
Question 1. Exactly Three Heads
English: A fair coin is tossed 5 times. Find the probability of getting exactly 3 heads.
हिंदी: एक निष्पक्ष सिक्के को 5 बार उछाला जाता है। ठीक 3 बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total possible outcomes = 2⁵ = 32
Number of ways to obtain exactly 3 heads in 5 tosses:
⁵C₃ = 5!/(3! × 2!) = 10
Required probability = 10/32 = 5/16
हल (हिंदी):
कुल संभावित परिणाम = 2⁵ = 32
5 बार उछालने पर ठीक 3 चित प्राप्त करने के तरीकों की संख्या:
⁵C₃ = 10
अतः अभीष्ट प्रायिकता = 10/32 = 5/16
Answer / उत्तर: 5/16
### Question 2. Prime Sum on Two Dice
English: Two fair dice are thrown simultaneously. Find the probability that the sum of the numbers appearing is prime.
हिंदी: दो निष्पक्ष पासे एक साथ फेंके जाते हैं। प्राप्त संख्याओं का योग अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total outcomes = 6 × 6 = 36
Possible prime sums = 2, 3, 5, 7, 11
Number of outcomes for each:
2 → 1
3 → 2
5 → 4
7 → 6
11 → 2
Total favourable outcomes = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15
Probability = 15/36 = 5/12
हल (हिंदी):
कुल संभावित परिणाम = 36
संभव अभाज्य योग = 2, 3, 5, 7, 11
इन योगों को प्राप्त करने के अनुकूल परिणामों की संख्या क्रमशः 1, 2, 4, 6 और 2 है।
कुल अनुकूल परिणाम = 15
अतः प्रायिकता = 15/36 = 5/12
Answer / उत्तर: 5/12
### Question 3. King or Heart
English: One card is drawn randomly from a standard deck of 52 cards. Find the probability that the card is either a king or a heart.
हिंदी: 52 पत्तों की एक सामान्य गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। उसके राजा या पान का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Number of kings = 4
Number of hearts = 13
The king of hearts belongs to both categories, so it must be counted only once.
Favourable cards = 4 + 13 − 1 = 16
Probability = 16/52 = 4/13
हल (हिंदी):
राजा वाले पत्ते = 4
पान के पत्ते = 13
पान का राजा दोनों समूहों में शामिल है, इसलिए उसे केवल एक बार गिना जाएगा।
अनुकूल पत्ते = 4 + 13 − 1 = 16
अतः प्रायिकता = 16/52 = 4/13
Answer / उत्तर: 4/13
### Question 4. Two Balls of the Same Colour
English: A bag contains 5 red, 4 blue and 3 green balls. Two balls are drawn without replacement. Find the probability that both balls are of the same colour.
हिंदी: एक थैले में 5 लाल, 4 नीली और 3 हरी गेंदें हैं। बिना वापस रखे 2 गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के समान रंग की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total balls = 12
Total ways of selecting 2 balls = ¹²C₂ = 66
Both red = ⁵C₂ = 10
Both blue = ⁴C₂ = 6
Both green = ³C₂ = 3
Favourable selections = 10 + 6 + 3 = 19
Probability = 19/66
हल (हिंदी):
कुल गेंदें = 12
2 गेंदें चुनने के कुल तरीके = ¹²C₂ = 66
दोनों लाल होने के तरीके = 10
दोनों नीली होने के तरीके = 6
दोनों हरी होने के तरीके = 3
कुल अनुकूल तरीके = 19
अतः प्रायिकता = 19/66
Answer / उत्तर: 19/66
### Question 5. Drawing Two Aces
English: Two cards are drawn successively from a deck of 52 cards without replacement. Find the probability that both cards are aces.
हिंदी: 52 पत्तों की गड्डी से बिना वापस रखे क्रमशः 2 पत्ते निकाले जाते हैं। दोनों पत्तों के इक्के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Probability that the first card is an ace = 4/52
After drawing an ace, 3 aces remain among 51 cards.
Probability that the second card is an ace = 3/51
Required probability:
P = (4/52) × (3/51)
P = 12/2652 = 1/221
हल (हिंदी):
पहला पत्ता इक्का होने की प्रायिकता = 4/52
पहला इक्का निकलने के बाद 51 पत्तों में 3 इक्के बचते हैं।
दूसरा पत्ता इक्का होने की सशर्त प्रायिकता = 3/51
अतः प्रायिकता:
P = (4/52) × (3/51) = 1/221
Answer / उत्तर: 1/221
### Question 6. At Least One Defective Bulb
English: A box contains 3 defective and 7 good bulbs. Two bulbs are selected randomly. Find the probability that at least one bulb is defective.
हिंदी: एक डिब्बे में 3 खराब और 7 सही बल्ब हैं। यादृच्छिक रूप से 2 बल्ब चुने जाते हैं। कम से कम एक बल्ब खराब होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Use the complementary probability method.
P(at least one defective) = 1 − P(both good)
Total ways = ¹⁰C₂ = 45
Ways of choosing 2 good bulbs = ⁷C₂ = 21
P(both good) = 21/45
Therefore:
P(at least one defective) = 1 − 21/45
= 24/45 = 8/15
हल (हिंदी):
यहाँ पूरक प्रायिकता विधि का प्रयोग करेंगे।
कम से कम एक खराब बल्ब की प्रायिकता = 1 − दोनों सही बल्ब होने की प्रायिकता
कुल चयन = ¹⁰C₂ = 45
दो सही बल्ब चुनने के तरीके = ⁷C₂ = 21
अतः अभीष्ट प्रायिकता:
P = 1 − 21/45 = 8/15
Answer / उत्तर: 8/15
### Question 7. Exactly One Person Hits the Target
English: A and B independently hit a target with probabilities 3/4 and 2/3 respectively. Find the probability that exactly one of them hits the target.
हिंदी: A और B स्वतंत्र रूप से किसी लक्ष्य को भेदते हैं। उनके लक्ष्य भेदने की प्रायिकताएँ क्रमशः 3/4 और 2/3 हैं। ठीक एक व्यक्ति द्वारा लक्ष्य भेदने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Exactly one hits means either:
A hits and B misses, or A misses and B hits.
P = (3/4 × 1/3) + (1/4 × 2/3)
= 1/4 + 1/6
= 3/12 + 2/12
= 5/12
हल (हिंदी):
ठीक एक व्यक्ति के लक्ष्य भेदने की दो स्थितियाँ हैं:
पहली स्थिति: A लक्ष्य भेदे और B चूक जाए।
दूसरी स्थिति: A चूक जाए और B लक्ष्य भेदे।
अतः:
P = (3/4 × 1/3) + (1/4 × 2/3)
= 1/4 + 1/6 = 5/12
Answer / उत्तर: 5/12
### Question 8. Conditional Probability with a Die
English: A fair die is rolled. Given that the number obtained is even, find the probability that it is greater than 3.
हिंदी: एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है। यदि प्राप्त संख्या सम है, तो उसके 3 से बड़ी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Given that the number is even, the possible outcomes are:
2, 4, 6
Numbers greater than 3 are 4 and 6.
Favourable outcomes = 2
Total conditional outcomes = 3
Probability = 2/3
हल (हिंदी):
सम संख्या आने की शर्त के अनुसार संभावित परिणाम हैं:
2, 4, 6
इनमें 3 से बड़ी संख्याएँ 4 और 6 हैं।
अनुकूल परिणाम = 2
कुल संभावित परिणाम = 3
अतः प्रायिकता = 2/3
Answer / उत्तर: 2/3
### Question 9. Bayes' Theorem
English: Machine A produces 60% of the items in a factory, with a defect rate of 2%. Machine B produces the remaining 40%, with a defect rate of 5%. If an item is found defective, find the probability that it was produced by machine B.
हिंदी: एक कारखाने में मशीन A कुल वस्तुओं का 60% उत्पादन करती है, जिनमें 2% खराब होती हैं। मशीन B शेष 40% वस्तुओं का उत्पादन करती है, जिनमें 5% खराब होती हैं। यदि कोई वस्तु खराब पाई जाती है, तो उसके मशीन B द्वारा निर्मित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Using Bayes' theorem:
P(B | D) = P(B) × P(D | B) / P(D)
Here:
P(B) = 0.40
P(D | B) = 0.05
P(D) = (0.60 × 0.02) + (0.40 × 0.05)
= 0.012 + 0.020 = 0.032
Therefore:
P(B | D) = 0.020/0.032 = 5/8
हल (हिंदी):
बेयज़ प्रमेय के अनुसार:
P(B | D) = P(B) × P(D | B) / P(D)
खराब वस्तु मिलने की कुल प्रायिकता:
P(D) = (0.60 × 0.02) + (0.40 × 0.05)
= 0.032
अतः खराब वस्तु के मशीन B से आने की प्रायिकता:
P(B | D) = 0.020/0.032 = 5/8
Answer / उत्तर: 5/8
### Question 10. Prize Distribution
English: Three distinct prizes are awarded to three different students selected randomly from a group of 5 students. Find the probability that a particular student receives a prize.
हिंदी: 5 विद्यार्थियों में से यादृच्छिक रूप से चुने गए 3 अलग-अलग विद्यार्थियों को 3 भिन्न पुरस्कार दिए जाते हैं। किसी निश्चित विद्यार्थी को पुरस्कार मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total ways of selecting 3 prize recipients from 5 students:
⁵C₃ = 10
For the particular student to receive a prize, select the remaining 2 recipients from the other 4 students:
⁴C₂ = 6
The distinct prizes can be assigned in 3! ways in either case, so this factor cancels.
Probability = 6/10 = 3/5
हल (हिंदी):
5 विद्यार्थियों में से 3 पुरस्कार प्राप्तकर्ताओं को चुनने के तरीके:
⁵C₃ = 10
यदि किसी निश्चित विद्यार्थी को पुरस्कार मिलना है, तो शेष 4 में से 2 विद्यार्थियों को चुनना होगा।
तरीके = ⁴C₂ = 6
अलग-अलग पुरस्कारों को बाँटने के तरीकों का गुणक अंश और हर में समान है, इसलिए वह कट जाएगा।
अतः प्रायिकता = 6/10 = 3/5
Answer / उत्तर: 3/5
### Question 11. Divisibility by 3 or 5
English: An integer is selected randomly from 1 to 100, inclusive. Find the probability that it is divisible by 3 or 5.
हिंदी: 1 से 100 तक की पूर्ण संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। उसके 3 या 5 से विभाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Multiples of 3 = 33
Multiples of 5 = 20
Multiples of both 3 and 5, i.e. multiples of 15 = 6
Using inclusion-exclusion:
Favourable numbers = 33 + 20 − 6 = 47
Total numbers = 100
Probability = 47/100
हल (हिंदी):
3 से विभाज्य संख्याएँ = 33
5 से विभाज्य संख्याएँ = 20
15 से विभाज्य संख्याएँ = 6
दोनों में समान संख्याओं को दो बार गिनने से बचाने के लिए:
अनुकूल संख्याएँ = 33 + 20 − 6 = 47
अतः प्रायिकता = 47/100
Answer / उत्तर: 47/100
### Question 12. Two Persons Sitting Together
English: Four persons are arranged randomly in a row. Find the probability that two particular persons sit together.
हिंदी: 4 व्यक्तियों को एक पंक्ति में यादृच्छिक रूप से बैठाया जाता है। दो निश्चित व्यक्तियों के साथ बैठने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total arrangements = 4! = 24
Treat the two specified persons as one block.
Now there are 3 units to arrange.
Arrangements of units = 3! = 6
The two persons within the block can interchange positions in 2! = 2 ways.
Favourable arrangements = 6 × 2 = 12
Probability = 12/24 = 1/2
हल (हिंदी):
कुल व्यवस्थाएँ = 4! = 24
दो निश्चित व्यक्तियों को एक समूह मान लेते हैं।
अब कुल 3 इकाइयों को व्यवस्थित करना है।
व्यवस्थाएँ = 3! = 6
समूह के अंदर दोनों व्यक्ति 2 तरीकों से बैठ सकते हैं।
अनुकूल व्यवस्थाएँ = 6 × 2 = 12
अतः प्रायिकता = 12/24 = 1/2
Answer / उत्तर: 1/2
### Question 13. Committee Selection
English: A committee of 3 members is selected randomly from 4 men and 3 women. Find the probability that exactly 2 women are selected.
हिंदी: 4 पुरुषों और 3 महिलाओं में से 3 सदस्यों की समिति यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। समिति में ठीक 2 महिलाओं के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total persons = 7
Total committees = ⁷C₃ = 35
Select 2 women from 3:
³C₂ = 3
Select 1 man from 4:
⁴C₁ = 4
Favourable committees = 3 × 4 = 12
Probability = 12/35
हल (हिंदी):
कुल व्यक्ति = 7
3 सदस्यों की कुल समितियाँ = ⁷C₃ = 35
3 महिलाओं में से 2 चुनने के तरीके = 3
4 पुरुषों में से 1 चुनने के तरीके = 4
अनुकूल समितियाँ = 3 × 4 = 12
अतः प्रायिकता = 12/35
Answer / उत्तर: 12/35
### Question 14. First Head on the Fourth Toss
English: A fair coin is tossed repeatedly until the first head appears. Find the probability that the first head appears on the fourth toss.
हिंदी: एक निष्पक्ष सिक्के को पहली बार चित आने तक उछाला जाता है। पहली बार चित चौथे उछाल पर आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
For the first head to appear on the fourth toss, the required sequence is:
Tail, Tail, Tail, Head
Since the tosses are independent:
P = (1/2) × (1/2) × (1/2) × (1/2)
= 1/16
हल (हिंदी):
पहली बार चित चौथे उछाल पर आने के लिए क्रम होना चाहिए:
पट, पट, पट, चित
सभी उछाल स्वतंत्र हैं।
अतः प्रायिकता:
P = (1/2)⁴ = 1/16
Answer / उत्तर: 1/16
### Question 15. Product Divisible by 6
English: Two fair dice are thrown. Find the probability that the product of the numbers appearing is divisible by 6.
हिंदी: दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। प्राप्त संख्याओं का गुणनफल 6 से विभाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total outcomes = 36
For the product to be divisible by 6, it must contain factors 2 and 3.
If at least one die shows 6, the number of ordered outcomes is:
6 + 6 − 1 = 11
Without a 6, the favourable ordered pairs are:
(2,3), (3,2), (3,4), (4,3)
Additional favourable outcomes = 4
Total favourable outcomes = 11 + 4 = 15
Probability = 15/36 = 5/12
हल (हिंदी):
कुल परिणाम = 36
गुणनफल 6 से विभाज्य होने के लिए उसमें 2 और 3 दोनों के गुणनखंड होने चाहिए।
कम से कम एक पासे पर 6 आने के परिणाम = 11
यदि किसी पासे पर 6 नहीं आता, तो अनुकूल युग्म हैं:
(2,3), (3,2), (3,4), (4,3)
इनकी संख्या = 4
कुल अनुकूल परिणाम = 11 + 4 = 15
अतः प्रायिकता = 15/36 = 5/12
Answer / उत्तर: 5/12
### Question 16. Selection with Replacement
English: A box contains 4 red and 6 white balls. One ball is drawn, replaced, and then another ball is drawn. Find the probability that the two balls drawn are of different colours.
हिंदी: एक डिब्बे में 4 लाल और 6 सफेद गेंदें हैं। पहली गेंद निकालकर वापस रख दी जाती है, फिर दूसरी गेंद निकाली जाती है। दोनों गेंदों के अलग-अलग रंगों की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Different colours can occur in two ways:
Red followed by white:
P(RW) = (4/10) × (6/10) = 24/100
White followed by red:
P(WR) = (6/10) × (4/10) = 24/100
Total probability = 48/100 = 12/25
हल (हिंदी):
अलग-अलग रंग मिलने की दो स्थितियाँ हैं।
पहली स्थिति: लाल, फिर सफेद
P = (4/10) × (6/10)
दूसरी स्थिति: सफेद, फिर लाल
P = (6/10) × (4/10)
दोनों की प्रायिकताएँ जोड़ने पर:
P = 24/100 + 24/100 = 12/25
Answer / उत्तर: 12/25
### Question 17. At Least One Six
English: A fair die is rolled 4 times. Find the probability that at least one six appears.
हिंदी: एक निष्पक्ष पासे को 4 बार फेंका जाता है। कम से कम एक बार 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Probability of not getting a six in one roll = 5/6
Probability of not getting a six in all 4 rolls:
(5/6)⁴ = 625/1296
Therefore:
P(at least one six) = 1 − 625/1296
= 671/1296
हल (हिंदी):
एक बार पासा फेंकने पर 6 नहीं आने की प्रायिकता = 5/6
चारों बार 6 नहीं आने की प्रायिकता:
(5/6)⁴ = 625/1296
पूरक प्रायिकता के अनुसार:
कम से कम एक बार 6 आने की प्रायिकता:
P = 1 − 625/1296
= 671/1296
Answer / उत्तर: 671/1296
### Question 18. Vowels in a Word
English: A letter is selected randomly from the word MATHEMATICS. Find the probability that the selected letter is a vowel.
हिंदी: MATHEMATICS शब्द के अक्षरों में से एक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। उसके स्वर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
MATHEMATICS contains 11 letters.
Vowels are A, E, A, I.
Number of vowels = 4
Total letters = 11
Probability = 4/11
हल (हिंदी):
MATHEMATICS में कुल 11 अक्षर हैं।
स्वर हैं: A, E, A, I
स्वरों की संख्या = 4
कुल अक्षर = 11
अतः प्रायिकता = 4/11
Answer / उत्तर: 4/11
### Question 19. Exactly Two Heads Given At Least One Head
English: Three fair coins are tossed. Given that at least one head occurs, find the probability that exactly two heads occur.
हिंदी: तीन निष्पक्ष सिक्के उछाले जाते हैं। यदि कम से कम एक चित आता है, तो ठीक दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total outcomes for 3 coins = 8
The outcome TTT is excluded because at least one head must occur.
Remaining outcomes = 7
Exactly two heads occur in:
HHT, HTH, THH
Favourable outcomes = 3
Required conditional probability = 3/7
हल (हिंदी):
तीन सिक्कों के कुल परिणाम = 8
कम से कम एक चित आने की शर्त के कारण तीनों पट वाला परिणाम हटा दिया जाएगा।
शेष परिणाम = 7
ठीक दो चित वाले परिणाम:
HHT, HTH, THH
अनुकूल परिणाम = 3
अतः सशर्त प्रायिकता = 3/7
Answer / उत्तर: 3/7
### Question 20. Uniform Probability Distribution
English: A continuous random variable X is uniformly distributed between 2 and 10. Find P(4 < X < 7).
हिंदी: एक सतत यादृच्छिक चर X, 2 और 10 के बीच समान रूप से वितरित है। P(4 < X < 7) ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
For a continuous uniform distribution:
Probability = Length of favourable interval / Length of total interval
Total interval length = 10 − 2 = 8
Favourable interval length = 7 − 4 = 3
Therefore:
P(4 < X < 7) = 3/8
हल (हिंदी):
सतत समान वितरण में प्रायिकता निकालने का सूत्र:
प्रायिकता = अनुकूल अंतराल की लंबाई / कुल अंतराल की लंबाई
कुल अंतराल = 10 − 2 = 8
अनुकूल अंतराल = 7 − 4 = 3
अतः प्रायिकता = 3/8
Answer / उत्तर: 3/8
### Question 21. Second Die Greater Than First
English: A fair die is rolled twice. Find the probability that the number obtained on the second roll is strictly greater than the number obtained on the first roll.
हिंदी: एक निष्पक्ष पासे को दो बार फेंका जाता है। दूसरे उछाल पर प्राप्त संख्या के पहले उछाल की संख्या से बड़ी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total ordered outcomes = 36
If the first result is 1, the second has 5 favourable values.
If the first result is 2, the second has 4 favourable values.
Similarly, the favourable counts are:
5, 4, 3, 2, 1, 0
Total favourable outcomes = 15
Probability = 15/36 = 5/12
हल (हिंदी):
कुल क्रमबद्ध परिणाम = 36
यदि पहली संख्या 1 है, तो दूसरी संख्या के 5 अनुकूल मान हैं।
यदि पहली संख्या 2 है, तो 4 अनुकूल मान हैं।
इसी प्रकार अनुकूल परिणामों की संख्या:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15
अतः प्रायिकता = 15/36 = 5/12
Answer / उत्तर: 5/12
### Question 22. Exactly Two Red Balls
English: A bag contains 5 red and 5 blue balls. Three balls are drawn without replacement. Find the probability that exactly 2 are red.
हिंदी: एक थैले में 5 लाल और 5 नीली गेंदें हैं। बिना वापस रखे 3 गेंदें निकाली जाती हैं। ठीक 2 लाल गेंदें होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total ways of selecting 3 balls:
¹⁰C₃ = 120
Ways of selecting 2 red balls:
⁵C₂ = 10
Ways of selecting 1 blue ball:
⁵C₁ = 5
Favourable selections = 10 × 5 = 50
Probability = 50/120 = 5/12
हल (हिंदी):
कुल 10 गेंदों में से 3 चुनने के तरीके:
¹⁰C₃ = 120
5 लाल गेंदों में से 2 चुनने के तरीके = 10
5 नीली गेंदों में से 1 चुनने के तरीके = 5
कुल अनुकूल चयन = 10 × 5 = 50
अतः प्रायिकता = 50/120 = 5/12
Answer / उत्तर: 5/12
### Question 23. Difference Between Two Dice
English: Two fair dice are thrown. Find the probability that the absolute difference between the numbers obtained is exactly 2.
हिंदी: दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। प्राप्त संख्याओं के अंतर का निरपेक्ष मान ठीक 2 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total outcomes = 36
Favourable ordered pairs:
(1,3), (3,1)
(2,4), (4,2)
(3,5), (5,3)
(4,6), (6,4)
Total favourable outcomes = 8
Probability = 8/36 = 2/9
हल (हिंदी):
कुल परिणाम = 36
जिन युग्मों में दोनों संख्याओं का अंतर 2 है:
(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4)
अनुकूल परिणाम = 8
अतः प्रायिकता = 8/36 = 2/9
Answer / उत्तर: 2/9
### Question 24. Three-Digit Password
English: A password consists of 3 distinct digits chosen from 0 to 9. The first digit may also be zero. Find the probability that all three digits are odd.
हिंदी: एक पासवर्ड 0 से 9 तक के 3 अलग-अलग अंकों से बनाया जाता है। पहला अंक शून्य भी हो सकता है। तीनों अंकों के विषम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Total passwords:
10 × 9 × 8 = 720
Odd digits are 1, 3, 5, 7, 9.
Favourable passwords:
5 × 4 × 3 = 60
Probability = 60/720 = 1/12
हल (हिंदी):
कुल संभावित पासवर्ड:
10 × 9 × 8 = 720
विषम अंक हैं:
1, 3, 5, 7, 9
तीनों विषम अंक चुनकर व्यवस्थित करने के तरीके:
5 × 4 × 3 = 60
अतः प्रायिकता = 60/720 = 1/12
Answer / उत्तर: 1/12
### Question 25. Neither of Two Subjects
English: In a class, 40% of students study Physics, 50% study Chemistry, and 20% study both subjects. Find the probability that a randomly selected student studies neither subject.
हिंदी: एक कक्षा में 40% विद्यार्थी भौतिकी, 50% रसायन विज्ञान और 20% दोनों विषय पढ़ते हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गए विद्यार्थी के दोनों में से कोई भी विषय न पढ़ने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution (English):
Using the addition rule:
P(P ∪ C) = P(P) + P(C) − P(P ∩ C)
= 0.40 + 0.50 − 0.20
= 0.70
Probability of studying neither
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SSC CHSL 2026 Ultimate Chapterwise