Compound Interest / चक्रवृद्धि ब्याज

Complete Bilingual Notes for SSC, Railway and Other Competitive Exams

SSC, रेलवे एवं अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए सम्पूर्ण द्विभाषी अध्ययन सामग्री

Compound Interest is an important topic of Arithmetic for SSC CGL, SSC CHSL, SSC MTS, SSC GD, RRB NTPC, Railway Group D, ALP, Technician and various other competitive examinations. Questions from this topic are not limited to the direct calculation of interest. Examinations also ask questions based on the difference between Simple Interest and Compound Interest, half-yearly and quarterly compounding, different rates for different years, population growth, depreciation, successive percentage changes and reverse calculations.

चक्रवृद्धि ब्याज अंकगणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। SSC CGL, SSC CHSL, SSC MTS, SSC GD, RRB NTPC, रेलवे ग्रुप D, ALP, टेक्नीशियन तथा अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं में इस अध्याय से नियमित रूप से प्रश्न पूछे जाते हैं। प्रश्न केवल सीधे चक्रवृद्धि ब्याज की गणना तक सीमित नहीं होते। साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज का अंतर, अर्धवार्षिक एवं त्रैमासिक चक्रवृद्धि, अलग-अलग वर्षों की अलग ब्याज दरें, जनसंख्या वृद्धि, मूल्यह्रास, क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन तथा मूलधन या ब्याज दर ज्ञात करने जैसे प्रश्न भी महत्वपूर्ण हैं।

1. What is Compound Interest?

1. चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?

English

When a sum of money is invested or borrowed, interest is calculated on it. Under Compound Interest, the interest earned during one compounding period is added to the principal. During the next period, interest is calculated on the new amount.

Therefore, after the first compounding period, the principal effectively increases.

This means that compound interest gives:

Interest on Principal + Interest on Previous Interest

This process is known as compounding.

For example, if ₹10,000 is invested at 10% compound interest, the first year's interest is ₹1,000. The amount becomes ₹11,000. During the second year, interest is calculated on ₹11,000 rather than the original ₹10,000.

This is why Compound Interest becomes greater than Simple Interest when the time exceeds one compounding period and the rate is positive.

हिंदी

जब किसी धनराशि का निवेश किया जाता है या उसे उधार लिया जाता है, तो उस पर ब्याज की गणना की जाती है। चक्रवृद्धि ब्याज में एक अवधि के अंत में प्राप्त ब्याज को मूलधन में जोड़ दिया जाता है। अगली अवधि में ब्याज की गणना इस बढ़ी हुई राशि पर की जाती है।

इस प्रकार पहली अवधि के बाद प्रभावी मूलधन बढ़ जाता है।

अर्थात चक्रवृद्धि ब्याज में:

मूलधन पर ब्याज + पहले प्राप्त ब्याज पर भी ब्याज

मिलता है।

इस प्रक्रिया को चक्रवृद्धिकरण कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि ₹10,000 को 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश किया जाता है, तो पहले वर्ष का ब्याज ₹1,000 होगा। पहले वर्ष के बाद राशि ₹11,000 हो जाएगी। दूसरे वर्ष में ब्याज मूल ₹10,000 पर नहीं, बल्कि ₹11,000 पर निकाला जाएगा।

इसी कारण एक से अधिक चक्रवृद्धि अवधि और धनात्मक ब्याज दर की स्थिति में चक्रवृद्धि ब्याज सामान्यतः साधारण ब्याज से अधिक होता है।

2. Basic Example of Compound Interest

2. चक्रवृद्धि ब्याज का मूल उदाहरण

Example 1

Find the Compound Interest on ₹10,000 at 10% per annum for 2 years, compounded annually.

₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, यदि ब्याज वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि किया जाता है।

English Solution

Principal = ₹10,000

Rate = 10% per annum

Time = 2 years

First Year

Interest for first year:

= 10% of ₹10,000

= 10/100 × 10,000

= ₹1,000

Amount after first year:

= ₹10,000 + ₹1,000

= ₹11,000

Second Year

Now ₹11,000 becomes the amount on which second-year interest is calculated.

Second-year interest:

= 10% of ₹11,000

= ₹1,100

Amount after second year:

= ₹11,000 + ₹1,100

= ₹12,100

Therefore:

Compound Interest:

= Final Amount − Original Principal

= ₹12,100 − ₹10,000

= ₹2,100

हिंदी हल

मूलधन = ₹10,000

वार्षिक ब्याज दर = 10%

समय = 2 वर्ष

पहला वर्ष

पहले वर्ष का ब्याज:

= ₹10,000 का 10%

= 10/100 × 10,000

= ₹1,000

पहले वर्ष के अंत में मिश्रधन:

= ₹10,000 + ₹1,000

= ₹11,000

दूसरा वर्ष

अब दूसरे वर्ष का ब्याज ₹11,000 पर निकाला जाएगा।

दूसरे वर्ष का ब्याज:

= ₹11,000 का 10%

= ₹1,100

दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन:

= ₹11,000 + ₹1,100

= ₹12,100

अतः:

चक्रवृद्धि ब्याज:

= अंतिम मिश्रधन − प्रारंभिक मूलधन

= ₹12,100 − ₹10,000

= ₹2,100

Important Observation / महत्वपूर्ण तथ्य

Simple Interest for the same 2 years would be:

उसी मूलधन, दर और समय पर साधारण ब्याज:

= 10,000 × 10 × 2 / 100

= ₹2,000

But Compound Interest = ₹2,100.

लेकिन चक्रवृद्धि ब्याज = ₹2,100।

Therefore:

CI − SI = ₹100

अतः:

CI − SI = ₹100

This additional ₹100 is the interest earned during the second year on the ₹1,000 interest earned during the first year.

यह अतिरिक्त ₹100 वास्तव में पहले वर्ष में प्राप्त ₹1,000 ब्याज पर दूसरे वर्ष में प्राप्त ब्याज है।

3. Important Terms Used in Compound Interest

3. चक्रवृद्धि ब्याज में प्रयुक्त महत्वपूर्ण शब्द

Principal (P) / मूलधन

English

The original amount invested, deposited or borrowed is called the Principal.

हिंदी

प्रारंभ में निवेश की गई, जमा की गई या उधार ली गई धनराशि को मूलधन कहते हैं।

Example:

If ₹25,000 is deposited in a bank, then:

Principal = ₹25,000

यदि किसी बैंक में ₹25,000 जमा किए जाते हैं, तो:

मूलधन = ₹25,000

Rate (R) / ब्याज दर

English

The percentage at which interest is calculated for a specified period is called the Rate of Interest.

If interest is 8% per annum:

R = 8%

हिंदी

जिस प्रतिशत दर से किसी निश्चित अवधि के लिए ब्याज की गणना की जाती है, उसे ब्याज दर कहते हैं।

यदि वार्षिक ब्याज दर 8% है:

R = 8%

Time (T) / समय

English

The period for which money is invested or borrowed is called Time.

हिंदी

जिस अवधि तक धनराशि निवेश या उधार में रहती है, उसे समय कहते हैं।

Amount (A) / मिश्रधन

English

The total value obtained after adding accumulated interest to the principal is called Amount.

Amount = Principal + Compound Interest

Therefore:

A = P + CI

हिंदी

मूलधन में प्राप्त कुल चक्रवृद्धि ब्याज जोड़ने के बाद प्राप्त राशि को मिश्रधन कहते हैं।

मिश्रधन = मूलधन + चक्रवृद्धि ब्याज

अतः:

A = P + CI

4. Basic Formula of Compound Interest

4. चक्रवृद्धि ब्याज का मूल सूत्र

If interest is compounded annually:

यदि ब्याज वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि किया जाता है:

Amount = P(1 + R/100)^T

Therefore:

CI = Amount − Principal

Hence:

CI = P(1 + R/100)^T − P

or:

CI = P[(1 + R/100)^T − 1]

Where:

P = Principal
R = Annual Rate of Interest
T = Time in years
A = Amount
CI = Compound Interest

जहाँ:

P = मूलधन
R = वार्षिक ब्याज दर
T = समय, वर्षों में
A = मिश्रधन
CI = चक्रवृद्धि ब्याज

5. Derivation of Compound Interest Formula

5. चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र की व्युत्पत्ति

Understanding the formula is better than merely memorising it.

केवल सूत्र याद करने की अपेक्षा यह समझना अधिक उपयोगी है कि सूत्र बनता कैसे है।

Suppose:

Principal = P

Rate = R%

मान लीजिए:

मूलधन = P

ब्याज दर = R%

After First Year / पहले वर्ष के बाद

Interest:

ब्याज:

PR/100

Amount:

मिश्रधन:

P + PR/100

Taking P common:

P को उभयनिष्ठ लेने पर:

P(1 + R/100)

Therefore:

अतः:

A₁ = P(1 + R/100)

After Second Year / दूसरे वर्ष के बाद

The first-year amount becomes the base for calculating second-year interest.

पहले वर्ष का मिश्रधन दूसरे वर्ष के ब्याज की गणना का आधार बन जाता है।

Therefore:

अतः:

A₂ = P(1 + R/100)(1 + R/100)

So:

A₂ = P(1 + R/100)²

After Third Year / तीसरे वर्ष के बाद

Similarly:

इसी प्रकार:

A₃ = P(1 + R/100)³

Therefore, after T years:

अतः T वर्षों के बाद:

A = P(1 + R/100)^T

6. Compound Interest for One Year

6. एक वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज

When interest is compounded annually, for one year:

वार्षिक चक्रवृद्धि की स्थिति में एक वर्ष के लिए:

CI = PR/100

This is exactly the same as Simple Interest for one year.

यह एक वर्ष के साधारण ब्याज के बराबर होता है।

Therefore:

For 1 year: SI = CI

अतः:

1 वर्ष के लिए: SI = CI

Example 2

Find CI on ₹8,000 at 15% per annum for 1 year.

₹8,000 पर 15% वार्षिक दर से 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

English Solution

CI:

= 8000 × 15/100

= ₹1,200

Amount:

= ₹8,000 + ₹1,200

= ₹9,200

हिंदी हल

चक्रवृद्धि ब्याज:

= 8000 × 15/100

= ₹1,200

मिश्रधन:

= ₹8,000 + ₹1,200

= ₹9,200

Answer / उत्तर: CI = ₹1,200

7. Compound Interest for Two Years

7. दो वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज

For 2 years:

2 वर्षों के लिए:

A = P(1 + R/100)²

Therefore:

CI = P[(1 + R/100)² − 1]

On expansion:

विस्तार करने पर:

CI = P[2R/100 + R²/10000]

This is a useful shortcut for examinations.

यह प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए उपयोगी सूत्र है।

8. Difference Between CI and SI for Two Years

8. दो वर्षों के लिए CI और SI का अंतर

This is one of the most important formulas for SSC and Railway examinations.

यह SSC और रेलवे परीक्षाओं के लिए सबसे महत्वपूर्ण सूत्रों में से एक है।

For 2 years:

CI − SI = P(R/100)²

or:

CI − SI = PR²/10000

Example 3

Find the difference between Compound Interest and Simple Interest on ₹20,000 at 10% per annum for 2 years.

₹20,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ज्ञात कीजिए।

English Solution

Difference:

= P(R/100)²

= 20,000 × (10/100)²

= 20,000 × 1/100

= ₹200

हिंदी हल

अंतर:

= P(R/100)²

= 20,000 × (10/100)²

= 20,000 × 1/100

= ₹200

Answer / उत्तर: ₹200

9. Why Does the Difference Occur?

9. CI और SI में अंतर क्यों आता है?

English

In Simple Interest, the interest earned during the first year is not added to the principal for calculating the second-year interest.

In Compound Interest, first-year interest is added to the principal.

Therefore, during the second year, additional interest is earned on the first-year interest.

For two years:

CI − SI = Interest on the first year's interest

हिंदी

साधारण ब्याज में पहले वर्ष में प्राप्त ब्याज को दूसरे वर्ष के ब्याज की गणना के लिए मूलधन में नहीं जोड़ा जाता।

चक्रवृद्धि ब्याज में पहले वर्ष का ब्याज मूलधन में जोड़ दिया जाता है।

इसलिए दूसरे वर्ष में पहले वर्ष के ब्याज पर भी ब्याज प्राप्त होता है।

दो वर्षों के लिए:

CI − SI = पहले वर्ष के ब्याज पर दूसरे वर्ष में प्राप्त ब्याज

10. Shortcut Using First-Year Interest

10. पहले वर्ष के ब्याज से अंतर ज्ञात करने की विधि

Example 4

The first-year interest on a certain sum is ₹800. The rate is 10%. Find the difference between CI and SI for 2 years.

किसी धनराशि पर पहले वर्ष का ब्याज ₹800 है। ब्याज दर 10% है। 2 वर्षों के लिए CI और SI का अंतर ज्ञात कीजिए।

English Solution

Difference = Interest on ₹800 for one year at 10%.

= 800 × 10/100

= ₹80

हिंदी हल

अंतर = ₹800 पर 10% की दर से एक वर्ष का ब्याज।

= 800 × 10/100

= ₹80

Answer / उत्तर: ₹80

11. Compound Interest for Three Years

11. तीन वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज

For 3 years:

A = P(1 + R/100)³

Therefore:

CI = P[(1 + R/100)³ − 1]

Example 5

Find CI on ₹10,000 at 10% per annum for 3 years.

₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

English Solution

First year:

₹10,000 → ₹11,000

Second year:

₹11,000 → ₹12,100

Third-year interest:

10% of ₹12,100 = ₹1,210

Final amount:

₹12,100 + ₹1,210 = ₹13,310

Therefore:

CI = ₹13,310 − ₹10,000

= ₹3,310

हिंदी हल

पहले वर्ष के बाद:

₹10,000 → ₹11,000

दूसरे वर्ष के बाद:

₹11,000 → ₹12,100

तीसरे वर्ष का ब्याज:

₹12,100 का 10% = ₹1,210

अंतिम मिश्रधन:

₹12,100 + ₹1,210 = ₹13,310

अतः:

चक्रवृद्धि ब्याज:

= ₹13,310 − ₹10,000

= ₹3,310

12. Difference Between CI and SI for Three Years

12. तीन वर्षों के लिए CI और SI का अंतर

For 3 years:

CI − SI = P[3(R/100)² + (R/100)³]

This formula is particularly useful in higher-level questions.

यह सूत्र विशेष रूप से उच्च स्तर के प्रश्नों में उपयोगी है।

13. Half-Yearly Compounding

13. अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज

Half-yearly means interest is compounded every 6 months.

अर्धवार्षिक का अर्थ है कि प्रत्येक 6 महीने के बाद ब्याज को मूलधन में जोड़ दिया जाता है।

There are 2 half-years in one year.

एक वर्ष में 2 अर्धवर्ष होते हैं।

Therefore:

Rate for each half-year = R/2

and:

Number of periods = 2T

Formula:

A = P(1 + R/200)^(2T)

Example 6

Find CI on ₹20,000 at 10% per annum compounded half-yearly for 1 year.

₹20,000 पर 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, यदि ब्याज अर्धवार्षिक रूप से चक्रवृद्धि होता है।

English Solution

Annual rate = 10%

Half-yearly rate:

= 10/2

= 5%

Number of periods:

= 1 × 2

= 2

First 6 months:

Interest = 5% of ₹20,000

= ₹1,000

Amount = ₹21,000

Next 6 months:

Interest = 5% of ₹21,000

= ₹1,050

Final amount:

= ₹22,050

Therefore:

CI = ₹22,050 − ₹20,000

= ₹2,050

हिंदी हल

वार्षिक ब्याज दर = 10%

अर्धवार्षिक ब्याज दर:

= 10/2

= 5%

कुल अवधियाँ:

= 1 × 2

= 2

पहले 6 महीनों का ब्याज:

= ₹20,000 का 5%

= ₹1,000

6 महीनों के बाद मिश्रधन:

= ₹21,000

अगले 6 महीनों का ब्याज:

= ₹21,000 का 5%

= ₹1,050

अंतिम मिश्रधन:

= ₹22,050

अतः:

चक्रवृद्धि ब्याज:

= ₹22,050 − ₹20,000

= ₹2,050

14. Important Half-Yearly Exam Rule

14. अर्धवार्षिक ब्याज का महत्वपूर्ण परीक्षा नियम

If interest is compounded half-yearly:

यदि ब्याज अर्धवार्षिक रूप से चक्रवृद्धि किया जाता है:

Annual Rate → Divide by 2

वार्षिक दर → 2 से भाग दें

and:

Time in Years → Multiply by 2

वर्षों में समय → 2 से गुणा करें

Example

12% per annum for 3 years, compounded half-yearly:

12% वार्षिक दर, 3 वर्ष, अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि:

Rate per period = 6%

प्रति अवधि दर = 6%

Number of periods = 6

कुल अवधियाँ = 6

15. Quarterly Compounding

15. त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज

Quarterly means interest is compounded every 3 months.

त्रैमासिक का अर्थ है कि प्रत्येक 3 महीने के बाद ब्याज को मूलधन में जोड़ दिया जाता है।

There are 4 quarters in one year.

एक वर्ष में 4 तिमाहियाँ होती हैं।

Therefore:

Rate per quarter = R/4

प्रति तिमाही दर = R/4

and:

Number of periods = 4T

कुल अवधियाँ = 4T

Formula:

A = P(1 + R/400)^(4T)

Example 7

₹10,000 is invested at 8% per annum compounded quarterly for 1 year. Find the amount.

₹10,000 को 8% वार्षिक दर से 1 वर्ष के लिए त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश किया गया। मिश्रधन ज्ञात कीजिए।

English Solution

Quarterly rate:

= 8/4

= 2%

Number of periods:

= 4

Amount:

= 10,000 × (1.02)^4

= ₹10,824.32 approximately

Therefore:

CI = ₹10,824.32 − ₹10,000

= ₹824.32 approximately

हिंदी हल

प्रति तिमाही ब्याज दर:

= 8/4

= 2%

कुल अवधियाँ:

= 4

मिश्रधन:

= 10,000 × (1.02)^4

≈ ₹10,824.32

अतः:

चक्रवृद्धि ब्याज:

= ₹10,824.32 − ₹10,000

≈ ₹824.32

16. Different Rates for Different Years

16. अलग-अलग वर्षों के लिए अलग-अलग ब्याज दर

Sometimes the rate of interest changes every year.

कभी-कभी प्रत्येक वर्ष ब्याज दर अलग होती है।

Suppose:

First year = R₁%

Second year = R₂%

Third year = R₃%

Then:

A = P(1 + R₁/100)(1 + R₂/100)(1 + R₃/100)

Do not simply add the rates.

ब्याज दरों को सीधे जोड़ना नहीं चाहिए।

Example 8

₹10,000 is invested at 10% for the first year and 20% for the second year. Find the final amount.

₹10,000 को पहले वर्ष 10% और दूसरे वर्ष 20% की दर से निवेश किया गया। अंतिम मिश्रधन ज्ञात कीजिए।

English Solution

After first year:

= 10,000 × 1.10

= ₹11,000

After second year:

= 11,000 × 1.20

= ₹13,200

Therefore:

Final Amount = ₹13,200

CI = ₹13,200 − ₹10,000

= ₹3,200

Overall increase:

= 32%

हिंदी हल

पहले वर्ष के बाद:

= 10,000 × 1.10

= ₹11,000

दूसरे वर्ष के बाद:

= 11,000 × 1.20

= ₹13,200

अतः:

अंतिम मिश्रधन = ₹13,200

चक्रवृद्धि ब्याज:

= ₹13,200 − ₹10,000

= ₹3,200

कुल प्रतिशत वृद्धि:

= 32%

ध्यान दें कि 10% + 20% = 30% मानना गलत होगा।

17. Successive Percentage Change

17. क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन

If a quantity increases by x% and then increases by y%, the net increase is:

यदि किसी राशि में पहले x% और फिर y% की वृद्धि होती है, तो कुल वृद्धि:

Net Increase = x + y + xy/100

Example 9

A quantity increases by 20% and then by 10%. Find the overall increase.

किसी राशि में पहले 20% और फिर 10% की वृद्धि होती है। कुल वृद्धि ज्ञात कीजिए।

Solution / हल

Net increase:

कुल वृद्धि:

= 20 + 10 + (20 × 10)/100

= 30 + 2

= 32%

18. Increase Followed by Decrease

18. वृद्धि के बाद कमी

If a quantity increases by x% and then decreases by y%:

यदि किसी राशि में पहले x% की वृद्धि और फिर y% की कमी होती है:

Net Change = x − y − xy/100

A positive answer means net increase.

धनात्मक उत्तर का अर्थ कुल वृद्धि है।

A negative answer means net decrease.

ऋणात्मक उत्तर का अर्थ कुल कमी है।

Example 10

A quantity increases by 20% and then decreases by 10%.

किसी राशि में पहले 20% की वृद्धि और फिर 10% की कमी होती है।

Net change:

= 20 − 10 − (20×10)/100

= 10 − 2

= 8% increase

कुल परिवर्तन:

= 8% वृद्धि

19. Equal Increase and Decrease

19. समान प्रतिशत वृद्धि और कमी

This is a very important examination concept.

यह प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण अवधारणा है।

If a quantity increases by x% and then decreases by x%:

यदि किसी राशि में पहले x% की वृद्धि और फिर x% की कमी होती है:

Net Loss = x²/100 %

Example 11

A price increases by 20% and then decreases by 20%. Find the net change.

किसी वस्तु की कीमत पहले 20% बढ़ती है और फिर 20% घटती है। कुल परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

English Solution

Net loss:

= 20²/100

= 400/100

= 4%

Therefore:

4% decrease

हिंदी हल

कुल हानि:

= 20²/100

= 400/100

= 4%

अतः:

4% की कुल कमी

Important

+20% and −20% do not cancel each other.

+20% और −20% एक-दूसरे को समाप्त नहीं करते।

20. Population Growth

20. जनसंख्या वृद्धि

Compound Interest principles are frequently used in population questions.

जनसंख्या वृद्धि के प्रश्नों में चक्रवृद्धि ब्याज की अवधारणा का प्रयोग किया जाता है।

If present population = P and annual growth rate = R%:

यदि वर्तमान जनसंख्या P और वार्षिक वृद्धि दर R% है:

Population after T years = P(1 + R/100)^T

Example 12

The population of a town is 50,000. It increases by 10% annually. Find the population after 2 years.

किसी नगर की जनसंख्या 50,000 है। इसमें प्रतिवर्ष 10% की वृद्धि होती है। 2 वर्षों बाद जनसंख्या ज्ञात कीजिए।

English Solution

After first year:

50,000 × 1.10 = 55,000

After second year:

55,000 × 1.10 = 60,500

Therefore:

Population after 2 years = 60,500

हिंदी हल

पहले वर्ष के बाद:

50,000 × 1.10 = 55,000

दूसरे वर्ष के बाद:

55,000 × 1.10 = 60,500

अतः:

2 वर्षों बाद जनसंख्या = 60,500

21. Population Decrease

21. जनसंख्या में कमी

If population decreases by R% every year:

यदि जनसंख्या में प्रतिवर्ष R% की कमी होती है:

Population after T years = P(1 − R/100)^T

Example 13

A town has a population of 1,00,000. Its population decreases by 10% every year. Find the population after 2 years.

किसी नगर की जनसंख्या 1,00,000 है। इसमें प्रतिवर्ष 10% की कमी होती है। 2 वर्षों बाद जनसंख्या ज्ञात कीजिए।

English Solution

After first year:

1,00,000 × 0.90

= 90,000

After second year:

90,000 × 0.90

= 81,000

Therefore:

Population after 2 years = 81,000

Overall decrease:

= 19%

not 20%.

हिंदी हल

पहले वर्ष के बाद:

1,00,000 × 0.90

= 90,000

दूसरे वर्ष के बाद:

90,000 × 0.90

= 81,000

अतः:

2 वर्षों बाद जनसंख्या = 81,000

कुल कमी:

= 19%

होगी, 20% नहीं।

22. Depreciation

22. मूल्यह्रास

English

The value of machines, vehicles, electronic equipment and similar assets generally decreases with time.

This reduction in value is called Depreciation.

Compound-interest principles are used to calculate depreciation.

If original value = P and annual depreciation = R%:

Value after T years = P(1 − R/100)^T

हिंदी

मशीनों, वाहनों, इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों तथा अन्य परिसंपत्तियों का मूल्य समय के साथ कम हो सकता है।

मूल्य में इस कमी को मूल्यह्रास कहते हैं।

मूल्यह्रास की गणना में भी चक्रवृद्धि ब्याज जैसी अवधारणा का प्रयोग किया जाता है।

यदि प्रारंभिक मूल्य P और वार्षिक मूल्यह्रास दर R% है:

T वर्षों बाद मूल्य = P(1 − R/100)^T

Example 14

A machine worth ₹2,00,000 depreciates by 10% annually. Find its value after 2 years.

₹2,00,000 मूल्य की मशीन के मूल्य में प्रतिवर्ष 10% की कमी होती है। 2 वर्षों बाद मशीन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

English Solution

After first year:

₹2,00,000 × 0.90

= ₹1,80,000

After second year:

₹1,80,000 × 0.90

= ₹1,62,000

Final value = ₹1,62,000

Total depreciation:

= ₹2,00,000 − ₹1,62,000

= ₹38,000

हिंदी हल

पहले वर्ष के बाद:

₹2,00,000 × 0.90

= ₹1,80,000

दूसरे वर्ष के बाद:

₹1,80,000 × 0.90

= ₹1,62,000

अंतिम मूल्य = ₹1,62,000

कुल मूल्यह्रास:

= ₹2,00,000 − ₹1,62,000

= ₹38,000

23. Reverse Depreciation

23. मूल्यह्रास से प्रारंभिक मूल्य ज्ञात करना

Example 15

A machine is worth ₹81,000 after 2 years. Its value depreciates by 10% annually. Find its original value.

एक मशीन का मूल्य 2 वर्षों बाद ₹81,000 है। उसके मूल्य में प्रतिवर्ष 10% की कमी होती है। उसका प्रारंभिक मूल्य ज्ञात कीजिए।

English Solution

Let original value = P.

After 2 years:

81,000 = P × 0.9²

81,000 = 0.81P

Therefore:

P = 81,000/0.81

P = ₹1,00,000

हिंदी हल

मान लें प्रारंभिक मूल्य = P.

2 वर्षों के बाद:

81,000 = P × 0.9²

81,000 = 0.81P

अतः:

P = 81,000/0.81

P = ₹1,00,000

24. Finding Principal from Amount

24. मिश्रधन से मूलधन ज्ञात करना

From:

A = P(1 + R/100)^T

we get:

P = A/(1 + R/100)^T

Example 16

A sum becomes ₹12,100 in 2 years at 10% compound interest. Find the principal.

कोई राशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्षों में ₹12,100 हो जाती है। मूलधन ज्ञात कीजिए।

English Solution

P:

= 12,100/(1.10)²

= 12,100/1.21

= ₹10,000

हिंदी हल

मूलधन:

= 12,100/(1.10)²

= 12,100/1.21

= ₹10,000

25. Finding the Rate of Interest

25. ब्याज दर ज्ञात करना

Example 17

₹10,000 becomes ₹12,100 in 2 years at compound interest. Find the annual rate.

₹10,000 की राशि 2 वर्षों में चक्रवृद्धि ब्याज पर बढ़कर ₹12,100 हो जाती है। वार्षिक ब्याज दर ज्ञात कीजिए।

English Solution

12,100 = 10,000(1 + R/100)²

Dividing by 10,000:

1.21 = (1 + R/100)²

Taking square root:

1.10 = 1 + R/100

Therefore:

R/100 = 0.10

R = 10%

हिंदी हल

12,100 = 10,000(1 + R/100)²

दोनों पक्षों को 10,000 से भाग देने पर:

1.21 = (1 + R/100)²

वर्गमूल लेने पर:

1.10 = 1 + R/100

अतः:

R/100 = 0.10

R = 10%

26. Finding Time

26. समय ज्ञात करना

Example 18

₹10,000 becomes ₹13,310 at 10% compound interest. Find the time.

₹10,000 की राशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से बढ़कर ₹13,310 हो जाती है। समय ज्ञात कीजिए।

English Solution

We know:

10,000 × 1.1³ = 13,310

Therefore:

Time = 3 years

हिंदी हल

हम जानते हैं:

10,000 × 1.1³ = 13,310

अतः:

समय = 3 वर्ष

27. Growth Factor Method

27. वृद्धि गुणक विधि

This is one of the fastest methods for SSC and Railway examinations.

यह SSC और रेलवे परीक्षाओं में प्रश्नों को तेजी से हल करने की अत्यंत उपयोगी विधि है।

Convert each percentage increase or decrease into a multiplication factor.

प्रत्येक प्रतिशत वृद्धि या कमी को गुणक में बदलें।

5% increase = 1.05

10% increase = 1.10

20% increase = 1.20

25% increase = 1.25

50% increase = 1.50

5% decrease = 0.95

10% decrease = 0.90

20% decrease = 0.80

25% decrease = 0.75

50% decrease = 0.50

Example 19

A value increases by 20%, then by 10%, and finally decreases by 25%. Find the overall change.

किसी राशि में पहले 20% की वृद्धि, फिर 10% की वृद्धि और अंत में 25% की कमी होती है। कुल परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

Solution / हल

Overall multiplier:

कुल गुणक:

= 1.20 × 1.10 × 0.75

= 0.99

Final value = 99% of original value.

अंतिम राशि प्रारंभिक राशि की 99% है।

Therefore:

Net decrease = 1%

अतः:

कुल कमी = 1%

28. Recovery Percentage

28. कमी के बाद मूल मूल्य प्राप्त करने के लिए आवश्यक वृद्धि

This is another important percentage concept connected with compound change.

यह क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन से जुड़ी एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

If a value decreases by x%, the percentage increase required to restore the original value is:

यदि किसी राशि में x% की कमी होती है, तो उसे पुनः मूल राशि तक पहुँचाने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि:

Required Increase = [x/(100 − x)] × 100

Example 20

A value decreases by 20%. What percentage increase is required to restore the original value?

किसी राशि में 20% की कमी होती है। उसे पुनः मूल राशि तक पहुँचाने के लिए कितने प्रतिशत की वृद्धि आवश्यक होगी?

English Solution

Assume original value = 100.

After 20% decrease:

Value = 80.

Increase required:

= 20

Required percentage:

= 20/80 × 100

= 25%

हिंदी हल

प्रारंभिक राशि = 100 मान लें।

20% की कमी के बाद:

राशि = 80

मूल राशि तक पहुँचने के लिए आवश्यक वृद्धि:

= 20

आवश्यक प्रतिशत वृद्धि:

= 20/80 × 100

= 25%

29. Important Recovery Values

29. महत्वपूर्ण पुनर्प्राप्ति प्रतिशत

10% decrease → 11.11% increase required

10% कमी → लगभग 11.11% वृद्धि आवश्यक

20% decrease → 25% increase required

20% कमी → 25% वृद्धि आवश्यक

25% decrease → 33⅓% increase required

25% कमी → 33⅓% वृद्धि आवश्यक

50% decrease → 100% increase required

50% कमी → 100% वृद्धि आवश्यक

30. Simple Interest vs Compound Interest

30. साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज में अंतर

English

Under Simple Interest, interest is calculated on the original principal throughout the entire period.

Under Compound Interest, interest is calculated on the accumulated amount after every compounding period.

For one year under annual compounding:

SI = CI

For more than one year at a positive rate:

CI > SI

The difference increases as time and rate increase.

हिंदी

साधारण ब्याज में पूरी अवधि के दौरान ब्याज की गणना मूल मूलधन पर ही की जाती है।

चक्रवृद्धि ब्याज में प्रत्येक चक्रवृद्धि अवधि के बाद प्राप्त ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है और अगली अवधि का ब्याज बढ़ी हुई राशि पर निकाला जाता है।

वार्षिक चक्रवृद्धि की स्थिति में एक वर्ष के लिए:

SI = CI

एक वर्ष से अधिक समय और धनात्मक ब्याज दर की स्थिति में:

CI > SI

समय और ब्याज दर बढ़ने पर दोनों के बीच अंतर भी बढ़ता जाता है।

31. Common Mistakes in Compound Interest

31. चक्रवृद्धि ब्याज में होने वाली सामान्य गलतियाँ

Mistake 1: Adding Successive Rates Directly

गलती 1: क्रमिक दरों को सीधे जोड़ना

10% increase followed by 20% increase does not produce 30% overall increase.

10% वृद्धि के बाद 20% वृद्धि होने पर कुल वृद्धि 30% नहीं होती।

Correct increase:

32%

सही कुल वृद्धि:

32%

Mistake 2: Forgetting Half-Yearly Conversion

गलती 2: अर्धवार्षिक परिवर्तन भूल जाना

At 12% per annum compounded half-yearly:

12% वार्षिक दर पर अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि में:

Rate per half-year = 6%

प्रति अर्धवर्ष दर = 6%

Mistake 3: Forgetting Number of Periods

गलती 3: अवधियों की संख्या गलत लेना

2 years compounded half-yearly means:

2 वर्षों के लिए अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि का अर्थ:

4 compounding periods

4 चक्रवृद्धि अवधियाँ

Mistake 4: Confusing Amount with CI

गलती 4: मिश्रधन को चक्रवृद्धि ब्याज समझ लेना

If:

Principal = ₹10,000

Amount = ₹12,100

Then:

CI = ₹12,100 − ₹10,000

= ₹2,100

यदि:

मूलधन = ₹10,000

मिश्रधन = ₹12,100

तो:

चक्रवृद्धि ब्याज = ₹2,100

होगा, ₹12,100 नहीं।

32. Important SSC & Railway Shortcuts

32. SSC एवं रेलवे के लिए महत्वपूर्ण शॉर्टकट

1.

CI = Amount − Principal

चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन − मूलधन

2.

For 2 years:

CI − SI = P(R/100)²

2 वर्षों के लिए:

CI − SI = P(R/100)²

3.

Half-yearly:

Rate = R/2

Periods = 2T

अर्धवार्षिक:

दर = R/2

अवधियाँ = 2T

4.

Quarterly:

Rate = R/4

Periods = 4T

त्रैमासिक:

दर = R/4

अवधियाँ = 4T

5.

Equal increase and decrease:

Net Loss = x²/100 %

समान प्रतिशत वृद्धि और कमी:

कुल हानि = x²/100 %

6.

20% decrease requires:

25% increase for recovery

20% कमी के बाद:

25% वृद्धि आवश्यक

7.

25% decrease requires:

33⅓% increase

25% कमी के बाद:

33⅓% वृद्धि आवश्यक

8.

50% decrease requires:

100% increase

50% कमी के बाद:

100% वृद्धि आवश्यक

33. Practice Questions

33. अभ्यास प्रश्न

Question 1

Find the Compound Interest on ₹10,000 at 10% per annum for 2 years.

₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

A. ₹2,000
B. ₹2,050
C. ₹2,100
D. ₹2,200

Answer / उत्तर: C. ₹2,100

Explanation

Amount = 10,000 × 1.1² = ₹12,100

CI = ₹12,100 − ₹10,000 = ₹2,100

व्याख्या

मिश्रधन = 10,000 × 1.1² = ₹12,100

चक्रवृद्धि ब्याज = ₹12,100 − ₹10,000 = ₹2,100

Question 2

What will be the amount on ₹5,000 at 20% compound interest for 2 years?

₹5,000 पर 20% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्षों बाद मिश्रधन कितना होगा?

A. ₹7,000
B. ₹7,100
C. ₹7,200
D. ₹7,400

Answer / उत्तर: C. ₹7,200

Explanation

Amount:

= 5,000 × 1.2²

= 5,000 × 1.44

= ₹7,200

व्याख्या

मिश्रधन:

= 5,000 × 1.2²

= 5,000 × 1.44

= ₹7,200

Question 3

Find the difference between SI and CI on ₹10,000 at 10% for 2 years.

₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्षों के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज का अंतर ज्ञात कीजिए।

A. ₹50
B. ₹100
C. ₹150
D. ₹200

Answer / उत्तर: B. ₹100

Explanation / व्याख्या

Difference:

= 10,000 × (10/100)²

= ₹100

Question 4

A sum becomes ₹12,100 in 2 years at 10% compound interest. Find the principal.

कोई राशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्षों में ₹12,100 हो जाती है। मूलधन ज्ञात कीजिए।

A. ₹9,000
B. ₹10,000
C. ₹11,000
D. ₹12,000

Answer / उत्तर: B. ₹10,000

Question 5

A machine worth ₹1,00,000 depreciates by 10% annually. Find its value after 2 years.

₹1,00,000 मूल्य की मशीन के मूल्य में प्रतिवर्ष 10% की कमी होती है। 2 वर्षों बाद उसका मूल्य कितना होगा?

A. ₹80,000
B. ₹81,000
C. ₹82,000
D. ₹90,000

Answer / उत्तर: B. ₹81,000

Explanation

Value:

= 1,00,000 × 0.9²

= ₹81,000

व्याख्या

अंतिम मूल्य:

= 1,00,000 × 0.9²

= ₹81,000

Question 6

A population increases by 20% and then by 10%. Find the overall percentage increase.

किसी जनसंख्या में पहले 20% और फिर 10% की वृद्धि होती है। कुल प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।

A. 30%
B. 31%
C. 32%
D. 35%

Answer / उत्तर: C. 32%

Explanation / व्याख्या

20 + 10 + (20×10)/100

= 32%

Question 7

A quantity increases by 20% and then decreases by 20%. Find the net change.

किसी राशि में पहले 20% की वृद्धि और फिर 20% की कमी होती है। कुल परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

A. No change / कोई परिवर्तन नहीं
B. 4% increase / 4% वृद्धि
C. 4% decrease / 4% कमी
D. 2% decrease / 2% कमी

Answer / उत्तर: C. 4% decrease / 4% कमी

Question 8

₹20,000 is invested at 10% per annum compounded half-yearly for 1 year. Find the amount.

₹20,000 को 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष के लिए अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश किया गया। मिश्रधन ज्ञात कीजिए।

A. ₹22,000
B. ₹22,025
C. ₹22,050
D. ₹22,100

Answer / उत्तर: C. ₹22,050

Question 9

A sum doubles in 5 years at Compound Interest. In how many years will it become 8 times at the same rate?

कोई राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 5 वर्षों में दोगुनी हो जाती है। उसी दर पर वह कितने वर्षों में 8 गुनी होगी?

A. 10 years / 10 वर्ष
B. 12 years / 12 वर्ष
C. 15 years / 15 वर्ष
D. 20 years / 20 वर्ष

Answer / उत्तर: C. 15 years / 15 वर्ष

Explanation

5 years → 2P

10 years → 4P

15 years → 8P

व्याख्या

5 वर्ष → 2P

10 वर्ष → 4P

15 वर्ष → 8P

Question 10

A value decreases by 20%. By what percentage must it increase to return to its original value?

किसी राशि में 20% की कमी होती है। उसे पुनः मूल राशि तक पहुँचाने के लिए कितने प्रतिशत की वृद्धि आवश्यक होगी?

A. 20%
B. 22.5%
C. 25%
D. 30%

Answer / उत्तर: C. 25%

34. Final Revision Points

34. अंतिम पुनरावृत्ति बिंदु

English

Before completing Compound Interest, remember these points:

1. Compound Interest means interest on principal plus accumulated interest.
2. Amount = Principal + CI.
3. CI = Amount − Principal.
4. For annual compounding, A = P(1 + R/100)^T.
5. For one year, SI and CI are equal.
6. For 2 years, CI − SI = P(R/100)².
7. Half-yearly compounding means rate becomes R/2 and periods become 2T.
8. Quarterly compounding means rate becomes R/4 and periods become 4T.
9. Different yearly rates must be applied successively.
10. Population growth follows compound-growth principles.
11. Depreciation uses repeated percentage decrease.
12. Equal percentage increase and decrease always produces a loss.
13. A 20% fall requires a 25% rise for recovery.
14. A 25% fall requires a 33⅓% rise for recovery.
15. A 50% fall requires a 100% rise for recovery.

हिंदी

चक्रवृद्धि ब्याज अध्याय की पुनरावृत्ति करते समय इन बिंदुओं को अवश्य याद रखें:

1. चक्रवृद्धि ब्याज में मूलधन के साथ पहले से प्राप्त ब्याज पर भी ब्याज मिलता है।
2. मिश्रधन = मूलधन + चक्रवृद्धि ब्याज।
3. चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन − मूलधन।
4. वार्षिक चक्रवृद्धि के लिए A = P(1 + R/100)^T।
5. एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज समान होते हैं।
6. 2 वर्षों के लिए CI − SI = P(R/100)²।
7. अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि में दर R/2 और अवधियाँ 2T होती हैं।
8. त्रैमासिक चक्रवृद्धि में दर R/4 और अवधियाँ 4T होती हैं।
9. अलग-अलग वर्षों की अलग ब्याज दरों को क्रमशः लागू करना चाहिए।
10. जनसंख्या वृद्धि में चक्रवृद्धि वृद्धि की अवधारणा लागू होती है।
11. मूल्यह्रास में बार-बार प्रतिशत कमी की अवधारणा लागू होती है।
12. समान प्रतिशत वृद्धि और कमी होने पर कुल परिणाम हानि होता है।
13. 20% कमी की भरपाई के लिए 25% वृद्धि आवश्यक है।
14. 25% कमी की भरपाई के लिए 33⅓% वृद्धि आवश्यक है।
15. 50% कमी की भरपाई के लिए 100% वृद्धि आवश्यक है।