Largest and Smallest Six-Digit Numbers

सबसे बड़ी और सबसे छोटी छह अंकों की संख्या

Question / प्रश्न

Find the difference between the largest and the smallest six-digit numbers.

छह अंकों वाली सबसे बड़ी तथा सबसे छोटी संख्या का अंतर ज्ञात कीजिए।

Options / विकल्प

(a) 988888
(b) 999999
(c) 888888
(d) 899999

English Solution

To solve this question, we first need to understand how to identify the largest and smallest number having a given number of digits.

Largest Six-Digit Number

A six-digit number has exactly six digits.

To form the largest possible six-digit number, every digit should be the largest possible decimal digit.

The largest single digit is:

9

Therefore:

Largest six-digit number = 999999

Smallest Six-Digit Number

The smallest six-digit number cannot begin with 0 because a leading zero does not contribute to the number of digits.

For example:

099999 = 99999

which is only a five-digit number.

Therefore, the first digit of the smallest six-digit number must be 1, while all remaining digits should be 0.

Hence:

Smallest six-digit number = 100000

Required Difference

Largest six-digit number:

999999

Smallest six-digit number:

100000

Therefore:

999999 − 100000 = 899999

Final Answer: (d) 899999

Important General Rule

This question can be solved even faster using a general formula.

For an n-digit number:

Smallest n-digit number

10ⁿ⁻¹

Largest n-digit number

10ⁿ − 1

For six-digit numbers:

Smallest = 10⁵ = 100000

and:

Largest = 10⁶ − 1 = 999999

Therefore:

Difference = (10⁶ − 1) − 10⁵

= 1000000 − 1 − 100000

= 900000 − 1

= 899999

Shortcut Formula

The difference between the largest and smallest n-digit numbers is:

(10ⁿ − 1) − 10ⁿ⁻¹

Taking 10ⁿ⁻¹ common:

= 9 × 10ⁿ⁻¹ − 1

Therefore:

Difference = 9 × 10ⁿ⁻¹ − 1

For n = 6:

9 × 10⁵ − 1

= 900000 − 1

= 899999

Pattern to Remember

*For positive n-digit numbers, the usual formula beginning with 10ⁿ⁻¹ is applied for n ≥ 2; treatment of one-digit numbers depends on whether 0 is included.

Notice the pattern:

2 digits → 89
3 digits → 899
4 digits → 8999
5 digits → 89999
6 digits → 899999

This gives a very quick examination shortcut.

Place Value Explanation

The smallest six-digit number is:

100000

Its leftmost digit occupies the hundred-thousands place.

The largest six-digit number is:

999999

Its place values are:

9 × 100000

• 9 × 10000

• 9 × 1000

• 9 × 100

• 9 × 10

• 9 × 1

= 999999

This demonstrates why no six-digit number can be larger than 999999.

The next integer:

1000000

has seven digits.

Key Concepts for Competitive Exams

Largest n-digit number

The largest n-digit number consists entirely of 9s.

Examples:

Largest 3-digit number = 999

Largest 5-digit number = 99999

Largest 7-digit number = 9999999

Smallest n-digit number

The smallest n-digit positive integer begins with 1 followed by n−1 zeros.

Examples:

Smallest 3-digit number = 100

Smallest 5-digit number = 10000

Smallest 7-digit number = 1000000

Common Mistake

Some students may incorrectly take:

000001

as the smallest six-digit number.

This is incorrect.

Leading zeros are not counted as digits in the usual representation of an integer.

000001 = 1

and 1 is a one-digit number, not a six-digit number.

हिन्दी समाधान

इस प्रश्न को हल करने के लिए सबसे पहले यह समझना आवश्यक है कि किसी निश्चित अंकों वाली सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या कैसे ज्ञात की जाती है।

सबसे बड़ी छह अंकों की संख्या

किसी छह अंकों की सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए प्रत्येक स्थान पर सबसे बड़ा संभव अंक रखना होगा।

सबसे बड़ा एकल अंक है:

9

इसलिए:

सबसे बड़ी छह अंकों की संख्या = 999999

सबसे छोटी छह अंकों की संख्या

सबसे छोटी छह अंकों की संख्या के प्रारंभ में 0 नहीं रखा जा सकता, क्योंकि प्रारंभिक शून्य संख्या के अंकों की संख्या नहीं बढ़ाता।

उदाहरण:

099999 = 99999

और 99999 केवल पाँच अंकों की संख्या है।

इसलिए सबसे छोटी छह अंकों की संख्या में पहला अंक 1 तथा शेष सभी अंक 0 होंगे।

अतः:

सबसे छोटी छह अंकों की संख्या = 100000

आवश्यक अंतर

सबसे बड़ी संख्या:

999999

सबसे छोटी संख्या:

100000

अतः:

999999 − 100000

= 899999

अंतिम उत्तर: (d) 899999

महत्वपूर्ण सामान्य नियम

किसी n अंकों की संख्या के लिए:

सबसे छोटी n अंकों की संख्या

10ⁿ⁻¹

सबसे बड़ी n अंकों की संख्या

10ⁿ − 1

छह अंकों के लिए:

सबसे छोटी संख्या = 10⁵ = 100000

और:

सबसे बड़ी संख्या = 10⁶ − 1 = 999999

इसलिए:

अंतर = 999999 − 100000

= 899999

शॉर्टकट सूत्र

सबसे बड़ी और सबसे छोटी n अंकों की संख्या का अंतर:

= (10ⁿ − 1) − 10ⁿ⁻¹

अर्थात:

अंतर = 9 × 10ⁿ⁻¹ − 1

छह अंकों के लिए:

9 × 10⁵ − 1

= 900000 − 1

= 899999

याद रखने योग्य पैटर्न

2 अंक → 89

3 अंक → 899

4 अंक → 8999

5 अंक → 89999

6 अंक → 899999

अर्थात प्रश्न देखते ही उत्तर शीघ्र निकाला जा सकता है।

स्थानीय मान से समझें

छह अंकों की सबसे छोटी संख्या:

100000

है।

इसमें 1 का स्थानीय मान एक लाख है।

सबसे बड़ी छह अंकों की संख्या:

999999

है।

इसके बाद आने वाली संख्या:

1000000

सात अंकों की संख्या है।

इसलिए 999999 से बड़ी कोई भी संख्या छह अंकों की सबसे बड़ी संख्या नहीं हो सकती।

परीक्षा में होने वाली सामान्य गलती

कभी-कभी विद्यार्थी:

000001

को छह अंकों की संख्या मान लेते हैं।

यह गलत है।

किसी पूर्णांक के आरंभ में लगाए गए शून्य उसके अंकों की संख्या नहीं बढ़ाते।

इसलिए:

000001 = 1

और 1 केवल एक अंक की संख्या है।

Quick Revision / त्वरित पुनरावृत्ति

Largest 6-digit number / सबसे बड़ी 6 अंकों की संख्या:
999999

Smallest 6-digit number / सबसे छोटी 6 अंकों की संख्या:
100000

Difference / अंतर:
899999

Correct Option / सही विकल्प:

(d) 899999

Practice Questions / अभ्यास प्रश्न

1. What is the difference between the largest and smallest three-digit numbers?

सबसे बड़ी और सबसे छोटी तीन अंकों की संख्याओं का अंतर क्या है?

A. 899
B. 900
C. 999
D. 890

Answer: A. 899

2. What is the smallest five-digit number?

सबसे छोटी पाँच अंकों की संख्या कौन-सी है?

A. 9999
B. 10000
C. 10001
D. 99999

Answer: B. 10000

3. What is the largest seven-digit number?

सबसे बड़ी सात अंकों की संख्या कौन-सी है?

A. 999999
B. 1000000
C. 9999999
D. 10000000

Answer: C. 9999999

4. The smallest n-digit number is:

सबसे छोटी n अंकों की संख्या है:

A. 10ⁿ
B. 10ⁿ − 1
C. 10ⁿ⁻¹
D. 10ⁿ⁻¹ − 1

Answer: C. 10ⁿ⁻¹

5. The largest n-digit number is:

सबसे बड़ी n अंकों की संख्या है:

A. 10ⁿ
B. 10ⁿ − 1
C. 10ⁿ⁻¹
D. 9 × n

Answer: B. 10ⁿ − 1