Physical Quantities: Scalar and Vector Quantities, Differences, Examples & Vector Addition

भौतिक राशियाँ: अदिश एवं सदिश राशियाँ, अंतर, उदाहरण एवं सदिश योग

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Introduction

Physics is the study of matter, energy, motion, forces and their interactions. To describe physical phenomena scientifically, we need quantities that can be measured and expressed numerically.

For example:

• length of a table,

• mass of a body,

• time taken by a train,

• speed of a vehicle,

• force applied to an object,

• temperature of water.

Such measurable properties are called physical quantities.

A physical quantity is generally expressed as:

Physical Quantity = Numerical Value × Unit

For example:

Length = 5 m

Here:

• 5 is the numerical value,

• metre (m) is the unit.

Physical quantities can be classified in several ways. One of the most important classifications in elementary physics is:

1. Scalar quantities

2. Vector quantities

What is a Physical Quantity?

A physical quantity is a measurable property of a physical object, phenomenon or system that can be expressed by a numerical value together with an appropriate unit.

Examples include:

• length,

• mass,

• time,

• temperature,

• speed,

• velocity,

• acceleration,

• force,

• momentum,

• energy.

Measurement allows physics to describe natural phenomena quantitatively.

Measurement and Units

Suppose the length of a rod is written as:

2.5 m

The number 2.5 alone is not a complete statement of length.

The unit metre tells us the standard against which the length has been measured.

Therefore, most physical measurements require:

Magnitude + Unit

However, some quantities are dimensionless and may not require a conventional dimensional unit.

Classification of Physical Quantities

Physical quantities may be classified in different ways.

For example:

According to their role in a system of units

• Fundamental quantities

• Derived quantities

According to directional character

• Scalar quantities

• Vector quantities

This article mainly focuses on the second classification.

Scalar Quantities

Definition

A scalar quantity is a physical quantity that is completely specified by its magnitude, together with its unit where applicable, and does not require a spatial direction.

Examples include:

• mass,

• time,

• distance,

• speed,

• temperature,

• volume,

• density,

• pressure,

• work,

• energy,

• power,

• electric charge.

Thus:

Scalar = Magnitude only

Examples of Scalar Quantities

1. Mass

If the mass of an object is:

10 kg

we do not need to say "10 kg north" or "10 kg east."

Therefore mass is a scalar.

2. Time

A time interval such as:

20 seconds

has magnitude but no spatial direction.

Therefore time is scalar.

3. Distance

If a person travels a total path length of:

5 km

the distance describes the length of the path and does not require a direction.

Therefore distance is scalar.

4. Speed

Speed tells us how fast an object moves.

For example:

60 km/h

is sufficient to specify speed.

Direction is not required.

Therefore speed is scalar.

5. Temperature

A temperature such as:

30°C

has a numerical magnitude but no spatial direction.

Therefore temperature is scalar.

6. Work

Work is a scalar quantity even though its calculation may involve force and displacement, which are vectors.

For a constant force:

W = Fs cosθ

or:

W = F · s

The dot product of two vectors produces a scalar.

Therefore work is scalar.

7. Energy

Energy is a scalar quantity.

Examples include:

• kinetic energy,

• gravitational potential energy,

• elastic potential energy,

• thermal energy.

Energy has magnitude but does not possess a spatial direction.

8. Power

Power is the rate of doing work or transferring energy:

P = W/t

Since work and time are scalars, power is also a scalar quantity.

Vector Quantities

Definition

A vector quantity is a physical quantity that has both magnitude and direction and obeys the rules of vector algebra.

Examples include:

• displacement,

• velocity,

• acceleration,

• force,

• momentum,

• weight,

• impulse.

Thus:

Vector = Magnitude + Direction + Vector addition rules

This last condition is important.

Simply attaching a direction to a number does not automatically make a physical quantity a vector. A true vector must transform and combine according to vector rules.

Examples of Vector Quantities

1. Displacement

Suppose a person moves:

5 m east

Both magnitude and direction are required.

Therefore displacement is a vector.

2. Velocity

Velocity describes the rate of change of displacement.

For example:

20 m/s north

Both speed-like magnitude and direction are specified.

Therefore velocity is a vector.

3. Acceleration

Acceleration is the rate of change of velocity.

Because velocity is a vector, a change in either its magnitude or direction can produce acceleration.

Therefore acceleration is a vector.

4. Force

Force has both magnitude and direction.

For example:

10 N east

is different from:

10 N west

Therefore force is a vector.

5. Momentum

Linear momentum is:

p = mv

Since mass is scalar and velocity is vector, momentum has the direction of velocity.

Therefore momentum is a vector quantity.

Scalar vs Vector Quantities

Magnitude of a Vector

Every vector has a magnitude.

If a vector is written as:

A

its magnitude may be represented as:

|A|

or simply A when the context is clear.

The magnitude of a vector is a scalar and is non-negative.

For example, if velocity is:

20 m/s east

then:

• velocity = vector,

• speed = magnitude of velocity = 20 m/s.

Representation of a Vector

A vector is often represented graphically by an arrow.

The:

• length of the arrow represents magnitude,

• arrowhead represents direction.

For example:

→A

may represent a vector A.

Vectors may also be written in bold notation such as A in textbooks.

Equal Vectors

Two vectors are equal if they have:

• the same magnitude,

• the same direction.

Their physical positions need not necessarily be the same when they are treated as free vectors.

Negative Vector

If A is a vector, then −A has:

• the same magnitude,

• opposite direction.

Therefore:

A + (−A) = 0

where 0 represents the zero vector.

Zero Vector

A vector whose magnitude is zero is called a zero vector or null vector.

Its magnitude is:

0

The zero vector does not have a uniquely defined direction.

Unit Vector

A vector having magnitude 1 is called a unit vector.

Common Cartesian unit vectors are:

î, ĵ, k̂

They represent the positive directions of the x, y and z axes respectively.

If A is a non-zero vector, a unit vector in its direction is:

 = A/|A|

Why Direction Alone Is Not Enough

A common misconception is:

"Any quantity having magnitude and direction is a vector."

This statement is incomplete.

A quantity must also obey the mathematical laws of vector addition and transformation.

Therefore, for elementary physics:

Vector quantity = magnitude + direction + vector algebra

Addition of Scalars

Scalars can generally be combined using ordinary algebra, provided the quantities have compatible physical dimensions and meanings.

For example:

A person walks:

3 km + 2 km

Total distance:

5 km

No geometric direction rule is required for scalar distance.

Addition of Vectors

Vectors cannot generally be added merely by adding their magnitudes.

Their directions must also be considered.

For example:

A displacement of:

3 m east

followed by:

4 m north

does not produce a displacement magnitude of 7 m.

The resultant displacement is obtained using vector addition.

Since the two vectors are perpendicular:

R = √(3² + 4²)

R = 5 m

Thus:

• total distance = 7 m,

• magnitude of displacement = 5 m.

This distinction is frequently tested in examinations.

Triangle Law of Vector Addition

If two vectors are represented in magnitude and direction by two sides of a triangle taken in sequence, their resultant is represented by the third side drawn from the tail of the first vector to the head of the second vector.

Suppose vectors A and B are added.

The resultant is:

R = A + B

If θ is the angle between A and B:

R = √(A² + B² + 2AB cosθ)

This formula follows from the geometry of vector addition.

Special Cases of Vector Addition

Same Direction

If θ = 0°:

cos0° = 1

Therefore:

R = A + B

Example:

5 N east + 3 N east = 8 N east

Opposite Directions

If θ = 180°:

cos180° = −1

Therefore:

R = |A − B|

The resultant points in the direction of the larger vector.

Example:

10 N east + 6 N west = 4 N east

Perpendicular Vectors

If θ = 90°:

cos90° = 0

Therefore:

R = √(A² + B²)

For example:

3 N east and 4 N north give a resultant magnitude:

5 N

Parallelogram Law of Vector Addition

If two vectors acting at a point are represented by two adjacent sides of a parallelogram, their resultant is represented by the diagonal passing through their common point.

For vectors A and B with angle θ between them:

R = √(A² + B² + 2AB cosθ)

The parallelogram and triangle laws are geometrically consistent methods of vector addition.

Direction of the Resultant

If vectors A and B have an angle θ between them, and the resultant makes an angle α with vector A, then:

tanα = (B sinθ)/(A + B cosθ)

This relation is useful in numerical vector problems.

Vector Subtraction

Subtraction of a vector is performed by adding its negative.

Thus:

A − B = A + (−B)

The vector −B has the same magnitude as B but points in the opposite direction.

Resolution of a Vector

A vector can be resolved into components.

Suppose vector A makes an angle θ with the positive x-axis.

Its rectangular components are:

Ax = A cosθ

Ay = A sinθ

Therefore:

A = Ax î + Ay ĵ

The magnitude is:

A = √(Ax² + Ay²)

and direction:

tanθ = Ay/Ax

with the correct quadrant taken into account.

Numerical Example: Vector Components

A force of 10 N acts at 30° above the horizontal.

Horizontal component:

Fx = F cos30°

Fx = 10 × √3/2

Fx ≈ 8.66 N

Vertical component:

Fy = F sin30°

Fy = 10 × 1/2

Fy = 5 N

Therefore, the force can be represented by perpendicular components of approximately:

8.66 N horizontally and 5 N vertically.

Distance vs Displacement

This is one of the most important scalar-vector comparisons.

Distance

• Scalar

• Total path length

• No direction

• Always non-negative

Displacement

• Vector

• Change in position

• Has direction

• Magnitude cannot exceed the distance travelled

Therefore:

Magnitude of displacement ≤ Distance

Example: Distance and Displacement

A person walks 3 km east and then 3 km west.

Total distance:

3 + 3 = 6 km

Final position is the starting point.

Therefore displacement:

0 km

Thus an object may travel a non-zero distance while having zero displacement.

Speed vs Velocity

Speed

Speed is a scalar.

Speed = Distance/Time

Velocity

Velocity is a vector.

Average velocity is:

Average velocity = Displacement/Time interval

Therefore, an object can have constant speed while its velocity changes if its direction changes.

Circular Motion: Important Example

Consider an object moving around a circle at constant speed.

Its speed remains constant because the magnitude of velocity does not change.

However, the direction of velocity continuously changes.

Therefore:

Velocity changes even when speed remains constant.

Since acceleration is the rate of change of velocity, the object has acceleration.

This is a very important conceptual question.

Mass vs Weight

Mass

Mass is a scalar quantity.

SI unit:

kilogram (kg)

Weight

Weight is the gravitational force acting on a body.

W = mg

Since force is vector, weight is also vector.

Its direction is approximately toward the centre of the attracting body, such as Earth.

SI unit:

newton (N)

Therefore:

Mass → Scalar

Weight → Vector

Work vs Force

Force is a vector.

Work is a scalar.

For constant force:

W = F · s

The dot product produces a scalar.

Therefore:

Force → Vector

Work → Scalar

This is another common examination question.

Energy and Power

Both energy and power are scalar quantities.

Energy measures the capacity for energy transfer/work in physical processes, while power measures the rate of energy transfer or doing work.

Neither requires a spatial direction for complete specification.

Scalar Product of Two Vectors

The scalar or dot product of vectors A and B is:

A · B = AB cosθ

The result is a scalar.

Examples in physics include:

Work

W = F · s

Power

Instantaneously:

P = F · v

These expressions produce scalar quantities.

Vector Product of Two Vectors

The vector or cross product is:

A × B

Its magnitude is:

|A × B| = AB sinθ

The result is an axial vector in elementary mechanics, with direction determined using the right-hand rule.

Examples include:

Torque

τ = r × F

Angular momentum

L = r × p

Fundamental and Derived Quantities

Scalar/vector classification should not be confused with fundamental/derived classification.

These are different ways of classifying physical quantities.

For example:

Mass

• fundamental quantity,

• scalar quantity.

Time

• fundamental quantity,

• scalar quantity.

Velocity

• derived quantity,

• vector quantity.

Force

• derived quantity,

• vector quantity.

Energy

• derived quantity,

• scalar quantity.

Therefore, a quantity can simultaneously belong to both classifications.

Seven SI Base Quantities

The SI system uses seven base quantities:

Many other physical quantities are derived from these base quantities.

Examples of Derived Quantities

Area

Area = Length × Length

SI unit:

m²

Scalar quantity.

Volume

Volume = Length³

SI unit:

m³

Scalar quantity.

Velocity

Velocity = Displacement/Time

SI unit:

m/s

Vector quantity.

Acceleration

Acceleration = Change in velocity/Time

SI unit:

m/s²

Vector quantity.

Force

F = ma

SI unit:

newton (N)

Vector quantity.

Work

W = Fs cosθ

SI unit:

joule (J)

Scalar quantity.

Power

P = W/t

SI unit:

watt (W)

Scalar quantity.

Important Scalar Quantities

Common scalar quantities include:

• length,

• distance,

• area,

• volume,

• mass,

• time,

• speed,

• temperature,

• density,

• pressure,

• work,

• energy,

• power,

• electric charge,

• electric potential.

Important Vector Quantities

Common vector quantities include:

• displacement,

• velocity,

• acceleration,

• force,

• weight,

• momentum,

• impulse,

• electric field,

• magnetic field.

Some advanced quantities require more careful mathematical classification, but the above list is appropriate for standard school and competitive-examination physics.

Common Exam Traps

Distance or Displacement?

Distance → Scalar

Displacement → Vector

Speed or Velocity?

Speed → Scalar

Velocity → Vector

Mass or Weight?

Mass → Scalar

Weight → Vector

Work or Force?

Work → Scalar

Force → Vector

Energy or Momentum?

Energy → Scalar

Momentum → Vector

Power or Acceleration?

Power → Scalar

Acceleration → Vector

Common Misconceptions

Misconception 1: Every quantity with a direction is automatically a vector

Incomplete.

A true vector must also obey vector transformation and addition rules.

Misconception 2: Distance and displacement are the same

Incorrect.

Distance measures path length, while displacement describes change in position.

Misconception 3: Speed and velocity are identical

Incorrect.

Speed is scalar; velocity is vector.

Misconception 4: Mass and weight are the same

Incorrect.

Mass is scalar and measured in kilograms.

Weight is a force and is measured in newtons.

Misconception 5: Two vectors are always added by adding magnitudes

Incorrect.

Their directions must be considered.

Misconception 6: A vector can never have zero magnitude

Incorrect.

The zero vector has magnitude zero.

Competitive Examination Facts

Physical quantity:
A measurable physical property expressible quantitatively.

Scalar:
Magnitude only.

Vector:
Magnitude and direction, obeying vector algebra.

Distance: Scalar.

Displacement: Vector.

Speed: Scalar.

Velocity: Vector.

Mass: Scalar.

Weight: Vector.

Work: Scalar.

Energy: Scalar.

Power: Scalar.

Force: Vector.

Momentum: Vector.

Acceleration: Vector.

Triangle law: Used for vector addition.

Parallelogram law: Used for vector addition.

Magnitude of resultant:

R = √(A² + B² + 2AB cosθ)

For perpendicular vectors:

R = √(A² + B²)

Vector components:

Ax = A cosθ

Ay = A sinθ

Quick Revision

• Physical quantities are measurable properties.

• A measurement usually consists of numerical value and unit.

• Scalars require magnitude but no spatial direction.

• Vectors require magnitude and direction and obey vector algebra.

• Mass is scalar.

• Weight is vector.

• Distance is scalar.

• Displacement is vector.

• Speed is scalar.

• Velocity is vector.

• Work, energy and power are scalars.

• Force, acceleration and momentum are vectors.

• Vectors follow triangle and parallelogram laws of addition.

• Vector magnitudes cannot generally be simply added unless their directions permit it.

• A vector can be resolved into components.

• Ax = A cosθ

• Ay = A sinθ

• A quantity can be both fundamental/derived and scalar/vector; these are separate classifications.

हिन्दी अनुभाग

परिचय

भौतिकी में पदार्थ, ऊर्जा, गति, बल तथा उनके बीच होने वाली विभिन्न अंतरक्रियाओं का अध्ययन किया जाता है। प्राकृतिक घटनाओं का वैज्ञानिक वर्णन करने के लिए हमें ऐसी राशियों की आवश्यकता होती है जिन्हें मापा जा सके और संख्यात्मक रूप में व्यक्त किया जा सके।

उदाहरण:

• मेज की लंबाई,

• किसी वस्तु का द्रव्यमान,

• रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय,

• वाहन की चाल,

• वस्तु पर लगाया गया बल,

• पानी का तापमान।

ऐसे मापनीय गुणों को भौतिक राशियाँ कहते हैं।

सामान्य रूप में:

भौतिक राशि = संख्यात्मक मान × इकाई

उदाहरण:

लंबाई = 5 मीटर

यहाँ:

• 5 संख्यात्मक मान है,

• मीटर इकाई है।

दिशात्मक प्रकृति के आधार पर भौतिक राशियों को मुख्यतः:

1. अदिश राशियाँ

2. सदिश राशियाँ

में बाँटा जाता है।

भौतिक राशि क्या है?

किसी वस्तु, घटना अथवा भौतिक तंत्र के ऐसे मापनीय गुण को भौतिक राशि कहते हैं जिसे संख्यात्मक मान तथा उपयुक्त इकाई द्वारा व्यक्त किया जा सके।

उदाहरण:

• लंबाई,

• द्रव्यमान,

• समय,

• तापमान,

• चाल,

• वेग,

• त्वरण,

• बल,

• संवेग,

• ऊर्जा।

मापन के कारण भौतिकी में प्राकृतिक घटनाओं का मात्रात्मक अध्ययन संभव होता है।

मापन और इकाई

यदि किसी छड़ की लंबाई:

2.5 m

लिखी जाती है, तो केवल 2.5 कहना पर्याप्त नहीं है।

मीटर यह बताता है कि लंबाई को किस मानक के आधार पर मापा गया है।

इसलिए अधिकांश भौतिक मापों में:

परिमाण + इकाई

की आवश्यकता होती है।

कुछ राशियाँ विमाहीन भी होती हैं।

भौतिक राशियों का वर्गीकरण

भौतिक राशियों का वर्गीकरण अलग-अलग आधार पर किया जा सकता है।

इकाई पद्धति में भूमिका के आधार पर

• मूल राशियाँ

• व्युत्पन्न राशियाँ

दिशात्मक प्रकृति के आधार पर

• अदिश राशियाँ

• सदिश राशियाँ

यहाँ मुख्य रूप से अदिश और सदिश राशियों का अध्ययन किया जा रहा है।

अदिश राशियाँ

परिभाषा

ऐसी भौतिक राशियाँ जिन्हें उनके परिमाण और आवश्यक इकाई द्वारा पूर्णतः व्यक्त किया जा सकता है तथा जिनके लिए स्थानिक दिशा की आवश्यकता नहीं होती, अदिश राशियाँ कहलाती हैं।

उदाहरण:

• द्रव्यमान,

• समय,

• दूरी,

• चाल,

• तापमान,

• आयतन,

• घनत्व,

• दाब,

• कार्य,

• ऊर्जा,

• शक्ति,

• विद्युत आवेश।

अतः:

अदिश = केवल परिमाण

अदिश राशियों के उदाहरण

1. द्रव्यमान

यदि किसी वस्तु का द्रव्यमान:

10 kg

है, तो हमें 10 kg उत्तर या 10 kg पूर्व कहने की आवश्यकता नहीं है।

अतः द्रव्यमान अदिश राशि है।

2. समय

20 सेकंड जैसे समय अंतराल में कोई स्थानिक दिशा नहीं होती।

अतः समय अदिश राशि है।

3. दूरी

किसी व्यक्ति द्वारा तय किए गए पूरे मार्ग की लंबाई यदि:

5 km

है, तो दूरी बताने के लिए दिशा आवश्यक नहीं है।

अतः दूरी अदिश राशि है।

4. चाल

चाल बताती है कि कोई वस्तु कितनी तेजी से चल रही है।

उदाहरण:

60 km/h

चाल बताने के लिए दिशा आवश्यक नहीं है।

अतः चाल अदिश है।

5. तापमान

30°C

जैसे तापमान में परिमाण होता है, लेकिन स्थानिक दिशा नहीं होती।

अतः तापमान अदिश राशि है।

6. कार्य

कार्य एक अदिश राशि है।

स्थिर बल के लिए:

W = Fs cosθ

अथवा:

W = F · s

दो सदिशों के अदिश गुणनफल का परिणाम अदिश होता है।

इसलिए कार्य अदिश है।

7. ऊर्जा

ऊर्जा अदिश राशि है।

उदाहरण:

• गतिज ऊर्जा,

• गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा,

• प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा,

• ऊष्मीय ऊर्जा।

इनके पूर्ण वर्णन के लिए स्थानिक दिशा की आवश्यकता नहीं होती।

8. शक्ति

शक्ति कार्य करने अथवा ऊर्जा स्थानांतरित करने की दर है:

P = W/t

कार्य और समय अदिश हैं, इसलिए शक्ति भी अदिश राशि है।

सदिश राशियाँ

परिभाषा

ऐसी भौतिक राशियाँ जिनमें परिमाण के साथ दिशा भी होती है तथा जो सदिश बीजगणित के नियमों का पालन करती हैं, सदिश राशियाँ कहलाती हैं।

उदाहरण:

• विस्थापन,

• वेग,

• त्वरण,

• बल,

• संवेग,

• भार,

• आवेग।

अतः:

सदिश = परिमाण + दिशा + सदिश नियमों का पालन

यह अंतिम शर्त अत्यंत महत्वपूर्ण है।

सदिश राशियों के उदाहरण

1. विस्थापन

यदि कोई व्यक्ति:

5 m पूर्व दिशा में

जाता है, तो विस्थापन के लिए परिमाण और दिशा दोनों आवश्यक हैं।

अतः विस्थापन सदिश है।

2. वेग

उदाहरण:

20 m/s उत्तर दिशा में

वेग बताने के लिए परिमाण और दिशा दोनों आवश्यक हैं।

अतः वेग सदिश राशि है।

3. त्वरण

त्वरण वेग परिवर्तन की दर है।

वेग एक सदिश है, इसलिए उसके परिमाण अथवा दिशा में परिवर्तन से त्वरण उत्पन्न हो सकता है।

अतः त्वरण सदिश है।

4. बल

बल में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

उदाहरण:

10 N पूर्व दिशा में

और:

10 N पश्चिम दिशा में

दो अलग-अलग बल हैं।

अतः बल सदिश है।

5. संवेग

रेखीय संवेग:

p = mv

होता है।

द्रव्यमान अदिश है और वेग सदिश है।

इसलिए संवेग की दिशा वेग की दिशा में होती है।

अतः संवेग सदिश राशि है।

अदिश और सदिश राशियों में अंतर

सदिश का परिमाण

प्रत्येक सदिश का एक परिमाण होता है।

यदि कोई सदिश A है, तो उसका परिमाण:

|A|

से दर्शाया जा सकता है।

सदिश का परिमाण स्वयं एक अदिश राशि है और ऋणात्मक नहीं होता।

उदाहरण:

यदि वेग:

20 m/s पूर्व

है, तो:

• वेग सदिश है,

• वेग का परिमाण अर्थात चाल 20 m/s है।

सदिश का निरूपण

सदिश को प्रायः तीर द्वारा दर्शाया जाता है।

तीर की:

• लंबाई → परिमाण को दर्शाती है,

• तीर का सिरा → दिशा को दर्शाता है।

समान सदिश

दो सदिश समान माने जाते हैं यदि:

• उनका परिमाण समान हो,

• उनकी दिशा समान हो।

मुक्त सदिशों के रूप में विचार करने पर उनका स्थान समान होना आवश्यक नहीं है।

ऋणात्मक सदिश

यदि A एक सदिश है, तो −A का:

• परिमाण A के समान,

• दिशा A के विपरीत

होती है।

अतः:

A + (−A) = 0

शून्य सदिश

जिस सदिश का परिमाण शून्य हो, उसे शून्य सदिश कहते हैं।

इसका परिमाण:

0

होता है।

शून्य सदिश की कोई एक विशिष्ट दिशा निर्धारित नहीं होती।

इकाई सदिश

जिस सदिश का परिमाण 1 हो, उसे इकाई सदिश कहते हैं।

कार्तीय निर्देशांक पद्धति में सामान्य इकाई सदिश हैं:

î, ĵ, k̂

जो क्रमशः x, y और z अक्षों की धनात्मक दिशाओं को दर्शाते हैं।

केवल दिशा होना पर्याप्त क्यों नहीं है?

यह कहना अधूरा है कि:

"जिस राशि में परिमाण और दिशा हो, वह सदिश है।"

किसी वास्तविक सदिश को सदिश योग तथा सदिश रूपांतरण के नियमों का भी पालन करना चाहिए।

अतः:

सदिश = परिमाण + दिशा + सदिश बीजगणित

अदिश राशियों का योग

समान प्रकार और संगत विमाओं वाली अदिश राशियों को सामान्य बीजगणितीय नियमों के अनुसार जोड़ा जा सकता है।

उदाहरण:

3 km + 2 km

कुल दूरी:

5 km

सदिशों का योग

सदिशों को सामान्यतः केवल उनके परिमाण जोड़कर नहीं जोड़ा जा सकता।

उनकी दिशाओं को भी ध्यान में रखना पड़ता है।

उदाहरण:

एक व्यक्ति:

3 m पूर्व

और फिर:

4 m उत्तर

चलता है।

कुल दूरी:

7 m

लेकिन विस्थापन का परिमाण:

√(3² + 4²)

= 5 m

है।

अतः:

दूरी = 7 m

लेकिन:

विस्थापन का परिमाण = 5 m

सदिश योग का त्रिभुज नियम

यदि दो सदिशों को परिमाण और दिशा सहित त्रिभुज की दो क्रमिक भुजाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाए, तो उनका परिणामी पहली भुजा के प्रारंभिक बिंदु से दूसरी भुजा के अंतिम बिंदु तक खींची गई तीसरी भुजा द्वारा प्रदर्शित होता है।

यदि A और B के बीच कोण θ है:

R = √(A² + B² + 2AB cosθ)

सदिश योग की विशेष स्थितियाँ

समान दिशा

θ = 0°

अतः:

R = A + B

विपरीत दिशा

θ = 180°

अतः:

R = |A − B|

परिणामी की दिशा बड़े सदिश की दिशा में होगी।

परस्पर लंबवत सदिश

θ = 90°

अतः:

R = √(A² + B²)

उदाहरण:

3 N और 4 N के परस्पर लंबवत बलों का परिणामी:

5 N

होगा।

समांतर चतुर्भुज नियम

यदि किसी बिंदु पर कार्यरत दो सदिशों को समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाए, तो उस बिंदु से जाने वाला विकर्ण उनका परिणामी दर्शाता है।

परिणामी का परिमाण:

R = √(A² + B² + 2AB cosθ)

होता है।

परिणामी की दिशा

यदि A और B के बीच कोण θ हो और परिणामी A के साथ α कोण बनाए:

tanα = (B sinθ)/(A + B cosθ)

यह संबंध संख्यात्मक प्रश्नों में उपयोगी है।

सदिश घटाव

सदिश B को घटाने का अर्थ उसके विपरीत सदिश −B को जोड़ना है।

अतः:

A − B = A + (−B)

सदिश का घटकों में विभाजन

यदि A सदिश धनात्मक x-अक्ष से θ कोण बनाता है:

Ax = A cosθ

और:

Ay = A sinθ

अतः:

A = Ax î + Ay ĵ

परिमाण:

A = √(Ax² + Ay²)

दिशा के लिए:

tanθ = Ay/Ax

उपयुक्त चतुर्थांश को ध्यान में रखते हुए प्रयोग किया जाता है।

संख्यात्मक उदाहरण

10 N का बल क्षैतिज दिशा से 30° ऊपर की ओर कार्य करता है।

क्षैतिज घटक:

Fx = F cos30°

= 10 × √3/2

≈ 8.66 N

ऊर्ध्वाधर घटक:

Fy = F sin30°

= 10 × 1/2

= 5 N

दूरी और विस्थापन

दूरी

• अदिश राशि

• कुल मार्ग की लंबाई

• दिशा आवश्यक नहीं

• ऋणात्मक नहीं होती

विस्थापन

• सदिश राशि

• स्थिति में परिवर्तन

• दिशा होती है

• इसका परिमाण तय की गई दूरी से अधिक नहीं हो सकता

अतः:

विस्थापन का परिमाण ≤ दूरी

दूरी और विस्थापन का उदाहरण

कोई व्यक्ति 3 km पूर्व और फिर 3 km पश्चिम चलता है।

कुल दूरी:

6 km

वह अपने प्रारंभिक स्थान पर वापस आ जाता है।

अतः विस्थापन:

0 km

है।

इस प्रकार किसी वस्तु की दूरी शून्य से अधिक हो सकती है जबकि उसका विस्थापन शून्य हो सकता है।

चाल और वेग

चाल

चाल अदिश राशि है।

चाल = दूरी/समय

वेग

वेग सदिश राशि है।

औसत वेग = विस्थापन/समय अंतराल

इसलिए दिशा बदलने पर चाल स्थिर रहते हुए भी वेग बदल सकता है।

वृत्तीय गति

यदि कोई वस्तु वृत्त में नियत चाल से चल रही है, तो उसकी चाल स्थिर रहती है।

लेकिन उसके वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।

अतः:

चाल स्थिर होने पर भी वेग बदल सकता है।

और वेग बदलने के कारण त्वरण उपस्थित होता है।

द्रव्यमान और भार

द्रव्यमान

द्रव्यमान अदिश राशि है।

SI इकाई:

किलोग्राम

भार

भार किसी वस्तु पर लगने वाला गुरुत्वीय बल है।

W = mg

चूँकि बल सदिश है, इसलिए भार भी सदिश है।

इसकी दिशा पृथ्वी के निकट लगभग पृथ्वी के केंद्र की ओर होती है।

SI इकाई:

न्यूटन

अतः:

द्रव्यमान → अदिश

भार → सदिश

कार्य और बल

बल सदिश है।

कार्य अदिश है।

W = F · s

अदिश गुणनफल का परिणाम अदिश होता है।

अतः:

बल → सदिश

कार्य → अदिश

ऊर्जा और शक्ति

ऊर्जा तथा शक्ति दोनों अदिश राशियाँ हैं।

ऊर्जा के पूर्ण वर्णन के लिए स्थानिक दिशा की आवश्यकता नहीं होती।

इसी प्रकार शक्ति ऊर्जा स्थानांतरण की दर है और यह भी अदिश राशि है।

अदिश गुणनफल

दो सदिश A और B का अदिश गुणनफल:

A · B = AB cosθ

होता है।

इसका परिणाम अदिश राशि होता है।

उदाहरण:

कार्य: W = F · s

तात्क्षणिक शक्ति के लिए:

P = F · v

सदिश गुणनफल

दो सदिशों का सदिश गुणनफल:

A × B

होता है।

इसके परिमाण का सूत्र:

|A × B| = AB sinθ

है।

प्रारंभिक यांत्रिकी में इसका उदाहरण:

आघूर्ण: τ = r × F

और:

कोणीय संवेग: L = r × p

हैं।

मूल और व्युत्पन्न राशियाँ

अदिश-सदिश वर्गीकरण तथा मूल-व्युत्पन्न वर्गीकरण अलग-अलग हैं।

उदाहरण:

द्रव्यमान

• मूल राशि

• अदिश राशि

समय

• मूल राशि

• अदिश राशि

वेग

• व्युत्पन्न राशि

• सदिश राशि

बल

• व्युत्पन्न राशि

• सदिश राशि

ऊर्जा

• व्युत्पन्न राशि

• अदिश राशि

सात SI मूल राशियाँ

अन्य अनेक राशियाँ इन मूल राशियों से व्युत्पन्न होती हैं।

महत्वपूर्ण अदिश राशियाँ

• लंबाई

• दूरी

• क्षेत्रफल

• आयतन

• द्रव्यमान

• समय

• चाल

• तापमान

• घनत्व

• दाब

• कार्य

• ऊर्जा

• शक्ति

• विद्युत आवेश

• विद्युत विभव

महत्वपूर्ण सदिश राशियाँ

• विस्थापन

• वेग

• त्वरण

• बल

• भार

• संवेग

• आवेग

• विद्युत क्षेत्र

• चुंबकीय क्षेत्र

परीक्षा में भ्रमित करने वाले महत्वपूर्ण युग्म

दूरी → अदिश
विस्थापन → सदिश

चाल → अदिश
वेग → सदिश

द्रव्यमान → अदिश
भार → सदिश

कार्य → अदिश
बल → सदिश

ऊर्जा → अदिश
संवेग → सदिश

शक्ति → अदिश
त्वरण → सदिश

सामान्य गलतियाँ

गलती 1: दिशा वाली प्रत्येक राशि को सदिश मानना

अधूरा कथन है।

सदिश राशि को सदिश बीजगणित के नियमों का भी पालन करना चाहिए।

गलती 2: दूरी और विस्थापन को समान मानना

गलत।

दूरी कुल मार्ग की लंबाई है जबकि विस्थापन स्थिति परिवर्तन का सदिश माप है।

गलती 3: चाल और वेग को समान समझना

गलत।

चाल अदिश और वेग सदिश है।

गलती 4: द्रव्यमान और भार को समान मानना

गलत।

द्रव्यमान अदिश है जबकि भार एक सदिश बल है।

गलती 5: दो सदिशों के परिमाण सीधे जोड़ देना

यह केवल कुछ विशेष दिशात्मक परिस्थितियों में सही होगा।

सामान्यतः सदिश योग के नियमों का प्रयोग करना आवश्यक है।

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण तथ्य

भौतिक राशि:
मापी जा सकने वाली भौतिक विशेषता।

अदिश राशि:
केवल परिमाण पर्याप्त।

सदिश राशि:
परिमाण तथा दिशा के साथ सदिश नियमों का पालन।

दूरी: अदिश।

विस्थापन: सदिश।

चाल: अदिश।

वेग: सदिश।

द्रव्यमान: अदिश।

भार: सदिश।

कार्य: अदिश।

ऊर्जा: अदिश।

शक्ति: अदिश।

बल: सदिश।

संवेग: सदिश।

त्वरण: सदिश।

सदिश योग:
त्रिभुज तथा समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा।

परिणामी का परिमाण:

R = √(A² + B² + 2AB cosθ)

लंबवत सदिशों के लिए:

R = √(A² + B²)

सदिश घटक:

Ax = A cosθ

Ay = A sinθ

त्वरित पुनरावृत्ति

• भौतिक राशियाँ मापी जा सकने वाली विशेषताएँ हैं।

• अधिकांश मापों में संख्यात्मक मान और इकाई होती है।

• अदिश राशियों के लिए स्थानिक दिशा की आवश्यकता नहीं होती।

• सदिश राशियों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं तथा वे सदिश नियमों का पालन करती हैं।

• द्रव्यमान अदिश है।

• भार सदिश है।

• दूरी अदिश है।

• विस्थापन सदिश है।

• चाल अदिश है।

• वेग सदिश है।

• कार्य, ऊर्जा और शक्ति अदिश हैं।

• बल, त्वरण और संवेग सदिश हैं।

• सदिशों के योग के लिए त्रिभुज अथवा समांतर चतुर्भुज नियम का प्रयोग किया जाता है।

• सदिश को परस्पर लंबवत घटकों में विभाजित किया जा सकता है।

• मूल-व्युत्पन्न और अदिश-सदिश अलग-अलग वर्गीकरण हैं।

Practice Questions | अभ्यास प्रश्न

Q1. Which of the following is a scalar quantity?
A. Force
B. Velocity
C. Mass
D. Acceleration

Correct Answer: C

Q2. Which is a vector quantity?
A. Speed
B. Energy
C. Power
D. Momentum

Correct Answer: D

Q3. Distance is a:
A. Vector
B. Scalar
C. Tensor only
D. Force

Correct Answer: B

Q4. Displacement is a:
A. Scalar
B. Vector
C. Dimensionless scalar
D. Unit

Correct Answer: B

Q5. Which pair contains a scalar followed by a vector?
A. Speed, velocity
B. Force, mass
C. Momentum, energy
D. Acceleration, distance

Correct Answer: A

Q6. Which of the following is a scalar?
A. Weight
B. Force
C. Work
D. Acceleration

Correct Answer: C

Q7. A person walks 3 m east and then 4 m north. Magnitude of displacement is:
A. 3 m
B. 4 m
C. 5 m
D. 7 m

Correct Answer: C

Q8. A person travels 5 m east and then 5 m west. The displacement is:
A. 10 m
B. 5 m
C. 0
D. 25 m

Correct Answer: C

Q9. Which statement about a vector is most accurate?
A. It has only direction.
B. It has only magnitude.
C. It has magnitude and direction and follows vector algebra.
D. It must always have a positive x-component.

Correct Answer: C

Q10. Which is a vector quantity?
A. Power
B. Energy
C. Temperature
D. Acceleration

Correct Answer: D

Q11. If two perpendicular vectors have magnitudes 6 and 8 units, the resultant magnitude is:
A. 2
B. 10
C. 14
D. 48

Correct Answer: B

Q12. Mass is scalar while weight is:
A. Scalar
B. Vector
C. Dimensionless
D. Neither measurable nor physical

Correct Answer: B

Q13. The scalar product of two vectors produces a:
A. Scalar
B. Vector in every case
C. Unit vector
D. Zero vector in every case

Correct Answer: A

Q14. Which quantity is both derived and vector?
A. Mass
B. Time
C. Force
D. Temperature

Correct Answer: C

Q15. For a vector A making angle θ with the x-axis, its x-component is:
A. A sinθ
B. A cosθ
C. A tanθ
D. A/cosθ

Correct Answer: B

Q16. A body moves in a circle at constant speed. Which statement is correct?
A. Its velocity is constant.
B. Its velocity changes because direction changes.
C. Its acceleration must be zero.
D. Its displacement is always equal to distance.

Correct Answer: B