Bernoulli's Theorem: Principle, Equation, Derivation, Applications & Examples

बर्नौली प्रमेय: सिद्धांत, समीकरण, व्युत्पत्ति, उपयोग एवं उदाहरण

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Introduction

Fluids in motion show many interesting effects. Water speeds up while passing through a narrow section of a pipe, a perfume atomizer can draw liquid upward and convert it into a fine spray, and a Venturimeter can determine the rate of fluid flow through a pipe.

Many such phenomena can be analysed using an important principle of fluid mechanics known as Bernoulli's theorem.

Bernoulli's theorem is essentially an application of the conservation of mechanical energy to an ideal fluid flow.

It establishes a relationship among:

pressure,
fluid speed,
height,
density,
and gravitational effects.

It is one of the most important topics in fluid mechanics for school physics as well as competitive examinations.

What is Bernoulli's Theorem?

For the steady flow of an incompressible and non-viscous fluid along a streamline, the sum of pressure energy, kinetic energy and gravitational potential energy per unit volume remains constant.

Mathematically:

P + ½ρv² + ρgh = constant

For two points 1 and 2 along the same streamline:

P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂

where:

P = pressure of the fluid
ρ = density of the fluid
v = speed of fluid flow
g = acceleration due to gravity
h = height above a chosen reference level

This equation is called Bernoulli's equation.

Physical Meaning of Bernoulli's Equation

Bernoulli's equation contains three energy terms:

1. Pressure Energy per Unit Volume

This represents the flow-work or pressure-related energy per unit volume.

2. Kinetic Energy per Unit Volume

½ρv²

This represents the kinetic energy associated with fluid motion per unit volume.

3. Gravitational Potential Energy per Unit Volume

ρgh

This represents gravitational potential energy per unit volume.

Therefore:

Pressure term + Kinetic-energy term + Gravitational-potential term = Constant

for an ideal steady flow along a streamline under the assumptions of Bernoulli's equation.

Dimensional Meaning of the Equation

An important examination point is that every term in Bernoulli's equation has the dimensions of pressure or energy per unit volume.

For example:

P → Pressure

and:

½ρv² → kg/m³ × m²/s²

which becomes:

kg/(m·s²) = N/m² = Pa

Similarly:

ρgh

also has the unit:

Therefore all three terms are dimensionally consistent.

Bernoulli's Equation in Terms of Head

Dividing the entire equation by ρg gives:

P/(ρg) + v²/(2g) + h = constant

The terms are called:

P/(ρg) = Pressure head

v²/(2g) = Velocity head

h = Elevation head

This form is widely used in fluid mechanics and hydraulic engineering.

Conditions for Bernoulli's Theorem

The elementary form of Bernoulli's theorem applies under certain assumptions.

The flow should ideally be:

1. Steady

At a given point, the flow variables do not change with time.

2. Incompressible

The density of the fluid remains approximately constant.

Liquids are often treated as approximately incompressible in elementary problems.

3. Non-viscous

The idealized fluid is assumed to have negligible viscosity, so mechanical energy is not dissipated through viscous friction.

4. Along a Streamline

The basic Bernoulli equation is applied between points on the same streamline.

For irrotational flow, the Bernoulli constant can be the same across streamlines as well.

5. No Additional Mechanical Energy Transfer

The simple equation assumes that pumps, turbines or other devices are not adding or removing mechanical energy between the selected points.

What is a Streamline?

A streamline is an imaginary curve drawn in a flowing fluid such that the tangent to the curve at any point gives the instantaneous direction of fluid velocity at that point.

In steady flow, fluid particles follow paths consistent with the streamline pattern.

Streamlines do not cross one another in a well-defined velocity field because crossing would imply two different velocity directions at the same point.

Principle of Conservation of Energy

Bernoulli's theorem follows from the conservation of mechanical energy for ideal fluid flow.

As fluid moves, energy can be transformed between:

pressure-related energy,
kinetic energy,
gravitational potential energy.

For example, if fluid speed increases while height remains unchanged, the kinetic-energy term increases.

To keep the Bernoulli sum constant, the pressure term must decrease.

This gives the commonly used result:

At the same height, greater fluid speed corresponds to lower static pressure under Bernoulli's ideal-flow assumptions.

Derivation of Bernoulli's Equation

Consider an ideal fluid flowing through a tube of varying cross-sectional area.

Take two sections:

Section 1: P₁, v₁, h₁
Section 2: P₂, v₂, h₂

Suppose a volume ΔV of fluid moves from section 1 to section 2.

For an incompressible fluid, the same volume passes through both sections during the corresponding interval.

The work done by pressure at section 1 is:

W₁ = P₁ΔV

At section 2, work must be done against pressure P₂:

W₂ = P₂ΔV

Therefore, net pressure work is:

W = (P₁ - P₂)ΔV

The mass of fluid is:

m = ρΔV

The change in kinetic energy is:

ΔK = ½ρΔV(v₂² - v₁²)

The change in gravitational potential energy is:

ΔU = ρΔVg(h₂ - h₁)

By conservation of mechanical energy:

Pressure work = Increase in kinetic energy + Increase in potential energy

Therefore:

(P₁ - P₂)ΔV = ½ρΔV(v₂² - v₁²) + ρΔVg(h₂ - h₁)

Dividing by ΔV and rearranging:

P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂

Hence:

P + ½ρv² + ρgh = constant

This is Bernoulli's equation.

Bernoulli's Principle in a Horizontal Pipe

Suppose the pipe is horizontal.

Then:

h₁ = h₂

Therefore, the gravitational terms cancel.

Bernoulli's equation becomes:

P₁ + ½ρv₁² = P₂ + ½ρv₂²

Thus, when the fluid velocity increases:

Static pressure decreases

and when velocity decreases:

Static pressure increases

under the stated ideal-flow assumptions.

This pressure-speed relationship is central to many Bernoulli applications.

Continuity Equation

Bernoulli's equation is frequently used together with the equation of continuity.

For steady incompressible flow:

A₁v₁ = A₂v₂

where:

A₁ = cross-sectional area at point 1
A₂ = cross-sectional area at point 2
v₁ = speed at point 1
v₂ = speed at point 2

Therefore:

A ∝ 1/v

for a fixed volume-flow rate.

This means:

Smaller area → Greater speed

Larger area → Lower speed

Narrow Section of a Horizontal Pipe

Consider a horizontal pipe with one wide section and one narrow section.

From continuity:

A₁v₁ = A₂v₂

If:

A₂ < A₁

then:

v₂ > v₁

From Bernoulli's equation at the same height:

P₁ + ½ρv₁² = P₂ + ½ρv₂²

Since v₂ is greater:

P₂ < P₁

Therefore:

Narrower section → Higher speed → Lower static pressure

This is the basic principle behind the Venturimeter.

Application 1: Venturimeter

A Venturimeter is a device used to determine the flow rate of a fluid through a pipe.

It contains:

a wider section,
a gradually narrowing section,
a throat,
and a gradually expanding section.

At the narrow throat, the cross-sectional area decreases.

According to the continuity equation:

Fluid speed increases.

According to Bernoulli's equation:

Static pressure decreases.

The pressure difference between the wider section and the throat can therefore be used to calculate fluid velocity and discharge.

Venturimeter and Flow Rate

For a horizontal Venturimeter:

P₁ + ½ρv₁² = P₂ + ½ρv₂²

and:

A₁v₁ = A₂v₂

By combining these equations, the ideal volume-flow rate can be determined from the measured pressure difference and known areas.

In real instruments, viscosity and other losses are accounted for through calibration or correction factors.

Application 2: Atomizer and Sprayer

Atomizers and certain sprayers use fast-moving air to help draw liquid into an air stream.

When air moves rapidly across the opening of a tube connected to a liquid reservoir, the local static pressure near the opening can be reduced.

The pressure difference between the liquid reservoir and the fast-moving air region can push liquid upward through the tube.

The moving air then breaks the liquid into fine droplets.

This principle is used in devices such as:

perfume atomizers,
some laboratory sprayers,
paint sprayers,
older carburetion systems.

Actual devices may involve additional effects such as viscosity, turbulence and jet entrainment, but Bernoulli's principle provides an important idealized explanation.

Application 3: Fluid-Flow Measurement

Bernoulli's equation is widely used with pressure measurements to estimate fluid velocity and flow rate.

Devices based partly on this principle include:

Venturimeters,
flow nozzles,
Pitot-static systems.

These devices convert measurable pressure differences into information about fluid motion.

Pitot Tube

A Pitot tube can be used to estimate fluid speed by comparing stagnation pressure with static pressure.

At a stagnation point:

v = 0

For two points at approximately the same height, Bernoulli's relation gives:

P₀ = P + ½ρv²

where:

P₀ = stagnation pressure
P = static pressure

Therefore:

P₀ - P = ½ρv²

and ideally:

v = √[2(P₀ - P)/ρ]

Pitot-static systems are used in applications including aircraft airspeed measurement, with appropriate real-world corrections.

Application 4: Aircraft Wings

Aircraft lift is sometimes oversimplified as being caused solely by Bernoulli's principle.

A more complete description involves the interaction of several related ideas:

pressure distribution around the wing,
wing geometry and angle of attack,
acceleration and turning of airflow,
circulation,
conservation of momentum,
and fluid dynamics described by the governing equations.

Bernoulli's relation can be used to connect differences in airflow speed and pressure along appropriate streamlines under suitable assumptions, but it should not be interpreted as the sole explanation for aerodynamic lift.

The net pressure distribution over the wing contributes to aerodynamic forces, including lift.

Application 5: Roofs During Strong Winds

Fast-moving air above a roof can be associated with reduced static pressure relative to more slowly moving air in another region.

If a sufficiently large pressure difference develops across the roof, an upward force may act on it.

However, real wind flow around buildings is complex and involves:

turbulence,
separation,
gusts,
internal building pressure,
building geometry.

Bernoulli's principle can help explain pressure-speed relationships, but real structural wind loading requires more complete aerodynamic analysis.

Application 6: Blowing Between Two Sheets of Paper

If two light sheets of paper are suspended close together and air is blown rapidly between them, they may move toward each other.

The faster-moving air between the sheets can have lower static pressure than the surrounding relatively slower air.

The higher external pressure can then push the sheets inward.

This is a simple classroom demonstration of the relationship between fluid speed and pressure.

Application 7: Chimney Draft

Air moving across the top of a chimney can contribute to a reduction in pressure near its opening.

Combined with buoyancy caused by hot gases inside the chimney, this can help establish upward flow.

Thus chimney draft is not purely a Bernoulli phenomenon; buoyancy and pressure differences are also important.

Application 8: Bunsen Burner

In a Bunsen burner, a fast-moving gas jet helps entrain surrounding air through openings near the base.

The resulting gas-air mixture then moves upward and burns.

The process is often introduced using pressure differences associated with fast flow, although entrainment and jet mixing are also important in the actual mechanism.

Torricelli's Theorem

An important result related to Bernoulli's equation is Torricelli's theorem.

Consider a large tank containing liquid with a small opening at a vertical depth h below the free surface.

If:

the tank is open to the atmosphere,
the opening is small compared with the tank area,
viscous effects are neglected,

then Bernoulli's equation gives the ideal exit speed:

v = √(2gh)

This is the same expression as the speed acquired by an object falling freely through a vertical distance h.

Numerical Example 1: Pressure Change in a Pipe

Question

Water flows through a horizontal pipe.

At point 1:

v₁ = 2 m/s

At point 2:

v₂ = 4 m/s

If:

P₁ = 200 kPa

and:

ρ = 1000 kg/m³

find P₂, neglecting viscosity.

Solution

For a horizontal pipe:

P₁ + ½ρv₁² = P₂ + ½ρv₂²

Therefore:

P₂ = P₁ + ½ρ(v₁² - v₂²)

P₂ = 200000 + ½(1000)(4 - 16)

P₂ = 200000 - 6000

P₂ = 194000 Pa

Therefore:

P₂ = 194 kPa

The higher-speed region has the lower static pressure.

Numerical Example 2: Continuity Equation

Question

Water flows through a pipe whose cross-sectional area decreases from:

20 cm² to 5 cm²

If the initial speed is:

2 m/s

find the speed in the narrow section.

Solution

Using:

A₁v₁ = A₂v₂

20 × 2 = 5 × v₂

v₂ = 8 m/s

Therefore:

Speed in the narrow section = 8 m/s

The area decreases by a factor of four, so the speed increases by a factor of four.

Numerical Example 3: Torricelli's Theorem

Question

A small hole is located 5 m below the free surface of water in a large tank. Calculate the ideal exit speed.

Take:

g = 9.8 m/s²

Using:

v = √(2gh)

v = √(2 × 9.8 × 5)

v = √98

v ≈ 9.9 m/s

Therefore, the ideal exit speed is approximately:

9.9 m/s

Bernoulli's Theorem and Conservation of Energy

A useful way to remember Bernoulli's equation is:

Pressure energy + Kinetic energy + Potential energy = Constant

per unit volume for the ideal flow considered.

If one term increases, one or both of the other terms must adjust so that the total remains constant.

For example, in a horizontal pipe:

Height remains constant

so:

Increase in velocity → Increase in kinetic term → Decrease in static pressure

This is why speed and static pressure are inversely related in many ideal horizontal-flow situations.

Limitations of Bernoulli's Theorem

Bernoulli's simple equation should not be applied blindly to every fluid-flow problem.

Its ideal form may require modification when:

viscosity is significant,
large frictional losses occur,
the flow is strongly turbulent,
density changes significantly,
pumps add energy,
turbines remove energy,
heat transfer or compressibility becomes important,
points are not appropriately connected by the assumed flow conditions.

Real fluid mechanics uses extended energy equations that include these effects.

Common Misconceptions

Misconception 1: Higher speed always means lower pressure everywhere

Not universally.

The familiar inverse relationship applies under specific Bernoulli conditions, particularly when comparing appropriate points at the same elevation without additional energy transfer.

Misconception 2: Bernoulli's theorem works for every fluid

The elementary theorem assumes idealized conditions such as negligible viscosity and incompressibility.

Real fluids can experience energy losses.

Misconception 3: Narrow pipes always have lower pressure

For steady incompressible horizontal ideal flow, a narrow section generally has greater velocity and lower static pressure.

However, elevation changes, pumps, friction and other factors can alter the pressure relationship.

Misconception 4: Bernoulli's theorem alone completely explains aircraft lift

Aerodynamic lift is more completely understood using pressure distribution, momentum change, circulation, wing geometry and the governing laws of fluid motion.

Bernoulli's equation is useful within that broader description.

Misconception 5: Pressure energy disappears when speed increases

Energy does not simply disappear.

Under ideal Bernoulli flow, mechanical energy is transformed among pressure-related, kinetic and gravitational potential terms.

Important Competitive Examination Facts

Bernoulli's equation:

P + ½ρv² + ρgh = constant

Pressure term: P

Kinetic-energy term per unit volume: ½ρv²

Potential-energy term per unit volume: ρgh

Head form:

P/(ρg) + v²/(2g) + h = constant

Continuity equation:

A₁v₁ = A₂v₂

Horizontal ideal flow:

Higher velocity generally corresponds to lower static pressure.

Venturimeter:

Measures fluid-flow rate using area, velocity and pressure differences.

Pitot tube:

Used to determine fluid speed from pressure differences.

Torricelli's theorem:

v = √(2gh)

Quick Revision

Bernoulli's theorem is based on conservation of mechanical energy in ideal fluid flow.
It applies to steady, incompressible, non-viscous flow along a streamline in its elementary form.
The basic equation is P + ½ρv² + ρgh = constant.
Every term has the dimensions of pressure or energy per unit volume.
In a horizontal ideal flow, an increase in velocity corresponds to a decrease in static pressure.
For steady incompressible flow, A₁v₁ = A₂v₂.
A narrower pipe section generally produces higher flow speed.
Venturimeters use pressure differences to determine flow rate.
Atomizers use pressure differences and fast-moving air to help draw and disperse liquids.
Pitot-static systems can determine fluid speed from pressure measurements.
Torricelli's ideal efflux speed is √(2gh).
Aircraft lift should not be attributed to Bernoulli's principle alone.
Real fluids experience viscosity, friction and other energy losses.

हिन्दी अनुभाग

परिचय

गतिशील द्रव अनेक रोचक घटनाएँ प्रदर्शित करते हैं। किसी पाइप के संकरे भाग से गुजरते समय जल की चाल बढ़ सकती है, इत्र छिड़कने वाले उपकरण में तीव्र गति से बहती वायु द्रव को ऊपर खींचने में सहायता कर सकती है और वेंचुरीमीटर की सहायता से पाइप में द्रव के प्रवाह की दर ज्ञात की जा सकती है।

इन घटनाओं को समझने में द्रव यांत्रिकी का एक अत्यंत महत्वपूर्ण सिद्धांत उपयोगी होता है, जिसे बर्नौली प्रमेय कहते हैं।

बर्नौली प्रमेय को आदर्श द्रव प्रवाह के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का एक रूप माना जा सकता है।

यह द्रव के:

दाब,
चाल,
ऊँचाई,
घनत्व

के बीच संबंध स्थापित करता है।

बर्नौली प्रमेय क्या है?

किसी असंपीड्य और अश्यान द्रव के स्थिर प्रवाह में, एक धारा रेखा के अनुदिश प्रति इकाई आयतन दाब से संबंधित ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।

गणितीय रूप में:

P + ½ρv² + ρgh = स्थिरांक

एक ही धारा रेखा पर स्थित दो बिंदुओं के लिए:

P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂

जहाँ:

P = द्रव का दाब
ρ = द्रव का घनत्व
v = द्रव की चाल
g = गुरुत्वीय त्वरण
h = चुने गए संदर्भ तल से ऊँचाई

इसे बर्नौली समीकरण कहते हैं।

बर्नौली समीकरण का भौतिक अर्थ

इस समीकरण में तीन प्रमुख पद हैं।

1. प्रति इकाई आयतन दाब से संबंधित ऊर्जा

यह द्रव के दाब से संबंधित पद है।

2. प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा

½ρv²

यह द्रव की गति से संबंधित ऊर्जा को दर्शाता है।

3. प्रति इकाई आयतन गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा

ρgh

यह द्रव की ऊँचाई से संबंधित गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को दर्शाता है।

अतः:

दाब पद + गतिज ऊर्जा पद + गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा पद = स्थिरांक

बर्नौली समीकरण के सभी पदों की इकाई

बर्नौली समीकरण के प्रत्येक पद की विमा दाब अथवा प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के समान होती है।

दाब की SI इकाई:

पास्कल (Pa)

है।

इसी प्रकार:

½ρv²

और:

ρgh

की इकाई भी पास्कल प्राप्त होती है।

यह परीक्षा में पूछा जाने वाला महत्वपूर्ण तथ्य है।

शीर्ष के रूप में बर्नौली समीकरण

पूरे समीकरण को ρg से विभाजित करने पर:

P/(ρg) + v²/(2g) + h = स्थिरांक

प्राप्त होता है।

यहाँ:

P/(ρg) = दाब शीर्ष

v²/(2g) = वेग शीर्ष

h = उन्नयन शीर्ष

यह रूप द्रव यांत्रिकी और जलगतिकी में बहुत उपयोगी है।

बर्नौली प्रमेय की आवश्यक शर्तें

इसके प्रारंभिक रूप के लिए निम्न परिस्थितियाँ मानी जाती हैं:

1. स्थिर प्रवाह

किसी निश्चित बिंदु पर प्रवाह की राशियाँ समय के साथ नहीं बदलतीं।

2. असंपीड्य द्रव

द्रव का घनत्व लगभग स्थिर माना जाता है।

3. अश्यान द्रव

आदर्श रूप में श्यानता को नगण्य माना जाता है।

4. धारा रेखा के अनुदिश

सामान्य बर्नौली समीकरण एक ही धारा रेखा पर स्थित बिंदुओं के बीच लगाया जाता है।

5. अतिरिक्त यांत्रिक ऊर्जा का अभाव

सरल रूप में यह माना जाता है कि चुने गए बिंदुओं के बीच कोई पंप ऊर्जा नहीं जोड़ रहा और कोई टरबाइन ऊर्जा नहीं निकाल रही।

धारा रेखा क्या है?

प्रवाहित द्रव में खींची गई ऐसी काल्पनिक रेखा जिसके किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा उस बिंदु पर द्रव के वेग की दिशा बताती है, धारा रेखा कहलाती है।

एक सुव्यवस्थित वेग क्षेत्र में दो धारा रेखाएँ एक-दूसरे को काट नहीं सकतीं, क्योंकि ऐसा होने पर एक ही बिंदु पर वेग की दो दिशाएँ प्राप्त होंगी।

ऊर्जा संरक्षण और बर्नौली प्रमेय

बर्नौली प्रमेय आदर्श द्रव प्रवाह में यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण से संबंधित है।

द्रव की ऊर्जा निम्न रूपों के बीच परिवर्तित हो सकती है:

दाब से संबंधित ऊर्जा,
गतिज ऊर्जा,
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा।

यदि समान ऊँचाई पर द्रव की चाल बढ़ती है, तो गतिज ऊर्जा वाला पद बढ़ जाता है।

कुल योग स्थिर बनाए रखने के लिए स्थिर दाब वाला पद कम होता है।

इसलिए उपयुक्त आदर्श परिस्थितियों में:

अधिक चाल → कम स्थिर दाब

होता है।

बर्नौली समीकरण की व्युत्पत्ति

मान लेते हैं कि एक आदर्श द्रव परिवर्तित अनुप्रस्थ क्षेत्रफल वाली नली से प्रवाहित हो रहा है।

दो बिंदु लेते हैं:

बिंदु 1: P₁, v₁, h₁
बिंदु 2: P₂, v₂, h₂

मान लेते हैं कि ΔV आयतन का द्रव बिंदु 1 से बिंदु 2 तक जाता है।

बिंदु 1 पर दाब द्वारा किया गया कार्य:

W₁ = P₁ΔV

बिंदु 2 पर दाब के विरुद्ध किया गया कार्य:

W₂ = P₂ΔV

अतः शुद्ध दाब कार्य:

W = (P₁ - P₂)ΔV

द्रव का द्रव्यमान:

m = ρΔV

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔK = ½ρΔV(v₂² - v₁²)

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन:

ΔU = ρΔVg(h₂ - h₁)

यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के अनुसार:

दाब द्वारा किया गया शुद्ध कार्य = गतिज ऊर्जा में वृद्धि + स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि

अतः:

(P₁ - P₂)ΔV = ½ρΔV(v₂² - v₁²) + ρΔVg(h₂ - h₁)

सरलीकरण करने पर:

P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂

अतः:

P + ½ρv² + ρgh = स्थिरांक

यही बर्नौली समीकरण है।

क्षैतिज पाइप में बर्नौली प्रमेय

यदि पाइप क्षैतिज है:

h₁ = h₂

इसलिए ऊँचाई से संबंधित पद समाप्त हो जाते हैं।

तब:

P₁ + ½ρv₁² = P₂ + ½ρv₂²

अतः उपयुक्त आदर्श परिस्थितियों में:

चाल बढ़ने पर स्थिर दाब घटता है।

सातत्य समीकरण

बर्नौली प्रमेय के साथ अक्सर सातत्य समीकरण का उपयोग किया जाता है।

असंपीड्य द्रव के स्थिर प्रवाह के लिए:

A₁v₁ = A₂v₂

जहाँ:

A₁ = पहले भाग का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल
A₂ = दूसरे भाग का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल
v₁ = पहले भाग में चाल
v₂ = दूसरे भाग में चाल

इससे:

कम क्षेत्रफल → अधिक चाल

अधिक क्षेत्रफल → कम चाल

प्राप्त होता है।

संकरी पाइप में द्रव का दाब

यदि किसी क्षैतिज पाइप का दूसरा भाग पहले भाग से संकरा है:

A₂ < A₁

सातत्य समीकरण से:

v₂ > v₁

बर्नौली समीकरण से:

P₂ < P₁

अतः आदर्श क्षैतिज प्रवाह में:

संकरी नली → अधिक चाल → कम स्थिर दाब

यह वेंचुरीमीटर का आधारभूत सिद्धांत है।

उपयोग 1: वेंचुरीमीटर

वेंचुरीमीटर का उपयोग पाइप में बहने वाले द्रव की प्रवाह दर ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

इसमें सामान्यतः:

चौड़ा भाग,
धीरे-धीरे संकरा होता भाग,
संकरा कंठ,
पुनः चौड़ा होता भाग

होता है।

संकरे कंठ पर क्षेत्रफल कम होने के कारण सातत्य समीकरण के अनुसार द्रव की चाल बढ़ती है।

बर्नौली सिद्धांत के अनुसार वहाँ स्थिर दाब कम हो जाता है।

चौड़े और संकरे भाग के बीच दाब अंतर को मापकर द्रव की प्रवाह दर ज्ञात की जा सकती है।

उपयोग 2: एटोमाइज़र और स्प्रेयर

कई स्प्रे उपकरणों में तीव्र गति से चलती वायु किसी द्रव नली के ऊपरी सिरे के पास से गुजरती है।

इस क्षेत्र में स्थिर दाब कम हो सकता है।

दाब अंतर के कारण द्रव नली में ऊपर उठता है और तेज वायु धारा द्वारा छोटी-छोटी बूंदों में विभाजित हो जाता है।

इस सिद्धांत का उपयोग:

इत्र छिड़कने वाले उपकरणों,
कुछ प्रयोगशाला स्प्रेयरों,
रंग छिड़कने वाले उपकरणों

में किया जाता है।

वास्तविक उपकरणों में श्यानता, अशांति और वायु द्वारा द्रव को साथ ले जाने जैसी अन्य प्रक्रियाएँ भी महत्वपूर्ण हो सकती हैं।

उपयोग 3: द्रव प्रवाह का मापन

दाब अंतर से द्रव की चाल अथवा प्रवाह दर ज्ञात करने के लिए बर्नौली समीकरण का उपयोग किया जा सकता है।

इस सिद्धांत से संबंधित उपकरणों में:

वेंचुरीमीटर,
प्रवाह नोजल,
पिटोट-स्थिर तंत्र

शामिल हैं।

पिटोट नली

पिटोट नली का उपयोग द्रव की चाल का अनुमान लगाने में किया जा सकता है।

रुद्ध बिंदु पर:

v = 0

समान ऊँचाई के लिए:

P₀ = P + ½ρv²

जहाँ:

P₀ = रुद्ध दाब
P = स्थिर दाब

अतः:

P₀ - P = ½ρv²

इससे आदर्श रूप में:

v = √[2(P₀-P)/ρ]

प्राप्त होता है।

पिटोट-स्थिर तंत्र का उपयोग विमान की वायु चाल मापने सहित विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

उपयोग 4: विमान के पंख

विमान की लिफ्ट को केवल बर्नौली प्रमेय से समझाना अधूरा होगा।

विमान के पंख के आसपास वायुगतिकीय बलों को समझने में कई अवधारणाएँ महत्वपूर्ण हैं:

पंख के चारों ओर दाब वितरण,
पंख की आकृति,
आक्रमण कोण,
वायु का त्वरण और दिशा परिवर्तन,
परिसंचरण,
संवेग परिवर्तन।

उपयुक्त परिस्थितियों में बर्नौली समीकरण वायु की चाल और दाब के संबंध का विश्लेषण करने में उपयोगी है।

पंख की सतह पर बनने वाला समग्र दाब वितरण वायुगतिकीय बलों में योगदान करता है।

उपयोग 5: तेज हवा और छत

तेज गति से चलती हवा छत के ऊपर कम स्थिर दाब वाला क्षेत्र उत्पन्न करने में योगदान कर सकती है।

यदि छत के ऊपर और नीचे पर्याप्त दाब अंतर उत्पन्न हो जाए, तो छत पर ऊपर की दिशा में बल लग सकता है।

वास्तविक भवनों में वायु प्रवाह जटिल होता है और उसमें अशांति, वायु झोंके, भवन की आकृति तथा अंदर का दाब भी महत्वपूर्ण होते हैं।

उपयोग 6: दो कागजों के बीच फूँक मारना

दो हल्के कागज पास-पास लटकाकर उनके बीच तेज हवा फूँकने पर वे एक-दूसरे की ओर आ सकते हैं।

उनके बीच तेज गति से बहती हवा का स्थिर दाब आसपास की अपेक्षाकृत धीमी हवा के दाब से कम हो सकता है।

बाहरी अधिक दाब कागजों को अंदर की ओर धकेल सकता है।

टॉरिसेली का प्रमेय

बर्नौली समीकरण से संबंधित एक महत्वपूर्ण परिणाम टॉरिसेली का प्रमेय है।

यदि किसी बड़े पात्र में द्रव भरा हो और मुक्त सतह से h गहराई पर छोटा छिद्र बनाया जाए, तो आदर्श परिस्थितियों में द्रव के बाहर निकलने की चाल:

v = √(2gh)

होती है।

यह वही गणितीय रूप है जो किसी वस्तु के h ऊँचाई से स्वतंत्र रूप से गिरने पर प्राप्त चाल के लिए मिलता है।

संख्यात्मक उदाहरण 1

एक क्षैतिज पाइप में जल बह रहा है।

पहले बिंदु पर:

v₁ = 2 m/s

दूसरे बिंदु पर:

v₂ = 4 m/s

यदि:

P₁ = 200 kPa

और:

ρ = 1000 kg/m³

तो:

P₁ + ½ρv₁² = P₂ + ½ρv₂²

अतः:

P₂ = P₁ + ½ρ(v₁²-v₂²)

P₂ = 200000 + 500(4 - 16)

P₂ = 194000 Pa

अतः:

P₂ = 194 kPa

इस उदाहरण में अधिक चाल वाले क्षेत्र का स्थिर दाब कम है।

संख्यात्मक उदाहरण 2

किसी पाइप का क्षेत्रफल:

20 cm² से घटकर 5 cm²

हो जाता है।

यदि प्रारंभिक चाल:

2 m/s

है, तो:

A₁v₁ = A₂v₂

20 × 2 = 5 × v₂

अतः:

v₂ = 8 m/s

इसलिए संकरे भाग में द्रव की चाल:

8 m/s

होगी।

संख्यात्मक उदाहरण 3

किसी बड़े जल पात्र में जल की सतह से 5 m नीचे एक छोटा छिद्र है।

यदि:

g = 9.8 m/s²

तो:

v = √(2gh)

v = √(2 × 9.8 × 5)

v = √98

v ≈ 9.9 m/s

अतः आदर्श परिस्थितियों में जल लगभग 9.9 m/s की चाल से बाहर निकलेगा।

बर्नौली प्रमेय की सीमाएँ

सरल बर्नौली समीकरण को प्रत्येक द्रव समस्या पर सीधे लागू नहीं किया जा सकता।

विशेष सावधानी आवश्यक होती है जब:

श्यानता महत्वपूर्ण हो,
घर्षण से ऊर्जा हानि हो,
प्रवाह अत्यधिक अशांत हो,
घनत्व में बड़ा परिवर्तन हो,
पंप ऊर्जा जोड़ रहा हो,
टरबाइन ऊर्जा निकाल रही हो,
ऊष्मा स्थानांतरण या संपीड्यता महत्वपूर्ण हो।

वास्तविक द्रवों के लिए अधिक विस्तृत ऊर्जा समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

सामान्य गलतियाँ

गलती 1: अधिक चाल का अर्थ हमेशा कम दाब होता है

यह सार्वभौमिक नियम नहीं है।

यह संबंध उपयुक्त बर्नौली परिस्थितियों में ही सीधे लागू होता है।

गलती 2: बर्नौली प्रमेय प्रत्येक वास्तविक द्रव पर बिना संशोधन लागू होता है

वास्तविक द्रवों में श्यानता और घर्षण के कारण ऊर्जा हानि हो सकती है।

गलती 3: संकरी पाइप का दाब हमेशा कम होगा

क्षैतिज आदर्श प्रवाह में यह सामान्य परिणाम है, लेकिन ऊँचाई, घर्षण, पंप और अन्य प्रभाव परिणाम बदल सकते हैं।

गलती 4: विमान की लिफ्ट केवल बर्नौली प्रमेय के कारण होती है

विमान की लिफ्ट का पूर्ण विश्लेषण दाब वितरण, संवेग परिवर्तन, परिसंचरण और वायु प्रवाह की अन्य विशेषताओं को भी शामिल करता है।

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण तथ्य

बर्नौली समीकरण:

P + ½ρv² + ρgh = स्थिरांक

दाब पद: P

प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा: ½ρv²

प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा: ρgh

शीर्ष के रूप में:

P/(ρg) + v²/(2g) + h = स्थिरांक

सातत्य समीकरण:

A₁v₁ = A₂v₂

आदर्श क्षैतिज प्रवाह:

अधिक चाल वाले क्षेत्र में सामान्यतः कम स्थिर दाब होता है।

वेंचुरीमीटर:

द्रव की प्रवाह दर मापने के लिए।

पिटोट नली:

दाब अंतर से द्रव की चाल ज्ञात करने के लिए।

टॉरिसेली प्रमेय:

v = √(2gh)

त्वरित पुनरावृत्ति

बर्नौली प्रमेय आदर्श द्रव प्रवाह में यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण से संबंधित है।
मूल समीकरण P + ½ρv² + ρgh = स्थिरांक है।
प्रारंभिक रूप में प्रवाह को स्थिर, असंपीड्य और अश्यान माना जाता है।
बर्नौली समीकरण के प्रत्येक पद की इकाई दाब के समान है।
क्षैतिज आदर्श प्रवाह में चाल बढ़ने पर स्थिर दाब घटता है।
सातत्य समीकरण A₁v₁ = A₂v₂ है।
पाइप का क्षेत्रफल कम होने पर द्रव की चाल बढ़ती है।
वेंचुरीमीटर से प्रवाह दर ज्ञात की जाती है।
पिटोट नली से द्रव की चाल का अनुमान लगाया जा सकता है।
एटोमाइज़र में तेज वायु और दाब अंतर द्रव को ऊपर खींचने और छिड़कने में सहायता करते हैं।
टॉरिसेली प्रमेय के अनुसार आदर्श निर्गमन चाल √(2gh) है।
विमान की लिफ्ट को केवल बर्नौली प्रमेय से समझाना पर्याप्त नहीं है।
वास्तविक द्रवों में श्यानता और घर्षण के कारण ऊर्जा हानि हो सकती है।

Practice Questions | अभ्यास प्रश्न

Q1. Bernoulli's theorem is fundamentally associated with conservation of:
A. Charge
B. Mechanical energy
C. Electric current
D. Mass only

Correct Answer: B

Q2. Which is Bernoulli's equation for ideal flow?
A. P + ρv + gh = constant
B. P + ½ρv² + ρgh = constant
C. P + mv² = constant
D. P/ρ = zero

Correct Answer: B

Q3. In a horizontal ideal flow, if fluid speed increases, static pressure generally:
A. Increases
B. Decreases
C. Remains necessarily unchanged
D. Becomes zero

Correct Answer: B

Q4. The continuity equation for steady incompressible flow is:
A. A₁/v₁ = A₂/v₂
B. A₁v₁ = A₂v₂
C. A₁v₂ = A₂v₁ always
D. P₁v₁ = P₂v₂

Correct Answer: B

Q5. A Venturimeter is primarily used to measure:
A. Temperature
B. Fluid-flow rate
C. Density only
D. Surface tension

Correct Answer: B

Q6. The kinetic-energy term per unit volume in Bernoulli's equation is:
A. ρgh
B. P
C. ½ρv²
D. mv

Correct Answer: C

Q7. Torricelli's theorem gives the ideal efflux speed as:
A. gh
B. 2gh
C. √(2gh)
D. g/h

Correct Answer: C

Q8. A Pitot-static system is used primarily to determine:
A. Fluid speed
B. Latent heat
C. Surface tension
D. Viscosity directly

Correct Answer: A

Q9. In a horizontal pipe carrying an incompressible ideal fluid, a narrower section generally has:
A. Lower speed and higher pressure
B. Higher speed and lower static pressure
C. Lower speed and lower pressure
D. The same speed under all conditions

Correct Answer: B

Q10. Which statement about aircraft lift is scientifically more complete?
A. Lift is caused only by Bernoulli's equation.
B. Lift has nothing to do with pressure.
C. Lift involves pressure distribution, momentum change and broader aerodynamic flow effects.
D. Air does not move around aircraft wings.

Correct Answer: C