Geometry Topic 4: Circle Geometry – 100 Important Property-Based Questions with Solutions

ज्यामिति अध्याय 4: वृत्त के गुणधर्म पर आधारित 100 महत्वपूर्ण प्रश्न

Vitorr Classes | SSC CGL, SSC CHSL, RRB NTPC, Railway, WBPSC and Other Competitive Examinations

This chapter contains 100 bilingual questions arranged from easy to extremely difficult. It focuses on circle theorems, chords, tangents, secants, angles, cyclic quadrilaterals and geometrical reasoning, rather than routine mensuration.

इस अध्याय में वृत्त के गुणधर्म, जीवा, स्पर्श रेखा, छेदक रेखा, केंद्र कोण, परिधि कोण, चक्रीय चतुर्भुज तथा ज्यामितीय प्रमेयों पर आधारित 100 प्रश्न दिए गए हैं।

All questions and solutions use simple, copy-friendly text suitable for publishing on Vitorr Classes.

Important Formulas and Theorems / महत्वपूर्ण सूत्र एवं प्रमेय

1. The angle at the centre is twice the angle at the circumference standing on the same arc.
एक ही चाप पर केंद्र पर बना कोण, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।

2. Angles in the same segment of a circle are equal.
वृत्त के एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।

3. The angle in a semicircle is 90°.
अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है।

4. The perpendicular from the centre to a chord bisects the chord.
केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

5. Equal chords subtend equal angles at the centre.
बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं।

6. Equal chords are equidistant from the centre.
बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।

7. The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through that point.
स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा, उस बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

8. Tangent segments drawn from an external point are equal.
किसी बाहरी बिंदु से खींचे गए दोनों स्पर्श रेखाखंड बराबर होते हैं।

9. Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°.
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

10. The angle between a tangent and a chord equals the angle in the alternate segment.
स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, एकांतर वृत्तखंड के कोण के बराबर होता है।

11. Intersecting chords theorem: PA × PB = PC × PD.
प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय: PA × PB = PC × PD।

12. Tangent-secant theorem: PT² = PA × PB, where A is the nearer and B the farther intersection of the secant with the circle.
स्पर्श रेखा-छेदक प्रमेय: PT² = PA × PB।

13. The angle between two tangents from an external point equals 180° minus the smaller central angle between the radii to the contact points.
बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण = 180° − संबंधित छोटा केंद्र कोण।

Level 1: Basic Circle Properties (Questions 1–20)

स्तर 1: वृत्त के मूलभूत गुणधर्म

Question 1. What is the angle between a tangent and the radius at the point of contact?

स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कितना कोण होता है?

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): A tangent to a circle is perpendicular to the radius drawn to the point of contact.

समाधान (हिंदी): स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंब होती है। इसलिए कोण 90° है।

Question 2. How many tangents can be drawn to a circle from a point outside it?

वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

Answer / उत्तर: 2

Solution (English): Exactly two distinct tangents can be drawn from any point outside a circle.

समाधान (हिंदी): वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से दो अलग-अलग स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

Question 3. How many tangents can be drawn at a point on a circle?

वृत्त पर स्थित किसी बिंदु पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

Answer / उत्तर: 1

Solution (English): A unique tangent exists at each point of a circle.

समाधान (हिंदी): वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।

Question 4. How many tangents can be drawn from a point strictly inside a circle?

वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

Answer / उत्तर: 0

Solution (English): A line passing through an interior point must intersect the circle at two points, so it cannot be a tangent.

समाधान (हिंदी): वृत्त के अंदर के बिंदु से गुजरने वाली रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है। इसलिए कोई स्पर्श रेखा नहीं बन सकती।

Question 5. What is the angle subtended by a diameter at any point on the remaining circumference?

व्यास द्वारा वृत्त की शेष परिधि पर किसी बिंदु पर बनाया गया कोण कितना होता है?

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): According to Thales' theorem, the angle in a semicircle is a right angle.

समाधान (हिंदी): थेल्स प्रमेय के अनुसार अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।

Question 6. A chord subtends an angle of 80° at the centre. Find the angle it subtends at a point on the major arc.

एक जीवा केंद्र पर 80° का कोण बनाती है। वह दीर्घ चाप पर स्थित किसी बिंदु पर कितना कोण बनाएगी?

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): The inscribed angle intercepting the minor arc is half the central angle. Therefore 80/2 = 40°.

समाधान (हिंदी): परिधि कोण संबंधित केंद्र कोण का आधा होता है। इसलिए 40°।

Question 7. An inscribed angle is 35°. Find the central angle subtending the same arc.

एक परिधि कोण 35° है। उसी चाप पर केंद्र कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): Central angle = 2 × inscribed angle = 70°.

समाधान (हिंदी): केंद्र कोण = 2 × 35 = 70°।

Question 8. Two chords of a circle are equal. What can be said about their corresponding minor central angles?

वृत्त की दो जीवाएँ बराबर हैं। उनके संबंधित लघु केंद्र कोणों के बारे में क्या कहा जा सकता है?

Answer / उत्तर: They are equal / वे बराबर हैं

Solution (English): Equal chords subtend equal minor angles at the centre.

समाधान (हिंदी): बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर लघु कोण बनाती हैं।

Question 9. What is the longest chord of a circle?

वृत्त की सबसे लंबी जीवा कौन-सी होती है?

Answer / उत्तर: Diameter / व्यास

Solution (English): A diameter passes through the centre and has length twice the radius, the maximum possible chord length.

समाधान (हिंदी): व्यास केंद्र से होकर गुजरता है और इसकी लंबाई 2r होती है। यह सबसे लंबी जीवा है।

Question 10. A perpendicular from the centre of a circle meets chord AB at M. If AB = 16 cm, find AM.

वृत्त के केंद्र से जीवा AB पर डाला गया लंब M पर मिलता है। यदि AB = 16 सेमी है, तो AM ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8 cm

Solution (English): The perpendicular from the centre bisects the chord. AM = 16/2 = 8 cm.

समाधान (हिंदी): केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को आधा करता है। AM = 8 सेमी।

Question 11. Two tangents PA and PB are drawn from an external point P. If PA = 12 cm, find PB.

बाहरी बिंदु P से PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। यदि PA = 12 सेमी है, तो PB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution (English): Tangent segments from the same external point are equal. PA = PB.

समाधान (हिंदी): एक बाहरी बिंदु से खींचे गए स्पर्श रेखाखंड बराबर होते हैं। PB = 12 सेमी।

Question 12. In a circle, angle ACB and angle ADB stand on the same chord AB, with C and D on the same arc AB. If angle ACB = 50°, find angle ADB.

एक वृत्त में कोण ACB और ADB एक ही जीवा AB पर बने हैं तथा C और D एक ही चाप पर हैं। यदि ACB = 50° है, तो ADB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 50°

Solution (English): Angles in the same segment are equal.

समाधान (हिंदी): एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं। इसलिए 50°।

Question 13. A diameter AB and a point C on the circle form triangle ABC. Find angle ACB.

व्यास AB और वृत्त पर बिंदु C से त्रिभुज ABC बनता है। कोण ACB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): The angle subtended by a diameter at the circumference is 90°.

समाधान (हिंदी): व्यास द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण 90° होता है।

Question 14. A chord passes through the centre of a circle. What is it called?

एक जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। उसे क्या कहते हैं?

Answer / उत्तर: Diameter / व्यास

Solution (English): A chord passing through the centre is a diameter.

समाधान (हिंदी): केंद्र से होकर गुजरने वाली जीवा व्यास कहलाती है।

Question 15. In a circle, two equal chords AB and CD are at distances 5 cm and x cm from the centre. Find x.

एक वृत्त की बराबर जीवाएँ AB और CD केंद्र से क्रमशः 5 सेमी और x सेमी दूर हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 5 cm

Solution (English): Equal chords are equidistant from the centre.

समाधान (हिंदी): बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं। x = 5 सेमी।

Question 16. In a circle, chord AB is nearer to the centre than chord CD. Which chord is longer?

एक वृत्त में जीवा AB, जीवा CD की तुलना में केंद्र के अधिक निकट है। कौन-सी जीवा लंबी होगी?

Answer / उत्तर: AB

Solution (English): Of two unequal chords, the chord nearer to the centre is longer.

समाधान (हिंदी): केंद्र के अधिक निकट स्थित जीवा अधिक लंबी होती है।

Question 17. The central angle subtending a minor arc is 120°. Find the inscribed angle standing on that minor arc.

एक लघु चाप का केंद्र कोण 120° है। उसी लघु चाप पर आधारित परिधि कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): The inscribed angle is half the central angle subtending the same arc. Therefore 60°.

समाधान (हिंदी): परिधि कोण = 120/2 = 60°।

Question 18. What is the sum of opposite angles of a cyclic quadrilateral?

चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग कितना होता है?

Answer / उत्तर: 180°

Solution (English): Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.

समाधान (हिंदी): चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।

Question 19. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 105°. Find angle C.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 105° है। कोण C ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 75°

Solution (English): A + C = 180°. Therefore C = 75°.

समाधान (हिंदी): C = 180 − 105 = 75°।

Question 20. Two tangents PA and PB meet at P. If angle APB = 70°, find the smaller angle AOB at the centre O.

दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB बिंदु P पर मिलती हैं। यदि कोण APB = 70° है, तो केंद्र O पर छोटा कोण AOB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 110°

Solution (English): OA and OB are perpendicular to the tangents. In quadrilateral OAPB, angle AOB + angle APB = 180°. Thus AOB = 110°.

समाधान (हिंदी): स्पर्श बिंदुओं पर कोण 90° होते हैं। इसलिए AOB = 180 − 70 = 110°।

Level 2: Chords, Tangents and Angles (Questions 21–40)

स्तर 2: जीवा, स्पर्श रेखा और कोण

Question 21. In a circle, angle AOB = 140°. Point C lies on the major arc AB. Find angle ACB.

एक वृत्त में कोण AOB = 140° है। बिंदु C दीर्घ चाप AB पर स्थित है। कोण ACB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): Angle ACB subtends minor arc AB. Thus ACB = 140/2 = 70°.

समाधान (हिंदी): ACB लघु चाप AB पर आधारित है। अतः कोण = 70°।

Question 22. In a circle, angle ACB = 65° and C lies on the major arc AB. Find the smaller central angle AOB.

एक वृत्त में कोण ACB = 65° है तथा C दीर्घ चाप AB पर है। छोटा केंद्र कोण AOB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 130°

Solution (English): The smaller central angle = 2 × 65 = 130°.

समाधान (हिंदी): छोटा केंद्र कोण = 130°।

Question 23. Chord AB subtends a minor central angle of 100°. Find the angle subtended by AB at a point C on the minor arc AB.

जीवा AB केंद्र पर 100° का लघु कोण बनाती है। लघु चाप AB पर स्थित C पर जीवा AB कितना कोण बनाएगी?

Answer / उत्तर: 130°

Solution (English): C intercepts the major arc AB measuring 360 − 100 = 260°. Hence angle ACB = 260/2 = 130°.

समाधान (हिंदी): C से संबंधित दीर्घ चाप = 260°। इसलिए ACB = 130°।

Question 24. Two tangents PA and PB are drawn from P. If angle APB = 50°, find angle AOB.

बिंदु P से PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। यदि APB = 50° है, तो AOB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 130°

Solution (English): AOB = 180 − APB = 130°.

समाधान (हिंदी): AOB = 180 − 50 = 130°।

Question 25. Two tangents PA and PB touch a circle at A and B. If angle AOB = 80°, find angle APB.

दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB वृत्त को A तथा B पर स्पर्श करती हैं। यदि AOB = 80° है, तो APB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100°

Solution (English): APB = 180 − 80 = 100°.

समाधान (हिंदी): APB = 100°।

Question 26. From an external point P, tangents PA and PB are drawn. If PA = 3x + 4 and PB = 5x − 6, find x.

बाहरी बिंदु P से PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि PA = 3x + 4 तथा PB = 5x − 6 है, तो x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 5

Solution (English): PA = PB. Thus 3x + 4 = 5x − 6. Hence 2x = 10 and x = 5.

समाधान (हिंदी): दोनों स्पर्श रेखाखंड बराबर हैं। x = 5।

Question 27. The radius of a circle is 10 cm. A chord is 6 cm away from the centre. Find the chord length.

वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। एक जीवा केंद्र से 6 सेमी दूर है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 16 cm

Solution (English): Half chord = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm. Full chord = 16 cm.

समाधान (हिंदी): आधी जीवा = √(100 − 36) = 8 सेमी। पूरी जीवा = 16 सेमी।

Question 28. A chord of length 24 cm is in a circle of radius 13 cm. Find its distance from the centre.

13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 24 सेमी लंबी जीवा है। केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 5 cm

Solution (English): Half chord = 12 cm. Distance = √(13² − 12²) = √25 = 5 cm.

समाधान (हिंदी): आधी जीवा 12 सेमी है। दूरी = √(169 − 144) = 5 सेमी।

Question 29. In a circle, a chord of length 16 cm is 6 cm from the centre. Find the radius.

एक वृत्त में 16 सेमी लंबी जीवा केंद्र से 6 सेमी दूर है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10 cm

Solution (English): Radius = √(8² + 6²) = √100 = 10 cm.

समाधान (हिंदी): त्रिज्या = √(64 + 36) = 10 सेमी।

Question 30. A chord AB subtends 90° at the centre O. If OA = OB, find angle OAB.

जीवा AB केंद्र O पर 90° का कोण बनाती है। यदि OA = OB है, तो OAB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 45°

Solution (English): Triangle AOB is isosceles. Its two base angles = (180 − 90)/2 = 45°.

समाधान (हिंदी): त्रिभुज AOB समद्विबाहु है। प्रत्येक आधार कोण 45° होगा।

Question 31. In circle O, chord AB subtends 120° at the centre. Find angle OBA.

वृत्त O में जीवा AB केंद्र पर 120° का कोण बनाती है। कोण OBA ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30°

Solution (English): OA = OB. Base angle = (180 − 120)/2 = 30°.

समाधान (हिंदी): दोनों आधार कोण बराबर हैं। OBA = 30°।

Question 32. A tangent at A makes an acute angle of 40° with chord AB. Find the angle subtended by AB in the alternate segment.

A पर स्पर्श रेखा, जीवा AB के साथ 40° का न्यून कोण बनाती है। एकांतर वृत्तखंड में AB द्वारा बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): By the alternate segment theorem, the angle between tangent and chord equals the angle subtended by that chord in the opposite segment.

समाधान (हिंदी): एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार दोनों कोण बराबर हैं। उत्तर 40°।

Question 33. In triangle ABC inscribed in a circle, the tangent at A makes an angle of 55° with AB in the sector opposite C. Find angle ACB.

वृत्त में अंतर्लिखित त्रिभुज ABC में A पर स्पर्श रेखा, AB के साथ C के विपरीत वृत्तखंड की ओर 55° का कोण बनाती है। ACB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 55°

Solution (English): The tangent-chord angle equals the angle in the alternate segment. Thus ACB = 55°.

समाधान (हिंदी): स्पर्श रेखा-जीवा प्रमेय से ACB = 55°।

Question 34. In circle O, chord AB is equal to chord BC. If the minor central angle AOB = 70°, find the minor central angle BOC.

वृत्त O में जीवा AB = जीवा BC है। यदि लघु केंद्र कोण AOB = 70° है, तो लघु केंद्र कोण BOC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): Equal chords subtend equal minor central angles.

समाधान (हिंदी): बराबर जीवाएँ बराबर लघु केंद्र कोण बनाती हैं।

Question 35. Two chords of a circle are 12 cm and 16 cm long. Which chord lies closer to the centre?

एक वृत्त की दो जीवाएँ 12 सेमी और 16 सेमी लंबी हैं। कौन-सी जीवा केंद्र के निकट होगी?

Answer / उत्तर: 16 cm chord / 16 सेमी वाली जीवा

Solution (English): The longer chord lies closer to the centre.

समाधान (हिंदी): लंबी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है।

Question 36. In a circle of radius 17 cm, a chord is 8 cm away from the centre. Find its length.

17 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में जीवा केंद्र से 8 सेमी दूर है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30 cm

Solution (English): Half chord = √(17² − 8²) = √225 = 15 cm. Chord = 30 cm.

समाधान (हिंदी): आधी जीवा 15 सेमी है। पूरी जीवा 30 सेमी।

Question 37. In a circle, a chord of length 10 cm is at a distance of 12 cm from the centre. Find the radius.

एक वृत्त में 10 सेमी लंबी जीवा केंद्र से 12 सेमी दूर है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 13 cm

Solution (English): Radius = √(5² + 12²) = 13 cm.

समाधान (हिंदी): त्रिज्या = √(25 + 144) = 13 सेमी।

Question 38. In a circle, angle AOB = 150°. Find angle ACB if C lies on the major arc AB.

एक वृत्त में AOB = 150° है। यदि C दीर्घ चाप AB पर है, तो ACB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 75°

Solution (English): Angle ACB = 150/2 = 75°.

समाधान (हिंदी): ACB = 75°।

Question 39. Two tangents PA and PB form an angle of 120° at P. Find the smaller central angle AOB.

दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB, P पर 120° का कोण बनाती हैं। छोटा केंद्र कोण AOB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): AOB = 180 − 120 = 60°.

समाधान (हिंदी): AOB = 60°।

Question 40. A chord AB subtends 60° at the centre O. If the radius is 10 cm, find AB.

जीवा AB केंद्र O पर 60° का कोण बनाती है। यदि त्रिज्या 10 सेमी है, तो AB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10 cm

Solution (English): OA = OB = 10 cm and angle AOB = 60°. Thus triangle AOB is equilateral, giving AB = 10 cm.

समाधान (हिंदी): दो भुजाएँ बराबर और बीच का कोण 60° होने से त्रिभुज समबाहु होगा। AB = 10 सेमी।

Level 3: Advanced Circle Theorems (Questions 41–60)

स्तर 3: उन्नत वृत्त प्रमेय

Question 41. In circle O, chord AB subtends an angle of 100° at the centre. Find the angle between chord AB and the tangent at A on the side containing the minor arc AB.

वृत्त O में जीवा AB केंद्र पर 100° का कोण बनाती है। A पर स्पर्श रेखा और जीवा AB के बीच लघु चाप AB की ओर बना कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 50°

Solution (English): Triangle AOB has base angles (180 − 100)/2 = 40°. The tangent is perpendicular to OA. Thus the acute tangent-chord angle is 90 − 40 = 50°.

समाधान (हिंदी): त्रिभुज AOB का आधार कोण 40° है। स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब है। अतः कोण = 50°।

Question 42. In circle O, chord AB subtends 140° at the centre. Find the acute angle between chord AB and the tangent at A.

वृत्त O में जीवा AB केंद्र पर 140° का कोण बनाती है। A पर स्पर्श रेखा और जीवा AB के बीच न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): Base angle OAB = (180 − 140)/2 = 20°. Tangent-chord acute angle = 90 − 20 = 70°.

समाधान (हिंदी): OAB = 20°। स्पर्श रेखा-जीवा का न्यून कोण = 70°।

Question 43. In a circle, two chords AB and CD intersect at P. If PA = 4 cm, PB = 9 cm and PC = 6 cm, find PD.

एक वृत्त में जीवाएँ AB और CD, P पर मिलती हैं। यदि PA = 4 सेमी, PB = 9 सेमी और PC = 6 सेमी है, तो PD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 6 cm

Solution (English): PA × PB = PC × PD. Thus 4 × 9 = 6 × PD, giving PD = 6 cm.

समाधान (हिंदी): 4 × 9 = 6 × PD। अतः PD = 6 सेमी।

Question 44. Two chords AB and CD intersect at P. If PA = 5, PB = 12 and PC = 10, find PD.

दो जीवाएँ AB और CD, P पर मिलती हैं। यदि PA = 5, PB = 12 तथा PC = 10 है, तो PD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 6

Solution (English): 5 × 12 = 10 × PD. Hence PD = 6.

समाधान (हिंदी): PD = 60/10 = 6।

Question 45. Two chords intersect inside a circle. Their segments are 3 cm and 8 cm on one chord, and 4 cm and x cm on the other. Find x.

वृत्त के भीतर दो जीवाएँ मिलती हैं। पहली जीवा के खंड 3 और 8 सेमी तथा दूसरी के 4 और x सेमी हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 6 cm

Solution (English): 3 × 8 = 4 × x. Therefore x = 6.

समाधान (हिंदी): 24 = 4x। x = 6 सेमी।

Question 46. From external point P, tangent PT and secant PAB are drawn, with A nearer to P. If PA = 4 cm and PB = 9 cm, find PT.

बाहरी बिंदु P से स्पर्श रेखा PT और छेदक PAB खींची गई है। A, P के निकट है। यदि PA = 4 सेमी तथा PB = 9 सेमी है, तो PT ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 6 cm

Solution (English): PT² = PA × PB = 4 × 9 = 36. Therefore PT = 6 cm.

समाधान (हिंदी): PT² = 36। इसलिए PT = 6 सेमी।

Question 47. From external point P, PT is a tangent and PAB is a secant. If PT = 12 cm and PA = 8 cm, find PB.

बाहरी बिंदु P से PT स्पर्श रेखा और PAB छेदक है। यदि PT = 12 सेमी और PA = 8 सेमी है, तो PB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 18 cm

Solution (English): PT² = PA × PB. Thus 144 = 8 × PB. PB = 18 cm.

समाधान (हिंदी): 144 = 8 × PB। PB = 18 सेमी।

Question 48. A tangent PT is 15 cm long. A secant from P intersects the circle first at A, 9 cm from P, and then at B. Find AB.

स्पर्श रेखा PT की लंबाई 15 सेमी है। P से छेदक वृत्त को पहले A पर काटती है, जहाँ PA = 9 सेमी है, फिर B पर। AB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 16 cm

Solution (English): PT² = PA × PB. 225 = 9 × PB, so PB = 25 cm. AB = PB − PA = 25 − 9 = 16 cm.

समाधान (हिंदी): PB = 25 सेमी। इसलिए AB = 25 − 9 = 16 सेमी।

Question 49. Two secants PAB and PCD are drawn from an external point P. If PA = 3 cm, PB = 12 cm and PC = 4 cm, find PD.

बाहरी बिंदु P से दो छेदक PAB और PCD खींची गई हैं। यदि PA = 3, PB = 12 और PC = 4 सेमी है, तो PD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9 cm

Solution (English): By secant-secant theorem, PA × PB = PC × PD. Thus 3 × 12 = 4 × PD, so PD = 9 cm.

समाधान (हिंदी): 36 = 4 × PD। PD = 9 सेमी।

Question 50. Two secants from P have external segments 5 cm and 8 cm, and whole secant lengths 20 cm and x cm respectively. Find x.

P से दो छेदक खींची गई हैं। उनके बाहरी खंड 5 और 8 सेमी तथा पूरी लंबाइयाँ क्रमशः 20 और x सेमी हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12.5 cm

Solution (English): 5 × 20 = 8 × x. Thus x = 100/8 = 12.5 cm.

समाधान (हिंदी): 100 = 8x। अतः x = 12.5 सेमी।

Question 51. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 3x + 10 and angle C = 2x + 20. Find x.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 3x + 10 और C = 2x + 20 है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30

Solution (English): A + C = 180. Therefore 5x + 30 = 180 and x = 30.

समाधान (हिंदी): 5x = 150। x = 30।

Question 52. In cyclic quadrilateral ABCD, angle B = 2 × angle D. Find angle B.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण B, कोण D का दोगुना है। B ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 120°

Solution (English): B + D = 180. Let D = x. Then B = 2x, so x = 60 and B = 120°.

समाधान (हिंदी): 3x = 180। B = 120°।

Question 53. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 80°. Side BC is extended beyond C to E. Find exterior angle DCE.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 80° है। BC को C से आगे E तक बढ़ाया गया है। बाह्य कोण DCE ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 80°

Solution (English): The exterior angle of a cyclic quadrilateral equals its opposite interior angle. Therefore DCE = A = 80°.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण DCE, सम्मुख अंतः कोण A के बराबर है। उत्तर 80°।

Question 54. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 4x and angle C = 5x. Find angle C.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 4x और C = 5x है। C ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100°

Solution (English): 9x = 180, so x = 20. C = 5 × 20 = 100°.

समाधान (हिंदी): x = 20। कोण C = 100°।

Question 55. In circle O, equal chords AB and BC meet at B. If angle ABC = 100° and A, B, C are distinct points on the circle, find angle BAC.

वृत्त O में बराबर जीवाएँ AB और BC, B पर मिलती हैं। यदि ABC = 100° है, तो BAC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): AB = BC, so triangle ABC is isosceles with base AC. Its base angles are (180 − 100)/2 = 40°.

समाधान (हिंदी): AB = BC होने से त्रिभुज समद्विबाहु है। आधार कोण = 40°।

Question 56. In a circle, chord AB is equal to the radius. Find the smaller central angle AOB.

एक वृत्त में जीवा AB की लंबाई त्रिज्या के बराबर है। छोटा केंद्र कोण AOB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): OA = OB = AB. Thus triangle AOB is equilateral and angle AOB = 60°.

समाधान (हिंदी): OA = OB = AB। त्रिभुज समबाहु है। कोण 60°।

Question 57. A chord AB is equal to the radius. Find the angle subtended by AB at a point C on the major arc AB.

एक जीवा AB त्रिज्या के बराबर है। दीर्घ चाप AB पर स्थित C पर वह कितना कोण बनाएगी?

Answer / उत्तर: 30°

Solution (English): Minor central angle AOB = 60°. Inscribed angle ACB = 60/2 = 30°.

समाधान (हिंदी): केंद्र कोण 60° है। परिधि कोण 30° होगा।

Question 58. A chord subtends a minor central angle of 90°. Find the angle it subtends at a point on the minor arc.

एक जीवा केंद्र पर 90° का लघु कोण बनाती है। उसी लघु चाप पर स्थित बिंदु पर कितना कोण बनेगा?

Answer / उत्तर: 135°

Solution (English): The major arc measures 360 − 90 = 270°. Inscribed angle = 270/2 = 135°.

समाधान (हिंदी): दीर्घ चाप 270° है। परिधि कोण 135° होगा।

Question 59. In circle O, two tangents PA and PB are drawn. If angle AOB = 140°, find angle APB.

वृत्त O में PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि AOB = 140° है, तो APB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): APB = 180 − 140 = 40°.

समाधान (हिंदी): APB = 40°।

Question 60. In circle O, tangents PA and PB meet at P. If angle APB = 80°, find angle OPA.

वृत्त O में स्पर्श रेखाएँ PA और PB, P पर मिलती हैं। यदि APB = 80° है, तो OPA ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): Right triangles OAP and OBP are congruent, so OP bisects angle APB. Thus OPA = 80/2 = 40°.

समाधान (हिंदी): OP दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण समद्विभाजित करता है। OPA = 40°।

Level 4: Difficult Multi-Theorem Questions (Questions 61–80)

स्तर 4: कठिन बहु-प्रमेय आधारित प्रश्न

Question 61. In circle O, tangents PA and PB meet at P. If angle APB = 60°, find angle PAB.

वृत्त O में PA और PB स्पर्श रेखाएँ P पर मिलती हैं। यदि APB = 60° है, तो PAB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): PA = PB. Triangle PAB is isosceles. Each base angle = (180 − 60)/2 = 60°.

समाधान (हिंदी): PA = PB। त्रिभुज PAB समद्विबाहु है। PAB = 60°।

Question 62. Two tangents PA and PB form angle APB = 100°. Find angle PBA.

दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB, APB = 100° बनाती हैं। PBA ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): PA = PB. Base angle PBA = (180 − 100)/2 = 40°.

समाधान (हिंदी): आधार कोण = 40°।

Question 63. A circle has radius 10 cm. From external point P, OP = 26 cm. Find the length of tangent PT.

वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। बाहरी बिंदु P से OP = 26 सेमी है। स्पर्श रेखाखंड PT ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 24 cm

Solution (English): OT is perpendicular to PT. PT = √(OP² − OT²) = √(676 − 100) = 24 cm.

समाधान (हिंदी): समकोण त्रिभुज OPT में PT = √576 = 24 सेमी।

Question 64. The radius of a circle is 7 cm and tangent length from P is 24 cm. Find OP.

वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी और P से स्पर्श रेखाखंड 24 सेमी है। OP ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 25 cm

Solution (English): OP = √(7² + 24²) = √625 = 25 cm.

समाधान (हिंदी): OP = 25 सेमी।

Question 65. From an external point P, the tangent length is 12 cm and OP = 13 cm. Find the radius.

बाहरी बिंदु P से स्पर्श रेखाखंड 12 सेमी तथा OP = 13 सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 5 cm

Solution (English): Radius = √(13² − 12²) = √25 = 5 cm.

समाधान (हिंदी): त्रिज्या = 5 सेमी।

Question 66. In circle O, tangents PA and PB meet at P. If angle OPA = 25°, find angle AOB.

वृत्त O में PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि OPA = 25° है, तो AOB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 130°

Solution (English): OP bisects angle APB. Hence APB = 50°. Therefore AOB = 180 − 50 = 130°.

समाधान (हिंदी): APB = 50°। इसलिए AOB = 130°।

Question 67. In circle O, tangents PA and PB are drawn. If angle AOB = 100°, find angle OPA.

वृत्त O में PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि AOB = 100° है, तो OPA ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): APB = 180 − 100 = 80°. OP bisects APB, so OPA = 40°.

समाधान (हिंदी): APB = 80°। OPA = 40°।

Question 68. In circle O, chord AB is parallel to tangent at point C. If C lies on the minor arc AB and angle ACB = 110°, find angle CAB.

वृत्त O में जीवा AB, बिंदु C पर स्पर्श रेखा के समांतर है। C लघु चाप AB पर है तथा ACB = 110° है। CAB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 35°

Solution (English): Since AB is parallel to the tangent at C, the configuration is symmetric about OC, so CA = CB. Triangle ABC is isosceles. Therefore CAB = (180 − 110)/2 = 35°.

समाधान (हिंदी): AB स्पर्श रेखा के समांतर होने से CA = CB। अतः त्रिभुज ABC समद्विबाहु है। CAB = 35°।

Question 69. In a circle, chord AB subtends an inscribed angle of 45° at C on the major arc. If the radius is 10 cm, find AB.

एक वृत्त में जीवा AB दीर्घ चाप पर स्थित C पर 45° का कोण बनाती है। त्रिज्या 10 सेमी है। AB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10√2 cm

Solution (English): Minor central angle AOB = 90°. Thus triangle AOB is a right isosceles triangle with OA = OB = 10. AB = √(10² + 10²) = 10√2 cm.

समाधान (हिंदी): केंद्र कोण 90° है। AB = √200 = 10√2 सेमी।

Question 70. In a circle of radius 14 cm, chord AB subtends 60° at the centre. Find the distance of AB from the centre.

14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में जीवा AB केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 7√3 cm

Solution (English): The perpendicular from O to AB bisects the central angle. Distance = 14 cos 30° = 14 × √3/2 = 7√3 cm.

समाधान (हिंदी): केंद्र से दूरी = 14 cos30° = 7√3 सेमी।

Question 71. In a circle of radius 10 cm, chord AB subtends 120° at the centre. Find the length of AB.

10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में जीवा AB केंद्र पर 120° का कोण बनाती है। AB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10√3 cm

Solution (English): Chord length = 2r sin(θ/2) = 20 sin60° = 10√3 cm.

समाधान (हिंदी): AB = 2 × 10 × sin60° = 10√3 सेमी।

Question 72. In a circle of radius 12 cm, a chord subtends 90° at the centre. Find its length.

12 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में एक जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12√2 cm

Solution (English): Chord = 2 × 12 × sin45° = 12√2 cm.

समाधान (हिंदी): जीवा = 12√2 सेमी।

Question 73. In a circle, two equal chords AB and CD subtend minor central angles of (3x + 10)° and (5x − 30)°. Find x.

एक वृत्त में बराबर जीवाएँ AB और CD केंद्र पर क्रमशः (3x + 10)° और (5x − 30)° के लघु कोण बनाती हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20

Solution (English): Equal chords subtend equal minor central angles. 3x + 10 = 5x − 30. Thus x = 20.

समाधान (हिंदी): 3x + 10 = 5x − 30। x = 20।

Question 74. In a circle, two chords are at distances 6 cm and 8 cm from the centre. If radius = 10 cm, find the difference between their lengths.

एक वृत्त की दो जीवाएँ केंद्र से 6 और 8 सेमी दूर हैं। त्रिज्या 10 सेमी है। उनकी लंबाइयों का अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4 cm

Solution (English): First chord = 2√(100 − 36) = 16 cm. Second chord = 2√(100 − 64) = 12 cm. Difference = 4 cm.

समाधान (हिंदी): पहली जीवा 16 सेमी तथा दूसरी 12 सेमी है। अंतर 4 सेमी।

Question 75. In a circle, chord AB is 24 cm long and its distance from the centre is 5 cm. Find the length of the diameter.

एक वृत्त में जीवा AB = 24 सेमी तथा केंद्र से दूरी 5 सेमी है। व्यास ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 26 cm

Solution (English): Radius = √(12² + 5²) = 13 cm. Diameter = 26 cm.

समाधान (हिंदी): त्रिज्या 13 सेमी। व्यास 26 सेमी।

Question 76. A chord AB is 30 cm long in a circle of radius 17 cm. Find the distance between the centre and AB.

17 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में जीवा AB = 30 सेमी है। केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8 cm

Solution (English): Half chord = 15 cm. Distance = √(17² − 15²) = 8 cm.

समाधान (हिंदी): दूरी = √(289 − 225) = 8 सेमी।

Question 77. Two chords intersect at P. One chord has segments x and x + 5, while the other has segments 6 and 9. Find positive x.

दो जीवाएँ P पर मिलती हैं। पहली के खंड x तथा x + 5 और दूसरी के 6 तथा 9 हैं। x का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: (√241 − 5)/2 ≈ 5.262

Solution (English): x(x + 5) = 6 × 9 = 54. Thus x² + 5x − 54 = 0. Positive root = (−5 + √241)/2.

समाधान (हिंदी): x² + 5x − 54 = 0। धनात्मक मूल = (√241 − 5)/2।

Question 78. From point P, tangent PT = 10 cm and secant PAB has PA = 4 cm. Find AB.

P से स्पर्श रेखा PT = 10 सेमी तथा छेदक PAB में PA = 4 सेमी है। AB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 21 cm

Solution (English): PT² = PA × PB. Thus 100 = 4PB and PB = 25. AB = 25 − 4 = 21 cm.

समाधान (हिंदी): PB = 25 सेमी। AB = 21 सेमी।

Question 79. Two secants from P have PA = 6 cm, PB = 18 cm, PC = 9 cm and PD = x cm. Find x.

P से दो छेदक खींची गई हैं। PA = 6, PB = 18, PC = 9 और PD = x सेमी है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution (English): PA × PB = PC × PD. 6 × 18 = 9x. Therefore x = 12.

समाधान (हिंदी): 108 = 9x। x = 12 सेमी।

Question 80. In circle O, tangents PA and PB are drawn. If PA = 8 cm and OP = 10 cm, find the radius.

वृत्त O में PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि PA = 8 सेमी और OP = 10 सेमी है, तो त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 6 cm

Solution (English): OA² = OP² − PA² = 100 − 64 = 36. Thus radius = 6 cm.

समाधान (हिंदी): त्रिज्या = √36 = 6 सेमी।

Level 5: Toughest Circle Geometry (Questions 81–100)

स्तर 5: अत्यंत कठिन वृत्त ज्यामिति

Question 81. In circle O, chord AB subtends a minor central angle of 100°. Tangents at A and B meet at P. Find angle PAB.

वृत्त O में जीवा AB केंद्र पर 100° का लघु कोण बनाती है। A और B की स्पर्श रेखाएँ P पर मिलती हैं। कोण PAB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 50°

Solution (English): Angle APB = 180 − 100 = 80°. Since PA = PB, triangle PAB is isosceles. Thus PAB = (180 − 80)/2 = 50°.

समाधान (हिंदी): APB = 80°। PA = PB होने से आधार कोण = 50°।

Question 82. In circle O, tangents PA and PB meet at P. If angle APB = 40°, find the angle subtended by minor arc AB at a point C on the major arc AB.

वृत्त O में स्पर्श रेखाएँ PA और PB, P पर मिलती हैं। यदि APB = 40° है, तो दीर्घ चाप AB पर स्थित C पर लघु चाप AB द्वारा बना कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): Minor central angle AOB = 180 − 40 = 140°. Inscribed angle ACB = 140/2 = 70°.

समाधान (हिंदी): केंद्र कोण 140° है। परिधि कोण = 70°।

Question 83. Two chords AB and CD intersect at P inside a circle. If angle APC = 75° and minor arc AC = 60°, find arc BD intercepted by angle APC.

वृत्त के अंदर जीवाएँ AB और CD, P पर मिलती हैं। यदि APC = 75° तथा लघु चाप AC = 60° है, तो APC द्वारा अंतरित चाप BD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): For intersecting chords, angle APC = (arc AC + arc BD)/2. Thus 75 = (60 + arc BD)/2, giving arc BD = 90°.

समाधान (हिंदी): 75 = (60 + चाप BD)/2। इसलिए चाप BD = 90°।

Question 84. Two chords AB and CD intersect at P. If angle APC = 110° and intercepted arc AC = 140°, find intercepted arc BD.

दो जीवाएँ AB और CD, P पर मिलती हैं। यदि APC = 110° और संबंधित चाप AC = 140° है, तो चाप BD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 80°

Solution (English): 110 = (140 + arc BD)/2. Therefore arc BD = 220 − 140 = 80°.

समाधान (हिंदी): चाप BD = 80°।

Question 85. Two secants PAB and PCD meet outside a circle at P. If intercepted far arc BD = 150° and near arc AC = 50°, find angle APC.

वृत्त के बाहर P पर दो छेदक PAB और PCD मिलती हैं। दूर वाला चाप BD = 150° और निकट चाप AC = 50° है। APC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 50°

Solution (English): Exterior secant angle = half the difference of intercepted arcs. APC = (150 − 50)/2 = 50°.

समाधान (हिंदी): बाहरी कोण = (150 − 50)/2 = 50°।

Question 86. Two secants from P form an exterior angle of 35°. If the larger intercepted arc is 130°, find the smaller intercepted arc.

P से दो छेदक 35° का बाहरी कोण बनाती हैं। यदि बड़ा संबंधित चाप 130° है, तो छोटा चाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): 35 = (130 − smaller arc)/2. Thus smaller arc = 130 − 70 = 60°.

समाधान (हिंदी): 70 = 130 − छोटा चाप। छोटा चाप = 60°।

Question 87. In circle O, tangents PA and PB meet at P. If minor arc AB = 110°, find angle APB.

वृत्त O में PA और PB स्पर्श रेखाएँ P पर मिलती हैं। यदि लघु चाप AB = 110° है, तो APB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): Angle between tangents = 180 − minor arc AB = 180 − 110 = 70°.

समाधान (हिंदी): स्पर्श रेखाओं का कोण = 180 − 110 = 70°।

Question 88. A tangent PT and a secant PAB are drawn from external point P. If PT = 2x, PA = x − 1 and PB = x + 8, find positive x.

बाहरी बिंदु P से स्पर्श रेखा PT और छेदक PAB खींची गई है। यदि PT = 2x, PA = x − 1 तथा PB = x + 8 है, तो धनात्मक x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: (7 + √145)/6 ≈ 3.174

Solution (English): PT² = PA × PB. Thus 4x² = (x − 1)(x + 8) = x² + 7x − 8. Therefore 3x² − 7x + 8 = 0, whose discriminant is 49 − 96 = −47. There is no real solution.

समाधान (हिंदी): 3x² − 7x + 8 = 0 का विविक्तकर −47 है। इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।

Correct Answer / सही उत्तर: No real solution / कोई वास्तविक हल नहीं।

Question 89. From external point P, tangent PT = 12 cm. Secant PAB has PA = x cm and AB = 7 cm. Find positive x.

बाहरी बिंदु P से स्पर्श रेखा PT = 12 सेमी है। छेदक PAB में PA = x सेमी और AB = 7 सेमी है। x का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9 cm

Solution (English): PB = x + 7. Tangent-secant theorem gives 144 = x(x + 7). Thus x² + 7x − 144 = 0 = (x + 16)(x − 9). Positive x = 9.

समाधान (हिंदी): x(x + 7) = 144। (x + 16)(x − 9) = 0। धनात्मक x = 9।

Question 90. Two chords AB and CD intersect at P. If PA = x + 2, PB = x + 6, PC = x + 3 and PD = x + 4, find x.

दो जीवाएँ AB और CD, P पर मिलती हैं। यदि PA = x + 2, PB = x + 6, PC = x + 3 और PD = x + 4 है, तो x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 0

Solution (English): (x + 2)(x + 6) = (x + 3)(x + 4). Expanding gives x² + 8x + 12 = x² + 7x + 12. Hence x = 0.

समाधान (हिंदी): विस्तार करने पर x = 0 प्राप्त होता है।

Question 91. In circle O, chord AB subtends 120° at the centre. Tangents at A and B meet at P. If OA = 10 cm, find OP.

वृत्त O में जीवा AB केंद्र पर 120° का कोण बनाती है। A और B की स्पर्श रेखाएँ P पर मिलती हैं। यदि OA = 10 सेमी है, तो OP ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20 cm

Solution (English): OP bisects angle AOB, so angle AOP = 60°. In right triangle OAP, cos60° = OA/OP = 10/OP. Hence OP = 20 cm.

समाधान (हिंदी): AOP = 60°। cos60° = 10/OP। इसलिए OP = 20 सेमी।

Question 92. In circle O, tangents PA and PB meet at P. If angle APB = 90° and radius OA = 8 cm, find OP.

वृत्त O में स्पर्श रेखाएँ PA और PB, P पर मिलती हैं। यदि APB = 90° और OA = 8 सेमी है, तो OP ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8√2 cm

Solution (English): OP bisects angle APB, giving OPA = 45°. Triangle OAP is right-angled at A and has another angle of 45°, so it is an isosceles right triangle. OP = 8√2 cm.

समाधान (हिंदी): OPA = 45°। त्रिभुज OAP समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है। OP = 8√2 सेमी।

Question 93. In a circle, chord AB subtends a central angle of 90°. Tangents at A and B meet at P. If radius = 6 cm, find PA.

एक वृत्त में जीवा AB केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। A और B की स्पर्श रेखाएँ P पर मिलती हैं। यदि त्रिज्या 6 सेमी है, तो PA ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 6 cm

Solution (English): Angle APB = 180 − 90 = 90°. OP bisects the angle at P, giving angle APO = 45°. Right triangle OAP is isosceles, so PA = OA = 6 cm.

समाधान (हिंदी): APB = 90°। त्रिभुज OAP में कोण 45°, 45°, 90° हैं। PA = OA = 6 सेमी।

Question 94. In circle O, two parallel chords AB and CD lie on opposite sides of the centre at distances 5 cm and 12 cm. If radius = 13 cm, find the lengths of both chords.

वृत्त O में दो समांतर जीवाएँ AB और CD केंद्र के विपरीत ओर 5 और 12 सेमी दूरी पर हैं। त्रिज्या 13 सेमी है। दोनों जीवाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 24 cm and 10 cm

Solution (English): AB = 2√(169 − 25) = 24 cm. CD = 2√(169 − 144) = 10 cm.

समाधान (हिंदी): AB = 24 सेमी तथा CD = 10 सेमी।

Question 95. In a circle of radius 13 cm, two parallel chords of lengths 24 cm and 10 cm lie on opposite sides of the centre. Find the perpendicular distance between them.

13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 24 और 10 सेमी लंबी दो समांतर जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं। उनके बीच लंब दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 17 cm

Solution (English): Distance of 24 cm chord from centre = √(169 − 144) = 5 cm. Distance of 10 cm chord = √(169 − 25) = 12 cm. Opposite sides, so separation = 5 + 12 = 17 cm.

समाधान (हिंदी): केंद्र से दूरियाँ 5 और 12 सेमी हैं। विपरीत ओर होने से कुल दूरी = 17 सेमी।

Question 96. In circle O, chord AB is 16 cm long and lies 6 cm from the centre. Another chord CD is 12 cm long. Find the distance of CD from the centre.

वृत्त O में जीवा AB = 16 सेमी और केंद्र से दूरी 6 सेमी है। दूसरी जीवा CD = 12 सेमी है। केंद्र से CD की दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8 cm

Solution (English): Radius² = 8² + 6² = 100, so radius = 10 cm. Distance to CD = √(10² − 6²) = 8 cm.

समाधान (हिंदी): त्रिज्या 10 सेमी है। CD की आधी लंबाई 6 सेमी। दूरी = 8 सेमी।

Question 97. In circle O, a chord AB subtends an angle of 120° at the centre. Tangents at A and B meet at P. Find angle PAB and angle PBA.

वृत्त O में जीवा AB केंद्र पर 120° का कोण बनाती है। A और B की स्पर्श रेखाएँ P पर मिलती हैं। PAB और PBA ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60° each

Solution (English): Angle APB = 180 − 120 = 60°. Since PA = PB, the other two angles are each (180 − 60)/2 = 60°. Triangle PAB is equilateral.

समाधान (हिंदी): APB = 60° और PA = PB। इसलिए PAB = PBA = 60°।

Question 98. Two chords AB and CD intersect at P. If PA = 4 cm, PB = 15 cm and PC:PD = 3:5, find PC and PD.

दो जीवाएँ AB और CD, P पर मिलती हैं। यदि PA = 4 सेमी, PB = 15 सेमी तथा PC:PD = 3:5 है, तो PC और PD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: PC = 6 cm, PD = 10 cm

Solution (English): PA × PB = 60. Let PC = 3x and PD = 5x. Then 15x² = 60, giving x = 2. Thus PC = 6 and PD = 10 cm.

समाधान (हिंदी): 3x × 5x = 60। x = 2। PC = 6 और PD = 10 सेमी।

Question 99. In a circle, two chords AB and CD intersect at P. If angle APC = 80°, arc AC = (3x + 10)° and arc BD = (2x + 20)°, find x.

एक वृत्त में जीवाएँ AB और CD, P पर मिलती हैं। यदि APC = 80°, चाप AC = (3x + 10)° और चाप BD = (2x + 20)° है, तो x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 26

Solution (English): 80 = [(3x + 10) + (2x + 20)]/2. Thus 160 = 5x + 30, giving x = 26.

समाधान (हिंदी): 160 = 5x + 30। x = 26।

Question 100. In circle O, two tangents PA and PB are drawn from external point P. The smaller central angle AOB is 120°. If the radius is 10 cm, find the tangent length PA, the distance OP, and angle APB.

वृत्त O में बाहरी बिंदु P से PA और PB स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। छोटा केंद्र कोण AOB = 120° है। यदि त्रिज्या 10 सेमी है, तो PA, OP तथा APB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर:

PA = 10√3 cm
OP = 20 cm
Angle APB = 60°

Solution (English): The angle between the tangents is 180 − 120 = 60°. OP bisects angle AOB, giving angle AOP = 60°. Triangle OAP is right-angled at A. Using cos60° = OA/OP, we get OP = 20 cm. Then PA = √(20² − 10²) = √300 = 10√3 cm.

समाधान (हिंदी): स्पर्श रेखाओं के बीच कोण APB = 60°। OP, AOB को समद्विभाजित करता है, इसलिए AOP = 60°। समकोण त्रिभुज OAP में OP = 20 सेमी। पाइथागोरस प्रमेय से PA = √300 = 10√3 सेमी।