English: A circle is an important two-dimensional geometrical figure. It is formed by all points in a plane that are at an equal distance from a fixed point called the centre. This fixed distance is known as the radius. Circle mensuration deals with the calculation of area, circumference, radius, diameter, arc length, sector area, segment area, chord length, tangent length, circular paths and other related measurements. Questions based on circles are frequently asked in SSC CGL, CHSL, MTS, Railway NTPC, Group D, Banking and State Government examinations. Students must understand both the basic formulas and their applications in advanced numerical problems. In this chapter, we will study all important concepts and formulas related to circles, followed by 150 bilingual practice questions with detailed solutions. हिंदी: वृत्त द्विविमीय ज्यामिति की एक महत्वपूर्ण आकृति है। किसी समतल में स्थित उन सभी बिंदुओं का समूह, जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर हों, वृत्त कहलाता है। इस निश्चित बिंदु को केंद्र तथा निश्चित दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। वृत्त क्षेत्रमिति के अंतर्गत क्षेत्रफल, परिधि, त्रिज्या, व्यास, चाप की लंबाई, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, वृत्तखंड का क्षेत्रफल, जीवा की लंबाई, स्पर्श रेखा की लंबाई, वृत्ताकार रास्तों तथा अन्य संबंधित मापों की गणना की जाती है। SSC CGL, CHSL, MTS, Railway NTPC, Group D, Banking तथा राज्य स्तरीय प्रतियोगी परीक्षाओं में वृत्त से संबंधित प्रश्न नियमित रूप से पूछे जाते हैं। विद्यार्थियों को मूलभूत सूत्रों के साथ-साथ उन्नत प्रश्नों में उनके प्रयोग की भी जानकारी होनी चाहिए। इस अध्याय में वृत्त से संबंधित सभी महत्वपूर्ण अवधारणाओं एवं सूत्रों का अध्ययन किया जाएगा। इसके बाद 150 द्विभाषी अभ्यास प्रश्न विस्तृत समाधान सहित दिए गए हैं। Radius is the distance between the centre and any point on the circumference. त्रिज्या वृत्त के केंद्र से उसकी परिधि पर स्थित किसी बिंदु तक की दूरी होती है। Diameter is the longest chord of a circle and passes through its centre. व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है और केंद्र से होकर गुजरती है। Formulas / सूत्र: Diameter = 2 × Radius व्यास = 2 × त्रिज्या d = 2r Radius = Diameter / 2 त्रिज्या = व्यास / 2 r = d/2 Example / उदाहरण: If radius = 7 cm, diameter = 2 × 7 = 14 cm. यदि त्रिज्या 7 सेमी है, तो व्यास = 2 × 7 = 14 सेमी। Circumference is the total length of the boundary of a circle. वृत्त की सीमा की कुल लंबाई को परिधि कहते हैं। Formula / सूत्र: Circumference = 2 × π × Radius परिधि = 2 × π × त्रिज्या C = 2πr Or / अथवा: C = πd Where / जहाँ: π = 22/7 or 3.14 r = Radius / त्रिज्या d = Diameter / व्यास Example / उदाहरण: Radius = 14 cm Circumference = 2 × 22/7 × 14 = 88 cm अतः परिधि = 88 सेमी। Area is the total region enclosed within the boundary of a circle. वृत्त की सीमा के अंदर स्थित कुल समतलीय भाग को उसका क्षेत्रफल कहते हैं। Formula / सूत्र: Area = π × Radius × Radius क्षेत्रफल = π × त्रिज्या × त्रिज्या A = πr² Area using diameter / व्यास से क्षेत्रफल: A = πd²/4 Radius using area / क्षेत्रफल से त्रिज्या: r = √(A/π) Example / उदाहरण: Radius = 7 cm Area = 22/7 × 7 × 7 Area = 154 cm² अतः क्षेत्रफल = 154 सेमी²। A semicircle is half of a complete circle. अर्धवृत्त पूरे वृत्त का आधा भाग होता है। Formulas / सूत्र: Area of semicircle = πr²/2 अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = πr²/2 Curved length = πr वक्र भाग की लंबाई = πr Complete perimeter = πr + 2r पूर्ण परिमाप = πr + 2r Important / महत्वपूर्ण: The complete perimeter includes the curved boundary and the diameter. पूर्ण परिमाप में वक्र भाग तथा व्यास दोनों शामिल होते हैं। Example / उदाहरण: Radius = 7 cm Area = 22/7 × 7 × 7 / 2 = 77 cm² Perimeter = 22 + 14 = 36 cm A quadrant is one-fourth of a circle. Its central angle is 90 degrees. चतुर्थांश वृत्त का एक-चौथाई भाग होता है। इसका केंद्रीय कोण 90 डिग्री होता है। Formulas / सूत्र: Area = πr²/4 क्षेत्रफल = πr²/4 Curved length = πr/2 वक्र लंबाई = πr/2 Complete perimeter = πr/2 + 2r पूर्ण परिमाप = πr/2 + 2r Two circles having the same centre are called concentric circles. जिन दो वृत्तों का केंद्र समान होता है, उन्हें संकेंद्रित वृत्त कहते हैं। The region between two concentric circles is called a circular ring. दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच स्थित क्षेत्र वृत्तीय वलय कहलाता है। Let / मान लें: R = Outer radius / बाहरी त्रिज्या r = Inner radius / आंतरिक त्रिज्या Formula / सूत्र: Area of ring = π(R² − r²) वलय का क्षेत्रफल = π(R² − r²) Alternative formula / वैकल्पिक सूत्र: Area = π(R + r)(R − r) Width of ring = R − r वलय की चौड़ाई = R − r Total boundary length = 2π(R + r) दोनों सीमाओं की कुल लंबाई = 2π(R + r) An arc is a portion of the circumference between two points. वृत्त की परिधि पर स्थित दो बिंदुओं के बीच के भाग को चाप कहते हैं। Let / मान लें: θ = Central angle in degrees / केंद्रीय कोण r = Radius / त्रिज्या Formula / सूत्र: Arc length = (θ/360) × 2πr चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr If the angle is measured in radians: यदि कोण रेडियन में हो: Arc length = rθ Example / उदाहरण: Radius = 21 cm Angle = 60 degrees Arc length = 60/360 × 2 × 22/7 × 21 Arc length = 22 cm A sector is the region enclosed by two radii and the arc between them. दो त्रिज्याओं तथा उनके बीच स्थित चाप से घिरा क्षेत्र त्रिज्यखंड कहलाता है। Formulas / सूत्र: Sector area = (θ/360) × πr² त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr² Arc length = (θ/360) × 2πr चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr Sector perimeter = 2r + Arc length त्रिज्यखंड का परिमाप = 2r + चाप की लंबाई Important shortcut / महत्वपूर्ण सूत्र: Sector area = (Radius × Arc length)/2 त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्या × चाप लंबाई)/2 A = rL/2 A chord is a straight line segment joining any two points on the circumference. वृत्त की परिधि पर स्थित दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को जीवा कहते हैं। The diameter is the longest chord. व्यास सबसे लंबी जीवा है। Let / मान लें: r = Radius / त्रिज्या d = Perpendicular distance from centre to chord / केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी c = Chord length / जीवा की लंबाई Formulas / सूत्र: Chord length = 2√(r² − d²) जीवा की लंबाई = 2√(r² − d²) Distance from centre = √(r² − c²/4) केंद्र से जीवा की दूरी = √(r² − c²/4) Radius = √(d² + c²/4) त्रिज्या = √(d² + c²/4) Chord using central angle: केंद्रीय कोण से जीवा: c = 2r sin(θ/2) Important properties / महत्वपूर्ण गुण: Equal chords are equidistant from the centre. समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं। A perpendicular from the centre bisects a chord. केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे दो बराबर भागों में बाँटता है। The longer chord is nearer to the centre. बड़ी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है। A segment is the region enclosed between a chord and its corresponding arc. किसी जीवा और उसके संबंधित चाप के बीच स्थित क्षेत्र को वृत्तखंड कहते हैं। There are two types: इसके दो प्रकार हैं: Minor segment = लघु वृत्तखंड Major segment = दीर्घ वृत्तखंड Formula / सूत्र: Minor segment area = Sector area − Triangle area लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल Triangle area = (r²/2) × sinθ त्रिभुज का क्षेत्रफल = (r²/2) × sinθ Therefore / अतः: Minor segment area = (θ/360)πr² − (r²/2)sinθ Major segment area = Circle area − Minor segment area दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल − लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल Segment perimeter = Arc length + Chord length वृत्तखंड का परिमाप = चाप की लंबाई + जीवा की लंबाई Here θ is the central angle in degrees. यहाँ θ केंद्रीय कोण है, जिसे डिग्री में मापा गया है। A tangent is a straight line that touches a circle at exactly one point. स्पर्श रेखा वह सीधी रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। The point where the tangent touches the circle is called the point of contact. जिस बिंदु पर स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है, उसे स्पर्श बिंदु कहते हैं। Let / मान लें: D = Distance from external point to centre बाहरी बिंदु से केंद्र की दूरी = D r = Radius / त्रिज्या t = Tangent length / स्पर्श रेखाखंड की लंबाई Formula / सूत्र: Tangent length = √(D² − r²) स्पर्श रेखाखंड की लंबाई = √(D² − r²) Distance from centre = √(t² + r²) केंद्र से दूरी = √(t² + r²) Important properties / महत्वपूर्ण गुण: A tangent is perpendicular to the radius at the point of contact. स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंबवत होती है। Tangents drawn from the same external point are equal. एक ही बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के खंड बराबर होते हैं। The angle between two tangents is supplementary to the angle between the radii joining their points of contact. दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण संबंधित त्रिज्याओं के बीच के कोण का संपूरक होता है। Angle between tangents = 180° − Central angle स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण = 180° − केंद्रीय कोण A common tangent is a line that touches two circles. दो वृत्तों को स्पर्श करने वाली रेखा उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा कहलाती है। Let / मान लें: R = Larger radius / बड़ी त्रिज्या r = Smaller radius / छोटी त्रिज्या d = Distance between centres / केंद्रों के बीच की दूरी Direct common tangent length: सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाखंड की लंबाई: L = √(d² − (R − r)²) Transverse common tangent length: तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाखंड की लंबाई: L = √(d² − (R + r)²) Important / महत्वपूर्ण: If two circles touch externally, the distance between their centres is R + r. यदि दो वृत्त बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं, तो केंद्रों की दूरी R + r होती है। If two unequal circles touch internally, the distance between their centres is R − r. यदि दो असमान वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं, तो केंद्रों की दूरी R − r होती है। A secant is a line that intersects a circle at two distinct points. वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटने वाली रेखा छेदक रेखा कहलाती है। Intersecting chords theorem / प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय If chords AB and CD intersect at P inside a circle: यदि AB और CD जीवाएँ वृत्त के अंदर P पर प्रतिच्छेद करती हैं: PA × PB = PC × PD Secant theorem / छेदक प्रमेय If two secants PAB and PCD are drawn from an external point P: यदि बाहरी बिंदु P से दो छेदक PAB और PCD खींची जाती हैं: PA × PB = PC × PD Here A and C are the nearer intersection points. यहाँ A और C निकटवर्ती प्रतिच्छेद बिंदु हैं। Tangent-secant theorem / स्पर्श रेखा-छेदक प्रमेय If PT is a tangent and PAB is a secant: यदि PT स्पर्श रेखाखंड और PAB छेदक है: PT² = PA × PB Central angle theorem / केंद्रीय कोण प्रमेय The angle subtended by an arc at the centre is twice the angle subtended by the same arc at the remaining circumference. किसी चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी चाप द्वारा शेष परिधि पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है। Central angle = 2 × Inscribed angle केंद्रीय कोण = 2 × परिधि पर बना कोण Angle in a semicircle / अर्धवृत्त में कोण The angle formed by a diameter at another point on the circumference is 90°. व्यास द्वारा परिधि के किसी अन्य बिंदु पर बनाया गया कोण 90° होता है। Cyclic quadrilateral / चक्रीय चतुर्भुज A quadrilateral whose four vertices lie on the same circle is called a cyclic quadrilateral. जिस चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों, उसे चक्रीय चतुर्भुज कहते हैं। Sum of opposite angles = 180° विपरीत कोणों का योग = 180° ∠A + ∠C = 180° ∠B + ∠D = 180° Circle inscribed in a square / वर्ग के अंदर अंतःवृत्त Let the square side be a. मान लें वर्ग की भुजा a है। Circle radius = a/2 वृत्त की त्रिज्या = a/2 Circle area = πa²/4 वृत्त का क्षेत्रफल = πa²/4 Area of square outside the circle: वर्ग के अंदर वृत्त के बाहर का क्षेत्रफल: A = a² − πa²/4 Square inscribed in a circle / वृत्त के अंदर वर्ग Let the circle radius be r. मान लें वृत्त की त्रिज्या r है। Square diagonal = 2r वर्ग का विकर्ण = 2r Square side = r√2 वर्ग की भुजा = r√2 Square area = 2r² वर्ग का क्षेत्रफल = 2r² Equilateral triangle / समबाहु त्रिभुज Let the side be a. मान लें भुजा a है। Inradius = a√3/6 अंतःवृत्त की त्रिज्या = a√3/6 Circumradius = a√3/3 परिवृत्त की त्रिज्या = a√3/3 Circumradius = 2 × Inradius परिवृत्त की त्रिज्या = 2 × अंतःवृत्त की त्रिज्या Right-angled triangle / समकोण त्रिभुज Let the perpendicular sides be a and b and the hypotenuse be c. मान लें लंबवत भुजाएँ a और b तथा कर्ण c है। Inradius = (a + b − c)/2 अंतःत्रिज्या = (a + b − c)/2 Circumradius = c/2 परिवृत्त त्रिज्या = c/2 Circular wheel / वृत्ताकार पहिया Distance travelled = Number of revolutions × Circumference तय दूरी = चक्करों की संख्या × परिधि Number of revolutions = Distance travelled / Circumference चक्करों की संख्या = तय दूरी / परिधि Circular fencing / वृत्ताकार बाड़ Total fencing cost = Circumference × Cost per metre कुल खर्च = परिधि × प्रति मीटर लागत Circular flooring / वृत्ताकार फर्श Total cost = Area × Cost per square metre कुल खर्च = क्षेत्रफल × प्रति वर्ग मीटर लागत Circular path / वृत्ताकार रास्ता Area of path = Outer circle area − Inner circle area रास्ते का क्षेत्रफल = बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल − आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल English: Before solving circle mensuration questions, identify whether the given measurement is the radius or diameter. This is one of the most common sources of calculation errors. For semicircles, quadrants and sectors, distinguish between curved length and complete perimeter. For circular paths, carefully determine whether the path lies inside or outside the given circle. In chord problems, the perpendicular from the centre creates a right triangle, making the Pythagorean theorem particularly useful. Tangent problems also frequently use the Pythagorean theorem because the tangent is perpendicular to the radius at the point of contact. For segment-area questions, calculate the sector area first and then subtract the corresponding triangle area. In percentage-change problems, remember that circumference varies directly with radius, while area varies with the square of radius. हिंदी: वृत्त क्षेत्रमिति के प्रश्न हल करने से पहले यह सुनिश्चित करें कि प्रश्न में त्रिज्या दी गई है या व्यास। यह गणना में होने वाली सबसे सामान्य गलतियों में से एक है। अर्धवृत्त, चतुर्थांश और त्रिज्यखंड के प्रश्नों में वक्र लंबाई तथा पूर्ण परिमाप के बीच अंतर समझना आवश्यक है। वृत्ताकार रास्तों के प्रश्नों में ध्यान दें कि रास्ता वृत्त के अंदर बनाया गया है या बाहर। जीवा के प्रश्नों में केंद्र से डाला गया लंब एक समकोण त्रिभुज बनाता है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय अत्यंत उपयोगी होता है। स्पर्श रेखा के प्रश्नों में भी यही प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। वृत्तखंड के क्षेत्रफल के प्रश्नों में पहले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकालें और फिर संबंधित त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाएँ। प्रतिशत परिवर्तन के प्रश्नों में याद रखें कि परिधि त्रिज्या के समानुपाती होती है, जबकि क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है। Students should now solve the following 150 bilingual questions covering circle area, circumference, radius, diameter, semicircle, quadrant, circular ring, sector, segment, chord, tangent, common tangents and advanced mixed mensuration. अब विद्यार्थी वृत्त के क्षेत्रफल, परिधि, त्रिज्या, व्यास, अर्धवृत्त, चतुर्थांश, वृत्तीय वलय, त्रिज्यखंड, वृत्तखंड, जीवा, स्पर्श रेखा, उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं तथा उन्नत मिश्रित क्षेत्रमिति पर आधारित अगले 150 द्विभाषी प्रश्नों का अभ्यास करें।CIRCLE MENSURATION – COMPLETE INTRODUCTION AND FORMULAS
वृत्त क्षेत्रमिति – सम्पूर्ण परिचय एवं महत्वपूर्ण सूत्र
INTRODUCTION | परिचय
1. RADIUS AND DIAMETER | त्रिज्या एवं व्यास
2. CIRCUMFERENCE OF CIRCLE | वृत्त की परिधि
3. AREA OF CIRCLE | वृत्त का क्षेत्रफल
4. SEMICIRCLE | अर्धवृत्त
5. QUADRANT | वृत्त का चतुर्थांश
6. CONCENTRIC CIRCLES AND CIRCULAR RING | संकेंद्रित वृत्त एवं वृत्तीय वलय
7. ARC LENGTH | चाप की लंबाई
8. SECTOR OF CIRCLE | वृत्त का त्रिज्यखंड
9. CHORD OF CIRCLE | वृत्त की जीवा
10. SEGMENT OF CIRCLE | वृत्तखंड
11. TANGENT TO CIRCLE | वृत्त की स्पर्श रेखा
12. COMMON TANGENTS OF TWO CIRCLES | दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ
13. INTERSECTING CHORDS AND SECANTS | प्रतिच्छेदी जीवाएँ एवं छेदक रेखाएँ
14. ANGLES IN A CIRCLE | वृत्त में कोण
15. CIRCLE INSIDE AND OUTSIDE A SQUARE | वर्ग के अंदर एवं बाहर वृत्त
16. CIRCLE AND TRIANGLE | वृत्त एवं त्रिभुज
17. IMPORTANT APPLICATIONS | महत्वपूर्ण व्यावहारिक उपयोग
18. EXAM PREPARATION TIPS | परीक्षा की तैयारी के महत्वपूर्ण सुझाव
PRACTICE QUESTIONS | अभ्यास प्रश्न
VITORR CLASSES – CIRCLE MENSURATION | वृत्त पर आधारित 150 महत्वपूर्ण प्रश्न
Bilingual Practice Set with Step-by-Step Solutions | हिंदी एवं अंग्रेजी में विस्तृत हल
Exams: SSC CGL, CHSL, CPO, MTS, Railway NTPC, Group D, Banking, State PSC and other competitive examinations.
This set covers the complete 2D geometry of circles, from basic radius and circumference to advanced tangents, chords, sectors, segments, annuli, common tangents, inscribed figures and combined mensuration.
Important / महत्वपूर्ण: Unless otherwise specified, use π = 22/7. Where an exact answer is expressed in terms of π, retain π.
SECTION 1: RADIUS, DIAMETER, CIRCUMFERENCE AND AREA | त्रिज्या, व्यास, परिधि और क्षेत्रफल
Questions 1–20 | Basic to Moderate
Q1. The radius of a circle is 14 cm. Find its circumference.
एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है। उसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 88 cm
Solution / हल:
Circumference = 2πr परिधि = 2πr
= 2 × 22/7 × 14 = 88 cm
Q2. The diameter of a circle is 35 cm. Find its circumference.
एक वृत्त का व्यास 35 सेमी है। उसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 110 cm
Solution / हल:
Circumference = πd परिधि = π × व्यास
= 22/7 × 35 = 110 cm
Q3. The circumference of a circle is 132 cm. Find its radius.
एक वृत्त की परिधि 132 सेमी है। उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 21 cm
Solution / हल:
2πr = 132
r = 132 × 7/44 = 21 cm
Q4. The area of a circle is 616 cm². Find its radius.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 616 सेमी² है। उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 14 cm
Solution / हल:
Area = πr²
616 = 22/7 × r²
r² = 196
r = 14 cm
Q5. The diameter of a circle is 28 cm. Find its area.
एक वृत्त का व्यास 28 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 616 cm²
Solution / हल:
Radius = 28/2 = 14 cm
Area = 22/7 × 14² = 616 cm²
Q6. The area of a circle is 154 cm². Find its diameter.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 सेमी² है। उसका व्यास ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 14 cm
Solution / हल:
r² = 154 × 7/22 = 49
r = 7 cm
Diameter = 2 × 7 = 14 cm
Q7. The circumference of a circular garden is 176 m. Find its area.
एक वृत्ताकार बगीचे की परिधि 176 मीटर है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 2464 m²
Solution / हल:
r = 176 × 7/44 = 28 m
Area = 22/7 × 28² = 2464 m²
Q8. The radius of a circle is increased by 20%. Find the percentage increase in its area.
एक वृत्त की त्रिज्या 20% बढ़ाई जाती है। उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत वृद्धि होगी?
Answer / उत्तर: 44%
Solution / हल:
New radius = 1.2r
New area = π(1.2r)² = 1.44πr²
Increase = (1.44 − 1) × 100 = 44%
Q9. The radius of a circle is decreased by 30%. Find the percentage decrease in its area.
एक वृत्त की त्रिज्या 30% घटाई जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 51%
Solution / हल:
New radius = 0.7r
New area = 0.49πr²
Decrease = (1 − 0.49) × 100 = 51%
Q10. The circumference of a circle increases by 25%. Find the percentage increase in its area.
एक वृत्त की परिधि 25% बढ़ जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 56.25%
Solution / हल:
Circumference is directly proportional to radius.
परिधि त्रिज्या के समानुपाती होती है।
New radius factor = 1.25
New area factor = 1.25² = 1.5625
Increase = 56.25%
Q11. The areas of two circles are in the ratio 49:81. Find the ratio of their radii.
दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात 49:81 है। उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7:9
Solution / हल:
Area ratio = r₁²:r₂²
Radius ratio = √49:√81 = 7:9
Q12. The circumferences of two circles are in the ratio 4:7. Find the ratio of their areas.
दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 4:7 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 16:49
Solution / हल:
Radius ratio = 4:7
Area ratio = 4²:7² = 16:49
Q13. The difference between the circumferences of two concentric circles is 44 cm. Find the difference between their radii.
दो संकेंद्रित वृत्तों की परिधियों का अंतर 44 सेमी है। उनकी त्रिज्याओं का अंतर ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7 cm
Solution / हल:
2π(R − r) = 44
R − r = 44 × 7/44 = 7 cm
Q14. The area of a circle is numerically equal to its circumference when measured in cm² and cm respectively. Find its radius in centimetres.
किसी वृत्त के क्षेत्रफल और परिधि के संख्यात्मक मान बराबर हैं, जब उन्हें क्रमशः सेमी² और सेमी में मापा जाता है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 2 cm
Solution / हल:
πr² = 2πr
r = 2 cm, since r is positive.
Q15. The area of a circle is 1386 cm². Find its circumference.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 1386 सेमी² है। उसकी परिधि ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 132 cm
Solution / हल:
r² = 1386 × 7/22 = 441
r = 21 cm
Circumference = 2 × 22/7 × 21 = 132 cm
Q16. The radius of a circular track is 70 m. Find the distance covered in 5 complete rounds.
एक वृत्ताकार ट्रैक की त्रिज्या 70 मी है। उसके 5 पूरे चक्कर लगाने पर कितनी दूरी तय होगी?
Answer / उत्तर: 2200 m
Solution / हल:
One round = 2 × 22/7 × 70 = 440 m
Five rounds = 5 × 440 = 2200 m
Q17. A wheel has a diameter of 70 cm. How many revolutions will it make to cover 1.1 km?
एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 1.1 किमी दूरी तय करने में वह कितने चक्कर लगाएगा?
Answer / उत्तर: 500 revolutions / 500 चक्कर
Solution / हल:
Circumference = 22/7 × 70 = 220 cm
Distance = 1.1 km = 110000 cm
Revolutions = 110000/220 = 500
Q18. The area of a circle is increased by 96%. Find the percentage increase in its radius.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 96% बढ़ जाता है। उसकी त्रिज्या में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 40%
Solution / हल:
New area factor = 1.96
New radius factor = √1.96 = 1.4
Increase = 40%
Q19. A circular wire has a circumference of 88 cm. It is reshaped into a square. Find the area of the square.
एक वृत्ताकार तार की परिधि 88 सेमी है। उसे मोड़कर वर्ग बनाया जाता है। वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 484 cm²
Solution / हल:
Square perimeter = 88 cm
Side = 88/4 = 22 cm
Area = 22² = 484 cm²
Q20. The numerical difference between the area in cm² and circumference in cm of a circle is 60. If the radius is greater than 2 cm, find the radius.
किसी वृत्त के क्षेत्रफल (सेमी²) और परिधि (सेमी) के संख्यात्मक मानों का अंतर 60 है। यदि त्रिज्या 2 सेमी से अधिक है, तो त्रिज्या ज्ञात कीजिए। इस प्रश्न में π = 3 लें।
Answer / उत्तर: 1 + √21 cm
Solution / हल:
Using π = 3:
3r² − 6r = 60
r² − 2r − 20 = 0
r = 1 ± √21
Positive root = 1 + √21 cm
SECTION 2: SEMICIRCLE, QUADRANT AND ANNULUS | अर्धवृत्त, चतुर्थांश और वृत्तीय वलय
Questions 21–40
Q21. Find the area of a semicircle of radius 14 cm.
14 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 308 cm²
Solution / हल:
Semicircle area = πr²/2
= (22/7 × 196)/2 = 308 cm²
Q22. Find the complete perimeter of a semicircle of radius 7 cm.
7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का पूर्ण परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 36 cm
Solution / हल:
Perimeter = πr + 2r
= 22 + 14 = 36 cm
ध्यान दें: पूर्ण परिमाप में वक्र भाग और व्यास दोनों शामिल होते हैं।
Q23. The diameter of a semicircle is 28 cm. Find its curved boundary length.
एक अर्धवृत्त का व्यास 28 सेमी है। उसके वक्र भाग की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 44 cm
Solution / हल:
Radius = 14 cm
Curved length = πr = 22/7 × 14 = 44 cm
Q24. Find the area of a quadrant of radius 28 cm.
28 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 616 cm²
Solution / हल:
Quadrant area = πr²/4
= (22/7 × 28²)/4 = 616 cm²
Q25. Find the perimeter of a quadrant of radius 14 cm.
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के चतुर्थांश का परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 50 cm
Solution / हल:
Perimeter = πr/2 + 2r
= 22 + 28 = 50 cm
Q26. The area of a semicircle is 77 cm². Find its radius.
एक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल 77 सेमी² है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7 cm
Solution / हल:
πr²/2 = 77
r² = 77 × 2 × 7/22 = 49
r = 7 cm
Q27. A circular ring has outer radius 14 cm and inner radius 7 cm. Find its area.
एक वृत्तीय वलय की बाहरी त्रिज्या 14 सेमी तथा आंतरिक त्रिज्या 7 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 462 cm²
Solution / हल:
Ring area = π(R² − r²)
= 22/7 × (196 − 49)
= 462 cm²
Q28. The outer and inner diameters of a circular ring are 42 cm and 28 cm. Find its area.
एक वृत्तीय वलय के बाहरी और आंतरिक व्यास क्रमशः 42 सेमी तथा 28 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 770 cm²
Solution / हल:
R = 21 cm, r = 14 cm
Area = 22/7 × (441 − 196)
= 770 cm²
Q29. A circular garden of radius 21 m has a path 7 m wide outside it. Find the area of the path.
21 मी त्रिज्या वाले वृत्ताकार बगीचे के बाहर 7 मी चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 1078 m²
Solution / हल:
Outer radius = 21 + 7 = 28 m
Area = 22/7 × (28² − 21²)
= 22/7 × 343 = 1078 m²
Q30. A circular pond of radius 14 m is surrounded by a path 3.5 m wide. Find the area of the path.
14 मी त्रिज्या वाले वृत्ताकार तालाब के चारों ओर 3.5 मी चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 346.5 m²
Solution / हल:
Outer radius = 17.5 m
Area = 22/7 × (17.5² − 14²)
= 22/7 × 110.25
= 346.5 m²
Q31. The area of a circular ring is 154 cm². Its inner radius is 7 cm. Find its outer radius.
एक वृत्तीय वलय का क्षेत्रफल 154 सेमी² और आंतरिक त्रिज्या 7 सेमी है। बाहरी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7√2 cm
Solution / हल:
π(R² − 49) = 154
R² − 49 = 49
R² = 98
R = 7√2 cm
Q32. The difference between the radii of two concentric circles is 7 cm and the difference between their areas is 770 cm². Find both radii.
दो संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याओं का अंतर 7 सेमी तथा क्षेत्रफलों का अंतर 770 सेमी² है। दोनों त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 21 cm and 14 cm
Solution / हल:
R − r = 7
π(R² − r²) = 770
(R − r)(R + r) = 245
7(R + r) = 245
R + r = 35
Solving:
R = 21 cm, r = 14 cm
Q33. The outer circumference of a circular ring is 132 cm and its inner circumference is 88 cm. Find its area.
एक वृत्तीय वलय की बाहरी परिधि 132 सेमी तथा आंतरिक परिधि 88 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 770 cm²
Solution / हल:
Outer radius = 132 × 7/44 = 21 cm
Inner radius = 88 × 7/44 = 14 cm
Area = 22/7 × (441 − 196) = 770 cm²
Q34. The area of a quadrant is 154 cm². Find its radius.
एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल 154 सेमी² है। उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 14 cm
Solution / हल:
πr²/4 = 154
r² = 154 × 4 × 7/22 = 196
r = 14 cm
Q35. The perimeter of a semicircle is 72 cm. Find its radius.
एक अर्धवृत्त का पूर्ण परिमाप 72 सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 14 cm
Solution / हल:
πr + 2r = 72
r(22/7 + 2) = 72
r × 36/7 = 72
r = 14 cm
Q36. A circular ring has an area of 924 cm². If its outer radius is 28 cm, find its inner radius.
एक वृत्तीय वलय का क्षेत्रफल 924 सेमी² है। यदि बाहरी त्रिज्या 28 सेमी है, तो आंतरिक त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7√10 cm
Solution / हल:
22/7 × (784 − r²) = 924
784 − r² = 294
r² = 490
r = 7√10 cm
Q37. A circular path is 7 m wide. Its inner circumference is 88 m. Find the area of the path.
एक वृत्ताकार रास्ते की चौड़ाई 7 मी है। उसकी आंतरिक परिधि 88 मी है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 770 m²
Solution / हल:
Inner radius = 14 m
Outer radius = 21 m
Area = 22/7 × (21² − 14²)
= 770 m²
Q38. The area of a semicircle is equal to the area of a circle of radius 7 cm. Find the radius of the semicircle.
एक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है। अर्धवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7√2 cm
Solution / हल:
πR²/2 = π × 7²
R² = 98
R = 7√2 cm
Q39. The area of a quadrant is equal to the area of a circle of radius 5 cm. Find the radius of the quadrant.
एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है। चतुर्थांश की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 10 cm
Solution / हल:
πR²/4 = π × 25
R² = 100
R = 10 cm
Q40. A semicircular park has a radius of 28 m. Find the cost of fencing its complete boundary at ₹75 per metre.
एक अर्धवृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 28 मी है। उसकी पूरी सीमा पर ₹75 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का खर्च ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: ₹10,800
Solution / हल:
Perimeter = πr + 2r
= 88 + 56 = 144 m
Cost = 144 × 75 = ₹10,800
SECTION 3: ARC LENGTH AND SECTOR | चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड
Questions 41–60
Q41. Find the length of an arc subtending 60° at the centre of a circle of radius 21 cm.
21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण बनाने वाले चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 22 cm
Solution / हल:
Arc length = (θ/360) × 2πr
= 60/360 × 2 × 22/7 × 21
= 22 cm
Q42. Find the area of a sector of angle 90° in a circle of radius 14 cm.
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 90° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 154 cm²
Solution / हल:
Sector area = (θ/360) × πr²
= 90/360 × 616
= 154 cm²
Q43. Find the area of a 60° sector of a circle of radius 21 cm.
21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के 60° त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 231 cm²
Solution / हल:
Area = 60/360 × 22/7 × 21²
= 231 cm²
Q44. A sector has radius 14 cm and central angle 45°. Find its arc length.
एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 14 सेमी तथा केंद्रीय कोण 45° है। चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 11 cm
Solution / हल:
Arc = 45/360 × 2 × 22/7 × 14
= 11 cm
Q45. The arc length of a sector is 22 cm and its radius is 21 cm. Find the central angle.
एक त्रिज्यखंड की चाप लंबाई 22 सेमी और त्रिज्या 21 सेमी है। केंद्रीय कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 60°
Solution / हल:
22 = θ/360 × 2 × 22/7 × 21
22 = θ × 132/360
θ = 60°
Q46. The area of a sector is 154 cm² and its radius is 14 cm. Find its central angle.
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 154 सेमी² और त्रिज्या 14 सेमी है। केंद्रीय कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 90°
Solution / हल:
154 = θ/360 × 616
θ = 154 × 360/616 = 90°
Q47. Find the perimeter of a 90° sector of radius 14 cm.
14 सेमी त्रिज्या वाले 90° त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 50 cm
Solution / हल:
Arc length = 22 cm
Perimeter = Arc + 2r
= 22 + 28 = 50 cm
Q48. Find the perimeter of a 60° sector of radius 21 cm.
21 सेमी त्रिज्या वाले 60° त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 64 cm
Solution / हल:
Arc length = 22 cm
Perimeter = 22 + 42 = 64 cm
Q49. A sector has an arc length of 15 cm and radius 10 cm. Find its area.
एक त्रिज्यखंड की चाप लंबाई 15 सेमी तथा त्रिज्या 10 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 75 cm²
Solution / हल:
Sector area = 1/2 × Radius × Arc length
= 1/2 × 10 × 15
= 75 cm²
Q50. A sector has an area of 120 cm² and radius 15 cm. Find its arc length.
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 120 सेमी² और त्रिज्या 15 सेमी है। चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 16 cm
Solution / हल:
Area = 1/2 × r × L
120 = 1/2 × 15 × L
L = 16 cm
Q51. The area of a sector is 231 cm² and its angle is 60°. Find its radius.
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 231 सेमी² और केंद्रीय कोण 60° है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 21 cm
Solution / हल:
231 = 60/360 × 22/7 × r²
r² = 441
r = 21 cm
Q52. Find the arc length of a 120° sector of radius 10.5 cm.
10.5 सेमी त्रिज्या वाले 120° त्रिज्यखंड की चाप लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 22 cm
Solution / हल:
Arc = 120/360 × 2 × 22/7 × 10.5
= 22 cm
Q53. A sector has a central angle of 72° and radius 35 cm. Find its area.
एक त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 72° तथा त्रिज्या 35 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 770 cm²
Solution / हल:
Area = 72/360 × 22/7 × 35²
= 770 cm²
Q54. A sector represents 15% of a complete circle. Find its central angle.
एक त्रिज्यखंड पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का 15% है। उसका केंद्रीय कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 54°
Solution / हल:
Angle = 15/100 × 360°
= 54°
Q55. The area of a sector is 25% of the area of its circle. Find the ratio of its arc length to the circumference.
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का 25% है। चाप की लंबाई और वृत्त की परिधि का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 1:4
Solution / हल:
Sector area fraction = θ/360 = 1/4
Arc length fraction is also θ/360.
अतः चाप और पूरी परिधि का अनुपात 1:4 है।
Q56. A sector of radius 12 cm has an arc length of 8π cm. Find its central angle.
12 सेमी त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड की चाप लंबाई 8π सेमी है। केंद्रीय कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 120°
Solution / हल:
8π = θ/360 × 2π × 12
8 = θ/15
θ = 120°
Q57. A sector has a perimeter of 44 cm and a radius of 14 cm. Find its arc length.
एक त्रिज्यखंड का परिमाप 44 सेमी और त्रिज्या 14 सेमी है। चाप लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 16 cm
Solution / हल:
Perimeter = 2r + L
44 = 28 + L
L = 16 cm
Q58. A sector has a perimeter of 50 cm and an arc length of 22 cm. Find its area.
एक त्रिज्यखंड का परिमाप 50 सेमी और चाप लंबाई 22 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 154 cm²
Solution / हल:
2r = 50 − 22 = 28
r = 14 cm
Area = 1/2 × 14 × 22
= 154 cm²
Q59. Two sectors of the same circle have central angles in the ratio 3:5. Find the ratio of their areas and arc lengths.
एक ही वृत्त के दो त्रिज्यखंडों के केंद्रीय कोणों का अनुपात 3:5 है। उनके क्षेत्रफलों और चाप लंबाइयों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 3:5 for both / दोनों का अनुपात 3:5
Solution / हल:
For a fixed radius, sector area and arc length are directly proportional to the central angle.
समान त्रिज्या के लिए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप लंबाई केंद्रीय कोण के समानुपाती होते हैं।
Both ratios = 3:5
Q60. A sector of radius 21 cm has an area of 462 cm². Find its arc length and perimeter.
21 सेमी त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 462 सेमी² है। चाप लंबाई और परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: Arc = 44 cm; Perimeter = 86 cm
Solution / हल:
Area = 1/2 × r × L
462 = 1/2 × 21 × L
L = 44 cm
Perimeter = 44 + 42 = 86 cm
SECTION 4: CHORDS AND DISTANCE FROM CENTRE | जीवाएँ और केंद्र से दूरी
Questions 61–80
Q61. A chord of a circle of radius 13 cm is 5 cm away from the centre. Find its length.
13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र से 5 सेमी दूर है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 24 cm
Solution / हल:
Half-chord = √(13² − 5²)
= √144 = 12 cm
Chord = 2 × 12 = 24 cm
Q62. A chord of length 24 cm is drawn in a circle of radius 13 cm. Find its distance from the centre.
13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 24 सेमी लंबी जीवा खींची गई है। केंद्र से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 5 cm
Solution / हल:
Half-chord = 12 cm
Distance = √(13² − 12²)
= √25 = 5 cm
Q63. A circle has a radius of 10 cm. Find the length of a chord situated 6 cm from its centre.
एक वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। केंद्र से 6 सेमी दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 16 cm
Solution / हल:
Half-chord = √(100 − 36) = 8 cm
Chord = 16 cm
Q64. A chord of length 30 cm is 8 cm away from the centre. Find the radius.
एक जीवा की लंबाई 30 सेमी और केंद्र से दूरी 8 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 17 cm
Solution / हल:
Half-chord = 15 cm
r = √(15² + 8²)
= √289 = 17 cm
Q65. Two parallel chords of a circle of radius 25 cm have lengths 40 cm and 48 cm. Find the distance between them if they lie on opposite sides of the centre.
25 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की दो समानांतर जीवाओं की लंबाइयाँ 40 सेमी और 48 सेमी हैं। यदि वे केंद्र के विपरीत ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 22 cm
Solution / हल:
Distance of first chord = √(25² − 20²) = 15 cm
Distance of second chord = √(25² − 24²) = 7 cm
Opposite sides: distance = 15 + 7 = 22 cm
Q66. Two parallel chords of lengths 40 cm and 48 cm lie on the same side of the centre of a circle of radius 25 cm. Find their distance apart.
25 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की 40 सेमी और 48 सेमी लंबी दो समानांतर जीवाएँ केंद्र की एक ही ओर हैं। उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 8 cm
Solution / हल:
Distances from centre = 15 cm and 7 cm
Same side: separation = 15 − 7 = 8 cm
Q67. A chord of a circle subtends an angle of 60° at the centre. If the radius is 14 cm, find the chord length.
एक वृत्त की जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। यदि त्रिज्या 14 सेमी है, तो जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 14 cm
Solution / हल:
Chord = 2r sin(θ/2)
= 28 sin30°
= 28 × 1/2 = 14 cm
Q68. A chord subtends 90° at the centre of a circle of radius 10 cm. Find its length.
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में एक जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 10√2 cm
Solution / हल:
Chord = 2 × 10 × sin45°
= 20/√2 = 10√2 cm
Q69. A chord subtends 120° at the centre of a circle of radius 8 cm. Find its length.
8 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में एक जीवा केंद्र पर 120° का कोण बनाती है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 8√3 cm
Solution / हल:
Chord = 2 × 8 × sin60°
= 16 × √3/2 = 8√3 cm
Q70. A chord of length 16 cm is drawn in a circle of radius 10 cm. Find the area of the triangle formed by the chord and the two radii joining its endpoints.
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 16 सेमी लंबी जीवा है। जीवा तथा उसके दोनों सिरों तक खींची गई त्रिज्याओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 48 cm²
Solution / हल:
Half-chord = 8 cm
Triangle height = √(10² − 8²) = 6 cm
Area = 1/2 × 16 × 6 = 48 cm²
Q71. The perpendicular distance of a chord from the centre is half the radius. Find the angle subtended by the minor chord at the centre.
किसी जीवा की केंद्र से लंबवत दूरी त्रिज्या की आधी है। जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया छोटा कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 120°
Solution / हल:
Let central angle = θ.
cos(θ/2) = (r/2)/r = 1/2
θ/2 = 60°
θ = 120°
Q72. A chord is equal in length to the radius of its circle. Find the smaller central angle subtended by the chord.
किसी वृत्त की एक जीवा की लंबाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया छोटा कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 60°
Solution / हल:
Chord = 2r sin(θ/2)
r = 2r sin(θ/2)
sin(θ/2) = 1/2
θ = 60°
Q73. A circle has radius 17 cm. A chord is 15 cm away from its centre. Find its length.
एक वृत्त की त्रिज्या 17 सेमी है। उसकी एक जीवा केंद्र से 15 सेमी दूर है। लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 16 cm
Solution / हल:
Half-chord = √(17² − 15²)
= √64 = 8 cm
Chord = 16 cm
Q74. The longest chord of a circle is 42 cm. Find the area of the circle.
एक वृत्त की सबसे लंबी जीवा 42 सेमी है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 1386 cm²
Solution / हल:
Longest chord = Diameter
सबसे लंबी जीवा = व्यास
r = 42/2 = 21 cm
Area = 22/7 × 21² = 1386 cm²
Q75. Two equal chords of a circle are at distances of 7 cm and x cm from its centre. Find x.
किसी वृत्त की दो बराबर जीवाएँ केंद्र से क्रमशः 7 सेमी और x सेमी दूर हैं। x ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7 cm
Solution / हल:
Equal chords of the same circle are equidistant from its centre.
एक ही वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
x = 7 cm
Q76. A chord of a circle is 24 cm long and its distance from the centre is 9 cm. Find the circumference of the circle.
एक वृत्त की जीवा 24 सेमी लंबी है तथा केंद्र से उसकी दूरी 9 सेमी है। वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 30π cm
Solution / हल:
r = √(12² + 9²) = 15 cm
Circumference = 2π × 15 = 30π cm
Q77. A circle has a radius of 20 cm. Find the length of a chord whose distance from the centre is 12 cm.
एक वृत्त की त्रिज्या 20 सेमी है। केंद्र से 12 सेमी दूर स्थित जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 32 cm
Solution / हल:
Half-chord = √(400 − 144)
= √256 = 16 cm
Chord = 32 cm
Q78. Two chords of a circle are 24 cm and 10 cm long. If the shorter chord is 12 cm from the centre, find the distance of the longer chord from the centre.
किसी वृत्त की दो जीवाएँ 24 सेमी और 10 सेमी लंबी हैं। छोटी जीवा केंद्र से 12 सेमी दूर है। बड़ी जीवा की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 5 cm
Solution / हल:
Radius² = 12² + 5² = 169
Radius = 13 cm
Distance of longer chord = √(13² − 12²)
= 5 cm
Q79. A chord of length 24 cm divides a circle of radius 13 cm into two segments. Find the area of the triangle formed by joining the chord endpoints to the centre.
24 सेमी लंबी जीवा, 13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को दो वृत्तखंडों में विभाजित करती है। जीवा के सिरों को केंद्र से जोड़ने पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 60 cm²
Solution / हल:
Half-chord = 12 cm
Height = √(169 − 144) = 5 cm
Area = 1/2 × 24 × 5 = 60 cm²
Q80. A circle has radius 15 cm. Find the distance of a chord of length 18 cm from the centre.
एक वृत्त की त्रिज्या 15 सेमी है। 18 सेमी लंबी जीवा की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 12 cm
Solution / हल:
Half-chord = 9 cm
Distance = √(15² − 9²)
= √144 = 12 cm
SECTION 5: TANGENTS TO A CIRCLE | वृत्त की स्पर्श रेखाएँ
Questions 81–100
Q81. A tangent is drawn from a point 13 cm away from the centre of a circle of radius 5 cm. Find its length.
5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 13 सेमी दूर स्थित बिंदु से स्पर्श रेखा खींची जाती है। स्पर्श रेखाखंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 12 cm
Solution / हल:
Tangent² = Distance² − Radius²
= 13² − 5² = 144
Tangent = 12 cm
Q82. The length of a tangent from an external point is 24 cm and the circle's radius is 7 cm. Find the distance of the point from the centre.
किसी बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी तथा वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। बिंदु की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 25 cm
Solution / हल:
Distance = √(24² + 7²)
= √625 = 25 cm
Q83. The distance between an external point and the centre of a circle is 17 cm. The tangent length is 15 cm. Find the radius.
किसी बाहरी बिंदु और वृत्त के केंद्र के बीच की दूरी 17 सेमी है। स्पर्श रेखाखंड की लंबाई 15 सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 8 cm
Solution / हल:
r = √(17² − 15²)
= √64 = 8 cm
Q84. Two tangents PA and PB are drawn from the same external point P. If PA = 18 cm, find PB.
एक ही बाहरी बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। यदि PA = 18 सेमी है, तो PB ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 18 cm
Solution / हल:
Tangents drawn from the same external point are equal.
एक ही बाहरी बिंदु से खींचे गए दोनों स्पर्श रेखाखंड बराबर होते हैं।
PA = PB = 18 cm
Q85. A tangent of length 20 cm is drawn from a point 29 cm from the centre. Find the radius of the circle.
केंद्र से 29 सेमी दूर स्थित बिंदु से 20 सेमी लंबी स्पर्श रेखा खींची गई है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 21 cm
Solution / हल:
r² = 29² − 20²
= 841 − 400 = 441
r = 21 cm
Q86. Two tangents PA and PB are drawn to a circle with centre O. If ∠APB = 70°, find ∠AOB.
केंद्र O वाले वृत्त पर PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠APB = 70° है, तो ∠AOB ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 110°
Solution / हल:
Angle between tangents + angle between radii = 180°.
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और संबंधित त्रिज्याओं के बीच का कोण मिलकर 180° होते हैं।
∠AOB = 180° − 70° = 110°
Q87. The angle between two tangents drawn from an external point is 120°. Find the smaller angle between the radii to the points of contact.
एक बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 120° है। स्पर्श बिंदुओं तक खींची गई त्रिज्याओं के बीच छोटा कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 60°
Solution / हल:
Central angle = 180° − 120°
= 60°
Q88. A tangent and a radius meet at the point of contact. Find the angle between them.
स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या मिलती हैं। उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 90°
Solution / हल:
A tangent is perpendicular to the radius at the point of contact.
स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंबवत होती है।
Angle = 90°
Q89. A circle has radius 10 cm. An external point is 26 cm from its centre. Find the area of the triangle formed by the centre, the external point and one point of tangency.
एक वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। बाहरी बिंदु केंद्र से 26 सेमी दूर है। केंद्र, बाहरी बिंदु और एक स्पर्श बिंदु से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 120 cm²
Solution / हल:
Tangent length = √(26² − 10²)
= √576 = 24 cm
Area = 1/2 × 10 × 24
= 120 cm²
Q90. The length of a tangent from an external point is 12 cm and the radius is 9 cm. Find the distance between the external point and centre.
किसी बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई 12 सेमी तथा त्रिज्या 9 सेमी है। बाहरी बिंदु से केंद्र की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 15 cm
Solution / हल:
Distance = √(12² + 9²)
= √225 = 15 cm
Q91. Two tangents PA and PB are drawn from P to a circle. If PA = 3x + 5 and PB = 5x − 9, find x.
किसी बाहरी बिंदु P से PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि PA = 3x + 5 और PB = 5x − 9 है, तो x ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7
Solution / हल:
PA = PB
3x + 5 = 5x − 9
2x = 14
x = 7
Q92. The distance from an external point to the centre of a circle is twice its radius. Find the angle between the two tangents drawn from that point.
एक बाहरी बिंदु से वृत्त के केंद्र की दूरी त्रिज्या की दोगुनी है। उस बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 60°
Solution / हल:
Let radius = r and centre distance = 2r.
In the right triangle formed by the centre, external point and point of contact:
sin α = r/(2r) = 1/2
α = 30°
The line joining the external point to the centre bisects the angle between tangents.
Angle = 2 × 30° = 60°
Q93. The angle between two tangents is 90°. Find the angle between the radii drawn to their points of contact.
दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 90° है। उनके स्पर्श बिंदुओं तक खींची गई त्रिज्याओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 90°
Solution / हल:
Central angle = 180° − 90°
= 90°
Q94. A circle of radius 6 cm touches both arms of a right angle. Find the distance of its centre from the vertex of the angle.
6 सेमी त्रिज्या वाला वृत्त एक समकोण की दोनों भुजाओं को स्पर्श करता है। कोण के शीर्ष से वृत्त के केंद्र की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 6√2 cm
Solution / हल:
The centre is 6 cm from each perpendicular arm.
Distance from vertex = √(6² + 6²)
= 6√2 cm
Q95. A tangent from an external point has length 15 cm. If the point is 3 cm farther from the centre than the radius, find the radius.
किसी बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाखंड की लंबाई 15 सेमी है। यदि केंद्र से उस बिंदु की दूरी त्रिज्या से 3 सेमी अधिक है, तो त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 36 cm
Solution / हल:
Let radius = r.
Distance = r + 3
15² = (r + 3)² − r²
225 = 6r + 9
r = 36 cm
Q96. A circle is inscribed in a square of side 20 cm. Find the length of the tangent segment from any vertex of the square to a point of contact on an adjacent side.
20 सेमी भुजा वाले वर्ग में एक अंतःवृत्त है। वर्ग के किसी शीर्ष से निकटवर्ती भुजा पर स्थित स्पर्श बिंदु तक की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 10 cm
Solution / हल:
The circle touches each side at its midpoint.
वृत्त प्रत्येक भुजा को उसके मध्यबिंदु पर स्पर्श करता है।
Tangent segment = 20/2 = 10 cm
Q97. Two tangents from point P touch a circle at A and B. If ∠AOB = 140°, find ∠APB.
बिंदु P से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त को A और B पर स्पर्श करती हैं। यदि ∠AOB = 140° है, तो ∠APB ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 40°
Solution / हल:
∠APB = 180° − ∠AOB
= 180° − 140° = 40°
Q98. From a point 25 cm from the centre of a circle, a tangent of length 7 cm is drawn. Find the circle's diameter.
वृत्त के केंद्र से 25 सेमी दूर स्थित बिंदु से 7 सेमी लंबी स्पर्श रेखा खींची गई है। वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 48 cm
Solution / हल:
r = √(25² − 7²)
= √576 = 24 cm
Diameter = 48 cm
Q99. A tangent of length 24 cm is drawn from a point outside a circle of radius 18 cm. Find the distance of that point from the centre.
18 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के बाहर स्थित बिंदु से 24 सेमी लंबी स्पर्श रेखा खींची जाती है। केंद्र से उस बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 30 cm
Solution / हल:
Distance = √(24² + 18²)
= √900 = 30 cm
Q100. Two tangents from an external point are inclined at 60°. If the radius of the circle is 7 cm, find the length of each tangent.
एक बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच 60° का कोण है। यदि वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो प्रत्येक स्पर्श रेखाखंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7√3 cm
Solution / हल:
The centre line bisects the tangent angle.
Half-angle = 30°
In the right triangle:
tan30° = r/t
1/√3 = 7/t
t = 7√3 cm
SECTION 6: CIRCULAR SEGMENTS | वृत्तखंड
Questions 101–115
For this section, a minor segment means the region between a minor arc and its chord. Its area is the sector area minus the triangle formed by the two radii and the chord.
इस भाग में लघु वृत्तखंड से आशय छोटी चाप और उसकी जीवा के बीच के क्षेत्र से है।
Q101. Find the area of the minor segment of a circle of radius 14 cm subtended by a central angle of 90°.
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 90° केंद्रीय कोण से बने लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 56 cm²
Solution / हल:
Sector area = 90/360 × 22/7 × 14² = 154 cm²
Triangle area = 1/2 × 14 × 14 = 98 cm²
Segment area = 154 − 98 = 56 cm²
Q102. Find the area of the minor segment of a circle of radius 7 cm subtending 90° at the centre.
7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 90° केंद्रीय कोण वाले लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 14 cm²
Solution / हल:
Sector area = 90/360 × 22/7 × 49 = 38.5 cm²
Triangle area = 1/2 × 7 × 7 = 24.5 cm²
Segment = 38.5 − 24.5 = 14 cm²
Q103. Find the area of the minor segment of a circle of radius 14 cm subtended by 60° at the centre.
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 60° केंद्रीय कोण से बने लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 308/3 − 49√3 cm²
Solution / हल:
Sector area = 60/360 × 22/7 × 14² = 308/3 cm²
Triangle area = (√3/4) × 14² = 49√3 cm²
Segment area = 308/3 − 49√3 cm²
Q104. Find the area of the major segment of a circle of radius 14 cm when the minor segment is subtended by 90°.
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में लघु वृत्तखंड का केंद्रीय कोण 90° है। बड़े वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 560 cm²
Solution / हल:
Circle area = 616 cm²
Minor segment area = 56 cm²
Major segment = 616 − 56 = 560 cm²
Q105. A chord subtends 90° at the centre of a circle of radius 10 cm. Find the area of the minor segment in terms of π.
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल π के रूप में ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 25π − 50 cm²
Solution / हल:
Sector area = π × 10²/4 = 25π
Triangle area = 1/2 × 10 × 10 = 50
Segment area = 25π − 50 cm²
Q106. Find the area of the minor segment of a circle of radius 12 cm whose chord subtends 120° at the centre.
12 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 120° केंद्रीय कोण वाली जीवा से बने लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 48π − 36√3 cm²
Solution / हल:
Sector area = 120/360 × π × 144 = 48π
Triangle area = 1/2 × 12² × sin120°
= 36√3
Segment area = 48π − 36√3 cm²
Q107. A chord subtends 60° at the centre of a circle of radius 6 cm. Find the area of the minor segment in terms of π.
6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल π के रूप में ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 6π − 9√3 cm²
Solution / हल:
Sector area = 60/360 × 36π = 6π
Triangle area = (√3/4) × 6² = 9√3
Segment = 6π − 9√3 cm²
Q108. The area of a circle is 616 cm². A chord subtends 90° at its centre. Find the area of the minor segment.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 616 सेमी² है। उसकी एक जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 56 cm²
Solution / हल:
Radius = 14 cm
Sector area = 616/4 = 154 cm²
Triangle area = 14²/2 = 98 cm²
Minor segment = 56 cm²
Q109. A chord divides a circle of radius 14 cm into two segments. If the minor segment has an area of 56 cm², find the area of the major segment.
एक जीवा 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को दो वृत्तखंडों में बाँटती है। यदि लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल 56 सेमी² है, तो बड़े वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 560 cm²
Solution / हल:
Total circle area = 616 cm²
Major segment = 616 − 56
= 560 cm²
Q110. Find the area of a semicircular segment formed by a diameter of a circle of radius 14 cm.
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में व्यास द्वारा बने अर्धवृत्ताकार वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 308 cm²
Solution / हल:
A diameter divides the circle into two equal semicircular regions.
व्यास वृत्त को दो बराबर अर्धवृत्तों में विभाजित करता है।
Area = πr²/2 = 616/2 = 308 cm²
Q111. A chord subtends 90° at the centre of a circle of radius 20 cm. Find the area of the triangle formed by the two radii and the chord.
20 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। दो त्रिज्याओं और जीवा से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 200 cm²
Solution / हल:
Triangle area = 1/2 × 20 × 20 × sin90°
= 200 cm²
Q112. A chord subtends 60° at the centre of a circle of radius 10 cm. Find the area of the triangle formed by the chord and the radii.
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। जीवा और त्रिज्याओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 25√3 cm²
Solution / हल:
The triangle is equilateral because both radii and the chord are 10 cm.
यह समबाहु त्रिभुज है।
Area = √3/4 × 10² = 25√3 cm²
Q113. The minor segment of a circle of radius 7 cm is subtended by 90°. Find the ratio of the minor segment area to the total circle area.
7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का लघु वृत्तखंड 90° कोण बनाता है। लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल और पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 1:11
Solution / हल:
Minor segment = 14 cm²
Circle area = 154 cm²
Ratio = 14:154 = 1:11
Q114. A chord of length 14√2 cm subtends 90° at the centre of a circle. Find the radius.
14√2 सेमी लंबी जीवा वृत्त के केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 14 cm
Solution / हल:
Chord = 2r sin45° = r√2
r√2 = 14√2
r = 14 cm
Q115. A circle has radius 14 cm. Find the difference between the areas of its major and minor segments formed by a chord subtending 90° at the centre.
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 90° केंद्रीय कोण वाली जीवा से बने बड़े और छोटे वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 504 cm²
Solution / हल:
Minor segment = 56 cm²
Major segment = 560 cm²
Difference = 560 − 56 = 504 cm²
SECTION 7: INSCRIBED SQUARES, TRIANGLES AND COMPOSITE FIGURES | अंतर्निहित वर्ग, त्रिभुज और मिश्रित आकृतियाँ
Questions 116–135
Q116. A square is inscribed in a circle of radius 7√2 cm. Find the area of the square.
7√2 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में एक वर्ग अंतर्निहित है। वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 196 cm²
Solution / हल:
Square diagonal = Circle diameter = 14√2 cm
Square side = 14 cm
Area = 196 cm²
Q117. A circle is inscribed in a square of side 14 cm. Find the area of the circle.
14 सेमी भुजा वाले वर्ग में एक अंतःवृत्त है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 154 cm²
Solution / हल:
Diameter = Square side = 14 cm
Radius = 7 cm
Area = 22/7 × 49 = 154 cm²
Q118. A circle is inscribed in a square of side 28 cm. Find the area of the region inside the square but outside the circle.
28 सेमी भुजा वाले वर्ग में एक अंतःवृत्त है। वर्ग के अंदर लेकिन वृत्त के बाहर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 168 cm²
Solution / हल:
Square area = 28² = 784 cm²
Circle radius = 14 cm
Circle area = 616 cm²
Remaining area = 784 − 616 = 168 cm²
Q119. A square of side 14 cm is inscribed in a circle. Find the area of the circle.
14 सेमी भुजा वाला वर्ग एक वृत्त में अंतर्निहित है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 308 cm²
Solution / हल:
Circle diameter = Square diagonal = 14√2 cm
Radius = 7√2 cm
Area = 22/7 × (7√2)²
= 308 cm²
Q120. A square of side 14 cm is inscribed in a circle. Find the area inside the circle but outside the square.
14 सेमी भुजा वाला वर्ग एक वृत्त में अंतर्निहित है। वृत्त के अंदर लेकिन वर्ग के बाहर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 112 cm²
Solution / हल:
Circle area = 308 cm²
Square area = 196 cm²
Difference = 308 − 196 = 112 cm²
Q121. An equilateral triangle of side 12 cm is inscribed in a circle. Find the circle's radius.
12 सेमी भुजा वाला समबाहु त्रिभुज एक वृत्त में अंतर्निहित है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 4√3 cm
Solution / हल:
Circumradius of equilateral triangle = a/√3
= 12/√3 = 4√3 cm
Q122. A circle of radius 6 cm is inscribed in an equilateral triangle. Find the triangle's side.
6 सेमी त्रिज्या वाला वृत्त एक समबाहु त्रिभुज में अंतर्निहित है। त्रिभुज की भुजा ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 12√3 cm
Solution / हल:
Inradius r = a/(2√3)
a = 2√3 × 6 = 12√3 cm
Q123. A right triangle has legs 6 cm and 8 cm. Find the radius of its incircle.
एक समकोण त्रिभुज की लम्बवत भुजाएँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। अंतःवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 2 cm
Solution / हल:
Hypotenuse = 10 cm
Inradius = (6 + 8 − 10)/2
= 2 cm
Q124. A right triangle has sides 9 cm, 12 cm and 15 cm. Find the radius of its circumcircle.
एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 9 सेमी, 12 सेमी और 15 सेमी हैं। परिवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7.5 cm
Solution / हल:
Circumradius = Hypotenuse/2
= 15/2 = 7.5 cm
Q125. A rectangle of dimensions 24 cm × 10 cm is inscribed in a circle. Find the radius of the circle.
24 सेमी × 10 सेमी आयाम वाला आयत एक वृत्त में अंतर्निहित है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 13 cm
Solution / हल:
Rectangle diagonal = √(24² + 10²)
= √676 = 26 cm
Circle diameter = 26 cm
Radius = 13 cm
Q126. A circle is inscribed in a rectangle of length 20 cm and breadth 12 cm, touching both longer sides. Find the maximum possible radius of such a circle.
20 सेमी लंबाई और 12 सेमी चौड़ाई वाले आयत के अंदर एक वृत्त बनाया जाता है जो दोनों लंबी भुजाओं को स्पर्श करता है। ऐसे वृत्त की अधिकतम त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 6 cm
Solution / हल:
The distance between the two longer sides is 12 cm.
Diameter = 12 cm
Radius = 6 cm
Q127. A circle is inscribed in a square of area 400 cm². Find the area of the circle.
400 सेमी² क्षेत्रफल वाले वर्ग में एक अंतःवृत्त है। वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 100π cm²
Solution / हल:
Square side = √400 = 20 cm
Circle radius = 10 cm
Area = π × 10² = 100π cm²
Q128. A square is inscribed in a circle of area 200π cm². Find the area of the square.
200π सेमी² क्षेत्रफल वाले वृत्त में एक वर्ग अंतर्निहित है। वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 400 cm²
Solution / हल:
r² = 200
Square diagonal² = (2r)² = 800
Square area = Diagonal²/2
= 400 cm²
Q129. Four circles of radius 7 cm are placed inside a square of side 28 cm, without overlapping, with their centres at (7,7), (21,7), (7,21), and (21,21) cm from one corner. Find the uncovered area.
28 सेमी भुजा वाले वर्ग में 7 सेमी त्रिज्या के चार बिना अतिव्यापन वाले वृत्त रखे गए हैं, जिनके केंद्र एक कोने से (7,7), (21,7), (7,21) और (21,21) सेमी पर हैं। खाली क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 168 cm²
Solution / हल:
Square area = 784 cm²
Four circles area = 4 × 22/7 × 49 = 616 cm²
Uncovered area = 784 − 616 = 168 cm²
Q130. Three equal circles of radius 7 cm are placed side by side, each touching the next externally. Find the distance between the centres of the first and third circles.
7 सेमी त्रिज्या वाले तीन समान वृत्त एक पंक्ति में रखे गए हैं और प्रत्येक अगला वृत्त पिछले वृत्त को बाहरी रूप से स्पर्श करता है। पहले और तीसरे वृत्त के केंद्रों की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 28 cm
Solution / हल:
Distance between adjacent centres = 2r = 14 cm
First to third = 14 + 14 = 28 cm
Q131. Two circles of radii 7 cm and 14 cm touch externally. Find the distance between their centres.
7 सेमी और 14 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 21 cm
Solution / हल:
External touching distance = r₁ + r₂
= 7 + 14 = 21 cm
Q132. Two circles of radii 21 cm and 7 cm touch internally. Find the distance between their centres.
21 सेमी और 7 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 14 cm
Solution / हल:
Internal touching distance = R − r
= 21 − 7 = 14 cm
Q133. A circle is inscribed in a square, and another circle circumscribes the same square. Find the ratio of their areas.
एक वर्ग में एक अंतःवृत्त है और उसी वर्ग के चारों ओर एक परिवृत्त है। दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 1:2
Solution / हल:
Let square side = a.
Inner radius = a/2
Outer radius = a/√2
Area ratio = (a²/4):(a²/2)
= 1:2
Q134. A square is inscribed in a circle of radius 10 cm. Find the perimeter of the square.
10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में एक वर्ग अंतर्निहित है। वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 40√2 cm
Solution / हल:
Square diagonal = 20 cm
Side = 20/√2 = 10√2 cm
Perimeter = 4 × 10√2 = 40√2 cm
Q135. A circle of radius 14 cm is divided into eight equal sectors. Find the area of each sector.
14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को आठ बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 77 cm²
Solution / हल:
Circle area = 616 cm²
Each sector area = 616/8 = 77 cm²
SECTION 8: ADVANCED MIXED PROBLEMS | उन्नत मिश्रित प्रश्न
Questions 136–150 | SSC CGL and Higher-Level Practice
Q136. The radius of a circle is increased by 10 cm and its area increases by 100π cm². Find the original radius.
किसी वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी बढ़ाने पर उसका क्षेत्रफल 100π सेमी² बढ़ जाता है। मूल त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: No positive radius exists / कोई धनात्मक त्रिज्या संभव नहीं है।
Solution / हल:
Let original radius = r.
π[(r + 10)² − r²] = 100π
20r + 100 = 100
r = 0
A genuine circle must have positive radius, so the stated conditions are impossible for a non-degenerate circle.
अतः किसी वास्तविक धनात्मक त्रिज्या वाले वृत्त के लिए दी गई शर्तें संभव नहीं हैं।
Q137. The radius of a circle is increased by 7 cm and its area increases by 462 cm². Find the original radius.
किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी बढ़ाने पर क्षेत्रफल 462 सेमी² बढ़ता है। मूल त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 7 cm
Solution / हल:
22/7 × [(r + 7)² − r²] = 462
22/7 × (14r + 49) = 462
14r + 49 = 147
14r = 98
r = 7 cm
Q138. The radii of two circles differ by 7 cm and their areas differ by 462 cm². Find the sum of their radii.
दो वृत्तों की त्रिज्याओं का अंतर 7 सेमी और क्षेत्रफलों का अंतर 462 सेमी² है। उनकी त्रिज्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 21 cm
Solution / हल:
π(R² − r²) = 462
(R − r)(R + r) = 147
7(R + r) = 147
R + r = 21 cm
Q139. The area of a circular ring is 660 cm² and the difference between its outer and inner radii is 5 cm. Find the sum of the radii.
एक वृत्तीय वलय का क्षेत्रफल 660 सेमी² तथा बाहरी और आंतरिक त्रिज्याओं का अंतर 5 सेमी है। त्रिज्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 42 cm
Solution / हल:
π(R − r)(R + r) = 660
22/7 × 5 × (R + r) = 660
R + r = 42 cm
Q140. A circular track has an inner radius of 35 m and an outer radius of 42 m. Find the difference between the distances travelled along the outer and inner edges in one round.
एक वृत्ताकार ट्रैक की आंतरिक त्रिज्या 35 मी तथा बाहरी त्रिज्या 42 मी है। एक चक्कर में दोनों किनारों पर तय दूरियों का अंतर ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 44 m
Solution / हल:
Difference = 2π(R − r)
= 2 × 22/7 × 7
= 44 m
Q141. Two concentric circles have circumferences of 220 cm and 132 cm. Find the area of the region between them.
दो संकेंद्रित वृत्तों की परिधियाँ 220 सेमी और 132 सेमी हैं। उनके बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 2464 cm²
Solution / हल:
Outer radius = 220 × 7/44 = 35 cm
Inner radius = 132 × 7/44 = 21 cm
Area = 22/7 × (35² − 21²)
= 22/7 × 784
= 2464 cm²
Q142. A circular field has an area of 5544 m². Find the cost of fencing it at ₹80 per metre.
एक वृत्ताकार खेत का क्षेत्रफल 5544 मी² है। ₹80 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का खर्च ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: ₹21,120
Solution / हल:
r² = 5544 × 7/22 = 1764
r = 42 m
Circumference = 2 × 22/7 × 42 = 264 m
Cost = 264 × 80 = ₹21,120
Q143. A circular wheel makes 700 revolutions while covering 1.54 km. Find its radius.
एक वृत्ताकार पहिया 1.54 किमी दूरी तय करते हुए 700 चक्कर लगाता है। उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 35 cm
Solution / हल:
Distance = 154000 cm
One revolution distance = 154000/700 = 220 cm
2πr = 220
r = 35 cm
Q144. A circular garden has radius 21 m. A path 3.5 m wide is constructed inside along its boundary. Find the area of the path.
21 मी त्रिज्या वाले वृत्ताकार बगीचे के अंदर चारों ओर 3.5 मी चौड़ा रास्ता बनाया जाता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 423.5 m²
Solution / हल:
Inner radius = 21 − 3.5 = 17.5 m
Area = 22/7 × (21² − 17.5²)
= 22/7 × 134.75
= 423.5 m²
Q145. A sector has an area of 308 cm² and an arc length of 44 cm. Find its radius and perimeter.
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 308 सेमी² तथा चाप लंबाई 44 सेमी है। त्रिज्या और परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: Radius = 14 cm; Perimeter = 72 cm
Solution / हल:
Area = 1/2 × r × L
308 = 1/2 × r × 44
r = 14 cm
Perimeter = 44 + 2 × 14
= 72 cm
Q146. Two circles of radii 13 cm and 5 cm have centres 17 cm apart. Find the length of a direct common tangent segment between their points of contact.
13 सेमी और 5 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्रों की दूरी 17 सेमी है। उनकी सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के दोनों स्पर्श बिंदुओं के बीच की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 15 cm
Solution / हल:
Direct common tangent length:
L = √[d² − (R − r)²]
= √[17² − (13 − 5)²]
= √(289 − 64)
= 15 cm
Q147. Two circles of radii 5 cm and 3 cm have centres 17 cm apart. Find the length of a transverse common tangent segment between their points of contact.
5 सेमी और 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्रों की दूरी 17 सेमी है। उनकी तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदुओं के बीच की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 15 cm
Solution / हल:
Transverse common tangent length:
L = √[d² − (R + r)²]
= √[17² − 8²]
= √225 = 15 cm
Q148. Two circles of radii 7 cm and 3 cm have centres 26 cm apart. Find the length of their direct common tangent segment.
7 सेमी और 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्रों की दूरी 26 सेमी है। उनकी सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 8√10 cm
Solution / हल:
L = √[26² − (7 − 3)²]
= √(676 − 16)
= √660
= 2√165 cm
Correct answer / सही उत्तर: 2√165 cm.
Q149. Two circles of radii 9 cm and 6 cm have centres 25 cm apart. Find the length of their transverse common tangent segment.
9 सेमी और 6 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्रों की दूरी 25 सेमी है। उनकी तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: 20 cm
Solution / हल:
L = √[25² − (9 + 6)²]
= √(625 − 225)
= √400 = 20 cm
Q150. A circular garden of radius 28 m has two perpendicular straight paths, each 7 m wide, passing through its centre. Each path is the intersection of the circular garden with an infinite strip of width 7 m. Find the exact area covered by the two paths.
28 मी त्रिज्या वाले वृत्ताकार बगीचे के केंद्र से होकर 7 मी चौड़े दो परस्पर लंबवत सीधे रास्ते गुजरते हैं। प्रत्येक रास्ता 7 मी चौड़ी अनंत पट्टी और वृत्त के प्रतिच्छेद से बना है। दोनों रास्तों द्वारा घेरा गया सटीक क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer / उत्तर: \(98\sqrt{63}+1568\sin^{-1}(1/8)-49\) m²
Solution / हल:
Let r = 28 m and half-width a = 3.5 m.
For one strip, its area inside the circle is:
A = 2a√(r² − a²) + 2r² sin⁻¹(a/r)
= 7√(784 − 12.25) + 1568 sin⁻¹(1/8)
= 7√771.75 + 1568 sin⁻¹(1/8)
The two perpendicular strips overlap in a central square of side 7 m, entirely inside the circle.
Total area = 2A − 49
Since √771.75 = 3.5√63:
Total = 49√63 + 3136 sin⁻¹(1/8) − 49 m²
Here sin⁻¹ is measured in radians.
Correct answer / सही उत्तर: \(49\sqrt{63}+3136\sin^{-1}(1/8)-49\) m².
Additional Circle Formulas | वृत्त के अतिरिक्त महत्वपूर्ण सूत्र
Concept / विषय | Formula / सूत्र |
|---|---|
Circumference / परिधि | 2πr = πd |
Area / क्षेत्रफल | πr² |
Diameter / व्यास | 2r |
Semicircle area / अर्धवृत्त क्षेत्रफल | πr²/2 |
Semicircle perimeter / अर्धवृत्त परिमाप | πr + 2r |
Quadrant area / चतुर्थांश क्षेत्रफल | πr²/4 |
Quadrant perimeter / चतुर्थांश परिमाप | πr/2 + 2r |
Ring area / वलय क्षेत्रफल | π(R² − r²) |
Sector area / त्रिज्यखंड क्षेत्रफल | (θ/360)πr² |
Arc length / चाप लंबाई | (θ/360)2πr |
Sector area from arc / चाप से क्षेत्रफल | rL/2 |
Chord length / जीवा की लंबाई | 2√(r² − d²) |
Chord from angle / कोण से जीवा | 2r sin(θ/2) |
Tangent length / स्पर्श रेखाखंड | √(D² − r²) |
Minor segment area / लघु वृत्तखंड | Sector area − Triangle area |
Direct common tangent / सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा | √[d² − (R − r)²] |
Transverse common tangent / तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा | √[d² − (R + r)²] |
In the formulas, r and R denote radii, θ is the central angle in degrees, L is arc length, and d or D denotes the specified distance. For common tangents, d is the distance between circle centres.
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