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SSC CHSL 2025 Mathematics – 25 Questions with Answers and Detailed Solutions

Exam: SSC CHSL Tier 1 2025
Subject: Quantitative Aptitude / गणित
Total Questions: 25
Language: English and Hindi
Format: Questions, four options, correct answers and step-by-step bilingual solutions.

All questions are arranged in numerical order from Q1 to Q25. Mathematical calculations are written in simple text format for copying into the Vitorr Classes website.

Q1. Profit and Loss / लाभ और हानि

Question (English):

A person sells a product at a profit of 15%. If he had bought it for 10% less and sold it for ₹18 less, he would have gained 25%. Find the cost price of the product.

प्रश्न (हिंदी):

एक व्यक्ति किसी वस्तु को 15% लाभ पर बेचता है। यदि उसने वस्तु को 10% कम कीमत पर खरीदा होता और ₹18 कम में बेचा होता, तो उसे 25% लाभ होता। वस्तु का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

(A) ₹600
(B) ₹650
(C) ₹700
(D) ₹720

Correct Answer / सही उत्तर: (D) ₹720

Solution (English):

Let the original cost price = ₹x.

Original selling price = x × 115/100 = 1.15x

If the product had been purchased for 10% less:

New cost price = x × 90/100 = 0.90x

At 25% profit:

New selling price = 0.90x × 125/100 = 1.125x

According to the question, the new selling price is ₹18 less than the original selling price.

Therefore,

1.15x - 1.125x = 18

0.025x = 18

x = 18/0.025

x = 720

Therefore, the original cost price is ₹720.

हल (हिंदी):

मान लीजिए वस्तु का मूल क्रय मूल्य ₹x है।

मूल विक्रय मूल्य = x × 115/100 = 1.15x

यदि वस्तु 10% कम मूल्य पर खरीदी जाती:

नया क्रय मूल्य = 0.90x

25% लाभ पर नया विक्रय मूल्य:

= 0.90x × 125/100

= 1.125x

प्रश्नानुसार,

1.15x - 1.125x = 18

0.025x = 18

x = 18/0.025 = 720

अतः वस्तु का मूल क्रय मूल्य ₹720 है।

Q2. Partnership / साझेदारी

Question (English):

If 3(P's Capital) = 4(Q's Capital) = 7(R's Capital), then out of the total profit of ₹3150, R will receive:

प्रश्न (हिंदी):

यदि 3 × P की पूँजी = 4 × Q की पूँजी = 7 × R की पूँजी है, तो ₹3150 के कुल लाभ में से R को कितना लाभ मिलेगा?

(A) ₹619.67
(B) ₹718.38
(C) ₹800
(D) ₹900.00

Correct Answer / सही उत्तर: (A) ₹619.67

Solution (English):

Given:

3P = 4Q = 7R = k

Therefore,

P = k/3

Q = k/4

R = k/7

Capital ratio:

P : Q : R = 1/3 : 1/4 : 1/7

LCM of 3, 4 and 7 = 84

Multiplying each term by 84:

P : Q : R = 28 : 21 : 12

Total ratio = 28 + 21 + 12 = 61

Assuming equal investment periods, profit is divided in the same ratio.

R's share = 3150 × 12/61

= 37800/61

= ₹619.67 (approximately)

हल (हिंदी):

दिया गया है:

3P = 4Q = 7R

अतः पूँजी का अनुपात:

P : Q : R = 1/3 : 1/4 : 1/7

3, 4 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य = 84

इसलिए,

P : Q : R = 28 : 21 : 12

कुल अनुपात = 28 + 21 + 12 = 61

यदि सभी ने समान अवधि के लिए पूँजी लगाई है, तो लाभ का अनुपात भी यही होगा।

R का लाभ = 3150 × 12/61

= 37800/61

= ₹619.67 लगभग

अतः सही उत्तर ₹619.67 है।

Q3. Trigonometry / त्रिकोणमिति

Question (English):

If sin A = 8/17 and cos B = 15/17, find sin A cos B + cos A sin B.

प्रश्न (हिंदी):

यदि sin A = 8/17 और cos B = 15/17 है, तो sin A cos B + cos A sin B का मान ज्ञात कीजिए।

(A) 120/289
(B) 17/289
(C) 240/289
(D) 15/17

Correct Answer / सही उत्तर: (C) 240/289

Solution (English):

Given:

sin A = 8/17

cos B = 15/17

Assuming A and B are acute angles, use the Pythagorean identity:

sin² A + cos² A = 1

cos A = √(1 - 64/289)

= √(225/289)

= 15/17

Similarly,

sin B = √(1 - 225/289)

= √(64/289)

= 8/17

Required expression:

sin A cos B + cos A sin B

= (8/17 × 15/17) + (15/17 × 8/17)

= 120/289 + 120/289

= 240/289

Shortcut:

sin A cos B + cos A sin B = sin(A + B)

हल (हिंदी):

दिया गया है:

sin A = 8/17

cos B = 15/17

A और B को न्यूनकोण मानते हुए,

sin² A + cos² A = 1

cos A = √(1 - 64/289)

= 15/17

इसी प्रकार,

sin B = √(1 - 225/289)

= 8/17

अब,

sin A cos B + cos A sin B

= (8 × 15)/(17 × 17) + (15 × 8)/(17 × 17)

= 120/289 + 120/289

= 240/289

अतः सही उत्तर 240/289 है।

Q4. Ratio and Proportion / अनुपात और समानुपात

Question (English):

A fruit basket contains apples and oranges. The number of apples is 25% more than the number of oranges. What is the ratio of apples to oranges?

प्रश्न (हिंदी):

एक फलों की टोकरी में सेब और संतरे हैं। सेबों की संख्या संतरे की संख्या से 25% अधिक है। सेब और संतरे का अनुपात क्या है?

(A) 1:4
(B) 4:5
(C) 5:4
(D) 3:4

Correct Answer / सही उत्तर: (C) 5:4

Solution (English):

Assume the number of oranges = 100.

Number of apples = 100 + 25% of 100

= 100 + 25

= 125

Required ratio:

Apples : Oranges = 125 : 100

Dividing both terms by 25:

= 5 : 4

हल (हिंदी):

मान लीजिए संतरे की संख्या = 100

सेबों की संख्या संतरे से 25% अधिक है।

सेबों की संख्या = 100 + 25

= 125

अब अनुपात:

सेब : संतरे = 125 : 100

दोनों को 25 से भाग देने पर:

= 5 : 4

अतः सही उत्तर 5:4 है।

Q5. Compound Interest / चक्रवृद्धि ब्याज

Question (English):

A sum becomes 4 times its original value in 6 years under compound interest. In how many years will it become 16 times the original amount?

प्रश्न (हिंदी):

एक धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 6 वर्षों में अपनी मूल राशि की 4 गुनी हो जाती है। वह कितने वर्षों में मूल राशि की 16 गुनी हो जाएगी?

(A) 12 years / 12 वर्ष
(B) 18 years / 18 वर्ष
(C) 24 years / 24 वर्ष
(D) 38 years / 38 वर्ष

Correct Answer / सही उत्तर: (A) 12 years

Solution (English):

Compound interest formula:

A = P(1 + r/100)^t

Given that the amount becomes four times in 6 years:

4P = P(1 + r/100)^6

Therefore,

(1 + r/100)^6 = 4

We need the amount to become 16 times.

16 = 4²

Therefore, the required time will be twice the time needed to become four times.

Required time = 6 × 2

= 12 years

हल (हिंदी):

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र:

A = P(1 + r/100)^t

6 वर्षों में धनराशि 4 गुनी हो जाती है।

इसलिए,

(1 + r/100)^6 = 4

अब धनराशि को 16 गुना होना है।

16 = 4 × 4 = 4²

अतः 16 गुना होने में 4 गुना होने की तुलना में दोगुना समय लगेगा।

समय = 6 × 2

= 12 वर्ष

अतः सही उत्तर 12 वर्ष है।

Q6. Number System / संख्या पद्धति

Question (English):

When a number is divided by 12, 15, and 20, it leaves remainders 5, 8, and 13 respectively. What is the least such number?

प्रश्न (हिंदी):

जब किसी संख्या को 12, 15 और 20 से विभाजित किया जाता है, तो क्रमशः 5, 8 और 13 शेषफल प्राप्त होते हैं। ऐसी सबसे छोटी संख्या क्या है?

(A) 173
(B) 53
(C) 93
(D) 353

Correct Answer / सही उत्तर: (B) 53

Solution (English):

Observe the differences:

12 - 5 = 7

15 - 8 = 7

20 - 13 = 7

Thus, adding 7 to the required number makes it divisible by all three divisors.

LCM(12, 15, 20) = 60

Therefore,

Required number = 60 - 7

= 53

Verification:

53 ÷ 12 leaves remainder 5.

53 ÷ 15 leaves remainder 8.

53 ÷ 20 leaves remainder 13.

हल (हिंदी):

दिए गए भाजक और शेषफल का अंतर देखें।

12 - 5 = 7

15 - 8 = 7

20 - 13 = 7

अर्थात आवश्यक संख्या में 7 जोड़ने पर वह तीनों संख्याओं से पूर्णतः विभाजित होगी।

12, 15 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य:

LCM = 60

आवश्यक संख्या = 60 - 7

= 53

अतः सबसे छोटी संख्या 53 है।

Q7. Average / औसत

Question (English):

If the average of 14 consecutive even numbers is 107, find the smallest number.

प्रश्न (हिंदी):

यदि 14 क्रमागत सम संख्याओं का औसत 107 है, तो सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।

(A) 93
(B) 94
(C) 92
(D) 98

Correct Answer / सही उत्तर: (B) 94

Solution (English):

Let the smallest even number = x.

There are 14 consecutive even numbers.

The last number = x + 2(14 - 1)

= x + 26

Average of an arithmetic progression:

Average = (First term + Last term)/2

107 = (x + x + 26)/2

214 = 2x + 26

2x = 188

x = 94

Therefore, the smallest number is 94.

हल (हिंदी):

मान लीजिए सबसे छोटी सम संख्या = x

कुल 14 क्रमागत सम संख्याएँ हैं।

अंतिम संख्या = x + 2(14 - 1)

= x + 26

औसत का सूत्र:

औसत = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2

107 = (x + x + 26)/2

214 = 2x + 26

2x = 188

x = 94

अतः सबसे छोटी संख्या 94 है।

Q8. Percentage / प्रतिशत

Question (English):

The population of a city increases by 25% in the first year and decreases by 20% in the second year. What is the net percentage change after 2 years?

प्रश्न (हिंदी):

एक शहर की जनसंख्या पहले वर्ष में 25% बढ़ती है और दूसरे वर्ष में 20% घटती है। दो वर्षों के बाद जनसंख्या में कुल प्रतिशत परिवर्तन कितना होगा?

(A) 2% increase / 2% वृद्धि
(B) 0% / कोई परिवर्तन नहीं
(C) 5% increase / 5% वृद्धि
(D) 10% decrease / 10% कमी

Correct Answer / सही उत्तर: (B) 0%

Solution (English):

Assume the initial population = 100.

After a 25% increase:

Population = 100 × 125/100

= 125

After a 20% decrease:

Population = 125 × 80/100

= 100

Initial population = 100

Final population = 100

Net percentage change = 0%

Shortcut:

Successive percentage change:

Net change = a + b + ab/100

Here,

a = 25 and b = -20

Net change = 25 - 20 + (25 × -20)/100

= 5 - 5

= 0%

हल (हिंदी):

प्रारंभिक जनसंख्या = 100 मान लें।

पहले वर्ष 25% वृद्धि के बाद:

जनसंख्या = 125

दूसरे वर्ष 20% कमी के बाद:

जनसंख्या = 125 × 80/100

= 100

प्रारंभिक जनसंख्या = 100

अंतिम जनसंख्या = 100

अतः कुल परिवर्तन = 0%

Q9. Time, Speed and Distance / समय, चाल और दूरी

Question (English):

A train crosses a man standing on a platform in 12 seconds and crosses the platform, which is 150 meters long, in 20 seconds. What is the length of the train?

प्रश्न (हिंदी):

एक रेलगाड़ी प्लेटफॉर्म पर खड़े एक व्यक्ति को 12 सेकंड में पार करती है और 150 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को 20 सेकंड में पार करती है। रेलगाड़ी की लंबाई कितनी है?

(A) 200 m / 200 मीटर
(B) 225 m / 225 मीटर
(C) 250 m / 250 मीटर
(D) 275 m / 275 मीटर

Correct Answer / सही उत्तर: (B) 225 m

Solution (English):

Let the length of the train = x meters.

Time taken to cross a stationary man = 12 seconds.

Speed = x/12 m/s

Time taken to cross the platform = 20 seconds.

Total distance covered = x + 150

Therefore,

(x + 150)/20 = x/12

Cross multiplication:

12(x + 150) = 20x

12x + 1800 = 20x

8x = 1800

x = 225 meters

हल (हिंदी):

मान लीजिए रेलगाड़ी की लंबाई = x मीटर।

व्यक्ति को पार करने में समय = 12 सेकंड

रेलगाड़ी की चाल = x/12 मीटर/सेकंड

प्लेटफॉर्म को पार करने में समय = 20 सेकंड

कुल दूरी = x + 150

अतः,

(x + 150)/20 = x/12

12x + 1800 = 20x

8x = 1800

x = 225

अतः रेलगाड़ी की लंबाई 225 मीटर है।

Q10. Time and Work / समय और कार्य

Question (English):

A takes 12 days to finish a job, while B takes 36 days to complete the same job. If they collaborate, how many days will it take them to complete the work together?

प्रश्न (हिंदी):

A किसी कार्य को 12 दिनों में पूरा करता है, जबकि B उसी कार्य को 36 दिनों में पूरा करता है। यदि दोनों मिलकर कार्य करें, तो कार्य पूरा करने में कितने दिन लगेंगे?

(A) 7 days / 7 दिन
(B) 8 days / 8 दिन
(C) 9 days / 9 दिन
(D) 10 days / 10 दिन

Correct Answer / सही उत्तर: (C) 9 days

Solution (English):

A's one-day work = 1/12

B's one-day work = 1/36

Combined one-day work:

= 1/12 + 1/36

= 3/36 + 1/36

= 4/36

= 1/9

Therefore, time taken together = 9 days.

Shortcut:

Time = (A × B)/(A + B)

= (12 × 36)/(12 + 36)

= 432/48

= 9 days

हल (हिंदी):

A का एक दिन का कार्य = 1/12

B का एक दिन का कार्य = 1/36

दोनों का एक दिन का संयुक्त कार्य:

= 1/12 + 1/36

= 3/36 + 1/36

= 4/36

= 1/9

इसलिए दोनों मिलकर पूरा कार्य 9 दिनों में करेंगे।

Q11. Discount / छूट

Question (English):

The printed price of a TV set is ₹10,000. After two consecutive discounts, it is sold for ₹8,100. What is the second discount if the first one is 10%?

प्रश्न (हिंदी):

एक टीवी का अंकित मूल्य ₹10,000 है। दो क्रमिक छूटों के बाद इसे ₹8,100 में बेचा जाता है। यदि पहली छूट 10% है, तो दूसरी छूट कितनी है?

(A) 8%
(B) 10%
(C) 12%
(D) 20%

Correct Answer / सही उत्तर: (B) 10%

Solution (English):

Marked price = ₹10,000

First discount = 10%

Price after first discount:

= 10000 × 90/100

= ₹9000

Final selling price = ₹8100

Second discount amount:

= 9000 - 8100

= ₹900

Second discount percentage:

= 900/9000 × 100

= 10%

हल (हिंदी):

अंकित मूल्य = ₹10,000

पहली छूट = 10%

पहली छूट के बाद मूल्य:

= 10000 × 90/100

= ₹9000

अंतिम विक्रय मूल्य = ₹8100

दूसरी छूट की राशि:

= 9000 - 8100

= ₹900

दूसरी छूट प्रतिशत:

= 900/9000 × 100

= 10%

अतः दूसरी छूट 10% है।

Q12. Simple Interest / साधारण ब्याज

Question (English):

A sum of money becomes 13/8 of itself in 5 years at a certain rate of simple interest. What is the rate of interest per annum?

प्रश्न (हिंदी):

एक धनराशि साधारण ब्याज की एक निश्चित दर पर 5 वर्षों में अपनी मूल राशि की 13/8 गुनी हो जाती है। वार्षिक ब्याज दर कितनी है?

(A) 10%
(B) 12.5%
(C) 15%
(D) 16.25%

Correct Answer / सही उत्तर: (B) 12.5%

Solution (English):

Let principal = P.

Amount after 5 years = 13P/8

Simple interest:

SI = Amount - Principal

= 13P/8 - P

= 5P/8

Simple interest formula:

SI = P × R × T/100

Therefore,

5P/8 = P × R × 5/100

Cancel P and 5:

1/8 = R/100

R = 100/8

R = 12.5%

हल (हिंदी):

मान लीजिए मूलधन = P

5 वर्षों के बाद मिश्रधन = 13P/8

साधारण ब्याज:

= 13P/8 - P

= 5P/8

साधारण ब्याज का सूत्र:

SI = P × R × T/100

इसलिए,

5P/8 = P × R × 5/100

P और 5 को हटाने पर:

1/8 = R/100

R = 100/8

R = 12.5%

अतः वार्षिक ब्याज दर 12.5% है।

Q13. Algebra / बीजगणित

Question (English):

If p + q = 12 and p² - q² = 72, find the value of p - q.

प्रश्न (हिंदी):

यदि p + q = 12 और p² - q² = 72 है, तो p - q का मान ज्ञात कीजिए।

(A) 4
(B) 8
(C) 12
(D) 6

Correct Answer / सही उत्तर: (D) 6

Solution (English):

Given:

p + q = 12

p² - q² = 72

Using the identity:

a² - b² = (a + b)(a - b)

Therefore,

p² - q² = (p + q)(p - q)

72 = 12(p - q)

p - q = 72/12

p - q = 6

हल (हिंदी):

दिया गया है:

p + q = 12

p² - q² = 72

सर्वसमिका:

a² - b² = (a + b)(a - b)

इसका प्रयोग करने पर:

72 = (p + q)(p - q)

72 = 12(p - q)

p - q = 72/12

p - q = 6

अतः सही उत्तर 6 है।

Source correction: The screenshot's question line appears to repeat p + q, but its worked solution establishes that the intended unknown is p - q.

Q14. Square Root / वर्गमूल

Question (English):

What is the square root of 6561?

प्रश्न (हिंदी):

6561 का वर्गमूल क्या है?

(A) 92
(B) 74
(C) 81
(D) 77

Correct Answer / सही उत्तर: (C) 81

Solution (English):

We need to calculate:

√6561

Observe:

81 × 81 = 6561

Therefore,

√6561 = 81

Another method:

6561 = 3⁸

√6561 = √(3⁸)

= 3⁴

= 81

हल (हिंदी):

हमें 6561 का वर्गमूल ज्ञात करना है।

81 × 81 = 6561

इसलिए,

√6561 = 81

दूसरी विधि:

6561 = 3⁸

√6561 = √(3⁸)

= 3⁴

= 81

अतः सही उत्तर 81 है।

Q15. Mixture and Alligation / मिश्रण

Question (English):

A 90-liter mixture contains milk and water in the ratio 8:7. If 15 liters of this mixture is taken out and replaced with 15 liters of pure milk, what is the new ratio of milk to water?

प्रश्न (हिंदी):

90 लीटर के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 8:7 है। यदि इस मिश्रण से 15 लीटर निकालकर उसके स्थान पर 15 लीटर शुद्ध दूध मिला दिया जाए, तो दूध और पानी का नया अनुपात क्या होगा?

(A) 9:7
(B) 9:5
(C) 11:7
(D) 11:5

Correct Answer / सही उत्तर: (C) 11:7

Solution (English):

Total mixture = 90 liters

Milk : Water = 8 : 7

Total parts = 15

Initial milk:

= 90 × 8/15

= 48 liters

Initial water:

= 90 × 7/15

= 42 liters

Now 15 liters of mixture is removed.

Milk removed:

= 15 × 8/15

= 8 liters

Water removed:

= 15 × 7/15

= 7 liters

Remaining milk = 48 - 8 = 40 liters

Remaining water = 42 - 7 = 35 liters

Now 15 liters of pure milk is added.

Final milk = 40 + 15 = 55 liters

Final water = 35 liters

Required ratio:

Milk : Water = 55 : 35

= 11 : 7

हल (हिंदी):

कुल मिश्रण = 90 लीटर

दूध : पानी = 8 : 7

कुल भाग = 15

प्रारंभिक दूध:

= 90 × 8/15 = 48 लीटर

प्रारंभिक पानी:

= 90 × 7/15 = 42 लीटर

अब 15 लीटर मिश्रण निकाला गया।

निकाला गया दूध:

= 15 × 8/15 = 8 लीटर

निकाला गया पानी:

= 15 × 7/15 = 7 लीटर

शेष दूध = 48 - 8 = 40 लीटर

शेष पानी = 42 - 7 = 35 लीटर

अब 15 लीटर शुद्ध दूध मिलाया गया।

नया दूध = 40 + 15 = 55 लीटर

पानी = 35 लीटर

नया अनुपात = 55 : 35

= 11 : 7

अतः सही उत्तर 11:7 है।

Q16. Mensuration – Sphere and Cuboid / गोला और घनाभ

Question (English):

A spherical cannonball with a diameter of 28 cm is melted and recast into a rectangular block. The length and breadth of the block are 44 cm and 14 cm respectively. What is the height of the rectangular block? (Take π = 22/7)

प्रश्न (हिंदी):

28 सेमी व्यास वाले एक गोलाकार तोप के गोले को पिघलाकर एक घनाभाकार खंड में ढाला जाता है। घनाभ की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 44 सेमी और 14 सेमी हैं। घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लें)

(A) 17.23 cm / 17.23 सेमी
(B) 20.16 cm / 20.16 सेमी
(C) 18.67 cm / 18.67 सेमी
(D) 19.67 cm / 19.67 सेमी

Correct Answer / सही उत्तर: (C) 18.67 cm

Solution (English):

Diameter of sphere = 28 cm

Radius = 14 cm

Volume of sphere:

V = (4/3) × π × r³

= (4/3) × (22/7) × 14³

= (4/3) × (22/7) × 2744

= 34496/3 cubic cm

Volume of cuboid:

V = Length × Breadth × Height

= 44 × 14 × h

= 616h

Since the sphere is melted and recast without loss of material:

616h = 34496/3

h = 34496/(3 × 616)

h = 56/3

h = 18.67 cm approximately.

हल (हिंदी):

गोले का व्यास = 28 सेमी

त्रिज्या = 14 सेमी

गोले का आयतन:

V = (4/3) × π × r³

= (4/3) × (22/7) × 14³

= 34496/3 घन सेमी

घनाभ का आयतन:

= लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

= 44 × 14 × h

= 616h

पिघलाने और दोबारा ढालने पर पदार्थ का आयतन समान रहेगा।

इसलिए,

616h = 34496/3

h = 34496/1848

h = 56/3

h = 18.67 सेमी लगभग

अतः घनाभ की ऊँचाई 18.67 सेमी है।

Q17. Mensuration – Hemisphere and Cylinder / अर्धगोला और बेलन

Question (English):

A hemispherical bowl with a radius of 21 cm is filled with a liquid. The liquid is to be poured into small cylindrical bottles, each with a diameter of 7 cm and a height of 9 cm. How many such bottles are required to empty the bowl?

प्रश्न (हिंदी):

21 सेमी त्रिज्या वाला एक अर्धगोलाकार कटोरा तरल पदार्थ से भरा है। इस तरल को छोटी बेलनाकार बोतलों में भरना है, जिनमें से प्रत्येक का व्यास 7 सेमी और ऊँचाई 9 सेमी है। कटोरे को खाली करने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी?

(A) 54
(B) 56
(C) 48
(D) 50

Correct Answer / सही उत्तर: (B) 56

Solution (English):

Radius of hemisphere = 21 cm

Volume of hemisphere:

V = (2/3) × π × R³

= (2/3) × (22/7) × 21³

= (2/3) × (22/7) × 9261

= 19404 cubic cm

For each cylindrical bottle:

Diameter = 7 cm

Radius = 3.5 cm

Height = 9 cm

Volume of cylinder:

V = πr²h

= (22/7) × 3.5 × 3.5 × 9

= 346.5 cubic cm

Number of bottles:

= Volume of hemisphere / Volume of one bottle

= 19404/346.5

= 56

हल (हिंदी):

अर्धगोले की त्रिज्या = 21 सेमी

अर्धगोले का आयतन:

V = (2/3) × π × r³

= (2/3) × (22/7) × 21³

= 19404 घन सेमी

बेलनाकार बोतल का व्यास = 7 सेमी

त्रिज्या = 3.5 सेमी

ऊँचाई = 9 सेमी

एक बोतल का आयतन:

V = πr²h

= (22/7) × 3.5 × 3.5 × 9

= 346.5 घन सेमी

आवश्यक बोतलों की संख्या:

= 19404/346.5

= 56

अतः 56 बोतलों की आवश्यकता होगी।

Q18. Simplification / सरलीकरण

Question (English):

Simplify: (1/2) × (3/4 + 1/4) ÷ (1/3)

प्रश्न (हिंदी):

सरल कीजिए: (1/2) × (3/4 + 1/4) ÷ (1/3)

(A) 1/4
(B) 1/3
(C) 3/2
(D) 1/2

Correct Answer / सही उत्तर: (C) 3/2

Solution (English):

Given:

(1/2) × (3/4 + 1/4) ÷ (1/3)

First solve the bracket:

3/4 + 1/4 = 4/4 = 1

Expression becomes:

= (1/2) × 1 ÷ (1/3)

= (1/2) ÷ (1/3)

Division by a fraction means multiplication by its reciprocal.

= (1/2) × 3

= 3/2

हल (हिंदी):

दिया गया व्यंजक:

(1/2) × (3/4 + 1/4) ÷ (1/3)

सबसे पहले कोष्ठक हल करें।

3/4 + 1/4 = 1

अब,

= (1/2) × 1 ÷ (1/3)

= (1/2) ÷ (1/3)

किसी भिन्न से भाग देने पर उसके व्युत्क्रम से गुणा करते हैं।

= (1/2) × 3

= 3/2

अतः सही उत्तर 3/2 है।

Q19. Indices and Exponents / घातांक

Question (English):

If 9 × 3⁴ = 3ˣ, what is x?

प्रश्न (हिंदी):

यदि 9 × 3⁴ = 3ˣ है, तो x का मान क्या होगा?

(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8

Correct Answer / सही उत्तर: (C) 6

Solution (English):

Given:

9 × 3⁴ = 3ˣ

We know:

9 = 3²

Therefore,

3² × 3⁴ = 3ˣ

Using the exponent rule:

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

3²⁺⁴ = 3ˣ

3⁶ = 3ˣ

Therefore,

x = 6

हल (हिंदी):

दिया गया है:

9 × 3⁴ = 3ˣ

हम जानते हैं:

9 = 3²

इसलिए,

3² × 3⁴ = 3ˣ

घातांक का नियम:

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

अतः,

3⁶ = 3ˣ

दोनों पक्षों के आधार समान हैं।

इसलिए,

x = 6

Q20. Mensuration – Circumference / वृत्त की परिधि

Question (English):

The diameter of a car's wheel is 63 cm. Calculate the distance the car travels when the wheel completes 1000 revolutions.

प्रश्न (हिंदी):

एक कार के पहिए का व्यास 63 सेमी है। यदि पहिया 1000 चक्कर लगाता है, तो कार द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

(A) 1.98 km / 1.98 किमी
(B) 2.54 km / 2.54 किमी
(C) 3.45 km / 3.45 किमी
(D) 4.56 km / 4.56 किमी

Correct Answer / सही उत्तर: (A) 1.98 km

Solution (English):

Diameter = 63 cm

Number of revolutions = 1000

Distance travelled in one revolution equals the circumference of the wheel, assuming no slipping.

Circumference = πd

= (22/7) × 63

= 198 cm

Distance in 1000 revolutions:

= 198 × 1000

= 198000 cm

Convert into meters:

= 198000/100

= 1980 meters

Convert into kilometers:

= 1980/1000

= 1.98 km

हल (हिंदी):

पहिए का व्यास = 63 सेमी

चक्करों की संख्या = 1000

बिना फिसले एक चक्कर में पहिया अपनी परिधि के बराबर दूरी तय करता है।

वृत्त की परिधि = πd

= (22/7) × 63

= 198 सेमी

1000 चक्करों में दूरी:

= 198 × 1000

= 198000 सेमी

मीटर में:

= 198000/100

= 1980 मीटर

किलोमीटर में:

= 1980/1000

= 1.98 किमी

अतः सही उत्तर 1.98 किमी है।

Q21. Coordinate Geometry / निर्देशांक ज्यामिति

Question (English):

Find the equation of the line that passes through the point (2, 5) and is perpendicular to the line y = 3x + 4.

प्रश्न (हिंदी):

उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (2, 5) से होकर गुजरती है और रेखा y = 3x + 4 पर लंबवत है।

(A) y = -x/3 + 6
(B) y = -3x + 5
(C) y = -6x - 15
(D) y = -x/3 + 17/3

Correct Answer / सही उत्तर: (D) y = -x/3 + 17/3

Solution (English):

Given line:

y = 3x + 4

Comparing with:

y = mx + c

Slope of the given line = 3

For two perpendicular lines:

m₁ × m₂ = -1

Therefore,

3 × m₂ = -1

m₂ = -1/3

The required line passes through (2, 5).

Using point-slope form:

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 5 = (-1/3)(x - 2)

y - 5 = -x/3 + 2/3

y = -x/3 + 2/3 + 5

y = -x/3 + 17/3

हल (हिंदी):

दी गई रेखा:

y = 3x + 4

इसकी ढाल = 3

दो लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल -1 होता है।

m₁ × m₂ = -1

3 × m₂ = -1

m₂ = -1/3

आवश्यक रेखा बिंदु (2, 5) से गुजरती है।

बिंदु-ढाल सूत्र:

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 5 = (-1/3)(x - 2)

y - 5 = -x/3 + 2/3

y = -x/3 + 17/3

अतः रेखा का समीकरण:

y = -x/3 + 17/3

Q22. Algebraic Identities / बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ

Question (English):

Find the value of 4x² + y² + 25z² + 4xy - 10yz - 20zx when x = 4, y = 3 and z = 2.

प्रश्न (हिंदी):

यदि x = 4, y = 3 और z = 2 है, तो 4x² + y² + 25z² + 4xy - 10yz - 20zx का मान ज्ञात कीजिए।

(A) 1
(B) 3
(C) 9
(D) 6

Correct Answer / सही उत्तर: (A) 1

Solution (English):

Given expression:

4x² + y² + 25z² + 4xy - 10yz - 20zx

We can express it as:

(2x + y - 5z)²

Using the identity:

(a + b - c)² = a² + b² + c² + 2ab - 2bc - 2ac

Substitute:

x = 4

y = 3

z = 2

Required value:

= (2 × 4 + 3 - 5 × 2)²

= (8 + 3 - 10)²

= 1²

= 1

हल (हिंदी):

दिया गया व्यंजक:

4x² + y² + 25z² + 4xy - 10yz - 20zx

इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

(2x + y - 5z)²

अब मान रखें:

x = 4

y = 3

z = 2

= (2 × 4 + 3 - 5 × 2)²

= (8 + 3 - 10)²

= 1²

= 1

अतः सही उत्तर 1 है।

Q23. Trigonometric Identities / त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

Question (English):

Simplify: (sec x - tan x)/(sec x + tan x)

प्रश्न (हिंदी):

सरल कीजिए: (sec x - tan x)/(sec x + tan x)

(A) (1 - tan x)/(1 + sin x)
(B) (1 - sin x)/(1 + sin x)
(C) 1
(D) 1 - sin x

Correct Answer / सही उत्तर: (B) (1 - sin x)/(1 + sin x)

Solution (English):

Given:

(sec x - tan x)/(sec x + tan x)

We know:

sec x = 1/cos x

tan x = sin x/cos x

Substituting:

= [(1/cos x) - (sin x/cos x)] / [(1/cos x) + (sin x/cos x)]

Taking the common denominator:

= [(1 - sin x)/cos x] / [(1 + sin x)/cos x]

Cancel cos x:

= (1 - sin x)/(1 + sin x)

Therefore, the simplified expression is:

(1 - sin x)/(1 + sin x)

हल (हिंदी):

दिया गया व्यंजक:

(sec x - tan x)/(sec x + tan x)

हम जानते हैं:

sec x = 1/cos x

tan x = sin x/cos x

मान रखने पर:

= [(1 - sin x)/cos x] / [(1 + sin x)/cos x]

अंश और हर में cos x समान है।

इसे हटाने पर:

= (1 - sin x)/(1 + sin x)

अतः सही उत्तर:

(1 - sin x)/(1 + sin x)

Q24. Trigonometry – Basic Ratios / त्रिकोणमिति

Question (English):

If sin 3A = 3/5, what is cos 3A?

प्रश्न (हिंदी):

यदि sin 3A = 3/5 है, तो cos 3A का मान क्या होगा?

(A) 4/5
(B) 5/6
(C) 7/8
(D) 8/9

Correct Answer / सही उत्तर: (A) 4/5

Solution (English):

Given:

sin 3A = 3/5

Using the identity:

sin² θ + cos² θ = 1

Therefore,

cos² 3A = 1 - sin² 3A

= 1 - (3/5)²

= 1 - 9/25

= 16/25

Thus,

cos 3A = √(16/25)

= 4/5

This takes 3A as an acute angle.

Shortcut:

The given ratio corresponds to the Pythagorean triplet:

3, 4, 5

Opposite side = 3

Hypotenuse = 5

Adjacent side = 4

Therefore,

cos 3A = 4/5

हल (हिंदी):

दिया गया है:

sin 3A = 3/5

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका:

sin² θ + cos² θ = 1

इसलिए,

cos² 3A = 1 - (3/5)²

= 1 - 9/25

= 16/25

3A को न्यूनकोण मानने पर,

cos 3A = √(16/25)

= 4/5

अतः सही उत्तर 4/5 है।

Q25. Trigonometry – Double Angle / त्रिकोणमिति – द्विकोण सूत्र

Question (English):

In a right triangle ABC, right-angled at B, if tan A = 2, what is the value of 2 sin A cos A?

प्रश्न (हिंदी):

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसका समकोण B पर है, यदि tan A = 2 है, तो 2 sin A cos A का मान क्या होगा?

(A) 4/5
(B) 5/6
(C) 8/9
(D) 3/4

Correct Answer / सही उत्तर: (A) 4/5

Solution (English):

Given:

tan A = 2

We know:

tan A = Opposite side / Adjacent side

Assume:

Opposite side = 2

Adjacent side = 1

Using the Pythagorean theorem:

Hypotenuse = √(2² + 1²)

= √5

Therefore,

sin A = 2/√5

cos A = 1/√5

Required expression:

2 sin A cos A

= 2 × (2/√5) × (1/√5)

= 4/5

Shortcut:

Using the double-angle identity:

sin 2A = 2 tan A/(1 + tan² A)

= (2 × 2)/(1 + 2²)

= 4/5

हल (हिंदी):

दिया गया है:

tan A = 2

हम जानते हैं:

tan A = लंब/आधार

मान लीजिए:

लंब = 2

आधार = 1

पाइथागोरस प्रमेय से:

कर्ण = √(2² + 1²)

= √5

इसलिए,

sin A = 2/√5

cos A = 1/√5

अब,

2 sin A cos A

= 2 × (2/√5) × (1/√5)

= 4/5

अतः सही उत्तर 4/5 है।