Geometry Topic 2: Triangles – 100 Important Questions with Solutions

ज्यामिति अध्याय 2: त्रिभुज – 100 महत्वपूर्ण प्रश्न एवं समाधान

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After Lines and Angles, our next geometry topic is Triangles (त्रिभुज). This chapter contains 100 bilingual numerical and conceptual questions arranged from easy to the toughest level, with answers and solutions in both English and Hindi.

All questions use simple, copy-friendly text notation so they can be pasted directly into the Vitorr Classes article editor.

Introduction / परिचय

A triangle is a closed plane figure formed by joining three non-collinear points with three line segments. It has three sides, three vertices and three interior angles. The sum of the three interior angles is always 180°.

त्रिभुज तीन असंरेखीय बिंदुओं को तीन रेखाखंडों से जोड़कर बनी एक बंद समतलीय आकृति है। इसमें तीन भुजाएँ, तीन शीर्ष तथा तीन आंतरिक कोण होते हैं। इसके तीनों आंतरिक कोणों का योग सदैव 180° होता है।

Important Formulas / महत्वपूर्ण सूत्र

1. Sum of interior angles / आंतरिक कोणों का योग = 180°

2. Exterior angle / बाह्य कोण = Sum of two opposite interior angles / दो दूरस्थ अंतः कोणों का योग

3. Area / क्षेत्रफल = (1/2) × Base × Height

4. Perimeter / परिमाप = a + b + c

5. Semi-perimeter / अर्धपरिमाप: s = (a + b + c)/2

6. Heron's formula / हीरोन का सूत्र: Area = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]

7. Pythagoras theorem / पाइथागोरस प्रमेय: Hypotenuse² = Base² + Perpendicular²

8. Equilateral triangle area / समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × a²

9. Equilateral triangle height / समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = (√3/2) × a

10. Inradius / अंतःत्रिज्या: r = Area/s

11. Circumradius / परित्रिज्या: R = abc/(4 × Area)

12. Median length / माध्यिका की लंबाई: m_a = (1/2)√(2b² + 2c² − a²)

13. Angle bisector theorem / कोण समद्विभाजक प्रमेय: BD/DC = AB/AC, when AD bisects angle A

14. Similar triangles / समरूप त्रिभुज: Ratio of areas = Square of corresponding sides' ratio

15. Triangle inequality / त्रिभुज असमता: Sum of any two sides is greater than the third side.

Level 1: Basic Triangle Concepts (Questions 1–20)

स्तर 1: त्रिभुज की मूलभूत अवधारणाएँ

Question 1. Two angles of a triangle are 50° and 60°. Find the third angle.

एक त्रिभुज के दो कोण 50° और 60° हैं। तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): Sum of angles of a triangle = 180°. Third angle = 180 − 50 − 60 = 70°.

समाधान (हिंदी): त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। तीसरा कोण = 180 − 50 − 60 = 70°।

Question 2. Two angles of a triangle are 45° and 75°. Find the third angle.

एक त्रिभुज के दो कोण 45° और 75° हैं। तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): Third angle = 180 − (45 + 75) = 60°.

समाधान (हिंदी): तीसरा कोण = 180 − 120 = 60°।

Question 3. The angles of a triangle are in the ratio 2:3:4. Find the largest angle.

एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2:3:4 है। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 80°

Solution (English): Let angles be 2x, 3x and 4x. Then 9x = 180, so x = 20. Largest angle = 4 × 20 = 80°.

समाधान (हिंदी): कोण 2x, 3x और 4x मानें। 9x = 180, इसलिए x = 20। सबसे बड़ा कोण = 80°।

Question 4. An exterior angle of a triangle is 120°. One opposite interior angle is 45°. Find the other opposite interior angle.

एक त्रिभुज का बाह्य कोण 120° है। एक दूरस्थ अंतः कोण 45° है। दूसरा दूरस्थ अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 75°

Solution (English): Exterior angle = Sum of opposite interior angles. Required angle = 120 − 45 = 75°.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण दो दूरस्थ अंतः कोणों के योग के बराबर होता है। दूसरा कोण = 120 − 45 = 75°।

Question 5. Each angle of an equilateral triangle is equal to how many degrees?

समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण कितने डिग्री का होता है?

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): All three angles are equal. Each angle = 180/3 = 60°.

समाधान (हिंदी): समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण बराबर होते हैं। प्रत्येक कोण = 180/3 = 60°।

Question 6. The vertex angle of an isosceles triangle is 40°. Find each base angle.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण 40° है। प्रत्येक आधार कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): The base angles are equal. Each = (180 − 40)/2 = 70°.

समाधान (हिंदी): समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं। प्रत्येक = 140/2 = 70°।

Question 7. Each base angle of an isosceles triangle is 65°. Find the vertex angle.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का प्रत्येक आधार कोण 65° है। शीर्ष कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 50°

Solution (English): Vertex angle = 180 − 65 − 65 = 50°.

समाधान (हिंदी): शीर्ष कोण = 180 − 130 = 50°।

Question 8. A triangle has sides 5 cm, 7 cm and 9 cm. Find its perimeter.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 7 सेमी और 9 सेमी हैं। परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 21 cm

Solution (English): Perimeter = 5 + 7 + 9 = 21 cm.

समाधान (हिंदी): परिमाप = तीनों भुजाओं का योग = 21 सेमी।

Question 9. The perimeter of an equilateral triangle is 36 cm. Find its side.

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution (English): Side = Perimeter/3 = 36/3 = 12 cm.

समाधान (हिंदी): भुजा = परिमाप/3 = 12 सेमी।

Question 10. The base of a triangle is 12 cm and its height is 8 cm. Find its area.

एक त्रिभुज का आधार 12 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 48 cm²

Solution (English): Area = (1/2) × 12 × 8 = 48 cm².

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई = 48 वर्ग सेमी।

Question 11. The area of a triangle is 60 cm² and its base is 15 cm. Find its height.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी और आधार 15 सेमी है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8 cm

Solution (English): Height = 2 × Area/Base = 120/15 = 8 cm.

समाधान (हिंदी): ऊँचाई = 2 × क्षेत्रफल/आधार = 8 सेमी।

Question 12. A right triangle has perpendicular sides of 6 cm and 8 cm. Find the hypotenuse.

एक समकोण त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10 cm

Solution (English): Hypotenuse² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Hypotenuse = 10 cm.

समाधान (हिंदी): पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण² = 100। इसलिए कर्ण = 10 सेमी।

Question 13. A right triangle has hypotenuse 13 cm and one leg 5 cm. Find the other leg.

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 13 सेमी और एक लंबवत भुजा 5 सेमी है। दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution (English): Other leg = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm.

समाधान (हिंदी): दूसरी भुजा = √(169 − 25) = 12 सेमी।

Question 14. Can sides of lengths 3 cm, 4 cm and 8 cm form a triangle?

क्या 3 सेमी, 4 सेमी और 8 सेमी की भुजाओं से त्रिभुज बन सकता है?

Answer / उत्तर: No / नहीं

Solution (English): The sum of the two shorter sides is 3 + 4 = 7, which is less than 8. Triangle inequality is not satisfied.

समाधान (हिंदी): दो छोटी भुजाओं का योग 7 सेमी है, जो तीसरी भुजा 8 सेमी से कम है। इसलिए त्रिभुज नहीं बनेगा।

Question 15. Find the semi-perimeter of a triangle with sides 8 cm, 10 cm and 12 cm.

8 सेमी, 10 सेमी और 12 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का अर्धपरिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 15 cm

Solution (English): Semi-perimeter = (8 + 10 + 12)/2 = 15 cm.

समाधान (हिंदी): अर्धपरिमाप = 30/2 = 15 सेमी।

Question 16. An exterior angle of a triangle is 135°. Find the adjacent interior angle.

एक त्रिभुज का बाह्य कोण 135° है। उसका आसन्न अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 45°

Solution (English): Adjacent interior and exterior angles sum to 180°. Interior angle = 180 − 135 = 45°.

समाधान (हिंदी): आसन्न अंतः और बाह्य कोणों का योग 180° होता है। अंतः कोण = 45°।

Question 17. A triangle has angles 90°, 35° and x°. Find x.

एक त्रिभुज के कोण 90°, 35° और x° हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 55°

Solution (English): x = 180 − 90 − 35 = 55°.

समाधान (हिंदी): x = 180 − 125 = 55°।

Question 18. The equal sides of an isosceles triangle are 10 cm each and the base is 12 cm. Find its perimeter.

एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 10-10 सेमी और आधार 12 सेमी है। परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 32 cm

Solution (English): Perimeter = 10 + 10 + 12 = 32 cm.

समाधान (हिंदी): परिमाप = 10 + 10 + 12 = 32 सेमी।

Question 19. A triangle has sides 7 cm, 24 cm and 25 cm. Is it right-angled?

एक त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 24 सेमी और 25 सेमी हैं। क्या यह समकोण त्रिभुज है?

Answer / उत्तर: Yes / हाँ

Solution (English): 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Therefore it is a right triangle.

समाधान (हिंदी): 7² + 24² = 25²। अतः यह समकोण त्रिभुज है।

Question 20. Find the area of a right triangle whose perpendicular sides are 9 cm and 12 cm.

एक समकोण त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ 9 सेमी और 12 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 54 cm²

Solution (English): Area = (1/2) × 9 × 12 = 54 cm².

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफल = (1/2) × 9 × 12 = 54 वर्ग सेमी।

Level 2: Triangle Angles, Sides and Properties (Questions 21–40)

स्तर 2: त्रिभुज के कोण, भुजाएँ एवं गुणधर्म

Question 21. The angles of a triangle are x°, 2x° and 3x°. Find the smallest angle.

एक त्रिभुज के कोण x°, 2x° और 3x° हैं। सबसे छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30°

Solution (English): x + 2x + 3x = 180. Therefore 6x = 180 and x = 30°.

समाधान (हिंदी): 6x = 180, इसलिए x = 30°।

Question 22. The angles of a triangle are (2x + 10)°, (3x − 5)° and (x + 25)°. Find x.

एक त्रिभुज के कोण (2x + 10)°, (3x − 5)° और (x + 25)° हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 25

Solution (English): 2x + 10 + 3x − 5 + x + 25 = 180. Thus 6x + 30 = 180, giving x = 25.

समाधान (हिंदी): 6x + 30 = 180। इसलिए x = 25।

Question 23. An exterior angle of a triangle is 140°. The two opposite interior angles are in the ratio 3:4. Find the larger angle.

एक त्रिभुज का बाह्य कोण 140° है। दो दूरस्थ अंतः कोणों का अनुपात 3:4 है। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 80°

Solution (English): Let angles be 3x and 4x. Then 7x = 140, so x = 20. Larger angle = 80°.

समाधान (हिंदी): 7x = 140, अतः x = 20। बड़ा कोण = 80°।

Question 24. The vertex angle of an isosceles triangle is twice each base angle. Find the vertex angle.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण प्रत्येक आधार कोण का दोगुना है। शीर्ष कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): Let each base angle be x. Vertex angle = 2x. Therefore 4x = 180, so x = 45 and vertex angle = 90°.

समाधान (हिंदी): आधार कोण x और शीर्ष कोण 2x मानें। 4x = 180। शीर्ष कोण = 90°।

Question 25. Two sides of a triangle are 8 cm and 13 cm. Which of the following can be the third side: 4 cm, 5 cm, 10 cm or 22 cm?

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 8 सेमी और 13 सेमी हैं। तीसरी भुजा 4, 5, 10 या 22 सेमी में से कौन-सी हो सकती है?

Answer / उत्तर: 10 cm

Solution (English): Third side x must satisfy 13 − 8 < x < 13 + 8. Thus 5 < x < 21. Only 10 cm satisfies the condition.

समाधान (हिंदी): तीसरी भुजा 5 सेमी से अधिक तथा 21 सेमी से कम होनी चाहिए। केवल 10 सेमी सही है।

Question 26. The sides of a triangle are in the ratio 3:4:5 and its perimeter is 48 cm. Find the longest side.

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 3:4:5 और परिमाप 48 सेमी है। सबसे लंबी भुजा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20 cm

Solution (English): Total parts = 12. One part = 48/12 = 4. Longest side = 5 × 4 = 20 cm.

समाधान (हिंदी): कुल भाग 12 हैं। एक भाग = 4 सेमी। सबसे लंबी भुजा = 20 सेमी।

Question 27. The area of an equilateral triangle of side 6 cm is what?

6 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है?

Answer / उत्तर: 9√3 cm²

Solution (English): Area = (√3/4) × 6² = 9√3 cm².

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफल = (√3/4) × 36 = 9√3 वर्ग सेमी।

Question 28. Find the height of an equilateral triangle of side 10 cm.

10 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 5√3 cm

Solution (English): Height = (√3/2) × 10 = 5√3 cm.

समाधान (हिंदी): ऊँचाई = (√3/2) × 10 = 5√3 सेमी।

Question 29. The area of a triangle is 96 cm² and its height is 12 cm. Find its base.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 96 वर्ग सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। आधार ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 16 cm

Solution (English): Base = 2 × 96/12 = 16 cm.

समाधान (हिंदी): आधार = 192/12 = 16 सेमी।

Question 30. The base of a triangle increases by 20% while its height remains constant. Find the percentage increase in area.

एक त्रिभुज का आधार 20% बढ़ जाता है जबकि ऊँचाई स्थिर रहती है। क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत वृद्धि होगी?

Answer / उत्तर: 20%

Solution (English): Area is directly proportional to base when height is constant. Therefore area increases by 20%.

समाधान (हिंदी): ऊँचाई स्थिर होने पर क्षेत्रफल आधार के समानुपाती होता है। अतः क्षेत्रफल 20% बढ़ेगा।

Question 31. The base of a triangle increases by 25% and its height decreases by 20%. Find the percentage change in area.

एक त्रिभुज का आधार 25% बढ़ता है और ऊँचाई 20% घटती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: No change / कोई परिवर्तन नहीं

Solution (English): New area factor = 1.25 × 0.80 = 1. Therefore the area remains unchanged.

समाधान (हिंदी): नया क्षेत्रफल गुणक = 1.25 × 0.80 = 1। अतः क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहेगा।

Question 32. A triangle has sides 13 cm, 14 cm and 15 cm. Find its area.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 84 cm²

Solution (English): Semi-perimeter s = 21. Area = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 = 84 cm².

समाधान (हिंदी): अर्धपरिमाप 21 सेमी है। हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल = √7056 = 84 वर्ग सेमी।

Question 33. Find the area of a triangle with sides 5 cm, 12 cm and 13 cm.

5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30 cm²

Solution (English): Since 5² + 12² = 13², it is right-angled. Area = (1/2) × 5 × 12 = 30 cm².

समाधान (हिंदी): यह समकोण त्रिभुज है। क्षेत्रफल = (1/2) × 5 × 12 = 30 वर्ग सेमी।

Question 34. A triangle has sides 10 cm, 10 cm and 12 cm. Find its height corresponding to the base of 12 cm.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 10, 10 और 12 सेमी हैं। 12 सेमी आधार पर ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8 cm

Solution (English): The altitude bisects the base into 6 cm each. Height = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm.

समाधान (हिंदी): ऊँचाई आधार को 6-6 सेमी में बाँटती है। ऊँचाई = √(100 − 36) = 8 सेमी।

Question 35. Find the area of an isosceles triangle with equal sides 13 cm and base 10 cm.

एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 13 सेमी और आधार 10 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60 cm²

Solution (English): Half-base = 5 cm. Height = √(169 − 25) = 12 cm. Area = (1/2) × 10 × 12 = 60 cm².

समाधान (हिंदी): आधा आधार 5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। क्षेत्रफल = 60 वर्ग सेमी।

Question 36. The area of an equilateral triangle is 16√3 cm². Find its side.

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 16√3 वर्ग सेमी है। भुजा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8 cm

Solution (English): (√3/4)a² = 16√3. Thus a² = 64 and a = 8 cm.

समाधान (हिंदी): (√3/4)a² = 16√3। इसलिए a² = 64 और a = 8 सेमी।

Question 37. An exterior angle of a triangle is 110°. The two opposite interior angles differ by 30°. Find the smaller angle.

एक त्रिभुज का बाह्य कोण 110° है। दो दूरस्थ अंतः कोणों का अंतर 30° है। छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): Let angles be x and x + 30. Then 2x + 30 = 110, giving x = 40°.

समाधान (हिंदी): कोण x और x + 30 मानें। 2x + 30 = 110। अतः x = 40°।

Question 38. The angles of a triangle are in arithmetic progression. Find the middle angle.

एक त्रिभुज के कोण समांतर श्रेणी में हैं। मध्य कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): Let angles be a − d, a and a + d. Their sum is 3a = 180, so a = 60°.

समाधान (हिंदी): कोण a − d, a और a + d हैं। 3a = 180। मध्य कोण = 60°।

Question 39. One angle of a triangle is equal to the sum of the other two angles. Find that angle.

एक त्रिभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग के बराबर है। उस कोण का मान ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): Let the angle be A. Then A = B + C. Since A + B + C = 180, 2A = 180, so A = 90°.

समाधान (हिंदी): A = B + C तथा A + B + C = 180। अतः 2A = 180 और A = 90°।

Question 40. Two sides of a triangle are 9 cm and 15 cm. If the third side is an integer and the perimeter is less than 35 cm, how many possible values can the third side have?

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 9 सेमी और 15 सेमी हैं। यदि तीसरी भुजा पूर्णांक है और परिमाप 35 सेमी से कम है, तो तीसरी भुजा के कितने संभावित मान हैं?

Answer / उत्तर: 4

Solution (English): Triangle inequality gives 6 < x < 24. Perimeter condition gives 9 + 15 + x < 35, so x < 11. Integer values are 7, 8, 9 and 10. Total = 4.

समाधान (हिंदी): त्रिभुज असमता से 6 < x < 24 तथा परिमाप से x < 11। संभावित मान 7, 8, 9, 10 हैं। कुल 4 मान।

Level 3: Medians, Centroid, Inradius and Circumradius (Questions 41–60)

स्तर 3: माध्यिका, केंद्रक, अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या

Question 41. A median of a triangle is 18 cm long. Find the distance from the centroid to the vertex along this median.

एक त्रिभुज की माध्यिका 18 सेमी है। केंद्रक से शीर्ष तक माध्यिका के अनुदिश दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution (English): The centroid divides each median in the ratio 2:1 from the vertex. Required distance = (2/3) × 18 = 12 cm.

समाधान (हिंदी): केंद्रक माध्यिका को शीर्ष से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। दूरी = 12 सेमी।

Question 42. The distance from a vertex to the centroid is 10 cm. Find the length of the corresponding median.

किसी शीर्ष से केंद्रक की दूरी 10 सेमी है। संबंधित माध्यिका की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 15 cm

Solution (English): Vertex-to-centroid distance = 2/3 of median. Median = 10 × 3/2 = 15 cm.

समाधान (हिंदी): शीर्ष से केंद्रक की दूरी माध्यिका की 2/3 होती है। माध्यिका = 15 सेमी।

Question 43. The area of a triangle is 72 cm² and its semi-perimeter is 18 cm. Find its inradius.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 72 वर्ग सेमी और अर्धपरिमाप 18 सेमी है। अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4 cm

Solution (English): Area = r × s. Therefore r = 72/18 = 4 cm.

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफल = अंतःत्रिज्या × अर्धपरिमाप। r = 72/18 = 4 सेमी।

Question 44. A right triangle has sides 6 cm, 8 cm and 10 cm. Find its circumradius.

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6, 8 और 10 सेमी हैं। परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 5 cm

Solution (English): In a right triangle, circumradius = Hypotenuse/2 = 10/2 = 5 cm.

समाधान (हिंदी): समकोण त्रिभुज में परित्रिज्या = कर्ण/2 = 5 सेमी।

Question 45. Find the inradius of a right triangle with sides 5 cm, 12 cm and 13 cm.

5, 12 और 13 सेमी भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 2 cm

Solution (English): Inradius = (5 + 12 − 13)/2 = 2 cm.

समाधान (हिंदी): अंतःत्रिज्या = (दो लंबवत भुजाओं का योग − कर्ण)/2 = 2 सेमी।

Question 46. The side of an equilateral triangle is 12 cm. Find its inradius.

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 2√3 cm

Solution (English): Inradius = a√3/6 = 12√3/6 = 2√3 cm.

समाधान (हिंदी): अंतःत्रिज्या = a√3/6 = 2√3 सेमी।

Question 47. The side of an equilateral triangle is 12 cm. Find its circumradius.

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4√3 cm

Solution (English): Circumradius = a√3/3 = 12√3/3 = 4√3 cm.

समाधान (हिंदी): परित्रिज्या = a√3/3 = 4√3 सेमी।

Question 48. The circumradius of an equilateral triangle is 6 cm. Find its inradius.

एक समबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या 6 सेमी है। अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 3 cm

Solution (English): For an equilateral triangle, circumradius = 2 × inradius. Hence r = 6/2 = 3 cm.

समाधान (हिंदी): समबाहु त्रिभुज में R = 2r। इसलिए r = 3 सेमी।

Question 49. The median to the hypotenuse of a right triangle is 8 cm. Find the hypotenuse.

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर खींची गई माध्यिका 8 सेमी है। कर्ण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 16 cm

Solution (English): The median to the hypotenuse equals half the hypotenuse. Hence hypotenuse = 2 × 8 = 16 cm.

समाधान (हिंदी): समकोण त्रिभुज में कर्ण की माध्यिका कर्ण की आधी होती है। कर्ण = 16 सेमी।

Question 50. A triangle has sides 13 cm, 14 cm and 15 cm. Find its inradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी हैं। अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4 cm

Solution (English): Area = 84 cm² and semi-perimeter = 21 cm. Inradius = 84/21 = 4 cm.

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफल 84 वर्ग सेमी तथा अर्धपरिमाप 21 सेमी है। अंतःत्रिज्या = 4 सेमी।

Question 51. A triangle has sides 13 cm, 14 cm and 15 cm. Find its circumradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी हैं। परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 65/8 cm

Solution (English): Area = 84 cm². R = abc/(4A) = (13 × 14 × 15)/(4 × 84) = 65/8 cm.

समाधान (हिंदी): R = abc/(4 × क्षेत्रफल) = 2730/336 = 65/8 सेमी।

Question 52. In triangle ABC, AD is a median and area of triangle ABD is 30 cm². Find the area of triangle ABC.

त्रिभुज ABC में AD एक माध्यिका है तथा त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60 cm²

Solution (English): A median divides a triangle into two equal-area triangles. Total area = 2 × 30 = 60 cm².

समाधान (हिंदी): माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले भागों में बाँटती है। कुल क्षेत्रफल = 60 वर्ग सेमी।

Question 53. Three medians divide a triangle into six smaller triangles. If the original triangle has area 120 cm², find the area of each smaller triangle.

तीन माध्यिकाएँ एक त्रिभुज को छह छोटे त्रिभुजों में बाँटती हैं। मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल 120 वर्ग सेमी है। प्रत्येक छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20 cm²

Solution (English): Three medians divide the triangle into six equal-area triangles. Each area = 120/6 = 20 cm².

समाधान (हिंदी): तीन माध्यिकाएँ त्रिभुज को छह बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करती हैं। प्रत्येक = 20 वर्ग सेमी।

Question 54. In triangle ABC, AD bisects angle A and meets BC at D. If AB = 12 cm, AC = 18 cm and BD = 8 cm, find DC.

त्रिभुज ABC में AD, कोण A का समद्विभाजक है तथा BC को D पर काटता है। यदि AB = 12 सेमी, AC = 18 सेमी और BD = 8 सेमी है, तो DC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution (English): By angle bisector theorem, BD/DC = AB/AC = 12/18 = 2/3. Thus 8/DC = 2/3 and DC = 12 cm.

समाधान (हिंदी): कोण समद्विभाजक प्रमेय से BD/DC = 12/18। इसलिए DC = 12 सेमी।

Question 55. In triangle ABC, AD bisects angle A. If AB:AC = 3:5 and BC = 24 cm, find BD.

त्रिभुज ABC में AD, कोण A को समद्विभाजित करता है। यदि AB:AC = 3:5 तथा BC = 24 सेमी है, तो BD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9 cm

Solution (English): BD:DC = 3:5. Total parts = 8. BD = 24 × 3/8 = 9 cm.

समाधान (हिंदी): BD:DC = 3:5। इसलिए BD = 24 × 3/8 = 9 सेमी।

Question 56. The median from vertex A of a triangle has length 15 cm. Find the distance between the centroid and the midpoint of BC.

एक त्रिभुज में शीर्ष A से खींची गई माध्यिका 15 सेमी है। केंद्रक और BC के मध्यबिंदु के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 5 cm

Solution (English): The centroid divides a median in a 2:1 ratio. Distance from centroid to midpoint = 15/3 = 5 cm.

समाधान (हिंदी): केंद्रक माध्यिका को 2:1 में बाँटता है। केंद्रक से मध्यबिंदु की दूरी = 5 सेमी।

Question 57. A right triangle has legs 9 cm and 12 cm. Find the distance from its right-angle vertex to the circumcenter.

एक समकोण त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ 9 और 12 सेमी हैं। समकोण शीर्ष से परिकेंद्र की दूरी ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 7.5 cm

Solution (English): Hypotenuse = √(9² + 12²) = 15 cm. The circumcenter is the midpoint of the hypotenuse, so the distance from every vertex to it is 15/2 = 7.5 cm.

समाधान (हिंदी): कर्ण = 15 सेमी। परिकेंद्र कर्ण का मध्यबिंदु होता है। दूरी = 7.5 सेमी।

Question 58. The inradius of a triangle is 5 cm and its perimeter is 60 cm. Find its area.

एक त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 5 सेमी और परिमाप 60 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 150 cm²

Solution (English): Semi-perimeter = 30 cm. Area = r × s = 5 × 30 = 150 cm².

समाधान (हिंदी): अर्धपरिमाप = 30 सेमी। क्षेत्रफल = 5 × 30 = 150 वर्ग सेमी।

Question 59. In an equilateral triangle, the distance from the centroid to a vertex is 8 cm. Find the altitude.

एक समबाहु त्रिभुज में केंद्रक से शीर्ष की दूरी 8 सेमी है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution (English): Centroid-to-vertex distance = 2/3 of altitude. Therefore altitude = 8 × 3/2 = 12 cm.

समाधान (हिंदी): केंद्रक से शीर्ष की दूरी ऊँचाई की 2/3 होती है। ऊँचाई = 12 सेमी।

Question 60. In a triangle with sides 10 cm, 14 cm and 16 cm, find the length of the median to the side of 16 cm.

10, 14 और 16 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज में 16 सेमी वाली भुजा पर खींची गई माध्यिका की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: √106 cm

Solution (English): Median = (1/2)√[2(10²) + 2(14²) − 16²] = (1/2)√336 = 2√21 cm.

समाधान (हिंदी): माध्यिका = (1/2)√(200 + 392 − 256) = (1/2)√336 = 2√21 सेमी।

Correct Answer / सही उत्तर: 2√21 cm

Level 4: Similarity, Congruence and Advanced Applications (Questions 61–80)

स्तर 4: समरूपता, सर्वांगसमता और उन्नत अनुप्रयोग

Question 61. Two similar triangles have corresponding sides in the ratio 2:3. Find the ratio of their areas.

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 2:3 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4:9

Solution (English): Ratio of areas = Square of ratio of corresponding sides = 2²:3² = 4:9.

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफलों का अनुपात = भुजाओं के अनुपात का वर्ग = 4:9।

Question 62. Two similar triangles have areas 64 cm² and 144 cm². Find the ratio of corresponding sides.

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल 64 और 144 वर्ग सेमी हैं। संगत भुजाओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 2:3

Solution (English): Side ratio = √64:√144 = 8:12 = 2:3.

समाधान (हिंदी): भुजाओं का अनुपात = √64:√144 = 2:3।

Question 63. Two similar triangles have perimeters 30 cm and 45 cm. If a side of the smaller triangle is 8 cm, find its corresponding side in the larger triangle.

दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप 30 और 45 सेमी हैं। छोटे त्रिभुज की एक भुजा 8 सेमी है। बड़े त्रिभुज की संगत भुजा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution (English): Scale factor = 45/30 = 3/2. Required side = 8 × 3/2 = 12 cm.

समाधान (हिंदी): भुजाओं का अनुपात परिमापों के अनुपात के बराबर है। संगत भुजा = 12 सेमी।

Question 64. The corresponding heights of two similar triangles are 6 cm and 15 cm. Find the ratio of their areas.

दो समरूप त्रिभुजों की संगत ऊँचाइयाँ 6 और 15 सेमी हैं। क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4:25

Solution (English): Height ratio = 6:15 = 2:5. Area ratio = 2²:5² = 4:25.

समाधान (हिंदी): ऊँचाइयों का अनुपात 2:5 है। क्षेत्रफलों का अनुपात 4:25 होगा।

Question 65. In triangle ABC, DE is parallel to BC, where D lies on AB and E lies on AC. If AD = 4 cm, DB = 6 cm and AE = 5 cm, find EC.

त्रिभुज ABC में DE, BC के समांतर है। D, AB पर तथा E, AC पर स्थित हैं। यदि AD = 4 सेमी, DB = 6 सेमी और AE = 5 सेमी है, तो EC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 7.5 cm

Solution (English): By basic proportionality theorem, AD/DB = AE/EC. Thus 4/6 = 5/EC. Therefore EC = 7.5 cm.

समाधान (हिंदी): मूल समानुपातिकता प्रमेय से 4/6 = 5/EC। अतः EC = 7.5 सेमी।

Question 66. In triangle ABC, DE is parallel to BC. If AD:AB = 2:5 and area of triangle ABC is 125 cm², find the area of triangle ADE.

त्रिभुज ABC में DE, BC के समांतर है। यदि AD:AB = 2:5 तथा त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 125 वर्ग सेमी है, तो ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20 cm²

Solution (English): Area ratio = (AD/AB)² = (2/5)² = 4/25. Area of ADE = 125 × 4/25 = 20 cm².

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफलों का अनुपात 4:25 है। ADE का क्षेत्रफल = 20 वर्ग सेमी।

Question 67. Two similar triangles have areas in the ratio 9:16. If the smaller triangle has perimeter 27 cm, find the perimeter of the larger triangle.

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 9:16 है। छोटे त्रिभुज का परिमाप 27 सेमी है। बड़े का परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 36 cm

Solution (English): Side ratio = 3:4. Larger perimeter = 27 × 4/3 = 36 cm.

समाधान (हिंदी): भुजाओं का अनुपात 3:4 है। बड़ा परिमाप = 36 सेमी।

Question 68. A line parallel to the base of a triangle divides its other two sides in the ratio 2:3 from the vertex. Find the ratio of the area of the smaller triangle to the whole triangle.

एक त्रिभुज के आधार के समांतर रेखा अन्य दो भुजाओं को शीर्ष से 2:3 के अनुपात में विभाजित करती है। छोटे त्रिभुज और पूरे त्रिभुज के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 4:25

Solution (English): The smaller-to-whole side ratio = 2:(2 + 3) = 2:5. Area ratio = 4:25.

समाधान (हिंदी): छोटे और बड़े त्रिभुज की संगत भुजाओं का अनुपात 2:5 है। क्षेत्रफल अनुपात = 4:25।

Question 69. The sides of two similar triangles are in the ratio 5:7. If the difference of their areas is 96 cm², find the area of the smaller triangle.

दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 5:7 है। उनके क्षेत्रफलों का अंतर 96 वर्ग सेमी है। छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100 cm²

Solution (English): Area ratio = 25:49. Difference = 24 parts = 96, so one part = 4. Smaller area = 25 × 4 = 100 cm².

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफलों का अनुपात 25:49 है। 24 भाग = 96। छोटा क्षेत्रफल = 100 वर्ग सेमी।

Question 70. A triangle has sides 7 cm, 8 cm and 9 cm. Find its area using Heron's formula.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 7, 8 और 9 सेमी हैं। हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12√5 cm²

Solution (English): s = (7 + 8 + 9)/2 = 12. Area = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 = 12√5 cm².

समाधान (हिंदी): अर्धपरिमाप = 12। क्षेत्रफल = √720 = 12√5 वर्ग सेमी।

Question 71. Two similar triangles have area ratio 16:81. If the larger triangle has an altitude of 27 cm, find the corresponding altitude of the smaller triangle.

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 16:81 है। बड़े त्रिभुज की ऊँचाई 27 सेमी है। छोटे की संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12 cm

Solution (English): Linear ratio = 4:9. Smaller altitude = 27 × 4/9 = 12 cm.

समाधान (हिंदी): संगत ऊँचाइयों का अनुपात 4:9 है। छोटी ऊँचाई = 12 सेमी।

Question 72. In triangle ABC, D and E are the midpoints of AB and AC respectively. If BC = 18 cm, find DE.

त्रिभुज ABC में D और E क्रमशः AB और AC के मध्यबिंदु हैं। यदि BC = 18 सेमी है, तो DE ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9 cm

Solution (English): By midpoint theorem, DE is parallel to BC and DE = BC/2 = 9 cm.

समाधान (हिंदी): मध्यबिंदु प्रमेय से DE = BC/2 = 9 सेमी।

Question 73. In triangle ABC, D and E are the midpoints of AB and AC. If area of triangle ABC is 80 cm², find area of triangle ADE.

त्रिभुज ABC में D और E क्रमशः AB तथा AC के मध्यबिंदु हैं। यदि ABC का क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी है, तो ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20 cm²

Solution (English): Similarity ratio = 1:2. Area ratio = 1:4. Area ADE = 80/4 = 20 cm².

समाधान (हिंदी): भुजाओं का अनुपात 1:2 तथा क्षेत्रफलों का अनुपात 1:4 है। ADE = 20 वर्ग सेमी।

Question 74. Two triangles have equal heights and their bases are in the ratio 7:11. Find the ratio of their areas.

दो त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ बराबर हैं और आधारों का अनुपात 7:11 है। क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 7:11

Solution (English): With equal heights, areas are directly proportional to bases. Ratio = 7:11.

समाधान (हिंदी): ऊँचाइयाँ बराबर होने पर क्षेत्रफल आधारों के समानुपाती होते हैं। अनुपात = 7:11।

Question 75. Two triangles have equal bases and heights in the ratio 3:8. Find the ratio of their areas.

दो त्रिभुजों के आधार बराबर हैं और ऊँचाइयों का अनुपात 3:8 है। क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 3:8

Solution (English): With equal bases, area ratio equals height ratio = 3:8.

समाधान (हिंदी): आधार बराबर होने पर क्षेत्रफल ऊँचाइयों के समानुपाती होते हैं। अनुपात = 3:8।

Question 76. A triangle has area 180 cm². A line parallel to its base cuts off a smaller similar triangle whose corresponding sides are 1/3 of the original. Find the area of the remaining trapezium.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 180 वर्ग सेमी है। आधार के समांतर रेखा एक छोटा समरूप त्रिभुज काटती है जिसकी संगत भुजाएँ मूल की 1/3 हैं। शेष समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 160 cm²

Solution (English): Smaller area = (1/3)² × 180 = 20 cm². Remaining area = 180 − 20 = 160 cm².

समाधान (हिंदी): छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 20 वर्ग सेमी। शेष क्षेत्रफल = 160 वर्ग सेमी।

Question 77. The ratio of corresponding sides of two similar triangles is 3:5. If their total area is 136 cm², find the area of the larger triangle.

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 3:5 है। उनके क्षेत्रफलों का योग 136 वर्ग सेमी है। बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100 cm²

Solution (English): Area ratio = 9:25. Total parts = 34. One part = 136/34 = 4. Larger area = 25 × 4 = 100 cm².

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफल अनुपात 9:25 है। एक भाग = 4। बड़ा क्षेत्रफल = 100 वर्ग सेमी।

Question 78. A right triangle has hypotenuse 25 cm and one leg 7 cm. Find its area.

एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 25 सेमी और एक लंबवत भुजा 7 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 84 cm²

Solution (English): Other leg = √(25² − 7²) = √576 = 24 cm. Area = (1/2) × 7 × 24 = 84 cm².

समाधान (हिंदी): दूसरी भुजा = 24 सेमी। क्षेत्रफल = 84 वर्ग सेमी।

Question 79. The perimeter of an equilateral triangle increases by 30%. Find the percentage increase in its area.

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 30% बढ़ जाता है। उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत वृद्धि होगी?

Answer / उत्तर: 69%

Solution (English): Side increases by 30%. Area factor = 1.3² = 1.69. Percentage increase = 69%.

समाधान (हिंदी): भुजा 30% बढ़ेगी। क्षेत्रफल गुणक = 1.69। वृद्धि = 69%।

Question 80. Two similar triangles have perimeters in the ratio 4:9. The area of the smaller triangle is 64 cm². Find the area of the larger triangle.

दो समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात 4:9 है। छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी है। बड़े का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 324 cm²

Solution (English): Area ratio = 16:81. Larger area = 64 × 81/16 = 324 cm².

समाधान (हिंदी): क्षेत्रफलों का अनुपात 16:81 है। बड़ा क्षेत्रफल = 324 वर्ग सेमी।

Level 5: Toughest Triangle Questions (Questions 81–100)

स्तर 5: अत्यंत कठिन त्रिभुज प्रश्न

Question 81. A triangle has sides 15 cm, 20 cm and 25 cm. Find the sum of its inradius and circumradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 15, 20 और 25 सेमी हैं। उसकी अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 17.5 cm

Solution (English): The triangle is right-angled. Inradius = (15 + 20 − 25)/2 = 5 cm. Circumradius = 25/2 = 12.5 cm. Sum = 17.5 cm.

समाधान (हिंदी): यह समकोण त्रिभुज है। अंतःत्रिज्या = 5 सेमी तथा परित्रिज्या = 12.5 सेमी। योग = 17.5 सेमी।

Question 82. The area of a triangle with sides 10 cm, 17 cm and 21 cm is to be calculated. Find the area.

10, 17 और 21 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 84 cm²

Solution (English): s = (10 + 17 + 21)/2 = 24. Area = √(24 × 14 × 7 × 3) = √7056 = 84 cm².

समाधान (हिंदी): अर्धपरिमाप = 24। हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल = √7056 = 84 वर्ग सेमी।

Question 83. An isosceles triangle has perimeter 36 cm and base 10 cm. Find its area.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी और आधार 10 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30 cm²

Solution (English): Each equal side = (36 − 10)/2 = 13 cm. Height = √(13² − 5²) = 12 cm. Area = (1/2) × 10 × 12 = 60 cm².

समाधान (हिंदी): बराबर भुजाएँ 13 सेमी हैं। ऊँचाई = 12 सेमी। क्षेत्रफल = 60 वर्ग सेमी।

Correct Answer / सही उत्तर: 60 cm²

Question 84. A triangle has sides 9 cm, 10 cm and 17 cm. Find its inradius.

एक त्रिभुज की भुजाएँ 9, 10 और 17 सेमी हैं। अंतःत्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 2 cm

Solution (English): s = 18. Area = √(18 × 9 × 8 × 1) = √1296 = 36 cm². Inradius = Area/s = 36/18 = 2 cm.

समाधान (हिंदी): अर्धपरिमाप 18 तथा क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी है। अंतःत्रिज्या = 2 सेमी।

Question 85. The circumradius of a right triangle is 13 cm and one leg is 10 cm. Find its area.

एक समकोण त्रिभुज की परित्रिज्या 13 सेमी और एक लंबवत भुजा 10 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 120 cm²

Solution (English): Hypotenuse = 2R = 26 cm. Other leg = √(26² − 10²) = 24 cm. Area = (1/2) × 10 × 24 = 120 cm².

समाधान (हिंदी): कर्ण = 26 सेमी। दूसरी भुजा = 24 सेमी। क्षेत्रफल = 120 वर्ग सेमी।

Question 86. In triangle ABC, AD is an angle bisector. AB = 15 cm, AC = 20 cm and BC = 21 cm. Find BD.

त्रिभुज ABC में AD कोण समद्विभाजक है। AB = 15 सेमी, AC = 20 सेमी और BC = 21 सेमी है। BD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9 cm

Solution (English): BD:DC = AB:AC = 15:20 = 3:4. Since BC = 21, BD = 21 × 3/7 = 9 cm.

समाधान (हिंदी): BD:DC = 3:4। इसलिए BD = 21 × 3/7 = 9 सेमी।

Question 87. The lengths of two sides of a triangle are 12 cm and 18 cm. If its perimeter is a positive integer less than 50 cm, find the maximum possible integer length of the third side.

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 और 18 सेमी हैं। यदि उसका परिमाप 50 सेमी से कम पूर्णांक है, तो तीसरी भुजा की अधिकतम संभव पूर्णांक लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 19 cm

Solution (English): Triangle inequality gives 6 < x < 30. Perimeter condition gives 30 + x < 50, so x < 20. Maximum integer x = 19 cm.

समाधान (हिंदी): त्रिभुज असमता से 6 < x < 30। परिमाप से x < 20। अधिकतम पूर्णांक = 19 सेमी।

Question 88. The sides of a triangle are consecutive positive integers and its perimeter is 42 cm. Find its area.

एक त्रिभुज की भुजाएँ क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं और परिमाप 42 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 21√15 cm²

Solution (English): Let sides be x − 1, x and x + 1. Then 3x = 42, so sides are 13, 14 and 15. s = 21. Area = √(21 × 8 × 7 × 6) = 84 cm².

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी हैं। अर्धपरिमाप 21 है। क्षेत्रफल = 84 वर्ग सेमी।

Correct Answer / सही उत्तर: 84 cm²

Question 89. The area of a right triangle is 150 cm² and one perpendicular side is 15 cm. Find its circumradius.

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी और एक लंबवत भुजा 15 सेमी है। परित्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12.5 cm

Solution (English): Other leg = 2 × 150/15 = 20 cm. Hypotenuse = √(15² + 20²) = 25 cm. Circumradius = 25/2 = 12.5 cm.