Geometry Topic 3: Quadrilaterals – 100 Property-Based Questions with Solutions

ज्यामिति अध्याय 3: चतुर्भुज के 100 महत्वपूर्ण गुणधर्म आधारित प्रश्न

Vitorr Classes | SSC CGL, CHSL, RRB NTPC, Railway, WBPSC and Other Competitive Exams

This chapter focuses on pure geometry, theorems, angle relationships, diagonals, parallelism, cyclic quadrilaterals, symmetry, midpoint theorem and logical deductions, rather than routine area and perimeter calculations.

इस अध्याय में क्षेत्रफल और परिमाप के सामान्य प्रश्नों के स्थान पर चतुर्भुज के ज्यामितीय गुणधर्म, प्रमेय, कोणों के संबंध, विकर्ण, समांतरता, चक्रीय चतुर्भुज, सममिति तथा तार्किक निष्कर्षों पर आधारित प्रश्न दिए गए हैं।

Difficulty progression: Basic (1–20), Moderate (21–40), Advanced (41–60), Difficult (61–80), and Toughest (81–100).

All questions are in copy-friendly plain text with bilingual answers and solutions.

Important Geometry Properties / महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुणधर्म

1. Sum of interior angles of a quadrilateral = 360°.
चतुर्भुज के चारों आंतरिक कोणों का योग = 360°।

2. Sum of exterior angles, one at each vertex taken in the same direction = 360°.
प्रत्येक शीर्ष पर एक ही दिशा में लिए गए बाह्य कोणों का योग = 360°।

3. Opposite sides of a parallelogram are equal and parallel.
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं।

4. Opposite angles of a parallelogram are equal.
समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

5. Adjacent angles of a parallelogram are supplementary.
समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं।

6. Diagonals of a parallelogram bisect each other.
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

7. Diagonals of a rectangle are equal and bisect each other.
आयत के विकर्ण बराबर होते हैं तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

8. Diagonals of a rhombus are perpendicular bisectors of each other and bisect the vertex angles.
समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब समद्विभाजक होते हैं तथा शीर्ष कोणों को समद्विभाजित करते हैं।

9. Diagonals of a square are equal, perpendicular and bisect the vertex angles.
वर्ग के विकर्ण बराबर, परस्पर लंब तथा शीर्ष कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

10. Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

11. An exterior angle of a cyclic quadrilateral equals the opposite interior angle.
चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोण के बराबर होता है।

12. The line joining the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side.
त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।

13. The quadrilateral formed by joining the midpoints of the sides of any quadrilateral is a parallelogram (Varignon's theorem).
किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने से समांतर चतुर्भुज बनता है।

14. A parallelogram inscribed in a circle is a rectangle.
वृत्त में अंतर्लिखित समांतर चतुर्भुज आयत होता है।

15. A cyclic rhombus is necessarily a square.
चक्रीय समचतुर्भुज अनिवार्य रूप से वर्ग होता है।

Level 1: Fundamental Properties (Questions 1–20)

स्तर 1: मूलभूत गुणधर्म

Question 1. What is the sum of the four interior angles of a quadrilateral?

एक चतुर्भुज के चारों आंतरिक कोणों का योग कितना होता है?

Answer / उत्तर: 360°

Solution (English): A quadrilateral can be divided into two triangles by drawing a diagonal. Each triangle has an angle sum of 180°. Therefore total = 180° + 180° = 360°.

समाधान (हिंदी): एक विकर्ण खींचने पर चतुर्भुज दो त्रिभुजों में विभाजित होता है। दोनों के कोणों का योग 180° + 180° = 360° होगा।

Question 2. Three angles of a quadrilateral are 70°, 90° and 110°. Find the fourth angle.

एक चतुर्भुज के तीन कोण 70°, 90° और 110° हैं। चौथा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): Fourth angle = 360 − (70 + 90 + 110) = 90°.

समाधान (हिंदी): चौथा कोण = 360 − 270 = 90°।

Question 3. What is the sum of the exterior angles of a convex quadrilateral, taking one exterior angle at each vertex?

एक उत्तल चतुर्भुज के प्रत्येक शीर्ष पर एक बाह्य कोण लेने पर उनका योग कितना होगा?

Answer / उत्तर: 360°

Solution (English): The sum of one set of exterior angles of any convex polygon is 360°.

समाधान (हिंदी): किसी भी उत्तल बहुभुज के एक-एक बाह्य कोण का योग 360° होता है।

Question 4. In parallelogram ABCD, angle A = 65°. Find angle C.

समांतर चतुर्भुज ABCD में कोण A = 65° है। कोण C ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 65°

Solution (English): Opposite angles of a parallelogram are equal. Therefore angle C = angle A = 65°.

समाधान (हिंदी): समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। अतः कोण C = 65°।

Question 5. In parallelogram ABCD, angle A = 120°. Find angle B.

समांतर चतुर्भुज ABCD में कोण A = 120° है। कोण B ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): Adjacent angles are supplementary. Angle B = 180 − 120 = 60°.

समाधान (हिंदी): आसन्न कोणों का योग 180° होता है। कोण B = 60°।

Question 6. What is the measure of each interior angle of a rectangle?

एक आयत का प्रत्येक आंतरिक कोण कितना होता है?

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): A rectangle is a quadrilateral with four right angles.

समाधान (हिंदी): आयत के चारों कोण समकोण होते हैं। प्रत्येक का माप 90° है।

Question 7. Are the diagonals of every rectangle equal?

क्या प्रत्येक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं?

Answer / उत्तर: Yes / हाँ

Solution (English): Equal diagonals are a fundamental property of rectangles. They also bisect each other.

समाधान (हिंदी): आयत के दोनों विकर्ण बराबर होते हैं तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

Question 8. Are the diagonals of every rhombus perpendicular?

क्या प्रत्येक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं?

Answer / उत्तर: Yes / हाँ

Solution (English): The diagonals of a rhombus intersect at right angles and bisect each other.

समाधान (हिंदी): समचतुर्भुज के विकर्ण 90° पर प्रतिच्छेद करते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

Question 9. Do the diagonals of every parallelogram bisect each other?

क्या प्रत्येक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं?

Answer / उत्तर: Yes / हाँ

Solution (English): If diagonals AC and BD intersect at O, then AO = OC and BO = OD.

समाधान (हिंदी): यदि विकर्ण O पर मिलते हैं, तो AO = OC तथा BO = OD होगा।

Question 10. In a square ABCD, diagonal AC bisects angle A. Find angle BAC.

वर्ग ABCD में विकर्ण AC, कोण A को समद्विभाजित करता है। कोण BAC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 45°

Solution (English): Each angle of a square is 90°. Its diagonal divides the angle into two equal angles of 45°.

समाधान (हिंदी): वर्ग का प्रत्येक कोण 90° है। विकर्ण उसे दो 45° के कोणों में बाँटता है।

Question 11. In a rhombus, one interior angle is 80°. Find the opposite angle.

एक समचतुर्भुज का एक आंतरिक कोण 80° है। सम्मुख कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 80°

Solution (English): A rhombus is a parallelogram, so opposite angles are equal.

समाधान (हिंदी): समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इसलिए उत्तर 80° है।

Question 12. One angle of a parallelogram is 75°. Find its adjacent angle.

एक समांतर चतुर्भुज का एक कोण 75° है। आसन्न कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 105°

Solution (English): Adjacent angle = 180 − 75 = 105°.

समाधान (हिंदी): आसन्न कोण = 180 − 75 = 105°।

Question 13. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 110°. Find angle C.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 110° है। कोण C ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°. Angle C = 180 − 110 = 70°.

समाधान (हिंदी): चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं। कोण C = 70°।

Question 14. In cyclic quadrilateral ABCD, angle B = 95°. Find angle D.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण B = 95° है। कोण D ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 85°

Solution (English): Angle D = 180 − 95 = 85°.

समाधान (हिंदी): कोण D = 180 − 95 = 85°।

Question 15. What type of quadrilateral is formed by joining the midpoints of the sides of any quadrilateral in order?

किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को क्रम से मिलाने पर कौन-सी आकृति बनती है?

Answer / उत्तर: Parallelogram / समांतर चतुर्भुज

Solution (English): By Varignon's theorem, joining the consecutive side midpoints of any quadrilateral produces a parallelogram.

समाधान (हिंदी): वैरिन्योन प्रमेय के अनुसार किसी भी चतुर्भुज के मध्यबिंदुओं को क्रम से मिलाने पर समांतर चतुर्भुज बनता है।

Question 16. In a parallelogram, two adjacent sides are 8 cm and 12 cm. Find the lengths of the other two sides.

एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ 8 सेमी और 12 सेमी हैं। अन्य दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8 cm and 12 cm

Solution (English): Opposite sides of a parallelogram are equal.

समाधान (हिंदी): समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

Question 17. A quadrilateral has three right angles. Find the fourth angle.

एक चतुर्भुज के तीन कोण समकोण हैं। चौथा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): Fourth angle = 360 − 3 × 90 = 90°.

समाधान (हिंदी): चौथा कोण = 360 − 270 = 90°।

Question 18. A parallelogram has one right angle. What type of parallelogram must it be?

एक समांतर चतुर्भुज का एक कोण समकोण है। वह अनिवार्य रूप से किस प्रकार का समांतर चतुर्भुज होगा?

Answer / उत्तर: Rectangle / आयत

Solution (English): If one angle of a parallelogram is 90°, all four angles become 90°. Therefore it is a rectangle, possibly a square.

समाधान (हिंदी): समांतर चतुर्भुज का एक कोण 90° होने पर चारों कोण 90° होंगे। अतः वह आयत होगा, जो वर्ग भी हो सकता है।

Question 19. A rhombus has one right angle. What special quadrilateral must it be?

एक समचतुर्भुज का एक कोण 90° है। वह कौन-सा विशेष चतुर्भुज होगा?

Answer / उत्तर: Square / वर्ग

Solution (English): A rhombus has all sides equal. If one angle is 90°, all angles are right angles. Therefore it is a square.

समाधान (हिंदी): समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। एक कोण 90° होने पर चारों कोण समकोण होंगे। अतः वह वर्ग है।

Question 20. A rectangle has all four sides equal. What does it become?

एक आयत की चारों भुजाएँ बराबर हों, तो वह क्या बन जाता है?

Answer / उत्तर: Square / वर्ग

Solution (English): A rectangle already has four right angles. With all four sides equal, it satisfies the definition of a square.

समाधान (हिंदी): आयत के चारों कोण 90° होते हैं। सभी भुजाएँ बराबर होने पर वह वर्ग बन जाता है।

Level 2: Angle Relations and Diagonal Properties (Questions 21–40)

स्तर 2: कोणों के संबंध और विकर्णों के गुणधर्म

Question 21. In parallelogram ABCD, angle A = (3x + 10)° and angle B = (2x + 20)°. Find x.

समांतर चतुर्भुज ABCD में कोण A = (3x + 10)° और कोण B = (2x + 20)° है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30

Solution (English): Adjacent angles are supplementary. 3x + 10 + 2x + 20 = 180. Thus 5x = 150 and x = 30.

समाधान (हिंदी): आसन्न कोणों का योग 180° है। 5x + 30 = 180। अतः x = 30।

Question 22. In parallelogram ABCD, angle A = (4x − 15)° and angle C = (2x + 35)°. Find x.

समांतर चतुर्भुज ABCD में कोण A = (4x − 15)° और कोण C = (2x + 35)° है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 25

Solution (English): Opposite angles are equal. 4x − 15 = 2x + 35. Hence x = 25.

समाधान (हिंदी): सम्मुख कोण बराबर होते हैं। 2x = 50, अतः x = 25।

Question 23. In rhombus ABCD, angle A = 120°. Find angle BAC, where AC is a diagonal.

समचतुर्भुज ABCD में कोण A = 120° है। यदि AC विकर्ण है, तो कोण BAC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): A diagonal of a rhombus bisects the vertex angle. Angle BAC = 120/2 = 60°.

समाधान (हिंदी): समचतुर्भुज का विकर्ण शीर्ष कोण को समद्विभाजित करता है। कोण BAC = 60°।

Question 24. In rhombus ABCD, angle B = 70°. Find angle ABD, where BD is a diagonal.

समचतुर्भुज ABCD में कोण B = 70° है। यदि BD विकर्ण है, तो कोण ABD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 35°

Solution (English): Diagonal BD bisects angle B. Therefore angle ABD = 70/2 = 35°.

समाधान (हिंदी): विकर्ण BD, कोण B को दो बराबर भागों में बाँटता है। उत्तर = 35°।

Question 25. Diagonals AC and BD of parallelogram ABCD intersect at O. If AO = 7 cm, find OC.

समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर मिलते हैं। यदि AO = 7 सेमी है, तो OC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 7 cm

Solution (English): Diagonals of a parallelogram bisect each other. Thus AO = OC = 7 cm.

समाधान (हिंदी): विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। OC = 7 सेमी।

Question 26. In a rectangle, diagonals AC and BD intersect at O. If AC = 18 cm, find BO.

एक आयत के विकर्ण AC और BD, O पर मिलते हैं। यदि AC = 18 सेमी है, तो BO ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9 cm

Solution (English): Rectangle diagonals are equal and bisect each other. BD = 18 cm, so BO = 9 cm.

समाधान (हिंदी): आयत के विकर्ण बराबर होते हैं तथा एक-दूसरे को आधा करते हैं। BO = 9 सेमी।

Question 27. In a square ABCD, diagonals AC and BD intersect at O. Find angle AOB.

वर्ग ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं। कोण AOB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): Diagonals of a square are perpendicular. Therefore angle AOB = 90°.

समाधान (हिंदी): वर्ग के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं। इसलिए कोण AOB = 90°।

Question 28. In a rhombus, diagonals intersect at O. If angle AOB is formed by the two diagonals, find its measure.

एक समचतुर्भुज में विकर्ण O पर मिलते हैं। दोनों विकर्णों से बना कोण AOB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): The diagonals of a rhombus intersect at right angles.

समाधान (हिंदी): समचतुर्भुज के विकर्ण 90° पर मिलते हैं।

Question 29. In parallelogram ABCD, angle A = 2 × angle B. Find angle A.

समांतर चतुर्भुज ABCD में कोण A, कोण B का दोगुना है। कोण A ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 120°

Solution (English): Let angle B = x. Then angle A = 2x. Since A + B = 180, 3x = 180, so A = 120°.

समाधान (हिंदी): कोण B = x और A = 2x। 3x = 180। अतः A = 120°।

Question 30. Two adjacent angles of a parallelogram differ by 40°. Find the larger angle.

एक समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अंतर 40° है। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 110°

Solution (English): Let larger angle = x and smaller = y. x + y = 180 and x − y = 40. Adding gives 2x = 220, so x = 110°.

समाधान (हिंदी): दोनों कोणों का योग 180° तथा अंतर 40° है। बड़ा कोण = 110°।

Question 31. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = (3x + 20)° and angle C = (2x + 10)°. Find x.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = (3x + 20)° और कोण C = (2x + 10)° है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30

Solution (English): Opposite angles are supplementary. 3x + 20 + 2x + 10 = 180. Thus 5x = 150 and x = 30.

समाधान (हिंदी): सम्मुख कोणों का योग 180° है। 5x + 30 = 180। x = 30।

Question 32. In cyclic quadrilateral ABCD, angle B = 115°. Side AB is extended beyond B to E. Find exterior angle CBE.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण B = 115° है। AB को B से आगे E तक बढ़ाया जाता है। बाह्य कोण CBE ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 65°

Solution (English): The interior angle ABC and exterior angle CBE form a linear pair. Therefore CBE = 180 − 115 = 65°.

समाधान (हिंदी): अंतः कोण ABC और बाह्य कोण CBE का योग 180° है। इसलिए CBE = 65°।

Question 33. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 78°. Find the exterior angle at C formed by extending BC beyond C.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 78° है। BC को C से आगे बढ़ाने पर C पर बना बाह्य कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 78°

Solution (English): The exterior angle at C equals the opposite interior angle A in a cyclic quadrilateral.

समाधान (हिंदी): चक्रीय चतुर्भुज में बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोण के बराबर होता है। इसलिए 78°।

Question 34. A quadrilateral has angles in the ratio 2:3:4:6. Find the largest angle.

एक चतुर्भुज के कोणों का अनुपात 2:3:4:6 है। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 144°

Solution (English): Total parts = 15. One part = 360/15 = 24°. Largest angle = 6 × 24 = 144°.

समाधान (हिंदी): कुल भाग 15 हैं। एक भाग 24°। बड़ा कोण = 144°।

Question 35. In a parallelogram, an angle is 30° more than its adjacent angle. Find both angles.

एक समांतर चतुर्भुज में एक कोण अपने आसन्न कोण से 30° अधिक है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 105° and 75°

Solution (English): Let smaller angle = x. Then x + (x + 30) = 180. Thus x = 75° and larger angle = 105°.

समाधान (हिंदी): छोटा कोण x मानें। 2x + 30 = 180। कोण 75° और 105° हैं।

Question 36. In rhombus ABCD, angle BAC = 35°. Find angle ABC.

समचतुर्भुज ABCD में कोण BAC = 35° है। कोण ABC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 110°

Solution (English): AC bisects angle A, so A = 70°. Adjacent angle B = 180 − 70 = 110°.

समाधान (हिंदी): कोण A = 2 × 35 = 70°। आसन्न कोण B = 110°।

Question 37. In rhombus ABCD, angle ABD = 40°. Find angle BAD.

समचतुर्भुज ABCD में कोण ABD = 40° है। कोण BAD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100°

Solution (English): BD bisects angle B, so B = 80°. Adjacent angle A = 180 − 80 = 100°.

समाधान (हिंदी): कोण B = 80°। अतः कोण A = 100°।

Question 38. In rectangle ABCD, diagonal AC makes an angle of 32° with side AB. Find angle CAD.

आयत ABCD में विकर्ण AC, भुजा AB के साथ 32° का कोण बनाता है। कोण CAD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 58°

Solution (English): Angle BAD = 90°. Diagonal AC divides it into BAC and CAD. Thus CAD = 90 − 32 = 58°.

समाधान (हिंदी): आयत का कोण A = 90°। इसलिए CAD = 90 − 32 = 58°।

Question 39. In rectangle ABCD, diagonal AC makes an angle of 25° with AB. Find angle ACB.

आयत ABCD में विकर्ण AC, AB के साथ 25° का कोण बनाता है। कोण ACB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 65°

Solution (English): In right triangle ABC, angle B = 90° and angle BAC = 25°. Therefore angle ACB = 180 − 90 − 25 = 65°.

समाधान (हिंदी): त्रिभुज ABC में B = 90° और A = 25°। इसलिए C = 65°।

Question 40. In a parallelogram, the sum of two opposite angles is 220°. Find each of the remaining angles.

एक समांतर चतुर्भुज के दो सम्मुख कोणों का योग 220° है। शेष प्रत्येक कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): Opposite angles are equal, so each given angle is 110°. Adjacent angles = 180 − 110 = 70°.

समाधान (हिंदी): सम्मुख कोण 110°-110° होंगे। शेष दोनों कोण 70°-70° होंगे।

Level 3: Cyclic Quadrilaterals and Theorem Applications (Questions 41–60)

स्तर 3: चक्रीय चतुर्भुज एवं प्रमेयों के अनुप्रयोग

Question 41. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 2 × angle C. Find both angles.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A, कोण C का दोगुना है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: A = 120°, C = 60°

Solution (English): A + C = 180. If C = x, A = 2x. Therefore 3x = 180 and x = 60°.

समाधान (हिंदी): सम्मुख कोणों का योग 180° है। C = 60° तथा A = 120°।

Question 42. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = (4x + 5)° and angle C = (3x − 7)°. Find x.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = (4x + 5)° और कोण C = (3x − 7)° है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 26

Solution (English): 4x + 5 + 3x − 7 = 180. Thus 7x = 182 and x = 26.

समाधान (हिंदी): 7x − 2 = 180। अतः x = 26।

Question 43. In cyclic quadrilateral ABCD, angle ABC = 105°. Find angle ADC.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण ABC = 105° है। कोण ADC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 75°

Solution (English): Opposite angles are supplementary. ADC = 180 − 105 = 75°.

समाधान (हिंदी): सम्मुख कोणों का योग 180° है। ADC = 75°।

Question 44. In cyclic quadrilateral ABCD, angle BAD = 65°. Find the exterior angle at C formed by extending BC beyond C.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण BAD = 65° है। BC को C से आगे बढ़ाने पर C का बाह्य कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 65°

Solution (English): The exterior angle at C equals the opposite interior angle at A.

समाधान (हिंदी): चक्रीय चतुर्भुज में बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोण के बराबर होता है। उत्तर 65°।

Question 45. Can a parallelogram be cyclic if one of its angles is 70°?

क्या 70° का एक कोण रखने वाला समांतर चतुर्भुज चक्रीय हो सकता है?

Answer / उत्तर: No / नहीं

Solution (English): In a parallelogram, opposite angles are equal. In a cyclic quadrilateral, opposite angles are supplementary. Therefore a cyclic parallelogram must have all angles equal to 90°.

समाधान (हिंदी): चक्रीय समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर और संपूरक दोनों होते हैं। इसलिए प्रत्येक 90° होना चाहिए। 70° वाला समांतर चतुर्भुज चक्रीय नहीं होगा।

Question 46. A rhombus is cyclic. What must each interior angle measure?

एक समचतुर्भुज चक्रीय है। उसका प्रत्येक आंतरिक कोण कितना होगा?

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): A cyclic rhombus must be a square, because opposite angles are equal and supplementary.

समाधान (हिंदी): चक्रीय समचतुर्भुज वर्ग होता है। अतः प्रत्येक कोण 90° है।

Question 47. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 80° and angle B = 95°. Find angles C and D.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 80° और B = 95° है। C तथा D ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: C = 100°, D = 85°

Solution (English): C = 180 − 80 = 100°. D = 180 − 95 = 85°.

समाधान (हिंदी): C = 100° तथा D = 85°।

Question 48. The opposite angles of a convex quadrilateral are supplementary. What can be concluded?

एक उत्तल चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक हैं। क्या निष्कर्ष निकलेगा?

Answer / उत्तर: The quadrilateral is cyclic / चतुर्भुज चक्रीय है

Solution (English): A convex quadrilateral is cyclic if and only if one pair of opposite interior angles sums to 180°.

समाधान (हिंदी): उत्तल चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होना चक्रीय होने की आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त है।

Question 49. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = (5x − 10)° and angle C = (3x + 30)°. Find angle A.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = (5x − 10)° और C = (3x + 30)° है। कोण A ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): 5x − 10 + 3x + 30 = 180. Thus x = 20. Angle A = 5 × 20 − 10 = 90°.

समाधान (हिंदी): x = 20। कोण A = 100 − 10 = 90°।

Question 50. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A is 20° more than angle C. Find angle A.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A, कोण C से 20° अधिक है। कोण A ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100°

Solution (English): Let C = x. Then A = x + 20. Hence 2x + 20 = 180, giving x = 80 and A = 100°.

समाधान (हिंदी): C = 80° तथा A = 100°।

Question 51. In cyclic quadrilateral ABCD, angle B = 3 × angle D. Find angle D.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण B, कोण D का तीन गुना है। कोण D ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 45°

Solution (English): B + D = 180. Let D = x, so B = 3x. Therefore 4x = 180 and D = 45°.

समाधान (हिंदी): 4x = 180। अतः D = 45°।

Question 52. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 120°. The exterior angle at C is equal to which interior angle and what is its measure?

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 120° है। C का बाह्य कोण किस अंतः कोण के बराबर होगा और उसका माप कितना होगा?

Answer / उत्तर: Angle A, 120° / कोण A, 120°

Solution (English): The exterior angle at C equals the opposite interior angle A.

समाधान (हिंदी): C का बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोण A के बराबर होता है। उसका माप 120° है।

Question 53. In a cyclic quadrilateral, the four angles are in the ratio 2:3:4:3. Find the largest angle.

एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों का अनुपात 2:3:4:3 है। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 120°

Solution (English): Total parts = 12. One part = 360/12 = 30°. Angles are 60°, 90°, 120°, 90°. Opposite sums are 180°, so the configuration is valid.

समाधान (हिंदी): एक भाग 30° है। कोण 60°, 90°, 120°, 90° होंगे। सबसे बड़ा 120° है।

Question 54. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 75°. What is the angle between the extensions of BC and CD at C, vertically opposite to interior angle BCD?

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 75° है। C पर BC और CD को आगे बढ़ाने से बना, अंतः कोण BCD का शीर्षाभिमुख कोण कितना होगा?

Answer / उत्तर: 105°

Solution (English): Interior angle C = 180 − 75 = 105°. Its vertically opposite angle is also 105°.

समाधान (हिंदी): कोण C = 105°। उसका शीर्षाभिमुख कोण भी 105° होगा।

Question 55. A cyclic quadrilateral has three angles 70°, 100° and 110°. Find the fourth angle, assuming the given angles occur consecutively.

एक चक्रीय चतुर्भुज के लगातार तीन कोण 70°, 100° और 110° हैं। चौथा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 80°

Solution (English): The first and third angles sum to 180°. The second and fourth are opposite. Fourth angle = 180 − 100 = 80°.

समाधान (हिंदी): दूसरा और चौथा कोण सम्मुख हैं। चौथा कोण = 180 − 100 = 80°।

Question 56. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 3x and angle C = 2x. Find x.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 3x तथा C = 2x है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 36°

Solution (English): 3x + 2x = 180, so x = 36°.

समाधान (हिंदी): 5x = 180। अतः x = 36°।

Question 57. In cyclic quadrilateral ABCD, angle B = (x² + 20)° and angle D = (5x + 40)°. Find the positive value of x.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण B = (x² + 20)° तथा D = (5x + 40)° है। x का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: (−5 + √505)/2 ≈ 8.736°

Solution (English): Opposite angles sum to 180°. Thus x² + 20 + 5x + 40 = 180, giving x² + 5x − 120 = 0. Positive root = (−5 + √505)/2 ≈ 8.736.

समाधान (हिंदी): x² + 5x − 120 = 0। धनात्मक मूल = (−5 + √505)/2 ≈ 8.736।

Question 58. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 4x and angle C = 5x. Find angle A.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 4x और C = 5x है। कोण A ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 80°

Solution (English): 4x + 5x = 180. Thus x = 20 and angle A = 80°.

समाधान (हिंदी): 9x = 180। x = 20। कोण A = 80°।

Question 59. In cyclic quadrilateral ABCD, angle A = 85°. Find the sum of the exterior angles at A and C, each taken adjacent to the corresponding interior angle.

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 85° है। A और C पर अंतः कोणों के आसन्न बाह्य कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 180°

Solution (English): Interior angle C = 95°. Exterior angles at A and C are 95° and 85° respectively. Sum = 180°.

समाधान (हिंदी): C = 95°। A का बाह्य कोण 95° और C का बाह्य कोण 85° होगा। योग 180°।

Question 60. A convex quadrilateral has opposite angles equal and supplementary. What must it be?

एक उत्तल चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर तथा संपूरक हैं। वह अनिवार्य रूप से किस प्रकार का चतुर्भुज होगा?

Answer / उत्तर: Rectangle is not necessarily guaranteed / आयत होना आवश्यक नहीं

Solution (English): Equal supplementary opposite angles must each be 90°. If both pairs of opposite angles satisfy this condition, all four angles are 90°, so the quadrilateral is a rectangle. Therefore, when the statement applies to both opposite pairs, the answer is rectangle.

समाधान (हिंदी): बराबर और संपूरक कोण प्रत्येक 90° होंगे। यदि दोनों सम्मुख युग्मों पर यह शर्त लागू हो, तो चारों कोण 90° होंगे और चतुर्भुज आयत होगा।

Clarification / स्पष्टीकरण: If both pairs are equal and supplementary, the answer is Rectangle / आयत.

Level 4: Midpoint Theorem, Parallelograms and Logical Geometry (Questions 61–80)

स्तर 4: मध्यबिंदु प्रमेय, समांतर चतुर्भुज एवं तार्किक ज्यामिति

Question 61. In quadrilateral ABCD, E, F, G and H are the midpoints of AB, BC, CD and DA respectively. What is EFGH?

चतुर्भुज ABCD में E, F, G और H क्रमशः AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदु हैं। EFGH कौन-सा चतुर्भुज होगा?

Answer / उत्तर: Parallelogram / समांतर चतुर्भुज

Solution (English): By the midpoint theorem, EF is parallel to AC and GH is parallel to AC. Similarly FG and EH are parallel to BD. Thus opposite sides of EFGH are parallel.

समाधान (हिंदी): मध्यबिंदु प्रमेय से EF और GH, AC के समांतर तथा FG और EH, BD के समांतर होंगे। अतः EFGH समांतर चतुर्भुज है।

Question 62. The midpoints of the sides of a rectangle are joined consecutively. What type of quadrilateral is formed?

एक आयत की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को क्रम से मिलाने पर कौन-सा चतुर्भुज बनता है?

Answer / उत्तर: Rhombus / समचतुर्भुज

Solution (English): The sides of the midpoint quadrilateral are each half the length of a diagonal of the original rectangle. Since rectangle diagonals are equal, all four sides are equal.

समाधान (हिंदी): आयत के विकर्ण बराबर होते हैं। मध्यबिंदुओं से बने चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होंगी। इसलिए समचतुर्भुज बनेगा।

Question 63. The midpoints of the sides of a rhombus are joined consecutively. What type of quadrilateral is formed?

एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को क्रम से मिलाने पर कौन-सा चतुर्भुज बनता है?

Answer / उत्तर: Rectangle / आयत

Solution (English): The sides of the midpoint quadrilateral are parallel to the diagonals of the rhombus. Since those diagonals are perpendicular, adjacent sides of the midpoint quadrilateral are perpendicular.

समाधान (हिंदी): नए चतुर्भुज की भुजाएँ समचतुर्भुज के विकर्णों के समांतर होती हैं। विकर्ण लंब होने से नया चतुर्भुज आयत होता है।

Question 64. The midpoints of the sides of a square are joined consecutively. What type of quadrilateral is formed?

एक वर्ग की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को क्रम से मिलाने पर कौन-सा चतुर्भुज बनता है?

Answer / उत्तर: Square / वर्ग

Solution (English): The midpoint quadrilateral has four equal sides because the original diagonals are equal, and right angles because they are perpendicular.

समाधान (हिंदी): वर्ग के विकर्ण बराबर और लंब होते हैं। इसलिए मध्यबिंदुओं से बना चतुर्भुज भी वर्ग होगा।

Question 65. In a parallelogram ABCD, diagonal AC divides it into which two triangles, and what is their relationship?

समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC उसे किन दो त्रिभुजों में बाँटता है और उनका संबंध क्या है?

Answer / उत्तर: Triangles ABC and CDA are congruent / त्रिभुज ABC और CDA सर्वांगसम हैं

Solution (English): AB = CD, BC = AD and AC is common. By SSS congruence, triangle ABC is congruent to triangle CDA.

समाधान (हिंदी): AB = CD, BC = AD तथा AC उभयनिष्ठ है। SSS नियम से दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

Question 66. If both pairs of opposite sides of a quadrilateral are equal, what can be concluded?

यदि किसी चतुर्भुज की दोनों जोड़ी सम्मुख भुजाएँ बराबर हों, तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?

Answer / उत्तर: It is a parallelogram / वह समांतर चतुर्भुज है

Solution (English): Equality of both pairs of opposite sides is a sufficient condition for a quadrilateral to be a parallelogram.

समाधान (हिंदी): दोनों जोड़ी सम्मुख भुजाओं का बराबर होना समांतर चतुर्भुज होने की पर्याप्त शर्त है।

Question 67. If the diagonals of a quadrilateral bisect each other, what must the quadrilateral be?

यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह क्या होगा?

Answer / उत्तर: Parallelogram / समांतर चतुर्भुज

Solution (English): The converse of the parallelogram diagonal theorem states that a quadrilateral whose diagonals bisect each other is a parallelogram.

समाधान (हिंदी): समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रमेय के विलोम के अनुसार ऐसा चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होगा।

Question 68. A quadrilateral has diagonals that are equal and bisect each other. What must it be?

एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। वह क्या होगा?

Answer / उत्तर: Rectangle / आयत

Solution (English): Bisecting diagonals establish that it is a parallelogram. Equal diagonals in a parallelogram establish that it is a rectangle.

समाधान (हिंदी): विकर्णों के समद्विभाजन से समांतर चतुर्भुज सिद्ध होता है। बराबर विकर्ण होने से वह आयत होगा।

Question 69. A quadrilateral has diagonals that are perpendicular and bisect each other. What must it be?

एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। वह क्या होगा?

Answer / उत्तर: Rhombus / समचतुर्भुज

Solution (English): Bisecting diagonals make it a parallelogram. Perpendicular diagonals of a parallelogram imply all four sides are equal, making it a rhombus.

समाधान (हिंदी): विकर्णों के समद्विभाजन से समांतर चतुर्भुज और लंब होने से समचतुर्भुज सिद्ध होता है।

Question 70. A quadrilateral has equal, perpendicular diagonals that bisect each other. What must it be?

एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर, परस्पर लंब और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। वह क्या होगा?

Answer / उत्तर: Square / वर्ग

Solution (English): Equal bisecting diagonals imply a rectangle. Perpendicular bisecting diagonals imply a rhombus. A quadrilateral that is both is a square.

समाधान (हिंदी): बराबर विकर्ण आयत का तथा लंब विकर्ण समचतुर्भुज का गुण बताते हैं। दोनों गुण होने से वर्ग होगा।

Question 71. Is every square a rectangle? Is every rectangle a square?

क्या प्रत्येक वर्ग आयत है? क्या प्रत्येक आयत वर्ग है?

Answer / उत्तर: Yes; No / हाँ; नहीं

Solution (English): Every square has four right angles, so it is a rectangle. A rectangle need not have all sides equal, so not every rectangle is a square.

समाधान (हिंदी): वर्ग के चारों कोण समकोण हैं, इसलिए वह आयत है। लेकिन आयत की सभी भुजाएँ बराबर होना आवश्यक नहीं है।

Question 72. Is every square a rhombus? Is every rhombus a square?

क्या प्रत्येक वर्ग समचतुर्भुज है? क्या प्रत्येक समचतुर्भुज वर्ग है?

Answer / उत्तर: Yes; No / हाँ; नहीं

Solution (English): Every square has four equal sides. A rhombus need not have four right angles, so it need not be a square.

समाधान (हिंदी): वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। लेकिन समचतुर्भुज के सभी कोण 90° होना आवश्यक नहीं है।

Question 73. If one pair of opposite sides of a quadrilateral is both equal and parallel, what can be concluded?

यदि किसी चतुर्भुज की एक जोड़ी सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर दोनों हों, तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?

Answer / उत्तर: Parallelogram / समांतर चतुर्भुज

Solution (English): One pair of opposite sides being both equal and parallel is sufficient to establish a parallelogram.

समाधान (हिंदी): सम्मुख भुजाओं की एक जोड़ी का बराबर और समांतर होना समांतर चतुर्भुज सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।

Question 74. A parallelogram has equal diagonals. What type of parallelogram must it be?

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं। वह किस प्रकार का समांतर चतुर्भुज होगा?

Answer / उत्तर: Rectangle / आयत

Solution (English): A parallelogram with equal diagonals is a rectangle, including the special case of a square.

समाधान (हिंदी): बराबर विकर्णों वाला समांतर चतुर्भुज आयत होता है। वर्ग इसका विशेष रूप है।

Question 75. A parallelogram has perpendicular diagonals. What must it be?

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब हैं। वह क्या होगा?

Answer / उत्तर: Rhombus / समचतुर्भुज

Solution (English): Perpendicular diagonals in a parallelogram imply equal adjacent sides, hence all four sides are equal.

समाधान (हिंदी): लंब विकर्णों वाला समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

Question 76. A parallelogram has one pair of adjacent sides equal. What must it be?

एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ बराबर हैं। वह क्या होगा?

Answer / उत्तर: Rhombus / समचतुर्भुज

Solution (English): Opposite sides are already equal in a parallelogram. If adjacent sides are equal, all four sides are equal.

समाधान (हिंदी): समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। आसन्न भुजाएँ भी बराबर होने पर चारों बराबर होंगी।

Question 77. A rectangle has perpendicular diagonals. What must it be?

एक आयत के विकर्ण परस्पर लंब हैं। वह क्या होगा?

Answer / उत्तर: Square / वर्ग

Solution (English): A rectangle is a parallelogram with equal diagonals. If its diagonals are also perpendicular, it is a rhombus as well, hence a square.

समाधान (हिंदी): आयत के विकर्ण लंब होने पर वह समचतुर्भुज भी होगा। इसलिए वर्ग होगा।

Question 78. A rhombus has equal diagonals. What must it be?

एक समचतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं। वह क्या होगा?

Answer / उत्तर: Square / वर्ग

Solution (English): Equal diagonals make the rhombus a rectangle as well. Thus it is a square.

समाधान (हिंदी): बराबर विकर्ण होने पर समचतुर्भुज आयत भी होगा। अतः वर्ग होगा।

Question 79. The midpoint quadrilateral of a quadrilateral ABCD is a rectangle. What property must the diagonals AC and BD of ABCD have?

चतुर्भुज ABCD के मध्यबिंदुओं से बना चतुर्भुज आयत है। ABCD के विकर्ण AC और BD में कौन-सा गुण अवश्य होगा?

Answer / उत्तर: They are perpendicular / वे परस्पर लंब हैं

Solution (English): The adjacent sides of the midpoint quadrilateral are parallel to AC and BD respectively. For the midpoint quadrilateral to have right angles, AC and BD must be perpendicular.

समाधान (हिंदी): मध्यबिंदु चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ मूल विकर्णों के समांतर हैं। आयत बनने के लिए मूल विकर्ण लंब होने चाहिए।

Question 80. The midpoint quadrilateral of ABCD is a rhombus. What property must diagonals AC and BD have?

ABCD के मध्यबिंदुओं से बना चतुर्भुज समचतुर्भुज है। मूल विकर्ण AC और BD में कौन-सा गुण होगा?

Answer / उत्तर: They are equal / वे बराबर हैं

Solution (English): Each side of the midpoint quadrilateral equals half the corresponding original diagonal. For all four sides to be equal, the original diagonals must have equal lengths.

समाधान (हिंदी): मध्यबिंदु चतुर्भुज की भुजाएँ मूल विकर्णों की आधी होती हैं। चारों बराबर होने के लिए मूल विकर्ण बराबर होंगे।

Level 5: Toughest Geometry Properties and Multi-Step Deductions (Questions 81–100)

स्तर 5: अत्यंत कठिन ज्यामितीय गुणधर्म एवं बहु-चरणीय निष्कर्ष

Question 81. In parallelogram ABCD, diagonal AC bisects angle A. What special quadrilateral must ABCD be?

समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC, कोण A को समद्विभाजित करता है। ABCD किस विशेष चतुर्भुज का रूप होगा?

Answer / उत्तर: Rhombus / समचतुर्भुज

Solution (English): Since AD is parallel to BC, angle DAC = angle ACB. Given angle BAC = angle DAC, we get angle BAC = angle ACB. Therefore AB = BC in triangle ABC. Adjacent sides of the parallelogram are equal, so ABCD is a rhombus.

समाधान (हिंदी): AD || BC से कोण DAC = कोण ACB। समद्विभाजन से BAC = DAC। अतः BAC = ACB, जिससे AB = BC। आसन्न भुजाएँ बराबर होने से ABCD समचतुर्भुज है।

Question 82. In parallelogram ABCD, diagonals AC and BD intersect at O. If angle AOB = 90°, what type of parallelogram is ABCD?

समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर मिलते हैं। यदि कोण AOB = 90° है, तो ABCD किस प्रकार का होगा?

Answer / उत्तर: Rhombus / समचतुर्भुज

Solution (English): Diagonals of a parallelogram bisect each other. Their perpendicular intersection implies that the parallelogram is a rhombus.

समाधान (हिंदी): विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। 90° पर मिलने से समचतुर्भुज सिद्ध होता है।

Question 83. In parallelogram ABCD, diagonal AC bisects angle A and angle A = 90°. Identify ABCD.

समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC, कोण A को समद्विभाजित करता है और कोण A = 90° है। ABCD की पहचान कीजिए।

Answer / उत्तर: Square / वर्ग

Solution (English): A parallelogram with one right angle is a rectangle. A parallelogram whose diagonal bisects a vertex angle is a rhombus. Being both rectangle and rhombus, ABCD is a square.

समाधान (हिंदी): 90° कोण से आयत और कोण समद्विभाजक विकर्ण से समचतुर्भुज सिद्ध होता है। दोनों गुण होने से वर्ग होगा।

Question 84. In parallelogram ABCD, angle A = 60°. Diagonal AC bisects angle A. Find angle ABC.

समांतर चतुर्भुज ABCD में कोण A = 60° है। विकर्ण AC, कोण A को समद्विभाजित करता है। कोण ABC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 120°

Solution (English): Adjacent angles of a parallelogram are supplementary. Therefore angle ABC = 180 − 60 = 120°. The angle-bisector condition additionally establishes that the parallelogram is a rhombus.

समाधान (हिंदी): आसन्न कोणों का योग 180° है। इसलिए ABC = 120°। विकर्ण के समद्विभाजन से समचतुर्भुज भी सिद्ध होता है।

Question 85. In rhombus ABCD, diagonals AC and BD intersect at O. If angle OAB = 25°, find angle ABO.

समचतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर मिलते हैं। यदि कोण OAB = 25° है, तो कोण ABO ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 65°

Solution (English): Diagonals of a rhombus are perpendicular, so angle AOB = 90°. In triangle AOB, angle ABO = 180 − 90 − 25 = 65°.

समाधान (हिंदी): कोण AOB = 90°। त्रिभुज AOB में ABO = 180 − 90 − 25 = 65°।

Question 86. In rhombus ABCD, angle A = 70°. Find the acute angle between diagonal AC and side BC.

समचतुर्भुज ABCD में कोण A = 70° है। विकर्ण AC और भुजा BC के बीच न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 35°

Solution (English): Opposite angle C = 70°. Diagonal AC bisects angle C, so angle ACB = 35°.

समाधान (हिंदी): कोण C = 70°। विकर्ण AC इसे समद्विभाजित करता है। अतः ACB = 35°।

Question 87. In rectangle ABCD, diagonals AC and BD intersect at O. If angle AOB = 100°, find angle OAB.

आयत ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर मिलते हैं। यदि कोण AOB = 100° है, तो कोण OAB ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): In a rectangle, OA = OB because the diagonals are equal and bisect each other. Thus triangle AOB is isosceles. Each base angle = (180 − 100)/2 = 40°.

समाधान (हिंदी): OA = OB, इसलिए त्रिभुज AOB समद्विबाहु है। आधार कोण = 40°।

Question 88. In rectangle ABCD, diagonals intersect at O. If angle OAB = 30°, find the smaller angle between the diagonals.

आयत ABCD के विकर्ण O पर मिलते हैं। यदि कोण OAB = 30° है, तो विकर्णों के बीच छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): OA = OB, so triangle AOB is isosceles. Angle OBA = 30°. Thus angle AOB = 180 − 30 − 30 = 120°. The smaller angle between the intersecting diagonals is 180 − 120 = 60°.

समाधान (हिंदी): त्रिभुज AOB में आधार कोण 30°-30° हैं। AOB = 120°। विकर्णों के बीच छोटा कोण = 60°।