SSC CHSL 2025 Tier-1 Maths – 25 Questions with Detailed Solutions in English and Hindi
Exam: SSC CHSL 2025 Tier-1
Date: 14 November 2025
Shift: 3
Subject: Quantitative Aptitude
Total Questions: 25
Prepared for: Vitorr Classes
Website: https://vitorrclasses.in
Introduction | परिचय
English
Welcome to Vitorr Classes' comprehensive collection of 25 Quantitative Aptitude questions from the SSC CHSL 2025 Tier-1 examination held on 14 November 2025, Shift 3.
This practice set includes questions from Profit and Loss, Partnership, Trigonometry, Ratio and Proportion, Simple Interest, Compound Interest, Average, Number System, Percentage, Time and Work, Speed and Distance, Mixture and Alligation, Mensuration, Coordinate Geometry and Algebra.
Every question includes 4 multiple-choice options, the correct answer and a detailed step-by-step solution in both English and Hindi. Important formulas and shortcut methods are also explained wherever applicable.
हिन्दी
Vitorr Classes द्वारा प्रस्तुत SSC CHSL 2025 टियर-1 परीक्षा के 14 नवंबर 2025, शिफ्ट 3 में पूछे गए गणित के 25 महत्वपूर्ण प्रश्नों का विस्तृत समाधान सहित अभ्यास करें।
इस प्रश्न-संग्रह में लाभ और हानि, साझेदारी, त्रिकोणमिति, अनुपात और समानुपात, साधारण ब्याज, चक्रवृद्धि ब्याज, औसत, संख्या पद्धति, प्रतिशत, समय और कार्य, चाल और दूरी, मिश्रण, क्षेत्रमिति, निर्देशांक ज्यामिति तथा बीजगणित के प्रश्न शामिल हैं।
प्रत्येक प्रश्न के साथ 4 विकल्प, सही उत्तर तथा अंग्रेज़ी और हिन्दी में चरणबद्ध समाधान दिया गया है। जहाँ आवश्यक है, वहाँ महत्वपूर्ण सूत्रों और शॉर्टकट विधियों को भी समझाया गया है।
Question 1. Profit and Loss | लाभ और हानि
English: A person sells 12 pens for Rs 480 and suffers a loss equal to the selling price of 3 pens. What is the cost price of 1 pen?
हिन्दी: एक व्यक्ति 12 पेन 480 रुपये में बेचता है और उसे 3 पेन के विक्रय मूल्य के बराबर हानि होती है। 1 पेन का क्रय मूल्य कितना है?
Options | विकल्प
(A) Rs 50
(B) Rs 55
(C) Rs 30
(D) Rs 60
Correct Answer: (A) Rs 50
Solution in English
Step 1: Calculate the selling price of 1 pen.
Selling price of 12 pens = Rs 480
Selling price of 1 pen = 480 ÷ 12 = Rs 40
Step 2: Calculate the total loss.
The question states that the loss is equal to the selling price of 3 pens.
Loss = 3 × 40 = Rs 120
Step 3: Calculate the total cost price.
We know:
Loss = Cost Price - Selling Price
Therefore:
Total Cost Price = Total Selling Price + Loss
Total CP = 480 + 120 = Rs 600
Step 4: Find the cost price of 1 pen.
CP of 1 pen = 600 ÷ 12 = Rs 50
Final Answer: Rs 50
Shortcut Method:
The cost price of 12 pens equals the selling price of 15 pens because the loss equals the selling price of 3 pens.
Therefore:
CP of 1 pen = (15 × 40) ÷ 12 = Rs 50
हिन्दी में समाधान
चरण 1: 1 पेन का विक्रय मूल्य ज्ञात करें।
12 पेन का विक्रय मूल्य = 480 रुपये
1 पेन का विक्रय मूल्य = 480 ÷ 12 = 40 रुपये
चरण 2: कुल हानि ज्ञात करें।
प्रश्न के अनुसार हानि 3 पेन के विक्रय मूल्य के बराबर है।
हानि = 3 × 40 = 120 रुपये
चरण 3: कुल क्रय मूल्य ज्ञात करें।
हम जानते हैं:
हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य
इसलिए:
कुल क्रय मूल्य = 480 + 120 = 600 रुपये
चरण 4: 1 पेन का क्रय मूल्य ज्ञात करें।
1 पेन का क्रय मूल्य = 600 ÷ 12 = 50 रुपये
अंतिम उत्तर: 50 रुपये
शॉर्टकट विधि:
12 पेन का क्रय मूल्य = 15 पेन का विक्रय मूल्य
इसलिए:
1 पेन का क्रय मूल्य = (15 × 40) ÷ 12 = 50 रुपये
Question 2. Partnership | साझेदारी
English: A, B and C started a business. A invested Rs 1,20,000, B invested Rs 80,000 and C invested Rs 1,00,000. After 6 months, A added Rs 20,000 and C withdrew Rs 10,000. If the total profit at the end of 2 years is Rs 3,60,000, how much will A receive?
हिन्दी: A, B और C ने एक व्यवसाय शुरू किया। A ने 1,20,000 रुपये, B ने 80,000 रुपये और C ने 1,00,000 रुपये का निवेश किया। 6 महीने बाद A ने 20,000 रुपये अतिरिक्त निवेश किए और C ने 10,000 रुपये निकाल लिए। यदि 2 वर्ष के अंत में कुल लाभ 3,60,000 रुपये है, तो A को कितना लाभ प्राप्त होगा?
Options | विकल्प (source screenshot)
(A) Rs 2,45,78
(B) Rs 1,58,049
(C) Rs 34,97,812
(D) Rs 14,87,456
Correct Answer: Approximately Rs 1,53,233 (none of the supplied options)
Solution in English
In partnership problems, profit is distributed in proportion to capital multiplied by investment duration.
Step 1: Calculate A's capital-time contribution.
A invests Rs 1,20,000 for the first 6 months.
After 6 months, A increases the investment to Rs 1,40,000 for the remaining 18 months.
A's contribution:
= 1,20,000 × 6 + 1,40,000 × 18
= 7,20,000 + 25,20,000
= 32,40,000
Step 2: Calculate B's contribution.
B invests Rs 80,000 throughout 24 months.
B's contribution:
= 80,000 × 24
= 19,20,000
Step 3: Calculate C's contribution.
C invests Rs 1,00,000 for 6 months.
After withdrawing Rs 10,000, the remaining investment is Rs 90,000 for 18 months.
C's contribution:
= 1,00,000 × 6 + 90,000 × 18
= 6,00,000 + 16,20,000
= 22,20,000
Step 4: Find the profit-sharing ratio.
A : B : C
= 32,40,000 : 19,20,000 : 22,20,000
= 54 : 32 : 37
Total ratio = 54 + 32 + 37 = 123
Step 5: Calculate A's profit.
A's profit = 3,60,000 × 54/123
= Rs 1,58,048.78
Final Answer: Approximately Rs 1,58,049 — Option (B)
हिन्दी में समाधान
साझेदारी के प्रश्नों में लाभ का वितरण निवेश की गई पूँजी और निवेश की अवधि के गुणनफल के अनुपात में किया जाता है।
चरण 1: A का पूँजी-समय योगदान ज्ञात करें।
पहले 6 महीनों के लिए निवेश = 1,20,000 रुपये
अगले 18 महीनों के लिए निवेश = 1,40,000 रुपये
A का योगदान:
= 1,20,000 × 6 + 1,40,000 × 18
= 7,20,000 + 25,20,000
= 32,40,000
चरण 2: B का योगदान ज्ञात करें।
B का निवेश = 80,000 रुपये
अवधि = 24 महीने
योगदान = 80,000 × 24 = 19,20,000
चरण 3: C का योगदान ज्ञात करें।
पहले 6 महीनों का निवेश = 1,00,000 रुपये
अगले 18 महीनों का निवेश = 90,000 रुपये
योगदान:
= 1,00,000 × 6 + 90,000 × 18
= 6,00,000 + 16,20,000
= 22,20,000
चरण 4: लाभ-वितरण अनुपात ज्ञात करें।
A : B : C
= 32,40,000 : 19,20,000 : 22,20,000
= 54 : 32 : 37
कुल अनुपात = 123
चरण 5: A का लाभ ज्ञात करें।
A का लाभ = 3,60,000 × 54/123
= 1,58,048.78 रुपये
अंतिम उत्तर: लगभग 1,58,049 रुपये — विकल्प (B)
Question 3. Trigonometry | त्रिकोणमिति
English: If tan θ = 5/12 and θ is in Quadrant III, what is the value of sin θ?
हिन्दी: यदि tan θ = 5/12 है और कोण θ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, तो sin θ का मान क्या होगा?
Options | विकल्प
(A) 5/13
(B) -5/13
(C) 12/13
(D) -12/13
Correct Answer: (B) -5/13
Solution in English
Step 1: Identify the given ratio.
tan θ = 5/12
We know:
tan θ = Perpendicular/Base
Therefore, the magnitudes of the perpendicular and base are 5 and 12.
Step 2: Calculate the hypotenuse.
Using the Pythagorean theorem:
Hypotenuse² = 5² + 12²
= 25 + 144
= 169
Hypotenuse = 13
Step 3: Determine the sign of sin θ.
The angle lies in Quadrant III.
In Quadrant III:
sin θ is negative.
cos θ is negative.
tan θ is positive.
Step 4: Calculate sin θ.
sin θ = Perpendicular/Hypotenuse
Magnitude = 5/13
Since sin θ is negative in Quadrant III:
sin θ = -5/13
Final Answer: -5/13
हिन्दी में समाधान
चरण 1: दिया गया अनुपात पहचानें।
tan θ = 5/12
हम जानते हैं:
tan θ = लंब/आधार
अतः लंब और आधार के परिमाण क्रमशः 5 और 12 हैं।
चरण 2: कर्ण ज्ञात करें।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
कर्ण² = 5² + 12²
= 25 + 144
= 169
कर्ण = 13
चरण 3: sin θ का चिह्न निर्धारित करें।
कोण तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
तीसरे चतुर्थांश में:
sin θ ऋणात्मक होता है।
cos θ ऋणात्मक होता है।
tan θ धनात्मक होता है।
चरण 4: sin θ का मान ज्ञात करें।
sin θ का परिमाण = 5/13
अतः:
sin θ = -5/13
अंतिम उत्तर: -5/13
Question 4. Ratio and Proportion | अनुपात और समानुपात
English: If m : n = 5 : 11 and n : p = 2 : 5, then find m : n : p.
हिन्दी: यदि m : n = 5 : 11 और n : p = 2 : 5 है, तो m : n : p का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Options | विकल्प
(A) 5 : 11 : 2
(B) 20 : 2 : 11
(C) 15 : 22 : 55
(D) 10 : 22 : 55
Correct Answer: (D) 10 : 22 : 55
Solution in English
Given:
m : n = 5 : 11
n : p = 2 : 5
Step 1: Make the common term n equal.
In the first ratio, n = 11 parts.
In the second ratio, n = 2 parts.
LCM of 11 and 2 = 22
Step 2: Multiply the first ratio by 2.
m : n = 5 × 2 : 11 × 2
= 10 : 22
Step 3: Multiply the second ratio by 11.
n : p = 2 × 11 : 5 × 11
= 22 : 55
Step 4: Combine the ratios.
m : n : p = 10 : 22 : 55
Final Answer: 10 : 22 : 55
हिन्दी में समाधान
दिया गया है:
m : n = 5 : 11
n : p = 2 : 5
चरण 1: समान पद n को बराबर करें।
पहले अनुपात में n = 11
दूसरे अनुपात में n = 2
11 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य = 22
चरण 2: पहले अनुपात को 2 से गुणा करें।
m : n = 10 : 22
चरण 3: दूसरे अनुपात को 11 से गुणा करें।
n : p = 22 : 55
चरण 4: दोनों अनुपातों को मिलाएँ।
m : n : p = 10 : 22 : 55
अंतिम उत्तर: 10 : 22 : 55
Question 5. Simple Interest and Compound Interest | साधारण एवं चक्रवृद्धि ब्याज
English: The difference between the compound interest and simple interest on a sum for 2 years at 10% per annum is Rs 15. What is the sum?
हिन्दी: किसी धनराशि पर 10% वार्षिक ब्याज दर से 2 वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर 15 रुपये है। मूलधन कितना है?
Options | विकल्प
(A) Rs 1,000
(B) Rs 1,200
(C) Rs 1,500
(D) Rs 2,000
Correct Answer: (C) Rs 1,500
Solution in English
Given:
Rate = 10% per annum
Time = 2 years
Difference between CI and SI = Rs 15
Step 1: Apply the formula.
For 2 years with annual compounding:
CI - SI = P × (R/100)²
Where:
P = Principal
R = Annual interest rate
Step 2: Substitute the values.
15 = P × (10/100)²
15 = P × (1/10)²
15 = P × 1/100
Step 3: Find the principal.
P = 15 × 100
P = Rs 1,500
Final Answer: Rs 1,500
Shortcut: At 10% per annum for 2 years, the difference between CI and SI is 1% of the principal.
Therefore:
1% of principal = 15
Principal = 15 × 100 = Rs 1,500
हिन्दी में समाधान
दिया गया है:
ब्याज दर = 10% वार्षिक
समय = 2 वर्ष
चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर = 15 रुपये
चरण 1: सूत्र का प्रयोग करें।
2 वर्षों के लिए वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की स्थिति में:
CI - SI = P × (R/100)²
जहाँ:
P = मूलधन
R = वार्षिक ब्याज दर
चरण 2: मान रखें।
15 = P × (10/100)²
15 = P × 1/100
चरण 3: मूलधन ज्ञात करें।
P = 15 × 100
P = 1,500 रुपये
अंतिम उत्तर: 1,500 रुपये
शॉर्टकट: 10% वार्षिक ब्याज दर पर 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का अंतर मूलधन का 1% होता है।
इसलिए:
मूलधन = 15 × 100 = 1,500 रुपये
Question 6. Compound Interest | चक्रवृद्धि ब्याज
English: The amount at the end of the 2nd and 3rd years on a certain principal at compound interest is Rs 9,680 and Rs 10,648 respectively. Find the principal.
हिन्दी: किसी निश्चित मूलधन पर चक्रवृद्धि ब्याज से दूसरे और तीसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन क्रमशः 9,680 रुपये और 10,648 रुपये है। मूलधन ज्ञात कीजिए।
Options | विकल्प
(A) Rs 7,000
(B) Rs 8,000
(C) Rs 8,800
(D) Rs 9,000
Correct Answer: (B) Rs 8,000
Solution in English
Given:
Amount after 2 years = Rs 9,680
Amount after 3 years = Rs 10,648
Step 1: Calculate the interest earned during the 3rd year.
Interest during the 3rd year:
= 10,648 - 9,680
= Rs 968
Step 2: Calculate the annual interest rate.
At the beginning of the 3rd year, the amount is Rs 9,680.
Therefore:
Rate = (968/9,680) × 100
Rate = 10%
Step 3: Apply the compound amount formula.
A = P × (1 + R/100)^n
For 2 years:
9,680 = P × (1 + 10/100)²
9,680 = P × (1.1)²
9,680 = P × 1.21
Step 4: Calculate the principal.
P = 9,680/1.21
P = Rs 8,000
Final Answer: Rs 8,000
हिन्दी में समाधान
दिया गया है:
2 वर्षों के बाद मिश्रधन = 9,680 रुपये
3 वर्षों के बाद मिश्रधन = 10,648 रुपये
चरण 1: तीसरे वर्ष का ब्याज ज्ञात करें।
तीसरे वर्ष का ब्याज:
= 10,648 - 9,680
= 968 रुपये
चरण 2: वार्षिक ब्याज दर ज्ञात करें।
तीसरे वर्ष की शुरुआत में मिश्रधन = 9,680 रुपये
ब्याज दर:
= (968/9,680) × 100
= 10%
चरण 3: चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र लगाएँ।
A = P × (1 + R/100)^n
9,680 = P × (1 + 10/100)²
9,680 = P × 1.21
चरण 4: मूलधन ज्ञात करें।
P = 9,680/1.21
P = 8,000 रुपये
अंतिम उत्तर: 8,000 रुपये
Question 7. Average | औसत
English: The average of 11 numbers is 50. If the first 6 numbers have an average of 49 and the last 6 numbers have an average of 52, find the middle number.
हिन्दी: 11 संख्याओं का औसत 50 है। यदि पहली 6 संख्याओं का औसत 49 और अंतिम 6 संख्याओं का औसत 52 है, तो बीच वाली संख्या ज्ञात कीजिए।
Options | विकल्प
(A) 47
(B) 56
(C) 53
(D) 50
Correct Answer: (B) 56
Solution in English
Step 1: Calculate the sum of all 11 numbers.
Sum = Average × Number of observations
Total sum = 50 × 11 = 550
Step 2: Calculate the sum of the first 6 numbers.
Sum of first 6 numbers = 49 × 6
= 294
Step 3: Calculate the sum of the last 6 numbers.
Sum of last 6 numbers = 52 × 6
= 312
Step 4: Identify the overlapping number.
The first 6 numbers include positions 1 to 6.
The last 6 numbers include positions 6 to 11.
Therefore, the 6th number is included twice when we add both sums.
Step 5: Calculate the middle number.
Middle number = 294 + 312 - 550
= 606 - 550
= 56
Final Answer: 56
हिन्दी में समाधान
चरण 1: सभी 11 संख्याओं का योग ज्ञात करें।
योग = औसत × संख्याओं की संख्या
कुल योग = 50 × 11 = 550
चरण 2: पहली 6 संख्याओं का योग ज्ञात करें।
योग = 49 × 6 = 294
चरण 3: अंतिम 6 संख्याओं का योग ज्ञात करें।
योग = 52 × 6 = 312
चरण 4: समान संख्या की पहचान करें।
पहली 6 संख्याओं में स्थान 1 से 6 तक की संख्याएँ शामिल हैं।
अंतिम 6 संख्याओं में स्थान 6 से 11 तक की संख्याएँ शामिल हैं।
इसलिए छठी संख्या दोनों समूहों में उपस्थित है।
चरण 5: बीच वाली संख्या ज्ञात करें।
बीच वाली संख्या = 294 + 312 - 550
= 606 - 550
= 56
अंतिम उत्तर: 56
Question 8. Number System | संख्या पद्धति
English: The largest 4-digit number which, when divided by 4, 7 or 13, leaves a remainder of 3 in each case is:
हिन्दी: वह सबसे बड़ी 4 अंकों की संख्या कौन-सी है, जिसे 4, 7 या 13 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 3 प्राप्त होता है?
Options | विकल्प
(A) 8739
(B) 9831
(C) 9834
(D) 9893
Correct Answer: (B) 9831
Solution in English
Step 1: Find the LCM of the divisors.
The divisors are 4, 7 and 13.
Since they are pairwise coprime:
LCM = 4 × 7 × 13
LCM = 364
Step 2: Form the required number.
Since the remainder is 3 in each case:
Required number = 364k + 3
Where k is a positive integer.
Step 3: Apply the 4-digit condition.
The largest 4-digit number is 9999.
Therefore:
364k + 3 ≤ 9999
364k ≤ 9996
k ≤ 9996/364
k ≤ 27.46 approximately
The greatest possible integer value of k is 27.
Step 4: Calculate the required number.
Number = 364 × 27 + 3
= 9828 + 3
= 9831
Verification:
9831 ÷ 4 gives remainder 3.
9831 ÷ 7 gives remainder 3.
9831 ÷ 13 gives remainder 3.
Final Answer: 9831
हिन्दी में समाधान
चरण 1: भाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें।
भाजक = 4, 7 और 13
इनका लघुत्तम समापवर्त्य:
LCM = 4 × 7 × 13
= 364
चरण 2: आवश्यक संख्या का रूप लिखें।
प्रत्येक स्थिति में शेषफल 3 है।
अतः:
संख्या = 364k + 3
जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।
चरण 3: 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या की शर्त लगाएँ।
4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999
इसलिए:
364k + 3 ≤ 9999
364k ≤ 9996
k ≤ 27.46 लगभग
अतः k का सबसे बड़ा पूर्णांक मान = 27
चरण 4: संख्या ज्ञात करें।
संख्या = 364 × 27 + 3
= 9828 + 3
= 9831
अंतिम उत्तर: 9831
Question 9. Percentage | प्रतिशत
English: If the price of a notebook decreases by 25%, then a man can buy 5 more notebooks for Rs 200. What is the new price of each notebook?
हिन्दी: यदि 1 नोटबुक की कीमत में 25% की कमी हो जाती है, तो एक व्यक्ति 200 रुपये में पहले की तुलना में 5 नोटबुक अधिक खरीद सकता है। प्रत्येक नोटबुक की नई कीमत कितनी है?
Options | विकल्प
(A) Rs 20
(B) Rs 30
(C) Rs 10
(D) Rs 50
Correct Answer: (C) Rs 10
Solution in English
Step 1: Assume the original price.
Let the original price of 1 notebook be Rs x.
After a 25% reduction:
New price = x × 75/100
= 3x/4
Step 2: Calculate the number of notebooks before and after the reduction.
Original quantity = 200/x
New quantity = 200/(3x/4)
= 800/(3x)
Step 3: Use the given condition.
The person can buy 5 additional notebooks.
Therefore:
800/(3x) - 200/x = 5
Taking the common denominator:
(800 - 600)/(3x) = 5
200/(3x) = 5
200 = 15x
x = 200/15
x = 40/3
Step 4: Calculate the new price.
New price = 3x/4
= (3/4) × (40/3)
= Rs 10
Final Answer: Rs 10
Shortcut Method:
A 25% decrease means the old price and new price are in the ratio 4 : 3.
For the same expenditure, the quantities are in the ratio 3 : 4.
Difference = 1 part = 5 notebooks.
New quantity = 4 × 5 = 20 notebooks.
New price = 200/20 = Rs 10
हिन्दी में समाधान
चरण 1: प्रारंभिक कीमत मान लें।
मान लीजिए 1 नोटबुक की पुरानी कीमत x रुपये है।
25% कमी के बाद:
नई कीमत = x × 75/100
= 3x/4
चरण 2: पुरानी और नई मात्रा ज्ञात करें।
पुरानी मात्रा = 200/x
नई मात्रा = 200/(3x/4)
= 800/(3x)
चरण 3: प्रश्न की शर्त लगाएँ।
नई मात्रा - पुरानी मात्रा = 5
इसलिए:
800/(3x) - 200/x = 5
(800 - 600)/(3x) = 5
200/(3x) = 5
200 = 15x
x = 40/3
चरण 4: नई कीमत ज्ञात करें।
नई कीमत = 3x/4
= (3/4) × (40/3)
= 10 रुपये
अंतिम उत्तर: 10 रुपये
शॉर्टकट विधि:
कीमत में 25% कमी होने पर पुरानी और नई कीमत का अनुपात = 4 : 3
इसलिए समान धनराशि से खरीदी जाने वाली पुरानी और नई मात्राओं का अनुपात = 3 : 4
अंतर = 1 भाग = 5 नोटबुक
नई मात्रा = 4 × 5 = 20 नोटबुक
नई कीमत = 200/20 = 10 रुपये
Question 10. Time, Speed and Distance | समय, चाल और दूरी
English: A boy cycles to the park at 8 km/h and comes back at 4 km/h. If the total time taken is 1.5 hours, find the distance between his home and the park.
हिन्दी: एक लड़का साइकिल से 8 किमी/घंटा की चाल से पार्क जाता है और 4 किमी/घंटा की चाल से वापस आता है। यदि कुल समय 1.5 घंटे लगता है, तो उसके घर और पार्क के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Options | विकल्प
(A) 7 km / 7 किमी
(B) 6 km / 6 किमी
(C) 5 km / 5 किमी
(D) 4 km / 4 किमी
Correct Answer: (D) 4 km
Solution in English
Step 1: Assume the one-way distance.
Let the distance between the house and park be d km.
Step 2: Calculate the time taken in each direction.
Time = Distance/Speed
Time to reach the park = d/8 hours
Time to return = d/4 hours
Step 3: Use the total time.
d/8 + d/4 = 1.5
Taking the common denominator:
d/8 + 2d/8 = 1.5
3d/8 = 1.5
Step 4: Calculate the distance.
3d = 1.5 × 8
3d = 12
d = 4 km
Final Answer: 4 km
Shortcut:
For a round trip with different speeds:
One-way distance = Total time × (Speed 1 × Speed 2)/(Speed 1 + Speed 2)
= 1.5 × (8 × 4)/(8 + 4)
= 1.5 × 32/12
= 4 km
हिन्दी में समाधान
चरण 1: एक तरफ की दूरी मान लें।
घर और पार्क के बीच की दूरी = d किमी
चरण 2: दोनों दिशाओं में लगा समय ज्ञात करें।
समय = दूरी/चाल
पार्क जाने का समय = d/8 घंटे
वापस आने का समय = d/4 घंटे
चरण 3: कुल समय की शर्त लगाएँ।
d/8 + d/4 = 1.5
d/8 + 2d/8 = 1.5
3d/8 = 1.5
चरण 4: दूरी ज्ञात करें।
3d = 12
d = 4 किमी
अंतिम उत्तर: 4 किमी
शॉर्टकट:
एक तरफ की दूरी:
= कुल समय × (दोनों चालों का गुणनफल)/(दोनों चालों का योग)
= 1.5 × (8 × 4)/(8 + 4)
= 4 किमी
Question 11. Time and Work | समय और कार्य
English: A can do a work in 18 days and B in 27 days. They start together, but after 6 days A leaves. In how many more days will B finish the remaining work?
हिन्दी: A किसी कार्य को 18 दिनों में और B उसी कार्य को 27 दिनों में पूरा कर सकता है। दोनों एक साथ कार्य शुरू करते हैं, लेकिन 6 दिनों के बाद A कार्य छोड़ देता है। शेष कार्य को पूरा करने में B को कितने अतिरिक्त दिन लगेंगे?
Options | विकल्प
(A) 10 days / 10 दिन
(B) 11 days / 11 दिन
(C) 12 days / 12 दिन
(D) 13 days / 13 दिन
Correct Answer: (C) 12 days
Solution in English
Step 1: Assume total work using LCM.
A completes the work in 18 days.
B completes the work in 27 days.
LCM of 18 and 27 = 54
Let total work = 54 units.
Step 2: Calculate individual efficiencies.
A's efficiency = 54/18 = 3 units/day
B's efficiency = 54/27 = 2 units/day
Step 3: Calculate work completed together.
Combined efficiency = 3 + 2 = 5 units/day
Work completed in 6 days:
= 5 × 6
= 30 units
Step 4: Calculate remaining work.
Remaining work = 54 - 30
= 24 units
Step 5: Calculate the additional time required by B.
B's efficiency = 2 units/day
Time = 24/2
= 12 days
Final Answer: 12 days
हिन्दी में समाधान
चरण 1: कुल कार्य मान लें।
A कार्य को 18 दिनों में पूरा करता है।
B कार्य को 27 दिनों में पूरा करता है।
18 और 27 का LCM = 54
कुल कार्य = 54 इकाई
चरण 2: दोनों की कार्यक्षमता ज्ञात करें।
A की कार्यक्षमता = 54/18 = 3 इकाई प्रतिदिन
B की कार्यक्षमता = 54/27 = 2 इकाई प्रतिदिन
चरण 3: 6 दिनों में किया गया कार्य ज्ञात करें।
संयुक्त कार्यक्षमता = 3 + 2 = 5 इकाई प्रतिदिन
6 दिनों में कार्य = 5 × 6 = 30 इकाई
चरण 4: शेष कार्य ज्ञात करें।
शेष कार्य = 54 - 30 = 24 इकाई
चरण 5: B द्वारा लिया गया अतिरिक्त समय ज्ञात करें।
समय = शेष कार्य/कार्य क्षमता
= 24/2
= 12 दिन
अंतिम उत्तर: 12 दिन
Question 12. Simple Interest | साधारण ब्याज
English: A person borrows Rs 20,000 at 8% per annum simple interest for 3 years. What is the total interest he will pay at the end of 3 years?
हिन्दी: एक व्यक्ति 8% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से 3 वर्षों के लिए 20,000 रुपये उधार लेता है। 3 वर्षों के अंत में उसे कुल कितना ब्याज देना होगा?
Options | विकल्प
(A) Rs 4,800
(B) Rs 5,200
(C) Rs 6,000
(D) Rs 7,200
Correct Answer: (A) Rs 4,800
Solution in English
Given:
Principal = Rs 20,000
Rate = 8% per annum
Time = 3 years
Step 1: Write the simple interest formula.
SI = (P × R × T)/100
Step 2: Substitute the values.
SI = (20,000 × 8 × 3)/100
SI = 4,80,000/100
SI = Rs 4,800
Step 3: Verify using annual interest.
Interest for 1 year = 8% of 20,000
= Rs 1,600
Interest for 3 years = 1,600 × 3
= Rs 4,800
Final Answer: Rs 4,800
हिन्दी में समाधान
दिया गया है:
मूलधन = 20,000 रुपये
ब्याज दर = 8% वार्षिक
समय = 3 वर्ष
चरण 1: साधारण ब्याज का सूत्र लिखें।
SI = (P × R × T)/100
चरण 2: मान रखें।
SI = (20,000 × 8 × 3)/100
SI = 4,80,000/100
SI = 4,800 रुपये
चरण 3: उत्तर की जाँच करें।
1 वर्ष का ब्याज = 20,000 का 8%
= 1,600 रुपये
3 वर्षों का ब्याज = 1,600 × 3
= 4,800 रुपये
अंतिम उत्तर: 4,800 रुपये
Question 13. Simple Interest | साधारण ब्याज
English: A sum of Rs y amounts to Rs 10,920 at 6% per annum in a time in which a sum of Rs 12,000 amounts to Rs 15,000 at 5% per annum, both at simple interest. The value of y is:
हिन्दी: y रुपये की धनराशि 6% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से एक निश्चित समय में 10,920 रुपये हो जाती है। उसी समय में 12,000 रुपये की धनराशि 5% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से 15,000 रुपये हो जाती है। y का मान ज्ञात कीजिए।
Options | विकल्प
(A) Rs 8,100
(B) Rs 8,400
(C) Rs 7,500
(D) Rs 8,000
Correct Answer: (B) Rs 8,400
Solution in English
Step 1: Calculate the time using the second investment.
Principal = Rs 12,000
Amount = Rs 15,000
Rate = 5%
Simple Interest = 15,000 - 12,000
= Rs 3,000
Step 2: Apply the simple interest formula.
SI = (P × R × T)/100
3,000 = (12,000 × 5 × T)/100
3,000 = 600T
T = 5 years
Step 3: Calculate the principal of the first investment.
For the first investment:
Amount = Rs 10,920
Rate = 6%
Time = 5 years
Amount = P × (1 + RT/100)
10,920 = P × (1 + 6 × 5/100)
10,920 = P × 1.30
Step 4: Calculate P.
P = 10,920/1.30
P = Rs 8,400
Final Answer: Rs 8,400
हिन्दी में समाधान
चरण 1: दूसरी धनराशि से समय ज्ञात करें।
मूलधन = 12,000 रुपये
मिश्रधन = 15,000 रुपये
ब्याज दर = 5%
साधारण ब्याज:
= 15,000 - 12,000
= 3,000 रुपये
चरण 2: साधारण ब्याज का सूत्र लगाएँ।
SI = (P × R × T)/100
3,000 = (12,000 × 5 × T)/100
3,000 = 600T
T = 5 वर्ष
चरण 3: पहली धनराशि का मूलधन ज्ञात करें।
मिश्रधन = 10,920 रुपये
ब्याज दर = 6%
समय = 5 वर्ष
मिश्रधन = P × (1 + RT/100)
10,920 = P × (1 + 30/100)
10,920 = 1.30P
चरण 4: मूलधन ज्ञात करें।
P = 10,920/1.30
P = 8,400 रुपये
अंतिम उत्तर: 8,400 रुपये
Question 14. Surds and Indices | करणी एवं घातांक
English: What is the integer part of the value of the expression x = 1/(√121 - √120)?
हिन्दी: निम्नलिखित व्यंजक x = 1/(√121 - √120) के मान का पूर्णांक भाग क्या होगा?
Options | विकल्प
(A) 12
(B) 11
(C) 21
(D) 22
Correct Answer: (C) 21
Solution in English
Given:
x = 1/(√121 - √120)
Step 1: Rationalize the denominator.
Multiply the numerator and denominator by the conjugate:
√121 + √120
Therefore:
x = (√121 + √120)/[(√121 - √120)(√121 + √120)]
Step 2: Apply the difference of squares.
(a - b)(a + b) = a² - b²
Denominator:
= 121 - 120
= 1
Therefore:
x = √121 + √120
Step 3: Simplify the expression.
√121 = 11
√120 ≈ 10.954
Therefore:
x ≈ 11 + 10.954
x ≈ 21.954
Step 4: Find the integer part.
The integer part is the greatest integer less than or equal to the number.
Integer part of 21.954 = 21
Final Answer: 21
हिन्दी में समाधान
दिया गया है:
x = 1/(√121 - √120)
चरण 1: हर का परिमेयकरण करें।
अंश और हर को √121 + √120 से गुणा करें।
x = (√121 + √120)/[(√121 - √120)(√121 + √120)]
चरण 2: वर्गों के अंतर का सूत्र लगाएँ।
(a - b)(a + b) = a² - b²
हर = 121 - 120 = 1
इसलिए:
x = √121 + √120
चरण 3: मान ज्ञात करें।
√121 = 11
√120 ≈ 10.954
इसलिए:
x ≈ 11 + 10.954
x ≈ 21.954
चरण 4: पूर्णांक भाग ज्ञात करें।
21.954 का पूर्णांक भाग = 21
अंतिम उत्तर: 21
Question 15. Mensuration – Cylinder and Sphere | क्षेत्रमिति – बेलन एवं गोला
English: A right circular cylinder having radius r and height h is inscribed in a sphere. The sphere's diameter is D. What is the relationship between the height of the cylinder h and its radius r in terms of the sphere's diameter D?
हिन्दी: r त्रिज्या और h ऊँचाई वाला एक लम्बवृत्तीय बेलन एक गोले के अंदर अंतर्लिखित है। गोले का व्यास D है। गोले के व्यास D के संदर्भ में बेलन की ऊँचाई h और त्रिज्या r के बीच क्या संबंध होगा?
Options | विकल्प
(A) h = √(D² - 4r²)
(B) 2h = √(5D² - 4r²)
(C) 3h = √(D² - r²)
(D) h = √(5D² - r²)
Correct Answer: (A) h = √(D² - 4r²)
Solution in English
Step 1: Understand the geometry.
A cylinder is inscribed inside a sphere.
The cylinder touches the sphere at its circular boundaries.
Let:
Cylinder radius = r
Cylinder height = h
Sphere diameter = D
Sphere radius = D/2
Step 2: Form a right-angled triangle.
Take a cross-section through the centre of the sphere and the axis of the cylinder.
The cross-section of the cylinder is a rectangle inside a circle.
Half the cylinder height = h/2
Cylinder radius = r
Sphere radius = D/2
These form a right-angled triangle.
Step 3: Apply the Pythagorean theorem.
(D/2)² = (h/2)² + r²
D²/4 = h²/4 + r²
Step 4: Multiply by 4.
D² = h² + 4r²
Rearranging:
h² = D² - 4r²
Taking the positive square root:
h = √(D² - 4r²)
Final Answer: h = √(D² - 4r²)
हिन्दी में समाधान
चरण 1: ज्यामितीय संरचना समझें।
एक बेलन गोले के अंदर अंतर्लिखित है।
बेलन की त्रिज्या = r
बेलन की ऊँचाई = h
गोले का व्यास = D
गोले की त्रिज्या = D/2
चरण 2: समकोण त्रिभुज बनाएँ।
गोले के केंद्र और बेलन की धुरी से गुजरने वाला अनुप्रस्थ काट लेने पर बेलन का आयताकार काट प्राप्त होता है।
इसमें:
आधा बेलन ऊँचाई = h/2
बेलन की त्रिज्या = r
गोले की त्रिज्या = D/2
ये तीनों मिलकर समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
चरण 3: पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ।
(D/2)² = (h/2)² + r²
D²/4 = h²/4 + r²
चरण 4: दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें।
D² = h² + 4r²
h² = D² - 4r²
इसलिए:
h = √(D² - 4r²)
अंतिम उत्तर: h = √(D² - 4r²)
Question 16. Mixture and Alligation | मिश्रण
English: A container holds 70 litres of a milk-water mixture in which water makes up 10% of the total. How many litres of pure water should be added so that the proportion of water in the mixture increases to 25%?
हिन्दी: एक बर्तन में 70 लीटर दूध और पानी का मिश्रण है, जिसमें पानी कुल मिश्रण का 10% है। मिश्रण में पानी का प्रतिशत बढ़ाकर 25% करने के लिए कितने लीटर शुद्ध पानी मिलाना होगा?
Options | विकल्प
(A) 15 litres / 15 लीटर
(B) 10 litres / 10 लीटर
(C) 12 litres / 12 लीटर
(D) 14 litres / 14 लीटर
Correct Answer: (D) 14 litres
Solution in English
Step 1: Calculate the initial quantity of water.
Total mixture = 70 litres
Water percentage = 10%
Initial water = 70 × 10/100
= 7 litres
Step 2: Calculate the initial quantity of milk.
Milk = 70 - 7
= 63 litres
Step 3: Assume the quantity of added water.
Let x litres of pure water be added.
New water quantity = 7 + x
New total mixture = 70 + x
Step 4: Apply the new percentage condition.
Water must constitute 25% of the new mixture.
Therefore:
(7 + x)/(70 + x) = 25/100
(7 + x)/(70 + x) = 1/4
Step 5: Solve the equation.
4(7 + x) = 70 + x
28 + 4x = 70 + x
3x = 42
x = 14
Step 6: Verify.
Final water = 7 + 14 = 21 litres
Final mixture = 70 + 14 = 84 litres
Water percentage = (21/84) × 100 = 25%
Final Answer: 14 litres
हिन्दी में समाधान
चरण 1: प्रारंभिक पानी की मात्रा ज्ञात करें।
कुल मिश्रण = 70 लीटर
पानी का प्रतिशत = 10%
पानी = 70 × 10/100
= 7 लीटर
चरण 2: दूध की मात्रा ज्ञात करें।
दूध = 70 - 7
= 63 लीटर
चरण 3: मिलाए गए पानी की मात्रा मान लें।
मान लीजिए x लीटर शुद्ध पानी मिलाया जाता है।
नई पानी की मात्रा = 7 + x
नया कुल मिश्रण = 70 + x
चरण 4: प्रतिशत की शर्त लगाएँ।
(7 + x)/(70 + x) = 25/100
(7 + x)/(70 + x) = 1/4
चरण 5: समीकरण हल करें।
4(7 + x) = 70 + x
28 + 4x = 70 + x
3x = 42
x = 14
चरण 6: उत्तर की जाँच करें।
अंतिम पानी = 7 + 14 = 21 लीटर
अंतिम मिश्रण = 70 + 14 = 84 लीटर
पानी का प्रतिशत = (21/84) × 100 = 25%
अंतिम उत्तर: 14 लीटर
Question 17. Mensuration – Hemisphere | क्षेत्रमिति – अर्धगोला
English: A hemispherical bowl is made of iron with a thickness of 0.5 cm. The inner radius is 3 cm. Find the volume of iron used to make the bowl.
हिन्दी: लोहे से बना एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.5 सेमी मोटा है। इसकी आंतरिक त्रिज्या 3 सेमी है। कटोरा बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
Options | विकल्प
(A) 143π/11 cm³
(B) 167π/13 cm³
(C) 127π/12 cm³
(D) 123π/12 cm³
Correct Answer: (C) 127π/12 cm³
Solution in English
Given:
Inner radius = 3 cm
Thickness = 0.5 cm
Step 1: Calculate the outer radius.
Outer radius = Inner radius + Thickness
R = 3 + 0.5
R = 3.5 cm
Step 2: Write the hemisphere volume formula.
Volume of a hemisphere:
V = (2/3)πr³
Since the bowl is hollow, the volume of iron is:
Volume of outer hemisphere - Volume of inner hemisphere
Step 3: Substitute the radii.
Volume of iron:
= (2/3)π(3.5³ - 3³)
Step 4: Calculate the cubes.
3.5³ = 42.875
3³ = 27
Difference = 42.875 - 27
= 15.875
Step 5: Calculate the volume.
Volume = (2/3)π × 15.875
= (2/3)π × 127/8
= 254π/24
= 127π/12 cm³
Final Answer: 127π/12 cm³
हिन्दी में समाधान
दिया गया है:
आंतरिक त्रिज्या = 3 सेमी
मोटाई = 0.5 सेमी
चरण 1: बाहरी त्रिज्या ज्ञात करें।
बाहरी त्रिज्या = आंतरिक त्रिज्या + मोटाई
R = 3 + 0.5
R = 3.5 सेमी
चरण 2: अर्धगोले के आयतन का सूत्र लिखें।
अर्धगोले का आयतन:
V = (2/3)πr³
कटोरा खोखला है।
इसलिए:
लोहे का आयतन = बाहरी अर्धगोले का आयतन - आंतरिक अर्धगोले का आयतन
चरण 3: मान रखें।
लोहे का आयतन:
= (2/3)π(3.5³ - 3³)
चरण 4: घनों का मान ज्ञात करें।
3.5³ = 42.875
3³ = 27
अंतर = 42.875 - 27
= 15.875
चरण 5: अंतिम आयतन ज्ञात करें।
आयतन = (2/3)π × 15.875
= (2/3)π × 127/8
= 127π/12 घन सेमी
अंतिम उत्तर: 127π/12 घन सेमी
Question 18. Recurring Decimals | आवर्ती दशमलव
English: Convert the recurring decimal 0.272727... into a simple fraction in its lowest terms.
हिन्दी: आवर्ती दशमलव संख्या 0.272727... को उसके सरलतम रूप में एक साधारण भिन्न में परिवर्तित कीजिए।
Options | विकल्प
(A) 27/100
(B) 3/11
(C) 7/99
(D) 1/33
Correct Answer: (B) 3/11
Solution in English
Step 1: Assume the recurring decimal.
Let:
x = 0.272727...
The repeating block is 27.
Step 2: Multiply by 100.
Since 2 digits repeat, multiply by 100.
100x = 27.272727...
Step 3: Subtract the original equation.
100x = 27.272727...
x = 0.272727...
Subtracting:
99x = 27
Step 4: Calculate x.
x = 27/99
Divide numerator and denominator by 9.
x = 3/11
Final Answer: 3/11
हिन्दी में समाधान
चरण 1: आवर्ती दशमलव को x मान लें।
x = 0.272727...
इसमें 27 बार-बार दोहराया जा रहा है।
चरण 2: दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें।
100x = 27.272727...
चरण 3: मूल समीकरण घटाएँ।
100x = 27.272727...
x = 0.272727...
घटाने पर:
99x = 27
चरण 4: x का मान ज्ञात करें।
x = 27/99
अंश और हर को 9 से भाग दें।
x = 3/11
अंतिम उत्तर: 3/11
Question 19. Indices and Exponents | घातांक
English: If (3²)⁴ = 3ˣ, what is x?
हिन्दी: यदि (3²)⁴ = 3ˣ है, तो x का मान क्या होगा?
Options | विकल्प
(A) 8
(B) 9
(C) 6
(D) 7
Correct Answer: (A) 8
Solution in English
Given:
(3²)⁴ = 3ˣ
Step 1: Recall the law of exponents.
(a^m)^n = a^(m × n)
When a power is raised to another power, multiply the exponents.
Step 2: Apply the rule.
(3²)⁴ = 3^(2 × 4)
= 3⁸
Step 3: Compare both sides.
3⁸ = 3ˣ
Since the bases are equal:
x = 8
Final Answer: 8
हिन्दी में समाधान
दिया गया है:
(3²)⁴ = 3ˣ
चरण 1: घातांक का नियम याद करें।
(a^m)^n = a^(m × n)
जब किसी घात को दूसरी घात तक उठाया जाता है, तो दोनों घातांकों को गुणा किया जाता है।
चरण 2: नियम लगाएँ।
(3²)⁴ = 3^(2 × 4)
= 3⁸
चरण 3: दोनों पक्षों की तुलना करें।
3⁸ = 3ˣ
आधार समान होने के कारण:
x = 8
अंतिम उत्तर: 8
Question 20. Coordinate Geometry – Orthocenter | निर्देशांक ज्यामिति – लंबकेंद्र
English: The coordinates of the vertices of a triangle are A(0, 0), B(8, 0) and C(0, 6). What is the location of the orthocenter?
हिन्दी: एक त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक A(0, 0), B(8, 0) और C(0, 6) हैं। इस त्रिभुज के लंबकेंद्र के निर्देशांक क्या होंगे?
Options | विकल्प
(A) (0, 0)
(B) (4, 3)
(C) (8, 0)
(D) (0, 6)
Correct Answer: (A) (0, 0)
Solution in English
Step 1: Identify the vertices.
A = (0, 0)
B = (8, 0)
C = (0, 6)
Step 2: Examine the sides.
AB lies along the x-axis because both A and B have y-coordinate 0.
AC lies along the y-axis because both A and C have x-coordinate 0.
Step 3: Determine the angle at A.
The x-axis and y-axis are perpendicular.
Therefore:
Angle BAC = 90°
The triangle is right-angled at A.
Step 4: Apply the orthocenter property.
The orthocenter is the point where the 3 altitudes of a triangle intersect.
For a right-angled triangle, the orthocenter lies at the vertex containing the right angle.
Therefore, the orthocenter is A(0, 0).
Final Answer: (0, 0)
हिन्दी में समाधान
चरण 1: त्रिभुज के शीर्ष पहचानें।
A = (0, 0)
B = (8, 0)
C = (0, 6)
चरण 2: भुजाओं की स्थिति समझें।
AB, x-अक्ष पर स्थित है क्योंकि A और B दोनों का y-निर्देशांक 0 है।
AC, y-अक्ष पर स्थित है क्योंकि A और C दोनों का x-निर्देशांक 0 है।
चरण 3: A पर बनने वाला कोण ज्ञात करें।
x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
इसलिए:
कोण BAC = 90°
अतः त्रिभुज A पर समकोण त्रिभुज है।
चरण 4: लंबकेंद्र का गुणधर्म लगाएँ।
किसी त्रिभुज की 3 ऊँचाइयाँ जिस बिंदु पर मिलती हैं, उसे लंबकेंद्र कहते हैं।
समकोण त्रिभुज में लंबकेंद्र समकोण वाले शीर्ष पर स्थित होता है।
इसलिए लंबकेंद्र = A(0, 0)
अंतिम उत्तर: (0, 0)
Question 21. Similar Triangles | समरूप त्रिभुज
English: Two similar triangles have areas in the ratio of 9 : 25. What is the ratio of their corresponding altitudes?
हिन्दी: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 25 है। उनकी संगत ऊँचाइयों का अनुपात क्या होगा?
Options | विकल्प
(A) 3 : 5
(B) 9 : 25
(C) 3 : 25
(D) 81 : 625
Correct Answer: (A) 3 : 5
Solution in English
Step 1: Identify the given area ratio.
Area of triangle 1 : Area of triangle 2 = 9 : 25
Step 2: Recall the similarity property.
For 2 similar triangles:
Area ratio = Square of corresponding side ratio
The same relationship applies to corresponding altitudes.
Therefore:
Area 1/Area 2 = (Altitude 1/Altitude 2)²
Step 3: Substitute the values.
9/25 = (h1/h2)²
Step 4: Take square roots.
h1/h2 = √(9/25)
= 3/5
Therefore:
h1 : h2 = 3 : 5
Final Answer: 3 : 5
हिन्दी में समाधान
चरण 1: दिया गया क्षेत्रफल अनुपात लिखें।
पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल : दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 9 : 25
चरण 2: समरूप त्रिभुजों का गुणधर्म याद करें।
2 समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
यही नियम संगत ऊँचाइयों पर भी लागू होता है।
इसलिए:
क्षेत्रफलों का अनुपात = (ऊँचाइयों का अनुपात)²
चरण 3: मान रखें।
9/25 = (h1/h2)²
चरण 4: वर्गमूल निकालें।
h1/h2 = √(9/25)
= 3/5
इसलिए:
h1 : h2 = 3 : 5
अंतिम उत्तर: 3 : 5
Question 22. Coordinate Geometry – Straight Lines | निर्देशांक ज्यामिति – सरल रेखाएँ
English: Find the equation of a line that is parallel to y = 3x - 5 and passes through the point (1, 2).
हिन्दी: उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y = 3x - 5 के समानांतर है और बिंदु (1, 2) से होकर गुजरती है।
Options | विकल्प
(A) y = 3x - 1
(B) y = 3x + 1
(C) y = 3x - 2
(D) y = 3x + 2
Correct Answer: (A) y = 3x - 1
Solution in English
Step 1: Identify the slope of the given line.
Given line:
y = 3x - 5
The slope-intercept form is:
y = mx + c
Where m represents the slope.
Therefore:
m = 3
Step 2: Use the property of parallel lines.
Parallel lines have equal slopes.
Hence, the required line also has slope 3.
Step 3: Write the equation of the required line.
y = 3x + c
The line passes through (1, 2).
Therefore:
x = 1
y = 2
Step 4: Substitute the point.
2 = 3 × 1 + c
2 = 3 + c
c = -1
Step 5: Write the final equation.
y = 3x - 1
Final Answer: y = 3x - 1
हिन्दी में समाधान
चरण 1: दी गई रेखा की ढाल ज्ञात करें।
दी गई रेखा:
y = 3x - 5
सरल रेखा का मानक रूप:
y = mx + c
जहाँ m ढाल को दर्शाता है।
इसलिए:
m = 3
चरण 2: समानांतर रेखाओं का गुणधर्म लगाएँ।
समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है।
इसलिए आवश्यक रेखा की ढाल भी 3 होगी।
चरण 3: आवश्यक रेखा का समीकरण लिखें।
y = 3x + c
रेखा बिंदु (1, 2) से गुजरती है।
इसलिए:
x = 1
y = 2
चरण 4: मान रखें।
2 = 3 × 1 + c
2 = 3 + c
c = -1
चरण 5: अंतिम समीकरण लिखें।
y = 3x - 1
अंतिम उत्तर: y = 3x - 1
Question 23. Similarity and Scale | समरूपता एवं मापनी
English: A triangular-shaped park and a model of the park are similar. The ratio of their corresponding side lengths is 1 : 200 (model : actual park). If a path in the park is 100 meters long, what is the length of the corresponding path in the model?
हिन्दी: एक त्रिभुजाकार पार्क और उसका मॉडल समरूप हैं। मॉडल तथा वास्तविक पार्क की संगत भुजाओं की लंबाइयों का अनुपात 1 : 200 है। यदि वास्तविक पार्क में एक रास्ते की लंबाई 100 मीटर है, तो मॉडल में संगत रास्ते की लंबाई कितनी होगी?
Options | विकल्प
(A) 15 cm / 15 सेमी
(B) 50 cm / 50 सेमी
(C) 43 cm / 43 सेमी
(D) 29 cm / 29 सेमी
Correct Answer: (B) 50 cm
Solution in English
Step 1: Identify the scale ratio.
Model : Actual park = 1 : 200
This means 1 unit in the model represents 200 units in the actual park.
Step 2: Convert the actual distance into centimetres.
Actual path length = 100 metres
1 metre = 100 cm
Therefore:
100 metres = 100 × 100
= 10,000 cm
Step 3: Apply the scale ratio.
Model length/Actual length = 1/200
Model length = 10,000/200
= 50 cm
Step 4: Verify.
50 × 200 = 10,000 cm
10,000 cm = 100 metres
Final Answer: 50 cm
हिन्दी में समाधान
चरण 1: मापनी का अनुपात पहचानें।
मॉडल : वास्तविक पार्क = 1 : 200
अर्थात मॉडल की 1 इकाई वास्तविक पार्क की 200 इकाइयों के बराबर है।
चरण 2: वास्तविक दूरी को सेंटीमीटर में बदलें।
वास्तविक रास्ते की लंबाई = 100 मीटर
1 मीटर = 100 सेमी
इसलिए:
100 मीटर = 100 × 100
= 10,000 सेमी
चरण 3: अनुपात का प्रयोग करें।
मॉडल की लंबाई/वास्तविक लंबाई = 1/200
मॉडल की लंबाई = 10,000/200
= 50 सेमी
चरण 4: उत्तर की जाँच करें।
50 × 200 = 10,000 सेमी
= 100 मीटर
अंतिम उत्तर: 50 सेमी
Question 24. Algebraic Identities | बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ
English: Simplify the following expression:
[(a² - b²)³ + (b² - c²)³ + (c² - a²)³] / [(a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³]
हिन्दी: निम्नलिखित बीजगणितीय व्यंजक को सरल कीजिए:
[(a² - b²)³ + (b² - c²)³ + (c² - a²)³] / [(a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³]
Options | विकल्प
(A) (a + b)(b + c)(c + a)
(B) (2a + b)(b + c)(3c + a)
(C) (2a + b)(2b + c)(2c + a)
(D) (a + 3b)(b + 3c)(c + 3a)
Correct Answer: (A) (a + b)(b + c)(c + a)
Solution in English
Step 1: Recall the algebraic identity.
If x + y + z = 0, then:
x³ + y³ + z³ = 3xyz
This identity is particularly useful when the sum of 3 expressions equals 0.
Step 2: Simplify the numerator.
Numerator:
N = (a² - b²)³ + (b² - c²)³ + (c² - a²)³
Let:
x = a² - b²
y = b² - c²
z = c² - a²
Now:
x + y + z
= a² - b² + b² - c² + c² - a²
= 0
Therefore, using the identity:
N = 3(a² - b²)(b² - c²)(c² - a²)
Step 3: Simplify the denominator.
Denominator:
D = (a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³
Let:
p = a - b
q = b - c
r = c - a
Then:
p + q + r
= a - b + b - c + c - a
= 0
Therefore:
D = 3(a - b)(b - c)(c - a)
Step 4: Form the simplified fraction.
N/D = [3(a² - b²)(b² - c²)(c² - a²)]/[3(a - b)(b - c)(c - a)]
Cancel 3.
Step 5: Apply the difference of squares.
We know:
a² - b² = (a - b)(a + b)
b² - c² = (b - c)(b + c)
c² - a² = (c - a)(c + a)
Substituting:
N/D = [(a - b)(a + b)(b - c)(b + c)(c - a)(c + a)]/[(a - b)(b - c)(c - a)]
Cancel the common factors.
The result is:
(a + b)(b + c)(c + a)
Final Answer: (a + b)(b + c)(c + a)
This simplification applies wherever the original denominator is nonzero.
हिन्दी में समाधान
चरण 1: महत्वपूर्ण बीजगणितीय सर्वसमिका याद करें।
यदि x + y + z = 0 है, तो:
x³ + y³ + z³ = 3xyz
यह सर्वसमिका तब उपयोगी होती है जब 3 व्यंजकों का योग 0 हो।
चरण 2: अंश को सरल करें।
अंश:
N = (a² - b²)³ + (b² - c²)³ + (c² - a²)³
मान लीजिए:
x = a² - b²
y = b² - c²
z = c² - a²
अब:
x + y + z
= a² - b² + b² - c² + c² - a²
= 0
इसलिए सर्वसमिका के अनुसार:
N = 3(a² - b²)(b² - c²)(c² - a²)
चरण 3: हर को सरल करें।
हर:
D = (a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³
मान लीजिए:
p = a - b
q = b - c
r = c - a
तब:
p + q + r
= a - b + b - c + c - a
= 0
इसलिए:
D = 3(a - b)(b - c)(c - a)
चरण 4: अंश और हर का अनुपात लिखें।
N/D = [3(a² - b²)(b² - c²)(c² - a²)]/[3(a - b)(b - c)(c - a)]
दोनों पक्षों से 3 निरस्त करें।
चरण 5: वर्गों के अंतर का सूत्र लगाएँ।
a² - b² = (a - b)(a + b)
b² - c² = (b - c)(b + c)
c² - a² = (c - a)(c + a)
मान रखने पर:
N/D = [(a - b)(a + b)(b - c)(b + c)(c - a)(c + a)]/[(a - b)(b - c)(c - a)]
समान गुणनखंडों को निरस्त करने पर:
(a + b)(b + c)(c + a)
अंतिम उत्तर: (a + b)(b + c)(c + a)
यह सरलीकरण उन मानों के लिए मान्य है जिनके लिए मूल हर 0 नहीं है।
Question 25. Trigonometric Identities | त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
English: If tan(x) + cot(x) = 2, find sin(x) cos(x).
हिन्दी: यदि tan(x) + cot(x) = 2 है, तो sin(x) cos(x) का मान ज्ञात कीजिए।
Options | विकल्प
(A) 1
(B) 6/7
(C) 1/2
(D) 7/9
Correct Answer: (C) 1/2
Solution in English
Given:
tan(x) + cot(x) = 2
Step 1: Express tan(x) and cot(x) using sine and cosine.
We know:
tan(x) = sin(x)/cos(x)
cot(x) = cos(x)/sin(x)
Therefore:
tan(x) + cot(x)
= sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x)
Step 2: Take the common denominator.
= [sin²(x) + cos²(x)]/[sin(x)cos(x)]
Step 3: Apply the fundamental trigonometric identity.
sin²(x) + cos²(x) = 1
Therefore:
tan(x) + cot(x) = 1/[sin(x)cos(x)]
Step 4: Substitute the given value.
1/[sin(x)cos(x)] = 2
Step 5: Solve for sin(x)cos(x).
1 = 2sin(x)cos(x)
sin(x)cos(x) = 1/2
Final Answer: 1/2
Shortcut Method:
Remember the identity:
tan(x) + cot(x) = 1/[sin(x)cos(x)]
Therefore:
sin(x)cos(x) = 1/[tan(x) + cot(x)]
= 1/2
हिन्दी में समाधान
दिया गया है:
tan(x) + cot(x) = 2
चरण 1: tan(x) और cot(x) को sin और cos के रूप में लिखें।
हम जानते हैं:
tan(x) = sin(x)/cos(x)
cot(x) = cos(x)/sin(x)
इसलिए:
tan(x) + cot(x)
= sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x)
चरण 2: समान हर लें।
= [sin²(x) + cos²(x)]/[sin(x)cos(x)]
चरण 3: मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका लगाएँ।
sin²(x) + cos²(x) = 1
इसलिए:
tan(x) + cot(x) = 1/[sin(x)cos(x)]
चरण 4: प्रश्न में दिया गया मान रखें।
1/[sin(x)cos(x)] = 2
चरण 5: आवश्यक मान ज्ञात करें।
1 = 2sin(x)cos(x)
sin(x)cos(x) = 1/2
अंतिम उत्तर: 1/2
शॉर्टकट विधि:
महत्वपूर्ण सर्वसमिका:
tan(x) + cot(x) = 1/[sin(x)cos(x)]
इसलिए:
sin(x)cos(x) = 1/[tan(x) + cot(x)]
= 1/2
Conclusion | निष्कर्ष
English
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हिन्दी
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