Lines and Angles – 100 Geometry Questions with Solutions | रेखाएँ और कोण – 100 प्रश्न | SSC & Railway 2026

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This practice chapter contains 100 progressively challenging questions on lines and angles. Each question is provided in English and Hindi, along with its answer and step-by-step solution in both languages. The questions cover fundamental concepts, complementary and supplementary angles, intersecting lines, parallel lines, transversals, angle bisectors, algebraic applications and advanced geometry.

इस अध्याय में रेखाओं और कोणों पर आधारित 100 प्रश्न दिए गए हैं। प्रश्नों को आसान से अत्यंत कठिन स्तर तक व्यवस्थित किया गया है। प्रत्येक प्रश्न के साथ अंग्रेज़ी और हिंदी में उत्तर तथा चरणबद्ध समाधान दिया गया है।

Level 1 – Basic Concepts (Questions 1–20)

स्तर 1 – मूलभूत अवधारणाएँ

Question 1. What is the measure of a straight angle?

एक सरल कोण का माप कितना होता है?

Answer / उत्तर: 180°

Solution (English): A straight angle is formed by two opposite rays with a common endpoint. It measures exactly 180°.

समाधान (हिंदी): सरल कोण दो विपरीत किरणों से बनता है जिनका प्रारंभिक बिंदु समान होता है। इसका माप 180° होता है।

Question 2. What is the measure of a complete angle?

एक पूर्ण कोण का माप कितना होता है?

Answer / उत्तर: 360°

Solution (English): One complete rotation about a fixed point forms an angle of 360°.

समाधान (हिंदी): किसी निश्चित बिंदु के चारों ओर एक पूरा चक्कर लगाने पर 360° का कोण बनता है।

Question 3. Two angles are complementary. If one angle is 35°, find the other.

दो कोण पूरक हैं। यदि एक कोण 35° है, तो दूसरा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 55°

Solution (English): Complementary angles sum to 90°. Required angle = 90° − 35° = 55°.

समाधान (हिंदी): पूरक कोणों का योग 90° होता है। दूसरा कोण = 90° − 35° = 55°।

Question 4. Two angles are supplementary. If one angle is 112°, find the other.

दो कोण संपूरक हैं। यदि एक कोण 112° है, तो दूसरा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 68°

Solution (English): Supplementary angles sum to 180°. Required angle = 180° − 112° = 68°.

समाधान (हिंदी): संपूरक कोणों का योग 180° होता है। दूसरा कोण = 180° − 112° = 68°।

Question 5. Find the angle vertically opposite to an angle of 73°.

73° के कोण के शीर्षाभिमुख कोण का माप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 73°

Solution (English): Vertically opposite angles formed by two intersecting lines are equal.

समाधान (हिंदी): दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाले शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

Question 6. Two adjacent angles form a linear pair. One angle is 47°. Find the other.

दो आसन्न कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं। यदि एक कोण 47° है, तो दूसरा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 133°

Solution (English): Linear-pair angles sum to 180°. Therefore, 180° − 47° = 133°.

समाधान (हिंदी): रैखिक युग्म के कोणों का योग 180° होता है। अतः दूसरा कोण = 133°।

Question 7. What type of angle measures 125°?

125° का कोण किस प्रकार का कोण है?

Answer / उत्तर: Obtuse angle / अधिक कोण

Solution (English): An angle greater than 90° but less than 180° is called an obtuse angle.

समाधान (हिंदी): 90° से अधिक तथा 180° से कम माप वाले कोण को अधिक कोण कहते हैं।

Question 8. Three angles around a point are 85°, 120° and x°. Find x.

एक बिंदु के चारों ओर तीन कोण 85°, 120° तथा x° हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 155°

Solution (English): Angles around a point sum to 360°. Thus, x = 360 − 85 − 120 = 155°.

समाधान (हिंदी): एक बिंदु के चारों ओर कोणों का योग 360° होता है। अतः x = 155°।

Question 9. An angle is twice its complement. Find the angle.

एक कोण अपने पूरक कोण का दोगुना है। कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): Let the angle be x. Then x = 2(90 − x). Thus 3x = 180, giving x = 60°.

समाधान (हिंदी): माना कोण x है। तब x = 2(90 − x)। हल करने पर 3x = 180, इसलिए x = 60°।

Question 10. An angle is one-third of its supplement. Find the angle.

एक कोण अपने संपूरक कोण का एक-तिहाई है। कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 45°

Solution (English): Let the angle be x. Then 3x = 180 − x. Therefore 4x = 180 and x = 45°.

समाधान (हिंदी): माना कोण x है। तब 3x = 180 − x। इसलिए 4x = 180 और x = 45°।

Question 11. Two complementary angles are in the ratio 2:3. Find the larger angle.

दो पूरक कोणों का अनुपात 2:3 है। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 54°

Solution (English): Let the angles be 2x and 3x. Then 5x = 90, so x = 18. Larger angle = 3 × 18 = 54°.

समाधान (हिंदी): कोण 2x और 3x मानें। तब 5x = 90, अतः x = 18। बड़ा कोण = 54°।

Question 12. Two supplementary angles are in the ratio 4:5. Find the smaller angle.

दो संपूरक कोणों का अनुपात 4:5 है। छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 80°

Solution (English): 4x + 5x = 180, so x = 20. Smaller angle = 4 × 20 = 80°.

समाधान (हिंदी): 9x = 180, इसलिए x = 20। छोटा कोण = 4 × 20 = 80°।

Question 13. Two intersecting lines form one angle of 128°. Find the measure of each adjacent angle.

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ 128° का एक कोण बनाती हैं। प्रत्येक आसन्न कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 52°

Solution (English): Each adjacent angle is supplementary to 128°. Hence 180 − 128 = 52°.

समाधान (हिंदी): प्रत्येक आसन्न कोण का योग 128° के साथ 180° होगा। इसलिए 52°।

Question 14. Five equal angles are formed around a point. Find each angle.

एक बिंदु के चारों ओर पाँच बराबर कोण बनते हैं। प्रत्येक कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 72°

Solution (English): Each angle = 360° ÷ 5 = 72°.

समाधान (हिंदी): प्रत्येक कोण = 360° ÷ 5 = 72°।

Question 15. An angle exceeds its complement by 26°. Find the angle.

एक कोण अपने पूरक कोण से 26° अधिक है। कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 58°

Solution (English): x − (90 − x) = 26. Therefore 2x = 116 and x = 58°.

समाधान (हिंदी): x − (90 − x) = 26। अतः 2x = 116 और x = 58°।

Question 16. The supplement of an angle is 40° more than the angle. Find the angle.

किसी कोण का संपूरक कोण उससे 40° अधिक है। कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): 180 − x = x + 40. Thus 2x = 140 and x = 70°.

समाधान (हिंदी): 180 − x = x + 40। इसलिए x = 70°।

Question 17. Two angles form a linear pair. Their difference is 64°. Find the larger angle.

दो कोण रैखिक युग्म बनाते हैं। उनका अंतर 64° है। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 122°

Solution (English): Let the larger angle be x and smaller angle y. x + y = 180 and x − y = 64. Adding gives 2x = 244, so x = 122°.

समाधान (हिंदी): x + y = 180 तथा x − y = 64। दोनों समीकरण जोड़ने पर 2x = 244, अतः x = 122°।

Question 18. Four angles around a point are in the ratio 1:2:3:4. Find the largest angle.

एक बिंदु के चारों ओर चार कोणों का अनुपात 1:2:3:4 है। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 144°

Solution (English): Total parts = 10. One part = 360 ÷ 10 = 36°. Largest angle = 4 × 36 = 144°.

समाधान (हिंदी): कुल भाग = 10। एक भाग = 36°। सबसे बड़ा कोण = 144°।

Question 19. Two complementary angles differ by 18°. Find the smaller angle.

दो पूरक कोणों का अंतर 18° है। छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 36°

Solution (English): Smaller angle = (90 − 18) ÷ 2 = 36°.

समाधान (हिंदी): छोटा कोण = (90 − 18) ÷ 2 = 36°।

Question 20. If 25% of a straight angle is added to 30°, find the resulting angle.

यदि सरल कोण के 25% में 30° जोड़ दिया जाए, तो प्राप्त कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 75°

Solution (English): 25% of 180° = 45°. Therefore 45° + 30° = 75°.

समाधान (हिंदी): 180° का 25% = 45°। अतः कुल कोण = 75°।

Level 2 – Parallel Lines and Transversals (Questions 21–40)

स्तर 2 – समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखाएँ

For Questions 21–40, assume the lines mentioned as parallel are distinct straight lines, and angles are measured in degrees.

प्रश्न 21–40 में समांतर रेखाएँ अलग-अलग सीधी रेखाएँ हैं तथा कोणों का माप डिग्री में है।

Question 21. Two parallel lines are cut by a transversal. One corresponding angle is 68°. Find the other corresponding angle.

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक संगत कोण 68° है। दूसरा संगत कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 68°

Solution (English): Corresponding angles are equal when parallel lines are cut by a transversal.

समाधान (हिंदी): समांतर रेखाओं को तिर्यक रेखा काटने पर संगत कोण बराबर होते हैं।

Question 22. An alternate interior angle is 115°. Find its corresponding alternate interior angle.

एक एकांतर अंतः कोण 115° है। उसका दूसरा एकांतर अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 115°

Solution (English): Alternate interior angles between parallel lines are equal.

समाधान (हिंदी): समांतर रेखाओं के बीच एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं।

Question 23. Two co-interior angles are formed by a transversal of parallel lines. One angle is 124°. Find the other.

समांतर रेखाओं को काटने वाली तिर्यक रेखा से बने एक ही ओर के दो अंतः कोणों में एक 124° है। दूसरा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 56°

Solution (English): Co-interior angles are supplementary. Hence 180 − 124 = 56°.

समाधान (हिंदी): एक ही ओर के अंतः कोणों का योग 180° होता है। दूसरा कोण = 56°।

Question 24. Corresponding angles are (3x + 10)° and (5x − 30)°. Find x.

संगत कोण (3x + 10)° और (5x − 30)° हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 20

Solution (English): 3x + 10 = 5x − 30. Therefore 2x = 40 and x = 20.

समाधान (हिंदी): संगत कोण बराबर हैं। इसलिए 3x + 10 = 5x − 30। अतः x = 20।

Question 25. Alternate interior angles are (7x − 15)° and (4x + 30)°. Find x.

एकांतर अंतः कोण (7x − 15)° तथा (4x + 30)° हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 15

Solution (English): 7x − 15 = 4x + 30. Thus 3x = 45 and x = 15.

समाधान (हिंदी): दोनों कोण बराबर होंगे। अतः 3x = 45 और x = 15।

Question 26. Co-interior angles are (2x + 25)° and (3x + 5)°. Find x.

एक ही ओर के अंतः कोण (2x + 25)° तथा (3x + 5)° हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 30

Solution (English): 2x + 25 + 3x + 5 = 180. Hence 5x = 150 and x = 30.

समाधान (हिंदी): दोनों कोणों का योग 180° है। इसलिए 5x + 30 = 180 और x = 30।

Question 27. Two corresponding angles are in the ratio 5:5. If their sum is 146°, find each angle.

दो संगत कोणों का अनुपात 5:5 है। उनका योग 146° है। प्रत्येक कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 73°

Solution (English): Corresponding angles are equal, so each angle = 146 ÷ 2 = 73°.

समाधान (हिंदी): दोनों संगत कोण बराबर हैं। प्रत्येक कोण = 73°।

Question 28. One interior angle is three times the co-interior angle on the same side of a transversal. Find both angles.

एक अंतः कोण, तिर्यक रेखा के उसी ओर बने दूसरे अंतः कोण का तीन गुना है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 135° and 45°

Solution (English): Let the smaller angle be x. Then x + 3x = 180, giving x = 45°. Larger angle = 135°.

समाधान (हिंदी): छोटा कोण x मानें। x + 3x = 180। अतः x = 45° तथा दूसरा कोण 135°।

Question 29. Two parallel lines are cut by a transversal. One obtuse angle is 138°. Find the acute angle formed.

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक अधिक कोण 138° है। बनने वाला न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 42°

Solution (English): The acute angle is supplementary to 138°. Hence 180 − 138 = 42°.

समाधान (हिंदी): न्यून कोण = 180° − 138° = 42°।

Question 30. If an acute angle formed by two parallel lines and a transversal is 32°, find the obtuse angle.

दो समांतर रेखाओं और एक तिर्यक रेखा से बना न्यून कोण 32° है। अधिक कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 148°

Solution (English): Acute and obtuse angles at these intersections are supplementary. Thus 180 − 32 = 148°.

समाधान (हिंदी): न्यून और अधिक कोणों का योग 180° होगा। अधिक कोण = 148°।

Question 31. Corresponding angles are (8x − 17)° and (5x + 28)°. Find their common measure.

संगत कोण (8x − 17)° और (5x + 28)° हैं। उनका माप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 103°

Solution (English): 8x − 17 = 5x + 28, so x = 15. Angle = 8(15) − 17 = 103°.

समाधान (हिंदी): x = 15 प्राप्त होता है। कोण = 120 − 17 = 103°।

Question 32. Co-interior angles are in the ratio 7:11. Find the smaller angle.

एक ही ओर के अंतः कोणों का अनुपात 7:11 है। छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): 18 parts = 180°. One part = 10°. Smaller angle = 7 × 10 = 70°.

समाधान (हिंदी): 18 भाग = 180°। एक भाग = 10°। छोटा कोण = 70°।

Question 33. Alternate interior angles are (2x + 35)° and (5x − 10)°. Find x and the angle.

एकांतर अंतः कोण (2x + 35)° और (5x − 10)° हैं। x तथा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 15; angle = 65°

Solution (English): 2x + 35 = 5x − 10. Hence x = 15. Angle = 2(15) + 35 = 65°.

समाधान (हिंदी): दोनों कोण बराबर हैं। x = 15 और कोण = 65°।

Question 34. Two co-interior angles differ by 36°. Find the larger angle.

एक ही ओर के दो अंतः कोणों का अंतर 36° है। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 108°

Solution (English): Let the larger angle be x. Then x + (x − 36) = 180. Thus x = 108°.

समाधान (हिंदी): x + x − 36 = 180। अतः 2x = 216 और x = 108°।

Question 35. One of the eight angles formed by a transversal cutting two parallel lines is 117°. How many of the eight angles measure 117°?

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है जिससे आठ कोण बनते हैं। एक कोण 117° है। कुल कितने कोण 117° के होंगे?

Answer / उत्तर: 4 angles / 4 कोण

Solution (English): Four angles are equal to the given obtuse angle; the remaining four measure 63°.

समाधान (हिंदी): चार कोण 117° के तथा शेष चार कोण 63° के होंगे।

Question 36. If an angle formed by a transversal is 75°, find the sum of the four obtuse angles formed at both intersections with parallel lines.

एक तिर्यक रेखा द्वारा बना एक कोण 75° है। समांतर रेखाओं के दोनों प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर बने चार अधिक कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 420°

Solution (English): Each obtuse angle = 180 − 75 = 105°. Sum = 4 × 105 = 420°.

समाधान (हिंदी): प्रत्येक अधिक कोण 105° होगा। चारों का योग = 420°।

Question 37. The difference between two co-interior angles is 40% of their sum. Find the smaller angle.

एक ही ओर के दो अंतः कोणों का अंतर उनके योग का 40% है। छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 54°

Solution (English): Sum = 180°. Difference = 40% of 180 = 72°. Smaller angle = (180 − 72) ÷ 2 = 54°.

समाधान (हिंदी): कोणों का योग 180° तथा अंतर 72° है। छोटा कोण = 54°।

Question 38. Corresponding angles are (x² − 20)° and (5x + 40)°. If x is positive, find x.

संगत कोण (x² − 20)° तथा (5x + 40)° हैं। यदि x धनात्मक है, तो x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 10

Solution (English): x² − 20 = 5x + 40. Thus x² − 5x − 60 = 0. Its positive root is (5 + √265)/2, approximately 10.64.

समाधान (हिंदी): x² − 5x − 60 = 0। इसका धनात्मक हल (5 + √265)/2, लगभग 10.64 है।

Corrected Answer / संशोधित उत्तर: x = (5 + √265)/2 ≈ 10.64

Question 39. Two co-interior angles are (4x + 12)° and (6x − 22)°. Find the larger angle.

एक ही ओर के अंतः कोण (4x + 12)° और (6x − 22)° हैं। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 88°

Solution (English): 4x + 12 + 6x − 22 = 180, so x = 19. Angles are 88° and 92°. The larger angle is 92°.

समाधान (हिंदी): x = 19। कोण 88° और 92° होंगे। बड़ा कोण 92° है।

Corrected Answer / संशोधित उत्तर: 92°

Question 40. A transversal cuts two parallel lines. One of the angles is (3x + 15)°, and its adjacent angle is (5x + 5)°. Find x.

एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है। एक कोण (3x + 15)° और उसका आसन्न कोण (5x + 5)° है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 20

Solution (English): Adjacent angles forming a linear pair sum to 180°. Thus 3x + 15 + 5x + 5 = 180. Therefore 8x = 160 and x = 20.

समाधान (हिंदी): दोनों आसन्न कोणों का योग 180° है। 8x + 20 = 180, इसलिए x = 20।

Level 3 – Angle Bisectors and Algebraic Applications (Questions 41–60)

स्तर 3 – कोण समद्विभाजक एवं बीजीय अनुप्रयोग

Question 41. An angle of 126° is bisected. Find each smaller angle.

126° के कोण को समद्विभाजित किया गया है। प्रत्येक छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 63°

Solution (English): An angle bisector divides an angle into two equal parts. Each = 126 ÷ 2 = 63°.

समाधान (हिंदी): कोण समद्विभाजक कोण को दो बराबर भागों में बाँटता है। प्रत्येक = 63°।

Question 42. The bisector of an angle forms an angle of 37° with one arm. Find the original angle.

किसी कोण का समद्विभाजक उसकी एक भुजा के साथ 37° का कोण बनाता है। मूल कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 74°

Solution (English): Original angle = 2 × 37 = 74°.

समाधान (हिंदी): मूल कोण = 2 × 37 = 74°।

Question 43. Two adjacent angles on a straight line are 2x and 3x. Find x.

एक सरल रेखा पर दो आसन्न कोण 2x और 3x हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 36°

Solution (English): 2x + 3x = 180, so x = 36°.

समाधान (हिंदी): 5x = 180, इसलिए x = 36°।

Question 44. Three adjacent angles on a straight line are x, 2x and 3x. Find the largest angle.

एक सरल रेखा पर तीन आसन्न कोण x, 2x और 3x हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): 6x = 180, so x = 30°. Largest angle = 3x = 90°.

समाधान (हिंदी): x = 30°। सबसे बड़ा कोण = 90°।

Question 45. Two supplementary angles are (5x − 10)° and (3x + 30)°. Find x.

दो संपूरक कोण (5x − 10)° और (3x + 30)° हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 20

Solution (English): 5x − 10 + 3x + 30 = 180. Thus 8x = 160 and x = 20.

समाधान (हिंदी): 8x + 20 = 180। इसलिए x = 20।

Question 46. Two complementary angles are (4x + 6)° and (2x + 12)°. Find the larger angle.

दो पूरक कोण (4x + 6)° तथा (2x + 12)° हैं। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 54°

Solution (English): 6x + 18 = 90, so x = 12. Angles are 54° and 36°.

समाधान (हिंदी): x = 12। दोनों कोण 54° और 36° हैं। बड़ा कोण 54° है।

Question 47. The bisectors of two adjacent supplementary angles form an angle. Find that angle.

दो आसन्न संपूरक कोणों के समद्विभाजकों के बीच बनने वाला कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): If the supplementary angles are A and B, then A + B = 180°. The angle between their internal bisectors is A/2 + B/2 = 90°.

समाधान (हिंदी): दोनों कोणों का योग 180° है। उनके समद्विभाजकों के बीच कोण = 180° ÷ 2 = 90°।

Question 48. An angle is divided into two parts in the ratio 3:5. If the angle measures 144°, find the smaller part.

144° के कोण को 3:5 के अनुपात में बाँटा गया है। छोटा भाग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 54°

Solution (English): Smaller part = 144 × 3/8 = 54°.

समाधान (हिंदी): छोटा कोण = 144 × 3/8 = 54°।

Question 49. The complement of an angle is 12° less than twice the angle. Find the angle.

किसी कोण का पूरक उसके दोगुने से 12° कम है। कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 34°

Solution (English): 90 − x = 2x − 12. Hence 3x = 102 and x = 34°.

समाधान (हिंदी): 90 − x = 2x − 12। इसलिए 3x = 102 और x = 34°।

Question 50. The supplement of an angle is 24° more than twice its complement. Find the angle.

किसी कोण का संपूरक उसके पूरक कोण के दोगुने से 24° अधिक है। कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 24°

Solution (English): 180 − x = 2(90 − x) + 24. Simplifying gives x = 24°.

समाधान (हिंदी): 180 − x = 180 − 2x + 24। इसलिए x = 24°।

Question 51. Three angles around a point are x°, (2x + 20)° and (3x − 20)°. Find the largest angle.

एक बिंदु के चारों ओर तीन कोण x°, (2x + 20)° और (3x − 20)° हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 160°

Solution (English): x + 2x + 20 + 3x − 20 = 360. Thus x = 60. Angles are 60°, 140° and 160°.

समाधान (हिंदी): 6x = 360, अतः x = 60। सबसे बड़ा कोण = 160°।

Question 52. An angle and its supplement are in the ratio 7:8. Find the difference between them.

एक कोण और उसके संपूरक का अनुपात 7:8 है। उनका अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12°

Solution (English): One part = 180 ÷ 15 = 12°. The angles differ by one part, so the difference is 12°.

समाधान (हिंदी): 15 भाग = 180°। एक भाग = 12°। अंतर = 12°।

Question 53. Two angles form a linear pair. The larger angle is 30° more than twice the smaller angle. Find the smaller angle.

दो कोण रैखिक युग्म बनाते हैं। बड़ा कोण छोटे कोण के दोगुने से 30° अधिक है। छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 50°

Solution (English): Let the smaller angle be x. Then x + 2x + 30 = 180. Therefore x = 50°.

समाधान (हिंदी): x + 2x + 30 = 180। अतः x = 50°।

Question 54. Two vertically opposite angles are (7x − 24)° and (4x + 18)°. Find their measure.

दो शीर्षाभिमुख कोण (7x − 24)° तथा (4x + 18)° हैं। उनका माप ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 74°

Solution (English): 7x − 24 = 4x + 18, so x = 14. Angle = 7 × 14 − 24 = 74°.

समाधान (हिंदी): x = 14। कोण = 98 − 24 = 74°।

Question 55. An angle is divided by two interior rays into three angles in the ratio 2:3:4. If the original angle is 135°, find the middle angle.

एक कोण को दो आंतरिक किरणों द्वारा 2:3:4 के अनुपात में तीन भागों में बाँटा गया है। मूल कोण 135° है। बीच वाला कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 45°

Solution (English): Total parts = 9. One part = 15°. Middle angle = 3 × 15 = 45°.

समाधान (हिंदी): कुल भाग = 9। एक भाग = 15°। मध्य कोण = 45°।

Question 56. The bisectors of two vertically opposite angles lie on which type of line?

दो शीर्षाभिमुख कोणों के समद्विभाजक किस प्रकार की रेखा पर स्थित होते हैं?

Answer / उत्तर: Same straight line / एक ही सरल रेखा

Solution (English): The bisectors of vertically opposite angles are opposite rays and together form a straight line.

समाधान (हिंदी): शीर्षाभिमुख कोणों के समद्विभाजक विपरीत किरणें होते हैं, जो मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं।

Question 57. Two adjacent angles are (x² + 20)° and (5x + 40)°. They form a linear pair. Find the positive value of x.

दो आसन्न कोण (x² + 20)° तथा (5x + 40)° हैं। वे रैखिक युग्म बनाते हैं। x का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 10

Solution (English): x² + 20 + 5x + 40 = 180. Thus x² + 5x − 120 = 0. The positive root is (−5 + √505)/2 ≈ 8.74.

समाधान (हिंदी): x² + 5x − 120 = 0। इसका धनात्मक हल (−5 + √505)/2 ≈ 8.74 है।

Corrected Answer / संशोधित उत्तर: x = (−5 + √505)/2 ≈ 8.74

Question 58. The supplement of an angle is five times its complement. Find the angle.

किसी कोण का संपूरक उसके पूरक का पाँच गुना है। कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 67.5°

Solution (English): 180 − x = 5(90 − x). Hence 4x = 270 and x = 67.5°.

समाधान (हिंदी): 180 − x = 450 − 5x। इसलिए 4x = 270 और x = 67.5°।

Question 59. The angle between the internal bisectors of two adjacent angles is 65°. If the sum of the original angles is 130°, what is the difference between the original angles?

दो आसन्न कोणों के आंतरिक समद्विभाजकों के बीच 65° का कोण है। मूल कोणों का योग 130° है। मूल कोणों का अंतर कितना है?

Answer / उत्तर: Cannot be determined / निर्धारित नहीं किया जा सकता

Solution (English): The angle between the bisectors is half the sum of the adjacent angles, which is 65° for any pair totaling 130°. Their difference is not specified.

समाधान (हिंदी): समद्विभाजकों के बीच कोण मूल कोणों के योग का आधा होता है। केवल योग ज्ञात होने से उनका अंतर निर्धारित नहीं किया जा सकता।

Question 60. Four adjacent angles on a straight line are in arithmetic progression. The smallest is 18°. Find the largest.

एक सरल रेखा पर चार आसन्न कोण समांतर श्रेणी में हैं। सबसे छोटा कोण 18° है। सबसे बड़ा ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 72°

Solution (English): Angles are 18, 18+d, 18+2d, 18+3d. Their sum is 180, giving 72 + 6d = 180 and d = 18. Largest = 72°.

समाधान (हिंदी): कोण 18, 18+d, 18+2d, 18+3d हैं। d = 18 और सबसे बड़ा कोण 72° होगा।

Level 4 – Advanced Geometry (Questions 61–80)

स्तर 4 – उन्नत ज्यामिति

Question 61. Two straight lines intersect. One angle is 20° less than three times its adjacent angle. Find the smaller angle.

दो सरल रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। एक कोण अपने आसन्न कोण के तीन गुने से 20° कम है। छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 50°

Solution (English): Let the adjacent angle be x. Then x + 3x − 20 = 180. Thus x = 50°.

समाधान (हिंदी): x + 3x − 20 = 180। अतः x = 50°।

Question 62. Three parallel lines are cut by a transversal. An acute angle at the first intersection is 64°. Find the sum of the acute angles at all three intersections.

तीन समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। पहले प्रतिच्छेदन पर एक न्यून कोण 64° है। तीनों प्रतिच्छेदनों पर बनने वाले सभी न्यून कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 384°

Solution (English): Each intersection has two acute angles of 64°. Across three intersections there are six such angles. Sum = 6 × 64 = 384°.

समाधान (हिंदी): प्रत्येक प्रतिच्छेदन पर 64° के दो न्यून कोण बनते हैं। कुल छह कोणों का योग = 384°।

Question 63. Two co-interior angles are in the ratio (x + 1):(x + 3). If the smaller angle is 72°, find x.

एक ही ओर के दो अंतः कोणों का अनुपात (x + 1):(x + 3) है। छोटा कोण 72° है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 3

Solution (English): The larger angle is 108°. Thus (x + 1)/(x + 3) = 72/108 = 2/3. Therefore 3x + 3 = 2x + 6, giving x = 3.

समाधान (हिंदी): दूसरा कोण 108° होगा। अनुपात 2:3 है। समीकरण हल करने पर x = 3।

Question 64. The bisector of an angle divides it into two angles measuring (3x + 5)° and (5x − 25)°. Find the original angle.

किसी कोण का समद्विभाजक उसे (3x + 5)° तथा (5x − 25)° में बाँटता है। मूल कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100°

Solution (English): 3x + 5 = 5x − 25, so x = 15. Each half = 50°. Original angle = 100°.

समाधान (हिंदी): x = 15। प्रत्येक भाग = 50°। मूल कोण = 100°।

Question 65. Two parallel lines are intersected by a transversal. An acute angle is (4x − 12)° and an obtuse angle is (7x + 6)°. Find x.

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक न्यून कोण (4x − 12)° और एक अधिक कोण (7x + 6)° है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 186/11

Solution (English): The acute and obtuse angles are supplementary. Thus 4x − 12 + 7x + 6 = 180. Therefore 11x = 186 and x = 186/11.

समाधान (हिंदी): दोनों कोणों का योग 180° होगा। 11x − 6 = 180। अतः x = 186/11।

Question 66. Four angles around a point are x, 2x, (x + 30) and (3x − 20). Find the largest angle.

एक बिंदु के चारों ओर चार कोण x, 2x, (x + 30) और (3x − 20) हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 130°

Solution (English): 7x + 10 = 360, so x = 50. Angles are 50°, 100°, 80° and 130°.

समाधान (हिंदी): 7x + 10 = 360, अतः x = 50। सबसे बड़ा कोण = 130°।

Question 67. Two supplementary angles differ by one-third of the smaller angle. Find both angles.

दो संपूरक कोणों का अंतर छोटे कोण के एक-तिहाई के बराबर है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 540/7° and 720/7°

Solution (English): Let smaller angle be x. Larger angle = 4x/3. Thus 7x/3 = 180, so x = 540/7°. Larger angle = 720/7°.

समाधान (हिंदी): छोटा कोण x तथा बड़ा 4x/3 मानें। 7x/3 = 180। दोनों कोण 540/7° और 720/7° हैं।

Question 68. Two adjacent angles form a straight angle. Their internal bisectors are drawn. Find the angle between the bisectors.

दो आसन्न कोण मिलकर सरल कोण बनाते हैं। उनके आंतरिक समद्विभाजक खींचे जाते हैं। समद्विभाजकों के बीच कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): The sum of the half-angles is half of 180°, giving 90°.

समाधान (हिंदी): आधे कोणों का योग = 180°/2 = 90°।

Question 69. The complement of an angle is 20% of its supplement. Find the angle.

किसी कोण का पूरक उसके संपूरक का 20% है। कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 67.5°

Solution (English): 90 − x = (180 − x)/5. Multiplying by 5 gives 450 − 5x = 180 − x. Thus x = 67.5°.

समाधान (हिंदी): 5(90 − x) = 180 − x। इसलिए 4x = 270 और x = 67.5°।

Question 70. Two intersecting lines form four angles. The sum of three consecutive angles is 250°. Find the smallest angle.

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ चार कोण बनाती हैं। तीन क्रमागत कोणों का योग 250° है। सबसे छोटा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): The fourth angle is 360 − 250 = 110°. Its adjacent angles are 70°. Therefore the smallest angle is 70°.

समाधान (हिंदी): चौथा कोण = 110°। उसके आसन्न कोण = 70°। सबसे छोटा कोण 70° है।

Question 71. Two co-interior angles are (x² + 15)° and (9x + 5)°. Find the positive value of x.

एक ही ओर के अंतः कोण (x² + 15)° और (9x + 5)° हैं। x का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = (−9 + √721)/2

Solution (English): x² + 15 + 9x + 5 = 180. Therefore x² + 9x − 160 = 0. Positive root = (−9 + √721)/2 ≈ 8.93.

समाधान (हिंदी): x² + 9x − 160 = 0। धनात्मक हल = (−9 + √721)/2 ≈ 8.93।

Question 72. An angle is divided into three consecutive angles in the ratio 2:5:7. The middle angle is 45°. Find the original angle.

एक कोण को 2:5:7 के अनुपात में तीन क्रमागत भागों में बाँटा गया है। मध्य कोण 45° है। मूल कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 126°

Solution (English): Five parts = 45°, so one part = 9°. Total angle = 14 × 9 = 126°.

समाधान (हिंदी): पाँच भाग = 45°। एक भाग = 9°। कुल कोण = 126°।

Question 73. Two complementary angles are such that 40% of the larger angle equals 60% of the smaller angle. Find the larger angle.

दो पूरक कोण ऐसे हैं कि बड़े कोण का 40%, छोटे कोण के 60% के बराबर है। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 54°

Solution (English): Let larger angle L and smaller angle S. 0.4L = 0.6S, so L:S = 3:2. Since L + S = 90, L = 54°.

समाधान (हिंदी): बड़े और छोटे कोणों का अनुपात 3:2 होगा। कुल 90° है। बड़ा कोण = 54°।

Question 74. Three angles on a straight line are in geometric progression with common ratio 2. Find the largest angle.

एक सरल रेखा पर तीन कोण गुणोत्तर श्रेणी में हैं जिसका सार्व अनुपात 2 है। सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 720/7° ≈ 102.86°

Solution (English): Angles are x, 2x and 4x. Thus 7x = 180. Largest = 4 × 180/7 = 720/7°.

समाधान (हिंदी): कोण x, 2x और 4x हैं। 7x = 180। सबसे बड़ा = 720/7°।

Question 75. Two intersecting lines form an acute angle of (3x + 7)° and an obtuse angle of (8x − 3)°. Find x.

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ (3x + 7)° का न्यून कोण और (8x − 3)° का अधिक कोण बनाती हैं। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 16

Solution (English): The acute and obtuse angles sum to 180°. Thus 3x + 7 + 8x − 3 = 180, giving 11x = 176 and x = 16.

समाधान (हिंदी): 11x + 4 = 180। अतः x = 16।

Question 76. Four rays divide a straight angle into three adjacent angles in the ratio 3:4:5. Find the difference between the largest and smallest angles.

एक सरल कोण को तीन आसन्न कोणों में 3:4:5 के अनुपात में विभाजित किया गया है। सबसे बड़े और छोटे कोण का अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 30°

Solution (English): Total parts = 12. One part = 15°. Difference = (5 − 3) × 15 = 30°.

समाधान (हिंदी): एक भाग = 15°। अंतर = 2 × 15 = 30°।

Question 77. The bisector of an obtuse angle forms an acute angle of 62° with either arm. Find the supplement of the original angle.

किसी अधिक कोण का समद्विभाजक उसकी प्रत्येक भुजा के साथ 62° का कोण बनाता है। मूल कोण का संपूरक ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 56°

Solution (English): Original angle = 2 × 62 = 124°. Supplement = 180 − 124 = 56°.

समाधान (हिंदी): मूल कोण 124° है। उसका संपूरक = 56°।

Question 78. Two supplementary angles are in the ratio (x − 1):(x + 2). If their difference is 36°, find x.

दो संपूरक कोणों का अनुपात (x − 1):(x + 2) है। उनका अंतर 36° है। x ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: x = 7

Solution (English): Angles are 72° and 108°, giving ratio 2:3. Therefore (x − 1)/(x + 2) = 2/3. Hence 3x − 3 = 2x + 4 and x = 7.

समाधान (हिंदी): दोनों कोण 72° और 108° हैं। अनुपात 2:3 होगा। हल करने पर x = 7।

Question 79. The sum of the complements of two acute angles is 110°. Find the sum of the original angles.

दो न्यून कोणों के पूरक कोणों का योग 110° है। मूल कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 70°

Solution (English): (90 − A) + (90 − B) = 110. Thus A + B = 70°.

समाधान (हिंदी): 180 − (A + B) = 110। इसलिए A + B = 70°।

Question 80. The sum of the supplements of three angles is 390°. Find the sum of the original angles.

तीन कोणों के संपूरक कोणों का योग 390° है। मूल कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 150°

Solution (English): 540 − (A + B + C) = 390. Therefore A + B + C = 150°.

समाधान (हिंदी): 3 × 180 − (A + B + C) = 390। अतः मूल कोणों का योग 150°।

Level 5 – Toughest and Competitive Exam Challenges (Questions 81–100)

स्तर 5 – अत्यंत कठिन एवं प्रतियोगी परीक्षा स्तर

Question 81. Two parallel lines are cut by a transversal. The difference between an obtuse angle and twice an acute angle is 15°. Find the acute angle.

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक अधिक कोण और एक न्यून कोण के दोगुने का अंतर 15° है। न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 55° or 65°

Solution (English): Let acute angle be x; obtuse angle = 180 − x. Since the absolute difference is 15°, |180 − 3x| = 15. Hence x = 55° or 65°.

समाधान (हिंदी): न्यून कोण x मानें। |180 − 3x| = 15। अतः x = 55° या 65°।

Question 82. Two supplementary angles differ by 20% of the larger angle. Find both angles.

दो संपूरक कोणों का अंतर बड़े कोण के 20% के बराबर है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100° and 80°

Solution (English): Let larger angle be L and smaller S. L − S = 0.2L, so S = 0.8L. Therefore 1.8L = 180, giving L = 100° and S = 80°.

समाधान (हिंदी): छोटा कोण बड़े का 80% होगा। 1.8L = 180। अतः कोण 100° और 80° हैं।

Question 83. Three adjacent angles on a straight line are in arithmetic progression. The product of the smallest and largest angles is 3200 square degrees. Find all three angles.

एक सरल रेखा पर तीन आसन्न कोण समांतर श्रेणी में हैं। सबसे छोटे और बड़े कोण का गुणनफल 3200 वर्ग डिग्री है। तीनों कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20°, 60°, 100°

Solution (English): Let angles be 60 − d, 60, 60 + d because their sum is 180. Product: (60 − d)(60 + d) = 3200. Thus 3600 − d² = 3200, giving d = 20. Angles are 40°, 60°, 80°.

समाधान (हिंदी): कोण 60 − d, 60, 60 + d होंगे। d² = 400, अतः d = 20। कोण 40°, 60°, 80° हैं।

Corrected Answer / संशोधित उत्तर: 40°, 60°, 80°

Question 84. The supplement of an angle is three times its complement minus 10°. Find the angle.

किसी कोण का संपूरक उसके पूरक के तीन गुने से 10° कम है। कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40°

Solution (English): 180 − x = 3(90 − x) − 10. Hence 180 − x = 260 − 3x, so x = 40°.

समाधान (हिंदी): 180 − x = 260 − 3x। इसलिए 2x = 80 और x = 40°।

Question 85. An angle is divided into two unequal parts. The larger part is 25° more than twice the smaller part. If the original angle is 145°, find both parts.

एक कोण को दो असमान भागों में बाँटा गया है। बड़ा भाग छोटे भाग के दोगुने से 25° अधिक है। मूल कोण 145° है। दोनों भाग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 40° and 105°

Solution (English): Let smaller part be x. Then x + 2x + 25 = 145. Thus x = 40° and larger = 105°.

समाधान (हिंदी): 3x + 25 = 145। छोटा भाग 40° और बड़ा 105° है।

Question 86. Two angles form a linear pair. The square of the larger angle exceeds the square of the smaller angle by 7200 square degrees. Find both angles.

दो कोण रैखिक युग्म बनाते हैं। बड़े कोण के वर्ग और छोटे कोण के वर्ग का अंतर 7200 वर्ग डिग्री है। दोनों कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 110° and 70°

Solution (English): Let larger angle A and smaller B. A + B = 180. Also A² − B² = (A − B)(A + B) = 7200. Thus A − B = 40. Hence A = 110° and B = 70°.

समाधान (हिंदी): A + B = 180 तथा (A − B)(A + B) = 7200। इसलिए A − B = 40। दोनों कोण 110° और 70° हैं।

Question 87. The internal bisectors of two adjacent angles form an angle of 48°. One original angle is 24° greater than the other. Find both original angles.

दो आसन्न कोणों के आंतरिक समद्विभाजकों के बीच 48° का कोण है। एक मूल कोण दूसरे से 24° अधिक है। दोनों मूल कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60° and 36°

Solution (English): The sum of the original adjacent angles is twice 48°, or 96°. Their difference is 24°. Therefore larger = (96 + 24)/2 = 60° and smaller = 36°.

समाधान (हिंदी): मूल कोणों का योग 96° तथा अंतर 24° है। कोण 60° और 36° हैं।

Question 88. Two supplementary angles are such that the larger angle is 25% greater than the smaller angle. Find the larger angle.

दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 25% अधिक है। बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 100°

Solution (English): Let smaller angle be x. Larger = 1.25x. Then 2.25x = 180, so x = 80° and larger = 100°.

समाधान (हिंदी): बड़ा कोण 1.25x होगा। 2.25x = 180। बड़ा कोण = 100°।

Question 89. Four angles around a point are in arithmetic progression. The largest is three times the smallest. Find all four angles.

एक बिंदु के चारों ओर चार कोण समांतर श्रेणी में हैं। सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे का तीन गुना है। सभी कोण ज्ञात कीजिए।