COORDINATE GEOMETRY – 100 QUESTIONS ON SLOPE AND EQUATION OF STRAIGHT LINES

निर्देशांक ज्यामिति – ढाल एवं सरल रेखा के समीकरण पर 100 महत्वपूर्ण प्रश्न

For SSC CGL, CHSL, RRB NTPC, Railway Section Controller and other competitive examinations.

All questions are bilingual with numerical, step-by-step solutions in plain text for direct copying into Vitorr Classes.

SECTION A: SLOPE OF STRAIGHT LINES (Q1–Q20)

Q1. Find the slope of the line passing through (2, 3) and (6, 11).

प्रश्न 1. बिंदुओं (2, 3) और (6, 11) से गुजरने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = (y2 - y1)/(x2 - x1)

= (11 - 3)/(6 - 2)

= 8/4

= 2

हल (हिंदी):

ढाल = (y2 - y1)/(x2 - x1)

= (11 - 3)/(6 - 2)

= 8/4

= 2

Answer / उत्तर: 2

Q2. Find the slope of the line joining (-3, 5) and (4, -9).

प्रश्न 2. बिंदुओं (-3, 5) और (4, -9) को मिलाने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = (y2 - y1)/(x2 - x1)

= (-9 - 5)/(4 - (-3))

= -14/7

= -2

हल (हिंदी):

ढाल = (y2 - y1)/(x2 - x1)

= (-9 - 5)/(4 + 3)

= -14/7

= -2

Answer / उत्तर: -2

Q3. Find the slope of the line 3x - 4y + 12 = 0.

प्रश्न 3. रेखा 3x - 4y + 12 = 0 की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

3x - 4y + 12 = 0

4y = 3x + 12

y = (3/4)x + 3

Comparing with y = mx + c,

Slope = 3/4

हल (हिंदी):

दिए गए समीकरण को y = mx + c के रूप में लिखें।

3x - 4y + 12 = 0

y = (3/4)x + 3

अतः ढाल = 3/4

Answer / उत्तर: 3/4

Q4. Find the slope of the line 5x + 2y - 7 = 0.

प्रश्न 4. रेखा 5x + 2y - 7 = 0 की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

5x + 2y - 7 = 0

2y = -5x + 7

y = (-5/2)x + 7/2

Slope = -5/2

हल (हिंदी):

समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में बदलें।

y = (-5/2)x + 7/2

अतः ढाल = -5/2

Answer / उत्तर: -5/2

Q5. Find the slope of a line making an angle of 45° with the positive x-axis.

प्रश्न 5. धनात्मक x-अक्ष से 45° का कोण बनाने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = tan θ

= tan 45°

= 1

हल (हिंदी):

ढाल = tan θ

= tan 45°

= 1

Answer / उत्तर: 1

Q6. Find the slope of a line inclined at 135° to the positive x-axis.

प्रश्न 6. धनात्मक x-अक्ष से 135° का कोण बनाने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = tan 135°

= tan (180° - 45°)

= -tan 45°

= -1

हल (हिंदी):

ढाल = tan 135°

= -tan 45°

= -1

Answer / उत्तर: -1

Q7. Find the slope of the line passing through (-2, 7) and (5, 7).

प्रश्न 7. बिंदुओं (-2, 7) और (5, 7) से गुजरने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = (7 - 7)/(5 - (-2))

= 0/7

= 0

हल (हिंदी):

दोनों बिंदुओं के y-निर्देशांक समान हैं।

ढाल = (7 - 7)/(5 + 2)

= 0

Answer / उत्तर: 0

Q8. Find the slope of the line passing through (4, -3) and (4, 8).

प्रश्न 8. बिंदुओं (4, -3) और (4, 8) से गुजरने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = (8 - (-3))/(4 - 4)

= 11/0

Division by zero is undefined.

हल (हिंदी):

ढाल = (8 + 3)/(4 - 4)

= 11/0

शून्य से भाग देना अपरिभाषित है।

Answer / उत्तर: Undefined / अपरिभाषित

Q9. If the slope of the line joining (2, 5) and (6, k) is 3, find k.

प्रश्न 9. यदि (2, 5) और (6, k) को मिलाने वाली रेखा की ढाल 3 है, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

(k - 5)/(6 - 2) = 3

(k - 5)/4 = 3

k - 5 = 12

k = 17

हल (हिंदी):

ढाल सूत्र के अनुसार,

(k - 5)/4 = 3

k - 5 = 12

k = 17

Answer / उत्तर: 17

Q10. If the slope of the line joining (a, 2) and (5, 8) is 2, find a.

प्रश्न 10. यदि (a, 2) और (5, 8) को मिलाने वाली रेखा की ढाल 2 है, तो a ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

(8 - 2)/(5 - a) = 2

6/(5 - a) = 2

6 = 10 - 2a

2a = 4

a = 2

हल (हिंदी):

ढाल सूत्र से,

6/(5 - a) = 2

6 = 10 - 2a

a = 2

Answer / उत्तर: 2

Q11. Find the slope of a line parallel to 7x - 3y + 9 = 0.

प्रश्न 11. रेखा 7x - 3y + 9 = 0 के समांतर रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

7x - 3y + 9 = 0

3y = 7x + 9

y = (7/3)x + 3

Original slope = 7/3

Parallel lines have equal slopes.

हल (हिंदी):

दी गई रेखा की ढाल = 7/3

समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है।

Answer / उत्तर: 7/3

Q12. Find the slope of a line perpendicular to 2x + 5y - 10 = 0.

प्रश्न 12. रेखा 2x + 5y - 10 = 0 पर लंबवत रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

2x + 5y - 10 = 0

y = (-2/5)x + 2

m1 = -2/5

For perpendicular lines:

m1 × m2 = -1

(-2/5) × m2 = -1

m2 = 5/2

हल (हिंदी):

पहली रेखा की ढाल = -2/5

लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल -1 होता है।

(-2/5) × m2 = -1

m2 = 5/2

Answer / उत्तर: 5/2

Q13. Find the slope of y = -7x + 4.

प्रश्न 13. रेखा y = -7x + 4 की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Standard form:

y = mx + c

Given:

y = -7x + 4

m = -7

हल (हिंदी):

y = mx + c में x का गुणांक ढाल होता है।

अतः ढाल = -7

Answer / उत्तर: -7

Q14. Find the slope of 4y = 12x - 16.

प्रश्न 14. रेखा 4y = 12x - 16 की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

4y = 12x - 16

y = 3x - 4

Slope = 3

हल (हिंदी):

दोनों पक्षों को 4 से भाग दें।

y = 3x - 4

ढाल = 3

Answer / उत्तर: 3

Q15. Find the slope of a line making an angle of 60° with the positive x-axis.

प्रश्न 15. धनात्मक x-अक्ष से 60° का कोण बनाने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = tan 60°

= √3

हल (हिंदी):

ढाल = tan θ

= tan 60°

= √3

Answer / उत्तर: √3

Q16. If the slope of a line is 1/√3, find its inclination.

प्रश्न 16. यदि रेखा की ढाल 1/√3 है, तो उसका झुकाव कोण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

m = tan θ

tan θ = 1/√3

tan 30° = 1/√3

θ = 30°

हल (हिंदी):

ढाल = tan θ

tan θ = 1/√3

अतः θ = 30°

Answer / उत्तर: 30°

Q17. Find the slope of a line perpendicular to a line having slope -4.

प्रश्न 17. -4 ढाल वाली रेखा पर लंबवत रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

m1 × m2 = -1

-4 × m2 = -1

m2 = 1/4

हल (हिंदी):

लंबवत रेखाओं के लिए,

m1 × m2 = -1

-4 × m2 = -1

m2 = 1/4

Answer / उत्तर: 1/4

Q18. Determine whether the line through (1, 2), (3, 6) is parallel to the line through (-2, 1), (0, 5).

प्रश्न 18. जाँच कीजिए कि दोनों बिंदु युग्मों से गुजरने वाली रेखाएँ समांतर हैं या नहीं।

Solution (English):

First line:

m1 = (6 - 2)/(3 - 1)

= 4/2 = 2

Second line:

m2 = (5 - 1)/(0 - (-2))

= 4/2 = 2

Since m1 = m2, the lines are parallel.

हल (हिंदी):

पहली रेखा की ढाल = 2

दूसरी रेखा की ढाल = 2

दोनों ढाल समान हैं, इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।

Answer / उत्तर: Parallel / समांतर

Q19. Find k if the line through (1, 4) and (k, 10) is parallel to 3x - 2y + 5 = 0.

प्रश्न 19. यदि (1, 4) और (k, 10) से गुजरने वाली रेखा, 3x - 2y + 5 = 0 के समांतर है, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope of given line = 3/2

Slope through points = (10 - 4)/(k - 1)

6/(k - 1) = 3/2

12 = 3(k - 1)

12 = 3k - 3

3k = 15

k = 5

हल (हिंदी):

समांतर रेखाओं की ढाल समान होती है।

6/(k - 1) = 3/2

12 = 3k - 3

k = 5

Answer / उत्तर: 5

Q20. Find k if the line joining (2, 3) and (6, k) is perpendicular to x + 2y - 7 = 0.

प्रश्न 20. यदि (2, 3) और (6, k) से गुजरने वाली रेखा, x + 2y - 7 = 0 पर लंबवत है, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Given line:

x + 2y - 7 = 0

y = (-1/2)x + 7/2

m1 = -1/2

Perpendicular slope = 2

(k - 3)/(6 - 2) = 2

(k - 3)/4 = 2

k - 3 = 8

k = 11

हल (हिंदी):

दी गई रेखा की ढाल = -1/2

लंबवत रेखा की ढाल = 2

(k - 3)/4 = 2

k = 11

Answer / उत्तर: 11

SECTION B: EQUATION OF STRAIGHT LINES (Q21–Q40)

Q21. Find the equation of the line passing through (2, 3) with slope 4.

प्रश्न 21. बिंदु (2, 3) से गुजरने वाली तथा 4 ढाल वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Point-slope form:

y - y1 = m(x - x1)

y - 3 = 4(x - 2)

y - 3 = 4x - 8

4x - y - 5 = 0

हल (हिंदी):

बिंदु-ढाल सूत्र:

y - y1 = m(x - x1)

y - 3 = 4(x - 2)

y - 3 = 4x - 8

4x - y - 5 = 0

Answer / उत्तर: 4x - y - 5 = 0

Q22. Find the equation of the line passing through (-1, 5) with slope -2.

प्रश्न 22. बिंदु (-1, 5) से गुजरने वाली तथा -2 ढाल वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

y - 5 = -2(x + 1)

y - 5 = -2x - 2

y = -2x + 3

2x + y - 3 = 0

हल (हिंदी):

बिंदु-ढाल सूत्र से,

y - 5 = -2(x + 1)

y = -2x + 3

2x + y - 3 = 0

Answer / उत्तर: 2x + y - 3 = 0

Q23. Find the equation of the line passing through (1, 2) and (3, 8).

प्रश्न 23. बिंदुओं (1, 2) और (3, 8) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = (8 - 2)/(3 - 1)

= 6/2 = 3

y - 2 = 3(x - 1)

y - 2 = 3x - 3

3x - y - 1 = 0

हल (हिंदी):

पहले ढाल ज्ञात करें।

m = 6/2 = 3

अब बिंदु-ढाल सूत्र लगाएँ।

y - 2 = 3(x - 1)

3x - y - 1 = 0

Answer / उत्तर: 3x - y - 1 = 0

Q24. Find the equation of the line passing through (-2, 4) and (4, -2).

प्रश्न 24. बिंदुओं (-2, 4) और (4, -2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = (-2 - 4)/(4 - (-2))

= -6/6

= -1

y - 4 = -1(x + 2)

y - 4 = -x - 2

x + y - 2 = 0

हल (हिंदी):

ढाल = -1

बिंदु-ढाल सूत्र से,

y - 4 = -(x + 2)

x + y - 2 = 0

Answer / उत्तर: x + y - 2 = 0

Q25. Find the equation of the line passing through the origin with slope -3.

प्रश्न 25. मूलबिंदु से गुजरने वाली तथा -3 ढाल वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Equation through origin:

y = mx

y = -3x

3x + y = 0

हल (हिंदी):

मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण y = mx होता है।

y = -3x

3x + y = 0

Answer / उत्तर: 3x + y = 0

Q26. Find the equation of the line having x-intercept 4 and y-intercept 6.

प्रश्न 26. जिस रेखा का x-अवरोध 4 और y-अवरोध 6 है, उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Intercept form:

x/a + y/b = 1

x/4 + y/6 = 1

Multiply by 12:

3x + 2y = 12

3x + 2y - 12 = 0

हल (हिंदी):

अवरोध सूत्र:

x/a + y/b = 1

x/4 + y/6 = 1

12 से गुणा करने पर,

3x + 2y - 12 = 0

Answer / उत्तर: 3x + 2y - 12 = 0

Q27. Find the equation of the line whose x-intercept is -3 and y-intercept is 5.

प्रश्न 27. जिस रेखा का x-अवरोध -3 तथा y-अवरोध 5 है, उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

x/(-3) + y/5 = 1

Multiply by 15:

-5x + 3y = 15

5x - 3y + 15 = 0

हल (हिंदी):

अवरोध सूत्र से,

-x/3 + y/5 = 1

-5x + 3y = 15

5x - 3y + 15 = 0

Answer / उत्तर: 5x - 3y + 15 = 0

Q28. Find the equation of the horizontal line passing through (3, -5).

प्रश्न 28. बिंदु (3, -5) से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

A horizontal line has constant y-coordinate.

y = -5

y + 5 = 0

हल (हिंदी):

क्षैतिज रेखा पर सभी बिंदुओं का y-निर्देशांक समान होता है।

y = -5

Answer / उत्तर: y + 5 = 0

Q29. Find the equation of the vertical line passing through (-4, 7).

प्रश्न 29. बिंदु (-4, 7) से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

A vertical line has constant x-coordinate.

x = -4

x + 4 = 0

हल (हिंदी):

ऊर्ध्वाधर रेखा पर सभी बिंदुओं का x-निर्देशांक समान होता है।

x = -4

Answer / उत्तर: x + 4 = 0

Q30. Find the equation of the line parallel to 2x - 3y + 7 = 0 and passing through (1, 4).

प्रश्न 30. बिंदु (1, 4) से गुजरने वाली तथा 2x - 3y + 7 = 0 के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Required parallel line:

2x - 3y + k = 0

Substitute (1, 4):

2(1) - 3(4) + k = 0

2 - 12 + k = 0

k = 10

हल (हिंदी):

समांतर रेखा का रूप:

2x - 3y + k = 0

बिंदु (1, 4) रखने पर,

2 - 12 + k = 0

k = 10

Answer / उत्तर: 2x - 3y + 10 = 0

Q31. Find the equation of the line perpendicular to 3x + 4y - 8 = 0 and passing through (2, 1).

प्रश्न 31. बिंदु (2, 1) से गुजरने वाली तथा 3x + 4y - 8 = 0 पर लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Original slope = -3/4

Perpendicular slope = 4/3

y - 1 = (4/3)(x - 2)

3y - 3 = 4x - 8

4x - 3y - 5 = 0

हल (हिंदी):

पहली रेखा की ढाल = -3/4

लंबवत रेखा की ढाल = 4/3

y - 1 = (4/3)(x - 2)

4x - 3y - 5 = 0

Answer / उत्तर: 4x - 3y - 5 = 0

Q32. Find the equation of a line with slope 2 and y-intercept -7.

प्रश्न 32. 2 ढाल तथा -7 y-अवरोध वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

y = mx + c

m = 2, c = -7

y = 2x - 7

2x - y - 7 = 0

हल (हिंदी):

ढाल-अवरोध सूत्र:

y = mx + c

y = 2x - 7

Answer / उत्तर: 2x - y - 7 = 0

Q33. Find the equation of the line passing through (3, -2) and parallel to the x-axis.

प्रश्न 33. बिंदु (3, -2) से गुजरने वाली तथा x-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

A line parallel to the x-axis has equation y = constant.

At (3, -2):

y = -2

हल (हिंदी):

x-अक्ष के समांतर रेखा का y-निर्देशांक स्थिर रहता है।

अतः y = -2

Answer / उत्तर: y = -2

Q34. Find the equation of the line passing through (5, -3) and parallel to the y-axis.

प्रश्न 34. बिंदु (5, -3) से गुजरने वाली तथा y-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

A line parallel to the y-axis has equation x = constant.

x = 5

हल (हिंदी):

y-अक्ष के समांतर रेखा का x-निर्देशांक स्थिर रहता है।

अतः x = 5

Answer / उत्तर: x = 5

Q35. Find the equation of the line passing through the midpoint of (2, 4) and (8, 10), with slope -2.

प्रश्न 35. बिंदुओं (2, 4) और (8, 10) के मध्यबिंदु से गुजरने वाली तथा -2 ढाल वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Midpoint:

x = (2 + 8)/2 = 5

y = (4 + 10)/2 = 7

Midpoint = (5, 7)

y - 7 = -2(x - 5)

y - 7 = -2x + 10

2x + y - 17 = 0

हल (हिंदी):

मध्यबिंदु = (5, 7)

ढाल = -2

y - 7 = -2(x - 5)

2x + y - 17 = 0

Answer / उत्तर: 2x + y - 17 = 0

Q36. Find the equation of the perpendicular bisector of the segment joining (2, 3) and (6, 7).

प्रश्न 36. (2, 3) और (6, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Midpoint = ((2 + 6)/2, (3 + 7)/2)

= (4, 5)

Slope of segment = (7 - 3)/(6 - 2)

= 4/4 = 1

Perpendicular slope = -1

y - 5 = -(x - 4)

y - 5 = -x + 4

x + y - 9 = 0

हल (हिंदी):

मध्यबिंदु = (4, 5)

रेखाखंड की ढाल = 1

लंब समद्विभाजक की ढाल = -1

y - 5 = -(x - 4)

x + y - 9 = 0

Answer / उत्तर: x + y - 9 = 0

Q37. Find the equation of the line passing through the intersection of x + y = 5 and x - y = 1, with slope 3.

प्रश्न 37. रेखाओं x + y = 5 और x - y = 1 के प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरने वाली तथा 3 ढाल वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

x + y = 5 ...(1)

x - y = 1 ...(2)

Adding:

2x = 6

x = 3

y = 2

Intersection = (3, 2)

y - 2 = 3(x - 3)

y = 3x - 7

3x - y - 7 = 0

हल (हिंदी):

दोनों समीकरण जोड़ने पर,

2x = 6

x = 3, y = 2

अब ढाल 3 है।

y - 2 = 3(x - 3)

3x - y - 7 = 0

Answer / उत्तर: 3x - y - 7 = 0

Q38. Find the equation of the line passing through (4, 2) and making an angle of 45° with the positive x-axis.

प्रश्न 38. बिंदु (4, 2) से गुजरने वाली तथा धनात्मक x-अक्ष से 45° का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = tan 45° = 1

y - 2 = 1(x - 4)

y - 2 = x - 4

x - y - 2 = 0

हल (हिंदी):

ढाल = tan 45° = 1

y - 2 = x - 4

x - y - 2 = 0

Answer / उत्तर: x - y - 2 = 0

Q39. Find the equation of the line passing through (-4, 5) with slope -3/2.

प्रश्न 39. बिंदु (-4, 5) से गुजरने वाली तथा -3/2 ढाल वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

y - 5 = (-3/2)(x + 4)

2y - 10 = -3x - 12

3x + 2y + 2 = 0

हल (हिंदी):

बिंदु-ढाल सूत्र से,

y - 5 = (-3/2)(x + 4)

2y - 10 = -3x - 12

3x + 2y + 2 = 0

Answer / उत्तर: 3x + 2y + 2 = 0

Q40. Find the equation of the line passing through (2, -1) and (-3, 4).

प्रश्न 40. बिंदुओं (2, -1) और (-3, 4) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = (4 - (-1))/(-3 - 2)

= 5/-5

= -1

y + 1 = -(x - 2)

y + 1 = -x + 2

x + y - 1 = 0

हल (हिंदी):

ढाल = -1

y + 1 = -(x - 2)

x + y - 1 = 0

Answer / उत्तर: x + y - 1 = 0

SECTION C: PARALLEL, PERPENDICULAR AND ANGLE BETWEEN LINES (Q41–Q60)

Q41. Find k if 3x + ky - 5 = 0 is parallel to 6x - 4y + 7 = 0.

प्रश्न 41. यदि 3x + ky - 5 = 0, रेखा 6x - 4y + 7 = 0 के समांतर है, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

For parallel lines:

A1B2 - A2B1 = 0

3(-4) - 6k = 0

-12 - 6k = 0

6k = -12

k = -2

हल (हिंदी):

समांतरता की शर्त:

A1B2 - A2B1 = 0

-12 - 6k = 0

k = -2

Answer / उत्तर: -2

Q42. Find k if 2x + 3y - 7 = 0 is perpendicular to kx - 6y + 5 = 0.

प्रश्न 42. यदि 2x + 3y - 7 = 0, रेखा kx - 6y + 5 = 0 पर लंबवत है, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Perpendicular condition:

A1A2 + B1B2 = 0

2k + 3(-6) = 0

2k - 18 = 0

k = 9

हल (हिंदी):

लंबवतता की शर्त:

A1A2 + B1B2 = 0

2k - 18 = 0

k = 9

Answer / उत्तर: 9

Q43. Find the acute angle between y = x and y = 0.

प्रश्न 43. रेखाओं y = x और y = 0 के बीच न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

m1 = 1

m2 = 0

tan θ = |(m1 - m2)/(1 + m1m2)|

= |(1 - 0)/(1 + 0)|

= 1

θ = 45°

हल (हिंदी):

पहली ढाल = 1

दूसरी ढाल = 0

tan θ = 1

θ = 45°

Answer / उत्तर: 45°

Q44. Find the acute angle between y = 2x + 1 and y = -x + 3.

प्रश्न 44. रेखाओं y = 2x + 1 और y = -x + 3 के बीच न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

m1 = 2

m2 = -1

tan θ = |(m2 - m1)/(1 + m1m2)|

= |(-1 - 2)/(1 - 2)|

= |-3/-1|

= 3

θ = tan⁻¹(3)

θ ≈ 71.57°

हल (हिंदी):

दोनों रेखाओं की ढाल 2 और -1 है।

tan θ = |-3/-1|

= 3

θ ≈ 71.57°

Answer / उत्तर: 71.57°

Q45. Find the angle between 3x - y + 4 = 0 and x + 3y - 2 = 0.

प्रश्न 45. रेखाओं 3x - y + 4 = 0 और x + 3y - 2 = 0 के बीच कोण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

First slope = 3

Second slope = -1/3

m1 × m2 = 3 × (-1/3)

= -1

Therefore, the lines are perpendicular.

हल (हिंदी):

पहली ढाल = 3

दूसरी ढाल = -1/3

गुणनफल = -1

अतः रेखाएँ लंबवत हैं।

Answer / उत्तर: 90°

Q46. Find k if kx + 2y + 3 = 0 makes an angle of 45° with the positive x-axis.

प्रश्न 46. यदि kx + 2y + 3 = 0 धनात्मक x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

kx + 2y + 3 = 0

y = (-k/2)x - 3/2

Slope = -k/2

tan 45° = 1

-k/2 = 1

k = -2

हल (हिंदी):

ढाल = -k/2

45° के लिए ढाल = 1

-k/2 = 1

k = -2

Answer / उत्तर: -2

Q47. Find the equation of the line through (3, 4) perpendicular to the x-axis.

प्रश्न 47. बिंदु (3, 4) से गुजरने वाली तथा x-अक्ष पर लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

A line perpendicular to the x-axis is vertical.

Its x-coordinate is constant.

x = 3

हल (हिंदी):

x-अक्ष पर लंबवत रेखा ऊर्ध्वाधर होती है।

इसका x-निर्देशांक स्थिर रहता है।

Answer / उत्तर: x = 3

Q48. Find the equation of the line through (-2, 6) perpendicular to the y-axis.

प्रश्न 48. बिंदु (-2, 6) से गुजरने वाली तथा y-अक्ष पर लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

A line perpendicular to the y-axis is horizontal.

Its y-coordinate is constant.

y = 6

हल (हिंदी):

y-अक्ष पर लंबवत रेखा क्षैतिज होती है।

इसका y-निर्देशांक स्थिर रहता है।

Answer / उत्तर: y = 6

Q49. Find k if 2x + ky + 3 = 0 and 4x + 6y - 5 = 0 are parallel.

प्रश्न 49. यदि 2x + ky + 3 = 0 और 4x + 6y - 5 = 0 समांतर हैं, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

A1B2 - A2B1 = 0

2 × 6 - 4k = 0

12 - 4k = 0

k = 3

हल (हिंदी):

समांतरता की शर्त से,

12 - 4k = 0

k = 3

Answer / उत्तर: 3

Q50. Find k if kx + 4y - 7 = 0 and 2x - 3y + 5 = 0 are perpendicular.

प्रश्न 50. यदि kx + 4y - 7 = 0 और 2x - 3y + 5 = 0 लंबवत हैं, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

A1A2 + B1B2 = 0

2k + 4(-3) = 0

2k - 12 = 0

k = 6

हल (हिंदी):

लंबवतता की शर्त से,

2k - 12 = 0

k = 6

Answer / उत्तर: 6

Q51. Find the acute angle between lines having slopes 1 and √3.

प्रश्न 51. 1 और √3 ढाल वाली रेखाओं के बीच न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

m1 = 1 = tan 45°

m2 = √3 = tan 60°

Angle = 60° - 45°

= 15°

हल (हिंदी):

पहली रेखा का झुकाव = 45°

दूसरी रेखा का झुकाव = 60°

न्यून कोण = 60° - 45°

= 15°

Answer / उत्तर: 15°

Q52. Find the acute angle between x + y = 0 and x - √3y = 0.

प्रश्न 52. रेखाओं x + y = 0 और x - √3y = 0 के बीच न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

First line:

y = -x

Slope = -1

Inclination = 135°

Second line:

y = x/√3

Slope = 1/√3

Inclination = 30°

Difference = 135° - 30° = 105°

Acute angle = 180° - 105° = 75°

हल (हिंदी):

पहली रेखा का झुकाव = 135°

दूसरी रेखा का झुकाव = 30°

दोनों का अंतर = 105°

न्यून कोण = 180° - 105°

= 75°

Answer / उत्तर: 75°

Q53. Find the equation of the line through (1, -2) parallel to 5x + 2y - 9 = 0.

प्रश्न 53. बिंदु (1, -2) से गुजरने वाली तथा 5x + 2y - 9 = 0 के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Required line:

5x + 2y + c = 0

Substitute (1, -2):

5(1) + 2(-2) + c = 0

5 - 4 + c = 0

c = -1

हल (हिंदी):

समांतर रेखा का रूप:

5x + 2y + c = 0

बिंदु रखने पर,

5 - 4 + c = 0

c = -1

Answer / उत्तर: 5x + 2y - 1 = 0

Q54. Find the equation of the line through (-3, 2) perpendicular to 4x - 5y + 6 = 0.

प्रश्न 54. बिंदु (-3, 2) से गुजरने वाली तथा 4x - 5y + 6 = 0 पर लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Original slope = 4/5

Perpendicular slope = -5/4

y - 2 = (-5/4)(x + 3)

4y - 8 = -5x - 15

5x + 4y + 7 = 0

हल (हिंदी):

मूल रेखा की ढाल = 4/5

लंबवत रेखा की ढाल = -5/4

y - 2 = (-5/4)(x + 3)

5x + 4y + 7 = 0

Answer / उत्तर: 5x + 4y + 7 = 0

Q55. Find the equation of the line passing through the origin and perpendicular to 7x + 2y - 8 = 0.

प्रश्न 55. मूलबिंदु से गुजरने वाली तथा 7x + 2y - 8 = 0 पर लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Original slope = -7/2

Perpendicular slope = 2/7

Line through origin:

y = (2/7)x

7y = 2x

2x - 7y = 0

हल (हिंदी):

मूल रेखा की ढाल = -7/2

लंबवत रेखा की ढाल = 2/7

y = (2/7)x

Answer / उत्तर: 2x - 7y = 0

Q56. Find the equation of the line through (2, 5) parallel to the line joining (1, 3) and (4, 9).

प्रश्न 56. बिंदु (2, 5) से गुजरने वाली तथा (1, 3) और (4, 9) को मिलाने वाली रेखा के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = (9 - 3)/(4 - 1)

= 6/3 = 2

Parallel slope = 2

y - 5 = 2(x - 2)

y - 5 = 2x - 4

2x - y + 1 = 0

हल (हिंदी):

मूल रेखा की ढाल = 2

समांतर रेखा की ढाल भी 2 होगी।

y - 5 = 2(x - 2)

Answer / उत्तर: 2x - y + 1 = 0

Q57. Find the equation of the line through (4, -1) perpendicular to the line joining (2, 3) and (6, 5).

प्रश्न 57. बिंदु (4, -1) से गुजरने वाली तथा (2, 3) और (6, 5) को मिलाने वाली रेखा पर लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Original slope = (5 - 3)/(6 - 2)

= 2/4 = 1/2

Perpendicular slope = -2

y + 1 = -2(x - 4)

y + 1 = -2x + 8

2x + y - 7 = 0

हल (हिंदी):

मूल ढाल = 1/2

लंबवत ढाल = -2

y + 1 = -2(x - 4)

Answer / उत्तर: 2x + y - 7 = 0

Q58. Determine whether 3x + 4y - 5 = 0 and 6x + 8y + 7 = 0 are parallel, coincident or intersecting.

प्रश्न 58. जाँच कीजिए कि दी गई दोनों रेखाएँ समांतर, संपाती या प्रतिच्छेदी हैं।

Solution (English):

A1/A2 = 3/6 = 1/2

B1/B2 = 4/8 = 1/2

C1/C2 = -5/7

Since A1/A2 = B1/B2 but differs from C1/C2, the lines are distinct and parallel.

हल (हिंदी):

x तथा y के गुणांकों के अनुपात समान हैं।

अचर पदों का अनुपात अलग है।

अतः दोनों रेखाएँ भिन्न समांतर रेखाएँ हैं।

Answer / उत्तर: Parallel / समांतर

Q59. Determine whether 2x - 3y + 5 = 0 and 4x - 6y + 10 = 0 are coincident.

प्रश्न 59. जाँच कीजिए कि दोनों रेखाएँ संपाती हैं या नहीं।

Solution (English):

First equation:

2x - 3y + 5 = 0

Multiply by 2:

4x - 6y + 10 = 0

This is exactly the second equation.

हल (हिंदी):

पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर दूसरा समीकरण मिलता है।

अतः दोनों रेखाएँ एक ही रेखा हैं।

Answer / उत्तर: Coincident / संपाती

Q60. Find the equation of the line passing through (1, 1) and making an angle of 135° with the positive x-axis.

प्रश्न 60. बिंदु (1, 1) से गुजरने वाली तथा धनात्मक x-अक्ष से 135° का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope = tan 135° = -1

y - 1 = -1(x - 1)

y - 1 = -x + 1

x + y - 2 = 0

हल (हिंदी):

ढाल = tan 135° = -1

y - 1 = -(x - 1)

Answer / उत्तर: x + y - 2 = 0

SECTION D: COLLINEARITY, INTERCEPTS AND INTERSECTION (Q61–Q80)

Q61. Find k if (1, 2), (3, 6) and (5, k) are collinear.

प्रश्न 61. यदि (1, 2), (3, 6) और (5, k) संरेख हैं, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

For collinear points, slopes are equal.

(6 - 2)/(3 - 1) = (k - 6)/(5 - 3)

4/2 = (k - 6)/2

2 = (k - 6)/2

k - 6 = 4

k = 10

हल (हिंदी):

संरेख बिंदुओं की ढाल समान होती है।

2 = (k - 6)/2

k - 6 = 4

k = 10

Answer / उत्तर: 10

Q62. Find k if (2, 3), (4, 7) and (k, 11) lie on the same straight line.

प्रश्न 62. यदि (2, 3), (4, 7) और (k, 11) एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

First slope = (7 - 3)/(4 - 2)

= 4/2 = 2

Second slope = (11 - 7)/(k - 4)

4/(k - 4) = 2

4 = 2k - 8

2k = 12

k = 6

हल (हिंदी):

पहली ढाल = 2

दूसरी ढाल भी 2 होगी।

4/(k - 4) = 2

k = 6

Answer / उत्तर: 6

Q63. Find the x-intercept of 3x + 4y - 24 = 0.

प्रश्न 63. रेखा 3x + 4y - 24 = 0 का x-अवरोध ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

At x-axis, y = 0.

3x + 4(0) - 24 = 0

3x = 24

x = 8

हल (हिंदी):

x-अक्ष पर y = 0 होता है।

3x - 24 = 0

x = 8

Answer / उत्तर: 8

Q64. Find the y-intercept of 5x - 2y + 14 = 0.

प्रश्न 64. रेखा 5x - 2y + 14 = 0 का y-अवरोध ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

At y-axis, x = 0.

5(0) - 2y + 14 = 0

-2y = -14

y = 7

हल (हिंदी):

y-अक्ष पर x = 0 होता है।

-2y + 14 = 0

y = 7

Answer / उत्तर: 7

Q65. Find the sum of the intercepts made by 2x + 3y = 12 on the coordinate axes.

प्रश्न 65. रेखा 2x + 3y = 12 द्वारा दोनों अक्षों पर बनाए गए अवरोधों का योग ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

For x-intercept, y = 0:

2x = 12

x = 6

For y-intercept, x = 0:

3y = 12

y = 4

Sum = 6 + 4 = 10

हल (हिंदी):

x-अवरोध = 6

y-अवरोध = 4

योग = 6 + 4 = 10

Answer / उत्तर: 10

Q66. Find the area of the triangle formed by 3x + 4y = 12 and the coordinate axes.

प्रश्न 66. रेखा 3x + 4y = 12 तथा निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

x-intercept = 12/3 = 4

y-intercept = 12/4 = 3

Area = (1/2) × base × height

= (1/2) × 4 × 3

= 6 square units

हल (हिंदी):

आधार = 4

ऊँचाई = 3

क्षेत्रफल = (1/2) × 4 × 3

= 6 वर्ग इकाई

Answer / उत्तर: 6 square units / 6 वर्ग इकाई

Q67. Find the area of the triangle formed by 2x - 3y = 12 and the coordinate axes.

प्रश्न 67. रेखा 2x - 3y = 12 तथा निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

x-intercept = 12/2 = 6

y-intercept = 12/(-3) = -4

Area = (1/2) × |6 × (-4)|

= (1/2) × 24

= 12

हल (हिंदी):

x-अवरोध = 6

y-अवरोध = -4

क्षेत्रफल = (1/2) × |6 × (-4)|

= 12

Answer / उत्तर: 12 square units / 12 वर्ग इकाई

Q68. Find the intersection of 2x + y = 7 and x - y = 2.

प्रश्न 68. रेखाओं 2x + y = 7 और x - y = 2 का प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

2x + y = 7 ...(1)

x - y = 2 ...(2)

Adding:

3x = 9

x = 3

Substitute:

3 - y = 2

y = 1

हल (हिंदी):

दोनों समीकरण जोड़ने पर,

3x = 9

x = 3

अब y = 1

Answer / उत्तर: (3, 1)

Q69. Find the intersection of 3x - 2y = 4 and x + y = 5.

प्रश्न 69. रेखाओं 3x - 2y = 4 और x + y = 5 का प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

x + y = 5

y = 5 - x

Substitute:

3x - 2(5 - x) = 4

3x - 10 + 2x = 4

5x = 14

x = 14/5

y = 5 - 14/5

= 11/5

हल (हिंदी):

y = 5 - x

पहले समीकरण में रखने पर,

5x = 14

x = 14/5

y = 11/5

Answer / उत्तर: (14/5, 11/5)

Q70. Find k if (2, 3) lies on kx + 4y - 20 = 0.

प्रश्न 70. यदि (2, 3), रेखा kx + 4y - 20 = 0 पर स्थित है, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

k(2) + 4(3) - 20 = 0

2k + 12 - 20 = 0

2k = 8

k = 4

हल (हिंदी):

बिंदु (2, 3) के निर्देशांक रखने पर,

2k + 12 - 20 = 0

k = 4

Answer / उत्तर: 4

Q71. Find k if 2x + ky = 12 makes equal positive intercepts on both axes.

प्रश्न 71. यदि 2x + ky = 12 दोनों अक्षों पर समान धनात्मक अवरोध बनाती है, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

x-intercept = 12/2 = 6

y-intercept = 12/k

Since intercepts are equal:

6 = 12/k

6k = 12

k = 2

हल (हिंदी):

x-अवरोध = 6

y-अवरोध = 12/k

दोनों समान हैं।

6 = 12/k

k = 2

Answer / उत्तर: 2

Q72. Find the equation of the line passing through (2, 3) and having equal intercepts on both axes.

प्रश्न 72. बिंदु (2, 3) से गुजरने वाली तथा दोनों अक्षों पर समान अवरोध बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Let both intercepts be a.

x/a + y/a = 1

x + y = a

Substitute (2, 3):

2 + 3 = a

a = 5

हल (हिंदी):

दोनों अवरोध a मानें।

x + y = a

बिंदु (2, 3) रखने पर,

a = 5

Answer / उत्तर: x + y = 5

Q73. Find the equation of the line whose x-intercept and y-intercept are in the ratio 2:3 and which passes through (4, 3).

प्रश्न 73. जिस रेखा के x और y-अवरोधों का अनुपात 2:3 है तथा जो (4, 3) से गुजरती है, उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Let intercepts be 2k and 3k.

x/(2k) + y/(3k) = 1

Multiply by 6k:

3x + 2y = 6k

Substitute (4, 3):

12 + 6 = 6k

18 = 6k

k = 3

Hence:

3x + 2y = 18

हल (हिंदी):

अवरोध 2k तथा 3k मानें।

3x + 2y = 6k

बिंदु (4, 3) रखने पर,

18 = 6k

k = 3

Answer / उत्तर: 3x + 2y - 18 = 0

Q74. Find the equation of the line through the intersection of x + 2y = 8 and 2x - y = 1, parallel to 3x + y = 7.

प्रश्न 74. पहली दो रेखाओं के प्रतिच्छेद से गुजरने वाली तथा 3x + y = 7 के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

x + 2y = 8 ...(1)

2x - y = 1 ...(2)

From (2):

y = 2x - 1

Substitute:

x + 2(2x - 1) = 8

5x = 10

x = 2, y = 3

Required parallel line:

3x + y = c

3(2) + 3 = c

c = 9

हल (हिंदी):

प्रतिच्छेद बिंदु = (2, 3)

समांतर रेखा:

3x + y = c

6 + 3 = c

c = 9

Answer / उत्तर: 3x + y - 9 = 0

Q75. Find the equation of the line through the intersection of 2x + y = 5 and x - y = 1, perpendicular to x + 2y = 4.

प्रश्न 75. पहली दो रेखाओं के प्रतिच्छेद से गुजरने वाली तथा x + 2y = 4 पर लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

2x + y = 5

x - y = 1

Adding:

3x = 6

x = 2, y = 1

Given slope = -1/2

Perpendicular slope = 2

y - 1 = 2(x - 2)

y = 2x - 3

हल (हिंदी):

प्रतिच्छेद बिंदु = (2, 1)

आवश्यक ढाल = 2

y - 1 = 2(x - 2)

Answer / उत्तर: 2x - y - 3 = 0

Q76. Find k if x + 2y = 5, 2x - y = 3 and 3x + ky = 8 are concurrent.

प्रश्न 76. k का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर मिलें।

Solution (English):

x + 2y = 5 ...(1)

2x - y = 3 ...(2)

From (2):

y = 2x - 3

Substitute into (1):

x + 2(2x - 3) = 5

5x = 11

x = 11/5

y = 7/5

Third line:

3(11/5) + k(7/5) = 8

33 + 7k = 40

k = 1

हल (हिंदी):

पहली दो रेखाओं का प्रतिच्छेद:

x = 11/5, y = 7/5

तीसरी रेखा में रखने पर,

33 + 7k = 40

k = 1

Answer / उत्तर: 1

Q77. Find the equation of the line through the origin and the intersection of x + y = 6 and 2x - y = 3.

प्रश्न 77. मूलबिंदु तथा दी गई दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

x + y = 6

2x - y = 3

Adding:

3x = 9

x = 3, y = 3

Slope through origin:

m = 3/3 = 1

y = x

हल (हिंदी):

प्रतिच्छेद बिंदु = (3, 3)

मूलबिंदु से ढाल = 1

y = x

Answer / उत्तर: x - y = 0

Q78. Find the equation of the line whose x-intercept is twice its y-intercept and which passes through (6, 2).

प्रश्न 78. जिस रेखा का x-अवरोध उसके y-अवरोध का दोगुना है तथा जो (6, 2) से गुजरती है, उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Let y-intercept = a.

x-intercept = 2a.

x/(2a) + y/a = 1

x + 2y = 2a

Substitute (6, 2):

6 + 4 = 2a

2a = 10

हल (हिंदी):

y-अवरोध = a

x-अवरोध = 2a

x + 2y = 2a

6 + 4 = 2a

2a = 10

Answer / उत्तर: x + 2y - 10 = 0

Q79. Find where the line joining (1, 4) and (5, -4) intersects the x-axis.

प्रश्न 79. (1, 4) और (5, -4) को मिलाने वाली रेखा x-अक्ष को कहाँ काटती है?

Solution (English):

Slope = (-4 - 4)/(5 - 1)

= -8/4 = -2

y - 4 = -2(x - 1)

y = -2x + 6

At x-axis, y = 0:

0 = -2x + 6

x = 3

हल (हिंदी):

रेखा का समीकरण:

y = -2x + 6

x-अक्ष पर y = 0

x = 3

Answer / उत्तर: (3, 0)

Q80. Find where the line joining (-2, 3) and (4, -9) intersects the y-axis.

प्रश्न 80. (-2, 3) और (4, -9) से गुजरने वाली रेखा y-अक्ष को कहाँ काटती है?

Solution (English):

Slope = (-9 - 3)/(4 - (-2))

= -12/6 = -2

y - 3 = -2(x + 2)

y = -2x - 1

At y-axis, x = 0:

y = -1

हल (हिंदी):

रेखा का समीकरण:

y = -2x - 1

y-अक्ष पर x = 0

y = -1

Answer / उत्तर: (0, -1)

SECTION E: ADVANCED AND CHALLENGING QUESTIONS (Q81–Q100)

Q81. Find the equations of lines passing through (2, 3) and making an angle of 45° with y = 2x + 1.

प्रश्न 81. बिंदु (2, 3) से गुजरने वाली तथा y = 2x + 1 से 45° का कोण बनाने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Given slope m1 = 2.

Let required slope = m.

tan 45° = |(m - 2)/(1 + 2m)|

1 = |(m - 2)/(1 + 2m)|

Case 1:

m - 2 = 1 + 2m

m = -3

Equation:

y - 3 = -3(x - 2)

3x + y - 9 = 0

Case 2:

m - 2 = -(1 + 2m)

3m = 1

m = 1/3

Equation:

y - 3 = (1/3)(x - 2)

x - 3y + 7 = 0

हल (हिंदी):

दी गई रेखा की ढाल = 2

कोण सूत्र लगाने पर दो ढालें प्राप्त होती हैं:

m = -3 तथा m = 1/3

दोनों ढालों से बिंदु-ढाल सूत्र द्वारा समीकरण प्राप्त होते हैं।

Answer / उत्तर: 3x + y - 9 = 0 अथवा x - 3y + 7 = 0

Q82. Find the equations of lines through the origin making an angle of 45° with 3x - 4y + 5 = 0.

प्रश्न 82. मूलबिंदु से गुजरने वाली उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो 3x - 4y + 5 = 0 से 45° का कोण बनाती हैं।

Solution (English):

Given slope = 3/4.

Let required slope = m.

|(m - 3/4)/(1 + 3m/4)| = 1

Multiply numerator and denominator by 4:

|(4m - 3)/(4 + 3m)| = 1

Case 1:

4m - 3 = 4 + 3m

m = 7

Case 2:

4m - 3 = -4 - 3m

7m = -1

m = -1/7

Lines through origin:

y = 7x

y = -x/7

हल (हिंदी):

कोण सूत्र से ढालें 7 तथा -1/7 प्राप्त होती हैं।

मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण y = mx होता है।

Answer / उत्तर: 7x - y = 0 तथा x + 7y = 0

Q83. Find k if kx + 3y = 5 and 2x - ky = 7 are perpendicular.

प्रश्न 83. यदि kx + 3y = 5 और 2x - ky = 7 लंबवत हैं, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Perpendicular condition:

A1A2 + B1B2 = 0

k(2) + 3(-k) = 0

2k - 3k = 0

-k = 0

k = 0

हल (हिंदी):

लंबवतता की शर्त:

A1A2 + B1B2 = 0

2k - 3k = 0

k = 0

Answer / उत्तर: 0

Q84. Find the perpendicular bisector of the segment joining (-3, 4) and (5, -2).

प्रश्न 84. (-3, 4) और (5, -2) को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Midpoint:

x = (-3 + 5)/2 = 1

y = (4 - 2)/2 = 1

Midpoint = (1, 1)

Slope of segment:

m = (-2 - 4)/(5 - (-3))

= -6/8 = -3/4

Perpendicular slope = 4/3

y - 1 = (4/3)(x - 1)

3y - 3 = 4x - 4

4x - 3y - 1 = 0

हल (हिंदी):

मध्यबिंदु = (1, 1)

मूल रेखाखंड की ढाल = -3/4

लंब समद्विभाजक की ढाल = 4/3

y - 1 = (4/3)(x - 1)

Answer / उत्तर: 4x - 3y - 1 = 0

Q85. Find the equation of the line passing through the centroid of triangle (1, 2), (4, 5), (7, -1), parallel to x - 2y + 3 = 0.

प्रश्न 85. दिए गए त्रिभुज के केन्द्रक से गुजरने वाली तथा x - 2y + 3 = 0 के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Centroid:

G = ((1 + 4 + 7)/3, (2 + 5 - 1)/3)

= (12/3, 6/3)

= (4, 2)

Parallel line:

x - 2y + c = 0

Substitute (4, 2):

4 - 4 + c = 0

c = 0

हल (हिंदी):

केन्द्रक = (4, 2)

समांतर रेखा का रूप:

x - 2y + c = 0

बिंदु रखने पर c = 0

Answer / उत्तर: x - 2y = 0

Q86. Find the equation of the median from A in triangle A(2, 5), B(4, 1), C(8, 7).

प्रश्न 86. त्रिभुज A(2, 5), B(4, 1), C(8, 7) में शीर्ष A से खींची गई माध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Midpoint of BC:

M = ((4 + 8)/2, (1 + 7)/2)

= (6, 4)

Slope of AM:

m = (4 - 5)/(6 - 2)

= -1/4

Equation:

y - 5 = (-1/4)(x - 2)

4y - 20 = -x + 2

x + 4y - 22 = 0

हल (हिंदी):

BC का मध्यबिंदु = (6, 4)

A से माध्यिका की ढाल = -1/4

y - 5 = (-1/4)(x - 2)

Answer / उत्तर: x + 4y - 22 = 0

Q87. Find the equation of the altitude from A in triangle A(1, 4), B(3, 2), C(7, 6).

प्रश्न 87. त्रिभुज A(1, 4), B(3, 2), C(7, 6) में A से खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Slope of BC:

m = (6 - 2)/(7 - 3)

= 4/4 = 1

Altitude slope = -1

Through A(1, 4):

y - 4 = -(x - 1)

y - 4 = -x + 1

x + y - 5 = 0

हल (हिंदी):

BC की ढाल = 1

शीर्षलंब की ढाल = -1

y - 4 = -(x - 1)

Answer / उत्तर: x + y - 5 = 0

Q88. Find the orthocentre of triangle A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4).

प्रश्न 88. त्रिभुज A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4) का लंबकेन्द्र ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

AB is horizontal.

Altitude from C is vertical:

x = 2

Slope of BC:

m = (4 - 0)/(2 - 6)

= 4/-4 = -1

Altitude from A has slope 1.

Equation through origin:

y = x

At x = 2:

y = 2

Orthocentre = (2, 2)

हल (हिंदी):

C से शीर्षलंब का समीकरण x = 2 है।

A से शीर्षलंब का समीकरण y = x है।

दोनों का प्रतिच्छेद (2, 2) है।

Answer / उत्तर: (2, 2)

Q89. Find the equation of the line through (3, 4) forming a triangle of minimum area with the positive coordinate axes.

प्रश्न 89. (3, 4) से गुजरने वाली तथा धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ न्यूनतम क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Let positive intercepts be a and b.

3/a + 4/b = 1

By AM-GM inequality:

3/a + 4/b >= 2√(12/ab)

Therefore:

1 >= 2√(12/ab)

1 >= 48/ab

ab >= 48

Minimum occurs when:

3/a = 4/b = 1/2

a = 6

b = 8

Equation:

x/6 + y/8 = 1

Multiply by 24:

4x + 3y = 24

हल (हिंदी):

धनात्मक अवरोध a और b मानें।

3/a + 4/b = 1

अंकगणितीय-गुणोत्तर माध्य असमता से,

ab >= 48

न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए,

a = 6 तथा b = 8

x/6 + y/8 = 1

Answer / उत्तर: 4x + 3y - 24 = 0

Q90. Find the minimum area of the triangle formed by a line passing through (5, 3) with the positive coordinate axes.

प्रश्न 90. (5, 3) से गुजरने वाली रेखा द्वारा धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ निर्मित त्रिभुज का न्यूनतम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

For a line passing through (p, q) in the first quadrant:

Minimum area = 2pq

Here:

p = 5

q = 3

Minimum area = 2 × 5 × 3

= 30 square units

हल (हिंदी):

प्रथम चतुर्थांश के बिंदु (p, q) से गुजरने वाली रेखा के लिए न्यूनतम क्षेत्रफल = 2pq

= 2 × 5 × 3

= 30 वर्ग इकाई

Answer / उत्तर: 30 square units / 30 वर्ग इकाई

Q91. Find the equation of the line through (2, -3) perpendicular to the line joining (-1, 4) and (5, 1).

प्रश्न 91. (2, -3) से गुजरने वाली तथा (-1, 4) और (5, 1) को मिलाने वाली रेखा पर लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Original slope:

m = (1 - 4)/(5 - (-1))

= -3/6

= -1/2

Perpendicular slope = 2

y + 3 = 2(x - 2)

y + 3 = 2x - 4

2x - y - 7 = 0

हल (हिंदी):

मूल रेखा की ढाल = -1/2

लंबवत रेखा की ढाल = 2

y + 3 = 2(x - 2)

Answer / उत्तर: 2x - y - 7 = 0

Q92. Find k if 3x + 4y = 7, 2x - ky = 5 and x + y = 3 are concurrent.

प्रश्न 92. यदि तीनों रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं, तो k ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

From:

x + y = 3

x = 3 - y

Substitute into 3x + 4y = 7:

3(3 - y) + 4y = 7

9 - 3y + 4y = 7

y = -2

x = 5

Third condition:

2x - ky = 5

2(5) - k(-2) = 5

10 + 2k = 5

2k = -5

k = -5/2

हल (हिंदी):

पहली और तीसरी रेखा का प्रतिच्छेद (5, -2) है।

दूसरी रेखा में रखने पर,

10 + 2k = 5

k = -5/2

Answer / उत्तर: -5/2

Q93. Find the equation of the line through the origin and the intersection of 2x + 3y = 12 and 3x - 2y = 5.

प्रश्न 93. मूलबिंदु तथा दी गई दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

2x + 3y = 12 ...(1)

3x - 2y = 5 ...(2)

Multiply (1) by 2:

4x + 6y = 24

Multiply (2) by 3:

9x - 6y = 15

Adding:

13x = 39

x = 3

Substitute:

2(3) + 3y = 12

3y = 6

y = 2

Slope through origin = 2/3

Equation:

y = (2/3)x

2x - 3y = 0

हल (हिंदी):

दोनों समीकरण हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु (3, 2) है।

मूलबिंदु से ढाल = 2/3

y = (2/3)x

Answer / उत्तर: 2x - 3y = 0

Q94. Find the equations of lines passing through (1, 2) whose perpendicular distance from the origin is 1 unit.

प्रश्न 94. बिंदु (1, 2) से गुजरने वाली उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी मूलबिंदु से लंबवत दूरी 1 इकाई है।

Solution (English):

Let a non-vertical line be:

y - 2 = m(x - 1)

mx - y + 2 - m = 0

Distance from origin:

d = |C|/√(A² + B²)

1 = |2 - m|/√(m² + 1)

Squaring:

(2 - m)² = m² + 1

4 - 4m + m² = m² + 1

4m = 3

m = 3/4

Equation:

y - 2 = (3/4)(x - 1)

4y - 8 = 3x - 3

3x - 4y + 5 = 0

Also, the vertical line x = 1 passes through (1, 2) and has distance 1 from the origin.

हल (हिंदी):

बिंदु-ढाल रूप में समीकरण लिखकर दूरी सूत्र लगाएँ।

(2 - m)² = m² + 1

m = 3/4

पहली रेखा:

3x - 4y + 5 = 0

ऊर्ध्वाधर रेखा x = 1 भी शर्त पूरी करती है।

Answer / उत्तर: 3x - 4y + 5 = 0 तथा x = 1

Q95. Find the equations of lines passing through (4, 3) and having a perpendicular distance of 3 units from the origin.

प्रश्न 95. बिंदु (4, 3) से गुजरने वाली तथा मूलबिंदु से 3 इकाई लंबवत दूरी वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Let line be:

y - 3 = m(x - 4)

mx - y + 3 - 4m = 0

Distance condition:

|3 - 4m|/√(m² + 1) = 3

Squaring:

(3 - 4m)² = 9(m² + 1)

9 - 24m + 16m² = 9m² + 9

7m² - 24m = 0

m(7m - 24) = 0

m = 0 or 24/7

For m = 0:

y = 3

For m = 24/7:

y - 3 = (24/7)(x - 4)

7y - 21 = 24x - 96

24x - 7y - 75 = 0

हल (हिंदी):

दूरी सूत्र लगाने पर,

7m² - 24m = 0

m = 0 या 24/7

दोनों ढालों से दो समीकरण प्राप्त होते हैं।

Answer / उत्तर: y = 3 तथा 24x - 7y - 75 = 0

Q96. Find the equation of the line passing through (2, 1) and the intersection of x + 2y = 7 and 3x - y = 7.

प्रश्न 96. बिंदु (2, 1) तथा दी गई दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

3x - y = 7

y = 3x - 7

Substitute into x + 2y = 7:

x + 2(3x - 7) = 7

7x - 14 = 7

7x = 21

x = 3

y = 2

Slope through (2, 1) and (3, 2):

m = (2 - 1)/(3 - 2)

= 1

Equation:

y - 1 = x - 2

x - y - 1 = 0

हल (हिंदी):

प्रतिच्छेद बिंदु = (3, 2)

बिंदु (2, 1) तथा (3, 2) के बीच ढाल = 1

y - 1 = x - 2

Answer / उत्तर: x - y - 1 = 0

Q97. Find the equations of lines passing through (1, 4) whose intercepts on the coordinate axes have a sum of 10.

प्रश्न 97. (1, 4) से गुजरने वाली तथा दोनों अक्षों पर ऐसे अवरोध बनाने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका योग 10 है।

Solution (English):

Let intercepts be a and b.

a + b = 10

b = 10 - a

Intercept equation:

x/a + y/b = 1

At (1, 4):

1/a + 4/(10 - a) = 1

Multiply by a(10 - a):

10 - a + 4a = 10a - a²

a² - 7a + 10 = 0

(a - 5)(a - 2) = 0

a = 5 or 2

Case 1:

a = 5, b = 5

x/5 + y/5 = 1

x + y = 5

Case 2:

a = 2, b = 8

x/2 + y/8 = 1

4x + y = 8

हल (हिंदी):

अवरोधों का योग 10 है।

a + b = 10

अवरोध सूत्र लगाने पर,

a² - 7a + 10 = 0

a = 5 या 2

दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं।

Answer / उत्तर: x + y = 5 तथा 4x + y = 8

Q98. Find the equation of the line passing through (3, 2) and forming a triangle of area 12 square units with the positive coordinate axes.

प्रश्न 98. (3, 2) से गुजरने वाली तथा धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ 12 वर्ग इकाई क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Let positive intercepts be a and b.

Area = ab/2

12 = ab/2

ab = 24

Since (3, 2) lies on the line:

3/a + 2/b = 1

Multiply by ab:

3b + 2a = ab

3b + 2a = 24

b = 24/a

3(24/a) + 2a = 24

72 + 2a² = 24a

2a² - 24a + 72 = 0

a² - 12a + 36 = 0

(a - 6)² = 0

a = 6

b = 24/6 = 4

Equation:

x/6 + y/4 = 1

2x + 3y = 12

हल (हिंदी):

क्षेत्रफल से,

ab = 24

अवरोध सूत्र से,

3/a + 2/b = 1

हल करने पर,

a = 6, b = 4

x/6 + y/4 = 1

Answer / उत्तर: 2x + 3y - 12 = 0

Q99. Find the equations of the angle bisectors of 3x + 4y - 5 = 0 and 4x - 3y + 10 = 0.

प्रश्न 99. रेखाओं 3x + 4y - 5 = 0 और 4x - 3y + 10 = 0 के कोण समद्विभाजकों के समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Angle bisector condition:

(3x + 4y - 5)/√(3² + 4²) = ±(4x - 3y + 10)/√(4² + (-3)²)

Both denominators = 5

Therefore:

3x + 4y - 5 = ±(4x - 3y + 10)

Case 1:

3x + 4y - 5 = 4x - 3y + 10

-x + 7y - 15 = 0

x - 7y + 15 = 0

Case 2:

3x + 4y - 5 = -4x + 3y - 10

7x + y + 5 = 0

हल (हिंदी):

कोण समद्विभाजक सूत्र से दोनों हर 5 प्राप्त होते हैं।

धनात्मक तथा ऋणात्मक स्थितियाँ लेने पर दो रेखाएँ मिलती हैं।

Answer / उत्तर: x - 7y + 15 = 0 तथा 7x + y + 5 = 0

Q100. Find the equations of lines passing through (2, 3) and making an angle of 45° with x - y + 1 = 0.

प्रश्न 100. बिंदु (2, 3) से गुजरने वाली तथा x - y + 1 = 0 से 45° का कोण बनाने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।

Solution (English):

Given line:

x - y + 1 = 0

y = x + 1

Slope = 1

Inclination = 45°

A line making 45° with it can have inclination:

45° - 45° = 0°

or

45° + 45° = 90°

For inclination 0°, the line is horizontal.

Through (2, 3):

y = 3

For inclination 90°, the line is vertical.

Through (2, 3):

x = 2

हल (हिंदी):

दी गई रेखा का झुकाव 45° है।

इससे 45° का कोण बनाने वाली रेखाओं का झुकाव 0° या 90° होगा।

0° वाली रेखा क्षैतिज है:

y = 3

90° वाली रेखा ऊर्ध्वाधर है:

x = 2

Answer / उत्तर: y = 3 तथा x = 2