Introduction / परिचय

The Number System is one of the most fundamental chapters of competitive-examination Mathematics. It is not limited to identifying natural, whole, prime or composite numbers. Questions may involve divisibility, factors, number of factors, sum of factors, odd and even factors, HCF-LCM, remainders, unit digits, perfect squares, perfect cubes, factorials and several other properties of numbers.

संख्या पद्धति (Number System) प्रतियोगी परीक्षाओं के गणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है। यह केवल प्राकृतिक, पूर्ण, अभाज्य या भाज्य संख्याओं की पहचान तक सीमित नहीं है। परीक्षाओं में विभाज्यता, गुणनखंडों की संख्या, गुणनखंडों का योग, सम-विषम गुणनखंड, HCF-LCM, शेषफल, इकाई अंक, पूर्ण वर्ग, पूर्ण घन तथा factorial आदि से भी प्रश्न पूछे जाते हैं।

These notes are designed especially for SSC CGL, SSC CHSL, SSC MTS, SSC GD, Railway NTPC, Railway Group D and other government examinations.

PART 1 — TYPES OF NUMBERS / संख्याओं के प्रकार

1. Natural Numbers / प्राकृतिक संख्याएँ

Counting numbers beginning with 1 are called natural numbers.

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

1 से शुरू होने वाली गिनती की संख्याओं को प्राकृतिक संख्याएँ कहते हैं।

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Smallest natural number = 1

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या = 1

There is no largest natural number.

सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं होती।

2. Whole Numbers / पूर्ण संख्याएँ

Natural numbers together with zero form whole numbers.

प्राकृतिक संख्याओं में 0 को शामिल करने पर पूर्ण संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Smallest whole number = 0

सबसे छोटी पूर्ण संख्या = 0

3. Integers / पूर्णांक

Positive integers, negative integers and zero together form the set of integers.

धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक तथा शून्य मिलकर पूर्णांक बनाते हैं।

Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

There is neither a greatest nor a smallest integer.

पूर्णांकों में न तो कोई सबसे बड़ी और न कोई सबसे छोटी संख्या होती है।

4. Rational Numbers / परिमेय संख्याएँ

A number that can be expressed as:

p/q

where p and q are integers and q ≠ 0, is called a rational number.

जिस संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों तथा q ≠ 0, उसे परिमेय संख्या कहते हैं।

Examples:

1/2, −3/7, 5, 0, 0.75

Every integer is rational because:

n = n/1

प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या है क्योंकि:

n = n/1

5. Irrational Numbers / अपरिमेय संख्याएँ

Numbers that cannot be expressed in the form p/q are called irrational numbers.

जिन संख्याओं को p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, उन्हें अपरिमेय संख्या कहते हैं।

Examples:

√2, √3, √5, π

Their decimal expansions are non-terminating and non-repeating.

इनका दशमलव प्रसार असांत तथा अनावर्ती होता है।

6. Real Numbers / वास्तविक संख्याएँ

The collection of rational and irrational numbers is called the set of real numbers.

परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं के सम्मिलित समूह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।

Real Numbers = Rational Numbers + Irrational Numbers

PART 2 — EVEN AND ODD NUMBERS / सम एवं विषम संख्याएँ

7. Even Numbers / सम संख्याएँ

An integer divisible by 2 is called an even number.

जो पूर्णांक 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाए, वह सम संख्या कहलाता है।

General form:

2n

Examples:

0, 2, 4, 6, 8, 10, ...

0 is even.

0 एक सम संख्या है।

8. Odd Numbers / विषम संख्याएँ

An integer not divisible by 2 is called an odd number.

जो पूर्णांक 2 से पूर्णतः विभाजित न हो, वह विषम संख्या कहलाता है।

General form:

2n + 1

Examples:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

Important Odd-Even Properties / महत्वपूर्ण सम-विषम गुण

Even + Even = Even
सम + सम = सम

Odd + Odd = Even
विषम + विषम = सम

Even + Odd = Odd
सम + विषम = विषम

Even − Even = Even
सम − सम = सम

Odd − Odd = Even
विषम − विषम = सम

Even − Odd = Odd
सम − विषम = विषम

Odd × Odd = Odd
विषम × विषम = विषम

Even × Odd = Even
सम × विषम = सम

Even × Even = Even
सम × सम = सम

Important Exam Concept

A product is odd only when every factor is odd.

किसी गुणनफल के विषम होने के लिए उसके सभी गुणक विषम होने चाहिए।

If even one factor is even, the entire product is even.

यदि गुणनफल में एक भी गुणक सम है, तो पूरा गुणनफल सम होगा।

PART 3 — PRIME AND COMPOSITE NUMBERS / अभाज्य एवं भाज्य संख्याएँ

9. Prime Numbers / अभाज्य संख्याएँ

A natural number greater than 1 having exactly two positive factors—1 and itself—is called a prime number.

1 से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या जिसके ठीक दो धनात्मक गुणनखंड—1 और स्वयं संख्या—हों, अभाज्य संख्या कहलाती है।

Examples:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Important Facts / महत्वपूर्ण तथ्य

• Smallest prime number = 2

• 2 is the only even prime number.

• Every prime number greater than 2 is odd.

• 1 is not a prime number.

• Prime numbers are infinite.

सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है।

2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

2 से बड़ी प्रत्येक अभाज्य संख्या विषम होती है।

1 अभाज्य संख्या नहीं है।

अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं।

10. Composite Numbers / भाज्य संख्याएँ

A natural number greater than 1 having more than two positive factors is called a composite number.

1 से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या जिसके दो से अधिक धनात्मक गुणनखंड हों, भाज्य संख्या कहलाती है।

Examples:

4, 6, 8, 9, 10, 12, ...

Smallest composite number = 4

सबसे छोटी भाज्य संख्या = 4

Important

1 is neither prime nor composite.

1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।

11. Co-prime Numbers / सह-अभाज्य संख्याएँ

Two numbers are called co-prime if their HCF is 1.

यदि दो संख्याओं का HCF 1 हो, तो वे सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

Example:

8 and 15

Factors of 8 = 1, 2, 4, 8
Factors of 15 = 1, 3, 5, 15

HCF = 1

Therefore, 8 and 15 are co-prime.

ध्यान रखें कि co-prime संख्याओं का स्वयं prime होना आवश्यक नहीं है।

12. Twin Prime Numbers / जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ

Two prime numbers whose difference is 2 are called twin primes.

दो अभाज्य संख्याएँ जिनका अंतर 2 हो, जुड़वाँ अभाज्य कहलाती हैं।

Examples:

(3, 5)

(5, 7)

(11, 13)

(17, 19)

PART 4 — FACE VALUE AND PLACE VALUE / अंकित मान एवं स्थानीय मान

Face Value / अंकित मान

The face value of a digit is the digit itself.

किसी अंक का अंकित मान वही अंक होता है।

In 58372, face value of 8 = 8

Place Value / स्थानीय मान

Place value depends upon the position of the digit.

स्थानीय मान अंक के स्थान पर निर्भर करता है।

In 58372, place value of 8:

8 × 1000 = 8000

PART 5 — IMPORTANT DIVISIBILITY RULES / महत्वपूर्ण विभाज्यता नियम

Divisibility by 2

Last digit must be 0, 2, 4, 6 or 8.

अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 होना चाहिए।

Divisibility by 3

Sum of digits must be divisible by 3.

अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए।

Example:

729

7 + 2 + 9 = 18

18 is divisible by 3.

Therefore, 729 is divisible by 3.

Divisibility by 4

The number formed by the last two digits must be divisible by 4.

अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए।

Example:

1316 → last two digits = 16

Therefore, 1316 is divisible by 4.

Divisibility by 5

Last digit must be 0 or 5.

अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए।

Divisibility by 6

The number must be divisible by both 2 and 3.

संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

Divisibility by 7

Double the last digit and subtract it from the remaining number. Repeat if necessary. If the result is divisible by 7, the original number is divisible by 7.

अंतिम अंक का दोगुना करके शेष संख्या से घटाएँ। आवश्यकता होने पर प्रक्रिया दोहराएँ। यदि प्राप्त परिणाम 7 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी 7 से विभाज्य है।

Example:

203

20 − 2×3 = 14

14 is divisible by 7.

Therefore, 203 is divisible by 7.

Divisibility by 8

The number formed by the last three digits must be divisible by 8.

अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए।

Example:

7512

Last three digits = 512

512 ÷ 8 = 64

Therefore, 7512 is divisible by 8.

Divisibility by 9

Sum of digits must be divisible by 9.

अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए।

Divisibility by 10

Last digit must be 0.

अंतिम अंक 0 होना चाहिए।

Divisibility by 11

Find the difference between the sums of digits in alternate positions.

If the difference is 0 or a multiple of 11, the number is divisible by 11.

एकांतर स्थानों पर स्थित अंकों के योग का अंतर निकालें।

यदि अंतर 0 या 11 का गुणज है, तो संख्या 11 से विभाज्य होगी।

Example:

121

(1 + 1) − 2 = 0

Therefore, 121 is divisible by 11.

Divisibility by 12

A number must be divisible by both 3 and 4.

संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

Divisibility by 15

A number must be divisible by both 3 and 5.

संख्या 3 और 5 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

Divisibility by 16

The number formed by the last four digits must be divisible by 16.

अंतिम चार अंकों से बनी संख्या 16 से विभाज्य होनी चाहिए।

Divisibility by 18

The number must be divisible by both 2 and 9.

संख्या 2 और 9 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

Divisibility by 25

The last two digits must be:

00, 25, 50 or 75

अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 होने चाहिए।

Divisibility by 125

The number formed by the last three digits must be divisible by 125.

Useful endings include:

000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875

अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 125 से विभाज्य होनी चाहिए।

PART 6 — PRIME FACTORISATION / अभाज्य गुणनखंड

Every composite number can be expressed as a product of prime numbers.

प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

Example:

360

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5

Therefore:

360 = 2³ × 3² × 5

This representation is extremely important for questions involving factors, HCF, LCM, perfect squares and perfect cubes.

PART 7 — NUMBER OF FACTORS / गुणनखंडों की संख्या

Suppose:

N = pᵃ × qᵇ × rᶜ

where p, q and r are distinct prime numbers.

Then:

Total number of factors = (a + 1)(b + 1)(c + 1)

यदि:

N = pᵃ × qᵇ × rᶜ

तो:

कुल गुणनखंडों की संख्या = (a + 1)(b + 1)(c + 1)

Example

Find the number of factors of 360.

360 = 2³ × 3² × 5¹

Therefore:

Number of factors

= (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1)

= 4 × 3 × 2

= 24

Hence, 360 has 24 positive factors.

अतः 360 के कुल 24 धनात्मक गुणनखंड हैं।

PART 8 — NUMBER OF ODD FACTORS / विषम गुणनखंडों की संख्या

This is one of the most useful factor formulas for SSC and Railway examinations.

Suppose:

N = 2ᵃ × pᵇ × qᶜ

where p and q are odd primes.

For a factor to be odd, it cannot contain 2.

Therefore, the exponent of 2 must be zero.

Hence:

Number of odd factors = (b + 1)(c + 1)

यदि:

N = 2ᵃ × pᵇ × qᶜ

तो विषम गुणनखंड बनाने के लिए 2 का प्रयोग नहीं किया जाएगा।

अतः:

विषम गुणनखंडों की संख्या = (b + 1)(c + 1)

Example

Find the number of odd factors of 360.

360 = 2³ × 3² × 5

Ignore the power of 2.

Odd factors:

= (2 + 1)(1 + 1)

= 3 × 2

= 6

Therefore, 360 has 6 odd factors.

अतः 360 के 6 विषम गुणनखंड हैं।

PART 9 — NUMBER OF EVEN FACTORS / सम गुणनखंडों की संख्या

A factor is even when it contains at least one factor of 2.

The easiest formula is:

Number of even factors = Total factors − Odd factors

सम गुणनखंडों की संख्या:

कुल गुणनखंड − विषम गुणनखंड

For:

N = 2ᵃ × pᵇ × qᶜ

Total factors:

(a + 1)(b + 1)(c + 1)

Odd factors:

(b + 1)(c + 1)

Therefore:

Even factors = a(b + 1)(c + 1)

Example

For:

360 = 2³ × 3² × 5

Total factors = 24

Odd factors = 6

Therefore:

Even factors:

= 24 − 6

= 18

Hence, 360 has 18 even factors.

अतः 360 के 18 सम गुणनखंड हैं।

PART 10 — SUM OF ALL FACTORS / सभी गुणनखंडों का योग

Suppose:

N = pᵃ × qᵇ × rᶜ

Then the sum of all positive factors is:

(1 + p + p² + ... + pᵃ)(1 + q + q² + ... + qᵇ)(1 + r + r² + ... + rᶜ)

Using the geometric progression formula:

Sum of factors = [(pᵃ⁺¹ − 1)/(p − 1)] × [(qᵇ⁺¹ − 1)/(q − 1)] × [(rᶜ⁺¹ − 1)/(r − 1)]

यदि:

N = pᵃ × qᵇ × rᶜ

तो सभी धनात्मक गुणनखंडों का योग:

[(pᵃ⁺¹ − 1)/(p − 1)] × [(qᵇ⁺¹ − 1)/(q − 1)] × [(rᶜ⁺¹ − 1)/(r − 1)]

Example

Find the sum of factors of 72.

72 = 2³ × 3²

Sum:

= (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)

= 15 × 13

= 195

Therefore, the sum of all positive factors of 72 is 195.

72 के सभी धनात्मक गुणनखंडों का योग 195 है।

PART 11 — SUM OF ODD FACTORS / विषम गुणनखंडों का योग

Suppose:

N = 2ᵃ × pᵇ × qᶜ

To obtain odd factors, ignore the entire power of 2.

Therefore:

Sum of odd factors

= (1 + p + p² + ... + pᵇ)(1 + q + q² + ... + qᶜ)

or:

[(pᵇ⁺¹ − 1)/(p − 1)] × [(qᶜ⁺¹ − 1)/(q − 1)]

Example

Find the sum of odd factors of 72.

72 = 2³ × 3²

Ignore 2³.

Odd-factor sum:

= 1 + 3 + 9

= 13

The odd factors are:

1, 3, 9

Their sum = 13

अतः 72 के विषम गुणनखंडों का योग 13 है।

PART 12 — SUM OF EVEN FACTORS / सम गुणनखंडों का योग

The easiest method is:

Sum of even factors = Sum of all factors − Sum of odd factors

सम गुणनखंडों का योग:

सभी गुणनखंडों का योग − विषम गुणनखंडों का योग

Example

For 72:

Sum of all factors = 195

Sum of odd factors = 13

Therefore:

Sum of even factors

= 195 − 13

= 182

अतः 72 के सभी सम गुणनखंडों का योग 182 है।

PART 13 — PRODUCT OF ALL FACTORS / सभी गुणनखंडों का गुणनफल

If N has d factors, then:

Product of all positive factors = N^(d/2)

यदि किसी संख्या N के कुल d धनात्मक गुणनखंड हों, तो:

सभी गुणनखंडों का गुणनफल = N^(d/2)

This works because factors can generally be paired as:

d × (N/d) = N

Example for 12:

Factors:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Product:

1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 12

There are 6 factors.

Therefore:

Product = 12^(6/2) = 12³ = 1728

PART 14 — NUMBER OF PERFECT-SQUARE FACTORS / पूर्ण वर्ग गुणनखंड

Suppose:

N = pᵃqᵇrᶜ

For a factor to be a perfect square, every exponent must be even.

For pᵃ, allowable exponents are:

0, 2, 4, 6, ...

Therefore, the number of choices is:

⌊a/2⌋ + 1

Hence:

Number of perfect-square factors

= (⌊a/2⌋ + 1)(⌊b/2⌋ + 1)(⌊c/2⌋ + 1)

Example

N = 2⁵ × 3⁴

Number of square factors:

= (⌊5/2⌋ + 1)(⌊4/2⌋ + 1)

= (2 + 1)(2 + 1)

= 9

PART 15 — NUMBER OF PERFECT-CUBE FACTORS / पूर्ण घन गुणनखंड

For a factor to be a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.

Therefore:

Number of perfect-cube factors

= (⌊a/3⌋ + 1)(⌊b/3⌋ + 1)(⌊c/3⌋ + 1)

यदि किसी गुणनखंड को पूर्ण घन होना है, तो उसके सभी अभाज्य गुणनखंडों की घातें 3 की गुणज होनी चाहिए।

PART 16 — FACTORS DIVISIBLE BY A PARTICULAR NUMBER

Suppose:

N = 2⁵ × 3⁴ × 5²

Find the number of factors divisible by 12.

12 = 2² × 3

For a divisor of N to be divisible by 12:

Power of 2 can be:

2, 3, 4, 5 → 4 choices

Power of 3 can be:

1, 2, 3, 4 → 4 choices

Power of 5 can be:

0, 1, 2 → 3 choices

Therefore:

Number of factors divisible by 12:

= 4 × 4 × 3

= 48

यह concept SSC के कठिन factor questions में अत्यंत उपयोगी है।

PART 17 — HCF AND LCM / महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य

HCF / महत्तम समापवर्तक

HCF is the greatest number that divides each of the given numbers exactly.

HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है।

LCM / लघुत्तम समापवर्त्य

LCM is the smallest positive number exactly divisible by each of the given numbers.

LCM वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित होती है।

Important Relation

For two positive integers A and B:

A × B = HCF × LCM

दो धनात्मक संख्याओं के लिए:

पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM

Example

Two numbers are 12 and 18.

HCF = 6

LCM = 36

12 × 18 = 216

6 × 36 = 216

Hence verified.

HCF and LCM of Co-prime Numbers

If A and B are co-prime:

HCF = 1

and:

LCM = A × B

यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य हों:

HCF = 1

और:

LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल

PART 18 — PERFECT SQUARE / पूर्ण वर्ग

A number is a perfect square when every exponent in its prime factorisation is even.

यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें सम हों, तो वह पूर्ण वर्ग होती है।

Examples:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Important Unit-Digit Rule

A perfect square can end in:

0, 1, 4, 5, 6 or 9

A perfect square can never end in:

2, 3, 7 or 8

पूर्ण वर्ग का इकाई अंक कभी भी:

2, 3, 7 या 8

नहीं हो सकता।

Important

If a perfect square ends in zero, the number of trailing zeroes must be even.

यदि पूर्ण वर्ग के अंत में शून्य हों, तो शून्यों की संख्या सम होगी।

PART 19 — PERFECT CUBE / पूर्ण घन

A number is a perfect cube if every exponent in its prime factorisation is a multiple of 3.

यदि अभाज्य गुणनखंड में प्रत्येक घात 3 का गुणज हो, तो संख्या पूर्ण घन होती है।

Examples:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, ...

A perfect cube can have any digit from 0 to 9 as its unit digit.

पूर्ण घन का इकाई अंक 0 से 9 तक कोई भी अंक हो सकता है।

PART 20 — SMALLEST MULTIPLIER TO MAKE A PERFECT SQUARE

Example:

Find the smallest number by which 72 must be multiplied to make it a perfect square.

72 = 2³ × 3²

For a perfect square, every exponent must be even.

Power of 2 is 3.

We need one more 2.

Therefore:

72 × 2 = 144 = 12²

Answer = 2

PART 21 — SMALLEST DIVISOR TO MAKE A PERFECT SQUARE

Using:

72 = 2³ × 3²

To make every exponent even, remove one factor 2.

72 ÷ 2 = 36

36 = 6²

Therefore:

Smallest divisor = 2

PART 22 — SMALLEST MULTIPLIER TO MAKE A PERFECT CUBE

Example:

108 = 2² × 3³

For a perfect cube, each exponent must be a multiple of 3.

2² needs one more factor of 2.

Therefore:

108 × 2 = 216

216 = 6³

Hence:

Required multiplier = 2

PART 23 — REMAINDER CONCEPT / शेषफल की अवधारणा

According to the division algorithm:

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder

अर्थात:

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

where:

0 ≤ Remainder < Divisor

Hence, the remainder is always smaller than the divisor.

अतः शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।

Important Remainder Property

If:

A leaves remainder r₁ when divided by m,

and B leaves remainder r₂ when divided by m,

then:

Remainder of (A + B) = remainder of (r₁ + r₂)

Similarly:

Remainder of AB = remainder of r₁r₂

This is extremely useful in large-number questions.

Negative Remainder Concept

Suppose a number leaves remainder 6 when divided by 7.

We may also write:

6 ≡ −1 (mod 7)

This often makes powers easier.

Example:

6² divided by 7

Instead of 36:

6 ≡ −1

Therefore:

6² ≡ (−1)² = 1

Remainder = 1

PART 24 — UNIT DIGIT / इकाई अंक

The unit digits of powers generally repeat in cycles.

घात वाली संख्याओं के इकाई अंक एक निश्चित चक्र में दोहराते हैं।

Unit Digit Cycles

0 → 0

1 → 1

2 → 2, 4, 8, 6

3 → 3, 9, 7, 1

4 → 4, 6

5 → 5

6 → 6

7 → 7, 9, 3, 1

8 → 8, 4, 2, 6

9 → 9, 1

Cycle Length

2, 3, 7 and 8 have cycle length 4.

4 and 9 have cycle length 2.

0, 1, 5 and 6 have cycle length 1.

Example: Unit Digit of 7¹⁰³

Cycle of 7:

7, 9, 3, 1

Cycle length = 4

103 ÷ 4 gives remainder:

3

Third number in the cycle = 3

Therefore:

Unit digit of 7¹⁰³ = 3

PART 25 — SUM OF IMPORTANT SERIES / महत्वपूर्ण श्रेणियों का योग

Sum of First n Natural Numbers

1 + 2 + 3 + ... + n

= n(n + 1)/2

Sum of First n Even Numbers

2 + 4 + 6 + ... + 2n

= n(n + 1)

Sum of First n Odd Numbers

1 + 3 + 5 + ...

= n²

This also gives an important result:

Sum of first n odd numbers is always a perfect square.

प्रथम n विषम संख्याओं का योग हमेशा पूर्ण वर्ग होता है।

Sum of Squares of First n Natural Numbers

1² + 2² + 3² + ... + n²

= n(n + 1)(2n + 1)/6

Sum of Cubes of First n Natural Numbers

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³

= [n(n + 1)/2]²

Therefore:

1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)²

PART 26 — CONSECUTIVE NUMBERS / क्रमागत संख्याएँ

Consecutive integers:

n, n + 1, n + 2, ...

क्रमागत पूर्णांक:

n, n + 1, n + 2, ...

Consecutive even numbers:

2n, 2n + 2, 2n + 4, ...

Consecutive odd numbers:

2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, ...

Important Property

The HCF of two consecutive positive integers is always:

1

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का HCF हमेशा:

1

होता है।

Therefore, consecutive positive integers are always co-prime.

PART 27 — FACTORIAL / फैक्टोरियल

Factorial of a positive integer n is:

n! = n(n − 1)(n − 2)...3 × 2 × 1

Example:

5!

= 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 120

Also:

0! = 1

PART 28 — HIGHEST POWER OF A PRIME IN n!

To find the highest power of prime p contained in n!:

⌊n/p⌋ + ⌊n/p²⌋ + ⌊n/p³⌋ + ...

Continue until the denominator exceeds n.

Example

Find the highest power of 2 in 10!.

= ⌊10/2⌋ + ⌊10/4⌋ + ⌊10/8⌋

= 5 + 2 + 1

= 8

Therefore:

10! contains 2⁸ as the highest power of 2.

PART 29 — TRAILING ZEROES IN FACTORIAL / फैक्टोरियल के अंत में शून्य

A trailing zero is produced by:

10 = 2 × 5

Factorials contain more 2s than 5s.

Therefore, count the number of factors of 5.

Trailing zeroes in n!:

⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

Example

Number of trailing zeroes in 100!

= ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋

= 20 + 4

= 24

Therefore:

100! has 24 trailing zeroes.

PART 30 — DIGITAL SUM / अंकों का योग

The digital sum is obtained by repeatedly adding digits until a single digit remains.

Example:

98765

9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35

3 + 5 = 8

Digital root = 8

This concept is particularly useful for divisibility by 9 and quick checking of arithmetic calculations.

PART 31 — IMPORTANT NUMBER FORMATION CONCEPTS

Greatest Number from Given Digits

Arrange digits in descending order.

दिए गए अंकों से सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए अंकों को घटते क्रम में रखें।

Example:

Digits: 3, 8, 1, 6

Greatest number:

8631

Smallest Number from Given Digits

Arrange digits in ascending order, but 0 cannot occupy the first position.

सबसे छोटी संख्या बनाते समय अंकों को बढ़ते क्रम में रखें, लेकिन 0 को सबसे पहले नहीं रखा जा सकता।

Example:

Digits:

0, 2, 5, 7

Smallest number:

2057

not 0257.

PART 32 — IMPORTANT EXAM FACTS / परीक्षा के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण तथ्य

1. 0 is a whole number and an integer.
   0 पूर्ण संख्या तथा पूर्णांक दोनों है।

2. 0 is even.
   0 सम संख्या है।

3. 1 is neither prime nor composite.
   1 न तो अभाज्य है और न भाज्य।

4. 2 is the smallest prime number.
   2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।

5. 2 is the only even prime number.
   2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

6. 4 is the smallest composite number.
   4 सबसे छोटी भाज्य संख्या है।

7. Every prime number greater than 2 is odd.
   2 से बड़ी प्रत्येक अभाज्य संख्या विषम है।

8. Every integer is rational.
   प्रत्येक पूर्णांक परिमेय है।

9. Prime numbers are infinite.
   अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं।

10. The remainder is always smaller than the divisor.
    शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।

11. HCF of consecutive positive integers is 1.
    क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का HCF 1 होता है।

12. Product of two co-prime positive integers equals their LCM.
    दो सह-अभाज्य धनात्मक संख्याओं का गुणनफल उनके LCM के बराबर होता है।

13. A perfect square never ends in 2, 3, 7 or 8.
    पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक 2, 3, 7 या 8 नहीं हो सकता।

14. Sum of first n odd numbers = n².
    प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n²।

15. Every positive integer is a factor of itself.
    प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक स्वयं का गुणनखंड होता है।

QUICK REVISION FORMULA SHEET / त्वरित सूत्र संग्रह

If:

N = pᵃqᵇrᶜ

then:

Total Number of Factors

(a + 1)(b + 1)(c + 1)

Sum of All Factors

[(pᵃ⁺¹ − 1)/(p − 1)] × [(qᵇ⁺¹ − 1)/(q − 1)] × [(rᶜ⁺¹ − 1)/(r − 1)]

If:

N = 2ᵃpᵇqᶜ

where p and q are odd primes:

Number of Odd Factors

(b + 1)(c + 1)

Number of Even Factors

a(b + 1)(c + 1)

or:

Total factors − Odd factors

Sum of Odd Factors

[(pᵇ⁺¹ − 1)/(p − 1)] × [(qᶜ⁺¹ − 1)/(q − 1)]

Sum of Even Factors

Sum of all factors − Sum of odd factors

Product of Factors

If N has d positive factors:

Product = N^(d/2)

Number of Perfect-Square Factors

(⌊a/2⌋ + 1)(⌊b/2⌋ + 1)(⌊c/2⌋ + 1)

Number of Perfect-Cube Factors

(⌊a/3⌋ + 1)(⌊b/3⌋ + 1)(⌊c/3⌋ + 1)

Sum of First n Natural Numbers

n(n + 1)/2

Sum of First n Even Numbers

n(n + 1)

Sum of First n Odd Numbers

n²

Sum of First n Squares

n(n + 1)(2n + 1)/6

Sum of First n Cubes

[n(n + 1)/2]²

Two-Number HCF-LCM Relation

First Number × Second Number = HCF × LCM

Division Algorithm

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder

with:

0 ≤ Remainder < Divisor

Highest Power of Prime p in n!

⌊n/p⌋ + ⌊n/p²⌋ + ⌊n/p³⌋ + ...

Trailing Zeroes in n!

⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

Common Mistakes to Avoid / सामान्य गलतियाँ

Mistake 1: Considering 1 a prime number.
Correction: 1 is neither prime nor composite.

गलती: 1 को अभाज्य मानना।
सही तथ्य: 1 न अभाज्य है और न भाज्य।

Mistake 2: Forgetting that 0 is even.
Correction: 0 is divisible by 2, so it is even.

गलती: 0 को सम संख्या न मानना।
सही तथ्य: 0, 2 से विभाज्य है, इसलिए यह सम है।

Mistake 3: Counting even factors directly when unnecessary.
Use:

Even factors = Total factors − Odd factors

गलती: सम गुणनखंडों को अलग-अलग गिनना।
बेहतर सूत्र:

सम गुणनखंड = कुल गुणनखंड − विषम गुणनखंड

Mistake 4: Including the power of 2 while finding odd factors.
For odd factors, completely ignore the prime factor 2.

गलती: विषम गुणनखंड निकालते समय 2 की घात को शामिल करना।
विषम गुणनखंडों के लिए 2 को पूरी तरह छोड़ दें।

Mistake 5: Assuming the HCF × LCM relation directly extends in the same form to three or more numbers.
The standard identity A × B = HCF(A,B) × LCM(A,B) is for two positive integers.

Final Exam Strategy / परीक्षा रणनीति

Number System becomes much easier when formulas are not memorised independently. Start by converting the given number into its prime factorisation.

For example:

N = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ

From this single representation, you can determine:

• total factors,

• odd factors,

• even factors,

• sum of factors,

• sum of odd factors,

• sum of even factors,

• square factors,

• cube factors,

• HCF and LCM properties,

• and the multiplier or divisor required to make the number a perfect square or cube.

संख्या पद्धति के प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण आदत है कि जहाँ संभव हो, संख्या को पहले अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें। एक बार prime factorisation प्राप्त हो जाने के बाद अनेक प्रश्न सीधे सूत्रों से हल किए जा सकते हैं।

For SSC and Railway examinations, students should especially master divisibility, prime factorisation, factors, odd-even factors, sum of factors, HCF-LCM, remainders, unit digits, perfect squares, perfect cubes and factorial-based questions.

Revise the formula sheet regularly and solve questions immediately after studying each concept.

Try Our Quiz : Number System Practice Quiz – 30 Questions