Introduction / परिचय
The Number System is one of the fundamental topics of Mathematics for competitive examinations. Questions from divisibility, factors, multiples, remainders, unit digits, HCF, LCM and properties of numbers frequently appear in SSC and Railway examinations.
संख्या पद्धति प्रतियोगी परीक्षाओं के गणित का एक महत्वपूर्ण आधारभूत अध्याय है। SSC और Railway परीक्षाओं में विभाज्यता, गुणनखंड, गुणज, शेषफल, इकाई अंक, HCF, LCM तथा संख्याओं के गुणों से प्रश्न पूछे जाते हैं।
1. Natural Numbers / प्राकृतिक संख्याएँ
Counting numbers beginning from 1 are called Natural Numbers.
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
1 से शुरू होने वाली गिनती की संख्याओं को प्राकृतिक संख्याएँ कहते हैं।
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Smallest natural number = 1
There is no largest natural number.
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या = 1
सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं होती।
2. Whole Numbers / पूर्ण संख्याएँ
Natural numbers together with zero are called Whole Numbers.
प्राकृतिक संख्याओं में 0 को शामिल करने पर पूर्ण संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Smallest whole number = 0
सबसे छोटी पूर्ण संख्या = 0
3. Integers / पूर्णांक
Positive numbers, negative numbers and zero together form integers.
धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ तथा शून्य मिलकर पूर्णांक बनाते हैं।
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
There is no smallest or largest integer.
पूर्णांकों में कोई सबसे छोटी या सबसे बड़ी संख्या नहीं होती।
4. Even Numbers / सम संख्याएँ
A number exactly divisible by 2 is called an even number.
जो संख्या 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है, उसे सम संख्या कहते हैं।
Examples:
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
General form:
2n
0 is also an even number.
0 भी एक सम संख्या है।
5. Odd Numbers / विषम संख्याएँ
A number that is not exactly divisible by 2 is called an odd number.
जो संख्या 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं होती, उसे विषम संख्या कहते हैं।
Examples:
1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
General form:
2n + 1
6. Prime Numbers / अभाज्य संख्याएँ
A natural number greater than 1 having exactly two positive factors—1 and itself—is called a prime number.
1 से बड़ी ऐसी प्राकृतिक संख्या जिसके केवल दो धनात्मक गुणनखंड हों—1 और स्वयं वह संख्या—अभाज्य संख्या कहलाती है।
Examples:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Important facts:
2 is the only even prime number.
2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
The smallest prime number is 2.
सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है।
1 is neither prime nor composite.
1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।
7. Composite Numbers / भाज्य संख्याएँ
A natural number greater than 1 having more than two positive factors is called a composite number.
1 से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या जिसके दो से अधिक धनात्मक गुणनखंड हों, भाज्य संख्या कहलाती है।
Examples:
4, 6, 8, 9, 10, 12, ...
Smallest composite number = 4
सबसे छोटी भाज्य संख्या = 4
Important Divisibility Rules / महत्वपूर्ण विभाज्यता नियम
Divisibility by 2 / 2 से विभाज्यता
If the last digit is 0, 2, 4, 6 or 8, the number is divisible by 2.
यदि किसी संख्या का अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो, तो संख्या 2 से विभाज्य है।
Example:
468 is divisible by 2.
Divisibility by 3 / 3 से विभाज्यता
If the sum of the digits is divisible by 3, the number is divisible by 3.
यदि अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 3 से विभाज्य होगी।
Example:
729
7 + 2 + 9 = 18
18 is divisible by 3.
Therefore, 729 is divisible by 3.
Divisibility by 4 / 4 से विभाज्यता
If the number formed by the last two digits is divisible by 4, the entire number is divisible by 4.
यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 4 से विभाज्य होगी।
Example:
1316
Last two digits = 16
Therefore, 1316 is divisible by 4.
Divisibility by 5 / 5 से विभाज्यता
A number ending in 0 or 5 is divisible by 5.
जिस संख्या का अंतिम अंक 0 या 5 हो, वह 5 से विभाज्य होती है।
Divisibility by 6 / 6 से विभाज्यता
A number must be divisible by both 2 and 3.
किसी संख्या का 6 से विभाज्य होने के लिए उसका 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना आवश्यक है।
Divisibility by 8 / 8 से विभाज्यता
If the number formed by the last three digits is divisible by 8, the whole number is divisible by 8.
यदि अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 8 से विभाज्य होगी।
Example:
7512
Last three digits = 512
512 ÷ 8 = 64
Therefore, 7512 is divisible by 8.
Divisibility by 9 / 9 से विभाज्यता
If the sum of the digits is divisible by 9, the entire number is divisible by 9.
यदि अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या 9 से विभाज्य होगी।
Divisibility by 10 / 10 से विभाज्यता
The last digit must be 0.
अंतिम अंक 0 होना चाहिए।
Divisibility by 11 / 11 से विभाज्यता
Find the difference between the sums of alternate digits.
If the difference is 0 or a multiple of 11, the number is divisible by 11.
एकांतर स्थानों के अंकों के योग का अंतर निकालें।
यदि अंतर 0 या 11 का गुणज है, तो संख्या 11 से विभाज्य है।
Example:
121
(1 + 1) − 2 = 0
Therefore, 121 is divisible by 11.
Important Number Properties / संख्याओं के महत्वपूर्ण गुण
Even + Even = Even
सम + सम = सम
Odd + Odd = Even
विषम + विषम = सम
Even + Odd = Odd
सम + विषम = विषम
Even × Even = Even
सम × सम = सम
Even × Odd = Even
सम × विषम = सम
Odd × Odd = Odd
विषम × विषम = विषम
Sum of First n Natural Numbers
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
Example:
Sum of first 20 natural numbers:
= 20 × 21 / 2
= 210
Sum of First n Odd Numbers
1 + 3 + 5 + ... = n²
Therefore:
Sum of first 10 odd numbers
= 10²
= 100
Sum of First n Even Numbers
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
Example:
Sum of first 10 even numbers
= 10 × 11
= 110
Number of Factors / गुणनखंडों की संख्या
If
N = pᵃ × qᵇ × rᶜ
where p, q and r are distinct prime numbers, then:
Number of factors = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
यदि
N = pᵃ × qᵇ × rᶜ
तो कुल गुणनखंडों की संख्या:
(a + 1)(b + 1)(c + 1)
Example:
72 = 2³ × 3²
Number of factors:
= (3 + 1)(2 + 1)
= 4 × 3
= 12
Perfect Square / पूर्ण वर्ग
A number is a perfect square when all powers in its prime factorisation are even.
यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सभी घातें सम हों, तो वह संख्या पूर्ण वर्ग होती है।
Examples:
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
A perfect square can never end in:
2, 3, 7 or 8
किसी पूर्ण वर्ग का इकाई अंक कभी भी:
2, 3, 7 या 8
नहीं हो सकता।
Perfect Cube / पूर्ण घन
A number is a perfect cube when every exponent in its prime factorisation is a multiple of 3.
यदि अभाज्य गुणनखंड में प्रत्येक घात 3 का गुणज हो, तो संख्या पूर्ण घन होती है।
Examples:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
Remainder Concept / शेषफल की अवधारणा
According to the division algorithm:
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
अर्थात:
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
Also:
0 ≤ Remainder < Divisor
The remainder can never be equal to or greater than the divisor.
शेषफल कभी भी भाजक के बराबर या उससे बड़ा नहीं हो सकता।
Unit Digit / इकाई अंक
For powers, unit digits generally repeat in cycles.
Example:
Powers of 2:
2¹ → 2
2² → 4
2³ → 8
2⁴ → 6
2⁵ → 2
Cycle:
2, 4, 8, 6
Cycle length = 4.
Similarly:
3 → 3, 9, 7, 1
7 → 7, 9, 3, 1
8 → 8, 4, 2, 6
Important Exam Facts / परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण तथ्य
0 is a whole number and an integer.
0 is even.
1 is neither prime nor composite.
2 is the smallest prime number.
2 is the only even prime number.
4 is the smallest composite number.
Every prime number greater than 2 is odd.
Every integer is rational because n = n/1.
There are infinitely many prime numbers.
The remainder must always be smaller than the divisor.
हिंदी त्वरित पुनरावृत्ति
0 पूर्ण संख्या और पूर्णांक दोनों है।
0 सम संख्या है।
1 न तो अभाज्य है और न भाज्य।
2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।
2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
4 सबसे छोटी भाज्य संख्या है।
2 से बड़ी प्रत्येक अभाज्य संख्या विषम होती है।
प्रत्येक पूर्णांक परिमेय संख्या है क्योंकि n = n/1 लिखा जा सकता है।
अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं।
शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
Quick Revision Formula Box
Sum of first n natural numbers:
n(n + 1)/2
Sum of first n even numbers:
n(n + 1)
Sum of first n odd numbers:
n²
If N = pᵃqᵇrᶜ:
Number of factors = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Division Algorithm:
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
These concepts form the foundation for advanced Number System questions asked in SSC CGL, CHSL, MTS, GD and Railway examinations.
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