Introduction / परिचय
Divisibility and Remainder are important parts of the Number System. Questions based on divisibility rules, missing digits, least addition or subtraction, same remainder and powers are frequently useful in competitive mathematics.
विभाज्यता एवं शेषफल संख्या पद्धति के महत्वपूर्ण भाग हैं। विभाज्यता के नियम, लुप्त अंक, न्यूनतम जोड़ या घटाव, समान शेषफल तथा घातों पर आधारित प्रश्न प्रतियोगी गणित में अत्यंत उपयोगी हैं।
Divisibility by 2 / 2 से विभाज्यता
A number is divisible by 2 when its last digit is:
0, 2, 4, 6 or 8
किसी संख्या का अंतिम अंक निम्न में से होने पर वह संख्या 2 से विभाज्य होती है:
0, 2, 4, 6 या 8
Example / उदाहरण:
568 is divisible by 2 because its last digit is 8.
568, 2 से विभाज्य है क्योंकि इसका अंतिम अंक 8 है।
Divisibility by 3 / 3 से विभाज्यता
A number is divisible by 3 if the sum of its digits is divisible by 3.
यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 3 से विभाज्य होगी।
Example / उदाहरण:
573 → 5 + 7 + 3 = 15
15 is divisible by 3, therefore 573 is divisible by 3.
15, 3 से विभाज्य है, इसलिए 573 भी 3 से विभाज्य है।
Divisibility by 4 / 4 से विभाज्यता
A number is divisible by 4 if the number formed by its last two digits is divisible by 4.
यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 4 से विभाज्य होगी।
Example / उदाहरण:
7356 → Last two digits / अंतिम दो अंक = 56
56 ÷ 4 = 14
Therefore, 7356 is divisible by 4.
अतः 7356, 4 से विभाज्य है।
Divisibility by 5 / 5 से विभाज्यता
A number is divisible by 5 if its last digit is 0 or 5.
यदि किसी संख्या का अंतिम अंक 0 या 5 है, तो वह 5 से विभाज्य है।
Divisibility by 6 / 6 से विभाज्यता
A number is divisible by 6 when it is divisible by both 2 and 3.
कोई संख्या 6 से तभी विभाज्य होगी जब वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।
Divisibility by 8 / 8 से विभाज्यता
A number is divisible by 8 if the number formed by its last three digits is divisible by 8.
यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 8 से विभाज्य होगी।
Example / उदाहरण:
47,512
Last three digits / अंतिम तीन अंक = 512
512 ÷ 8 = 64
Therefore, 47,512 is divisible by 8.
अतः 47,512, 8 से विभाज्य है।
Divisibility by 9 / 9 से विभाज्यता
If the sum of the digits is divisible by 9, the number is divisible by 9.
यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 9 से विभाज्य होगी।
Example / उदाहरण:
729
7 + 2 + 9 = 18
Therefore, 729 is divisible by 9.
अतः 729, 9 से विभाज्य है।
Divisibility by 10 / 10 से विभाज्यता
A number ending in 0 is divisible by 10.
जिस संख्या का अंतिम अंक 0 हो, वह 10 से विभाज्य होती है।
Divisibility by 11 / 11 से विभाज्यता
Find the difference between the sums of digits at alternate positions. If this difference is 0 or a multiple of 11, the number is divisible by 11.
एकांतर स्थानों पर स्थित अंकों के योग का अंतर निकालें। यदि यह अंतर 0 या 11 का गुणज है, तो संख्या 11 से विभाज्य है।
Example / उदाहरण:
2728
(2 + 2) − (7 + 8)
= 4 − 15
= −11
Therefore, 2728 is divisible by 11.
अतः 2728, 11 से विभाज्य है।
Divisibility by 12 / 12 से विभाज्यता
A number must be divisible by both 3 and 4.
संख्या 3 और 4 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
Divisibility by 15 / 15 से विभाज्यता
A number must be divisible by both 3 and 5.
संख्या 3 और 5 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
Divisibility by 18 / 18 से विभाज्यता
A number must be divisible by both 2 and 9.
संख्या 2 और 9 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
Divisibility by 24 / 24 से विभाज्यता
Since:
24 = 3 × 8
A number divisible by both 3 and 8 is divisible by 24.
क्योंकि:
24 = 3 × 8
अतः जो संख्या 3 और 8 दोनों से विभाज्य है, वह 24 से भी विभाज्य होगी।
Fundamental Remainder Formula / शेषफल का मूल सूत्र
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
or / अथवा
N = dq + r
The remainder is always smaller than the divisor.
शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
0 ≤ r < d
Representing a Number Using Remainder / शेषफल की सहायता से संख्या का रूप
If a number leaves remainder 5 when divided by 8:
यदि किसी संख्या को 8 से भाग देने पर 5 शेष बचता है:
Number = 8k + 5
संख्या = 8k + 5
Least Number to be Added / न्यूनतम संख्या जोड़ी जाए
Example / उदाहरण
What least number should be added to 563 so that it becomes divisible by 9?
563 में न्यूनतम कितनी संख्या जोड़ी जाए ताकि वह 9 से विभाज्य हो जाए?
Digit sum / अंकों का योग:
5 + 6 + 3 = 14
14 leaves remainder 5 on division by 9.
14 को 9 से भाग देने पर 5 शेष बचता है।
Required addition / आवश्यक जोड़:
9 − 5 = 4
Answer / उत्तर: 4
Least Number to be Subtracted / न्यूनतम संख्या घटाई जाए
What least number should be subtracted from 563 to make it divisible by 9?
563 में से न्यूनतम कितनी संख्या घटाई जाए ताकि वह 9 से विभाज्य हो जाए?
563 leaves remainder 5 when divided by 9.
563 को 9 से भाग देने पर 5 शेष बचता है।
Therefore:
563 − 5 = 558
Answer / उत्तर: 5
Same Remainder Concept / समान शेषफल की अवधारणा
Find the least number greater than the divisors which, when divided by 12, 16 and 20, leaves remainder 7 in each case.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो भाजकों से बड़ी हो और जिसे 12, 16 तथा 20 से भाग देने पर प्रत्येक बार 7 शेष बचे।
LCM of 12, 16 and 20:
12 = 2² × 3
16 = 2⁴
20 = 2² × 5
LCM = 2⁴ × 3 × 5
= 240
Required number / अभीष्ट संख्या:
240 + 7 = 247
Answer / उत्तर: 247
Remainder of Addition / योग का शेषफल
If numbers leave remainders r₁ and r₂:
यदि दो संख्याएँ क्रमशः r₁ और r₂ शेष देती हैं:
Remainder of their sum depends on:
उनके योग का शेषफल निकलेगा:
(r₁ + r₂) mod divisor
Remainder of Product / गुणनफल का शेषफल
For multiplication:
गुणन के लिए:
(r₁ × r₂) mod divisor
Example / उदाहरण
Find the remainder when 53 × 47 is divided by 5.
53 × 47 को 5 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
53 leaves remainder 3.
53 को 5 से भाग देने पर 3 शेष।
47 leaves remainder 2.
47 को 5 से भाग देने पर 2 शेष।
3 × 2 = 6
6 divided by 5 leaves remainder 1.
6 को 5 से भाग देने पर 1 शेष।
Answer / उत्तर: 1
Negative Remainder Shortcut / ऋणात्मक शेषफल शॉर्टकट
99 divided by 10 leaves remainder 9.
99 को 10 से भाग देने पर 9 शेष बचता है।
But we can also write:
लेकिन हम इसे इस प्रकार भी लिख सकते हैं:
99 ≡ −1 (mod 10)
Therefore:
अतः:
99² ≡ (−1)²
= 1
This shortcut is useful for large powers.
यह विधि बड़ी घातों वाले प्रश्नों में उपयोगी है।
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