Introduction / परिचय
HCF and LCM are fundamental topics of arithmetic and Number System. Questions are asked directly as well as through word problems involving bells, lights, repeated events, equal distribution, maximum length and minimum number.
HCF और LCM अंकगणित तथा संख्या पद्धति के महत्वपूर्ण विषय हैं। इनसे सीधे प्रश्नों के साथ-साथ घंटियों, लाइटों, दोहराई जाने वाली घटनाओं, समान वितरण, अधिकतम लंबाई तथा न्यूनतम संख्या पर आधारित प्रश्न भी पूछे जाते हैं।
HCF — Highest Common Factor
HCF — महत्तम समापवर्तक
The HCF of two or more numbers is the greatest number that divides each of them exactly.
दो या अधिक संख्याओं का HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो उन सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है।
Example / उदाहरण
Find the HCF of 12 and 18.
12 और 18 का HCF ज्ञात कीजिए।
Factors of 12 / 12 के गुणनखंड:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Factors of 18 / 18 के गुणनखंड:
1, 2, 3, 6, 9, 18
Highest common factor / सबसे बड़ा समान गुणनखंड:
6
HCF = 6
LCM — Least Common Multiple
LCM — लघुत्तम समापवर्त्य
The LCM of two or more numbers is the smallest positive number that is exactly divisible by each of the given numbers.
दो या अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो दी गई प्रत्येक संख्या से पूर्णतः विभाजित हो।
Example / उदाहरण
Find the LCM of 4 and 6.
4 और 6 का LCM ज्ञात कीजिए।
Multiples of 4 / 4 के गुणज:
4, 8, 12, 16, 20...
Multiples of 6 / 6 के गुणज:
6, 12, 18, 24...
First common multiple / पहला समान गुणज:
12
Therefore / अतः:
LCM = 12
Prime Factorisation Method / अभाज्य गुणनखंड विधि
Find HCF and LCM of 24 and 36.
24 और 36 का HCF तथा LCM ज्ञात कीजिए।
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
HCF
Take the lowest power of common prime factors.
समान अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लें।
HCF = 2² × 3
= 12
LCM
Take the highest powers of all prime factors.
सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात लें।
LCM = 2³ × 3²
= 8 × 9
= 72
Important Formula / महत्वपूर्ण सूत्र
For two positive integers:
दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए:
First Number × Second Number = HCF × LCM
पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM
Example / उदाहरण
Two numbers are 12 and 18.
दो संख्याएँ 12 तथा 18 हैं।
HCF = 6
LCM = 36
6 × 36 = 216
12 × 18 = 216
Hence the formula is verified.
अतः सूत्र सत्यापित होता है।
Finding One Number / एक संख्या ज्ञात करना
If:
यदि:
HCF = 6
LCM = 180
One number / एक संख्या = 30
Then:
तब:
Second number / दूसरी संख्या
= (HCF × LCM) ÷ First number
= (6 × 180) ÷ 30
= 36
HCF of Co-prime Numbers / सह-अभाज्य संख्याओं का HCF
Two numbers are co-prime if their HCF is 1.
यदि दो संख्याओं का HCF 1 हो, तो वे सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।
Example / उदाहरण:
8 and 15 / 8 और 15
HCF = 1
Important / महत्वपूर्ण: Co-prime numbers need not individually be prime.
सह-अभाज्य संख्याओं का स्वयं अभाज्य होना आवश्यक नहीं है।
LCM of Co-prime Numbers / सह-अभाज्य संख्याओं का LCM
For two co-prime numbers:
दो सह-अभाज्य संख्याओं के लिए:
LCM = Product of the two numbers
LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल
Example / उदाहरण:
8 and 15
LCM = 8 × 15
= 120
HCF of Fractions / भिन्नों का HCF
For fractions:
भिन्नों के लिए:
HCF = HCF of Numerators ÷ LCM of Denominators
HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM
LCM of Fractions / भिन्नों का LCM
LCM = LCM of Numerators ÷ HCF of Denominators
LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF
When to Use HCF? / HCF का प्रयोग कब करें?
Look for words such as:
इन प्रकार के प्रश्नों में HCF उपयोगी होता है:
Greatest / सबसे बड़ा
Maximum / अधिकतम
Largest possible / सबसे बड़ा संभव
Equal groups / समान समूह
Maximum length / अधिकतम लंबाई
Largest measure / सबसे बड़ी माप
When to Use LCM? / LCM का प्रयोग कब करें?
Look for:
इन परिस्थितियों में सामान्यतः LCM प्रयोग होता है:
Least number / सबसे छोटी संख्या
Next time together / अगली बार एक साथ
Repeated intervals / दोहराया जाने वाला अंतराल
Bells ringing together / घंटियाँ एक साथ बजना
Lights flashing together / लाइटें एक साथ चमकना
Example — Bells / उदाहरण — घंटियाँ
Three bells ring after every 6, 8 and 12 minutes. If they ring together now, after how many minutes will they ring together again?
तीन घंटियाँ क्रमशः 6, 8 और 12 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे अभी एक साथ बजती हैं, तो पुनः कितने मिनट बाद एक साथ बजेंगी?
LCM(6,8,12)
= 24
Answer / उत्तर: 24 minutes / 24 मिनट
Example — Maximum Length / उदाहरण — अधिकतम लंबाई
Three ropes of lengths 24 m, 36 m and 60 m are to be cut into equal pieces of maximum possible length.
24 मीटर, 36 मीटर और 60 मीटर लंबी तीन रस्सियों को अधिकतम समान लंबाई के टुकड़ों में काटना है।
Required length / आवश्यक लंबाई:
HCF(24,36,60)
= 12 m / 12 मीटर
Test yourself : HCF and LCM Practice Set – 30 Questions