Polygons and Regular Polygons – 100 Questions with Bilingual Solutions

ज्यामिति अध्याय 6: बहुभुज एवं समबहुभुज के 100 महत्वपूर्ण प्रश्न

Vitorr Classes | SSC CGL, SSC CHSL, RRB NTPC, Railway, WBPSC and Other Competitive Examinations

This chapter covers polygon properties, interior and exterior angles, diagonals, regular polygons, symmetry, quadrilateral relationships and advanced geometric reasoning.

Questions are arranged from easy to extremely difficult. Each question includes a detailed English and Hindi solution, written in a copy-friendly format for Vitorr Classes.

Important Formulas / महत्वपूर्ण सूत्र

For a convex polygon with n sides:

Level 1: Basic Polygon Properties (Questions 1–20)

स्तर 1: बहुभुज के मूलभूत गुणधर्म

Question 1. What is the minimum number of sides required to form a polygon?

बहुभुज बनाने के लिए कम-से-कम कितनी भुजाएँ आवश्यक होती हैं?

Answer / उत्तर: 3

Solution (English): A polygon is a closed figure formed by at least three straight line segments. Three sides form a triangle, the simplest polygon.

समाधान (हिंदी): बहुभुज कम-से-कम तीन सीधी रेखाओं से बनी बंद आकृति है। तीन भुजाओं से त्रिभुज बनता है।

Question 2. What is a polygon with five sides called?

पाँच भुजाओं वाले बहुभुज को क्या कहते हैं?

Answer / उत्तर: Pentagon / पंचभुज

Solution (English): A polygon containing five sides and five vertices is called a pentagon.

समाधान (हिंदी): पाँच भुजाओं तथा पाँच शीर्षों वाले बहुभुज को पंचभुज कहते हैं।

Question 3. What is a polygon with eight sides called?

आठ भुजाओं वाले बहुभुज को क्या कहते हैं?

Answer / उत्तर: Octagon / अष्टभुज

Solution (English): An eight-sided polygon is called an octagon.

समाधान (हिंदी): आठ भुजाओं वाला बहुभुज अष्टभुज कहलाता है।

Question 4. Find the sum of interior angles of a quadrilateral.

चतुर्भुज के अंतः कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 360°

Solution (English): For n = 4, sum = (4 − 2) × 180 = 360°.

समाधान (हिंदी): सूत्र (n − 2) × 180 से योग = 360°।

Question 5. Find the sum of interior angles of a pentagon.

पंचभुज के अंतः कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 540°

Solution (English): (5 − 2) × 180 = 540°.

समाधान (हिंदी): (5 − 2) × 180 = 540°।

Question 6. Find the sum of interior angles of a hexagon.

षट्भुज के अंतः कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 720°

Solution (English): (6 − 2) × 180 = 720°.

समाधान (हिंदी): 4 × 180 = 720°।

Question 7. What is the sum of one exterior angle at each vertex of any convex polygon?

किसी उत्तल बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर एक-एक बाह्य कोण का योग कितना होता है?

Answer / उत्तर: 360°

Solution (English): The sum of the exterior turning angles of any convex polygon is always 360°, regardless of the number of sides.

समाधान (हिंदी): किसी भी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग सदैव 360° होता है।

Question 8. Find each exterior angle of a regular hexagon.

सम षट्भुज का प्रत्येक बाह्य कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): Exterior angle = 360/6 = 60°.

समाधान (हिंदी): प्रत्येक बाह्य कोण = 360/6 = 60°।

Question 9. Find each interior angle of a regular pentagon.

सम पंचभुज का प्रत्येक अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 108°

Solution (English): Each interior angle = 540/5 = 108°.

समाधान (हिंदी): कुल अंतः कोण 540° हैं। प्रत्येक = 108°।

Question 10. Find each interior angle of a regular octagon.

सम अष्टभुज का प्रत्येक अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 135°

Solution (English): Each exterior angle = 360/8 = 45°. Interior angle = 180 − 45 = 135°.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण 45° है। अंतः कोण = 135°।

Question 11. How many diagonals does a quadrilateral have?

चतुर्भुज में कितने विकर्ण होते हैं?

Answer / उत्तर: 2

Solution (English): Number of diagonals = 4(4 − 3)/2 = 2.

समाधान (हिंदी): विकर्णों की संख्या = 4 × 1/2 = 2।

Question 12. How many diagonals does a pentagon have?

पंचभुज में कितने विकर्ण होते हैं?

Answer / उत्तर: 5

Solution (English): 5(5 − 3)/2 = 5.

समाधान (हिंदी): विकर्णों की संख्या = 5।

Question 13. How many diagonals does a hexagon have?

षट्भुज में कितने विकर्ण होते हैं?

Answer / उत्तर: 9

Solution (English): 6(6 − 3)/2 = 9.

समाधान (हिंदी): 6 × 3/2 = 9।

Question 14. How many diagonals can be drawn from one vertex of a heptagon?

सप्तभुज के एक शीर्ष से कितने विकर्ण खींचे जा सकते हैं?

Answer / उत्तर: 4

Solution (English): Diagonals from one vertex = n − 3 = 7 − 3 = 4.

समाधान (हिंदी): एक शीर्ष से विकर्ण = 7 − 3 = 4।

Question 15. How many triangles are formed by drawing all diagonals from one vertex of a convex hexagon?

उत्तल षट्भुज के एक शीर्ष से सभी संभव विकर्ण खींचने पर कितने त्रिभुज बनते हैं?

Answer / उत्तर: 4

Solution (English): Number of triangles = n − 2 = 6 − 2 = 4.

समाधान (हिंदी): त्रिभुजों की संख्या = 6 − 2 = 4।

Question 16. Find the central angle of a regular pentagon.

सम पंचभुज का केंद्र कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 72°

Solution (English): Central angle = 360/5 = 72°.

समाधान (हिंदी): केंद्र कोण = 360/5 = 72°।

Question 17. Find the central angle of a regular decagon.

सम दशभुज का केंद्र कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 36°

Solution (English): 360/10 = 36°.

समाधान (हिंदी): केंद्र कोण = 36°।

Question 18. How many lines of symmetry does a regular hexagon have?

सम षट्भुज में कितनी सममिति रेखाएँ होती हैं?

Answer / उत्तर: 6

Solution (English): A regular n-sided polygon has n lines of reflection symmetry.

समाधान (हिंदी): सम n-भुज में n सममिति रेखाएँ होती हैं। अतः 6।

Question 19. What is the smallest positive angle of rotational symmetry of a square?

वर्ग की घूर्णन सममिति का सबसे छोटा धनात्मक कोण कितना है?

Answer / उत्तर: 90°

Solution (English): A square matches itself four times in a complete rotation. The smallest angle is 360/4 = 90°.

समाधान (हिंदी): वर्ग में घूर्णन सममिति का न्यूनतम कोण 90° होता है।

Question 20. How many lines of symmetry does a regular pentagon have?

सम पंचभुज में कितनी सममिति रेखाएँ होती हैं?

Answer / उत्तर: 5

Solution (English): A regular pentagon has five reflection axes, each passing through a vertex and the midpoint of the opposite side.

समाधान (हिंदी): सम पंचभुज में पाँच सममिति रेखाएँ होती हैं।

Level 2: Interior and Exterior Angle Applications (Questions 21–40)

स्तर 2: अंतः एवं बाह्य कोणों के अनुप्रयोग

Question 21. Each exterior angle of a regular polygon is 30°. Find the number of sides.

एक समबहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 30° है। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): n = 360/30 = 12.

समाधान (हिंदी): भुजाओं की संख्या = 360/30 = 12।

Question 22. Each exterior angle of a regular polygon is 24°. Find its number of sides.

एक समबहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 24° है। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 15

Solution (English): n = 360/24 = 15.

समाधान (हिंदी): n = 15।

Question 23. Each interior angle of a regular polygon is 150°. Find the number of sides.

एक समबहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 150° है। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): Exterior angle = 180 − 150 = 30°. Therefore n = 360/30 = 12.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण 30° है। भुजाएँ = 12।

Question 24. Each interior angle of a regular polygon is 144°. Find the number of sides.

एक समबहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 144° है। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10

Solution (English): Exterior angle = 36°. Thus n = 360/36 = 10.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण 36°। भुजाएँ 10।

Question 25. Each interior angle of a regular polygon is 135°. Find the number of sides.

एक समबहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 135° है। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8

Solution (English): Exterior angle = 45°. n = 360/45 = 8.

समाधान (हिंदी): n = 8।

Question 26. The sum of interior angles of a convex polygon is 1260°. Find the number of sides.

एक उत्तल बहुभुज के अंतः कोणों का योग 1260° है। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9

Solution (English): (n − 2) × 180 = 1260. Thus n − 2 = 7 and n = 9.

समाधान (हिंदी): n − 2 = 7। इसलिए n = 9।

Question 27. The sum of interior angles of a convex polygon is 1800°. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज के अंतः कोणों का योग 1800° है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): n − 2 = 1800/180 = 10. Hence n = 12.

समाधान (हिंदी): n = 10 + 2 = 12।

Question 28. The sum of interior angles of a convex polygon is 2340°. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज के अंतः कोणों का योग 2340° है। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 15

Solution (English): (n − 2) = 2340/180 = 13. Thus n = 15.

समाधान (हिंदी): n = 15।

Question 29. Each interior angle of a regular polygon is twice its exterior angle. Find the number of sides.

एक समबहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण उसके बाह्य कोण का दोगुना है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 6

Solution (English): Let exterior angle = x. Interior = 2x. Since x + 2x = 180, x = 60°. n = 360/60 = 6.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण 60° होगा। भुजाएँ = 6।

Question 30. Each interior angle of a regular polygon is three times its exterior angle. Find the number of sides.

एक समबहुभुज का अंतः कोण बाह्य कोण का तीन गुना है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8

Solution (English): 3x + x = 180, so x = 45°. n = 360/45 = 8.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण 45° है। n = 8।

Question 31. Each interior angle of a regular polygon is four times its exterior angle. Find n.

एक समबहुभुज का अंतः कोण बाह्य कोण का चार गुना है। n ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10

Solution (English): 5x = 180, x = 36°. n = 360/36 = 10.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण 36°। भुजाएँ 10।

Question 32. The exterior angle of a regular polygon is one-fifth of its interior angle. Find the number of sides.

समबहुभुज का बाह्य कोण अंतः कोण का पाँचवाँ भाग है। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): Interior = 5x, exterior = x. Thus 6x = 180, x = 30°. n = 12.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण 30°। n = 12।

Question 33. A regular polygon has 18 sides. Find each exterior angle.

एक समबहुभुज में 18 भुजाएँ हैं। प्रत्येक बाह्य कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20°

Solution (English): Exterior angle = 360/18 = 20°.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण = 20°।

Question 34. A regular polygon has 20 sides. Find each interior angle.

एक समबहुभुज में 20 भुजाएँ हैं। प्रत्येक अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 162°

Solution (English): Exterior = 360/20 = 18°. Interior = 180 − 18 = 162°.

समाधान (हिंदी): अंतः कोण = 162°।

Question 35. Each exterior angle of a regular polygon is 18°. Find the sum of its interior angles.

एक समबहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 18° है। उसके अंतः कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 3240°

Solution (English): n = 360/18 = 20. Sum = (20 − 2) × 180 = 3240°.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 20 हैं। योग = 3240°।

Question 36. Each interior angle of a regular polygon is 156°. Find the sum of its interior angles.

एक समबहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 156° है। सभी अंतः कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 2340°

Solution (English): Exterior = 24°. n = 360/24 = 15. Sum = 15 × 156 = 2340°.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 15 हैं। योग = 15 × 156 = 2340°।

Question 37. A regular polygon has an exterior angle of 15°. Find each interior angle.

एक समबहुभुज का बाह्य कोण 15° है। अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 165°

Solution (English): Interior and exterior angles are supplementary. Interior = 180 − 15 = 165°.

समाधान (हिंदी): अंतः कोण = 165°।

Question 38. Is it possible for a regular polygon to have each exterior angle equal to 25°?

क्या किसी समबहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 25° हो सकता है?

Answer / उत्तर: No / नहीं

Solution (English): Number of sides would be 360/25 = 14.4, which is not an integer. A polygon must have a whole number of sides.

समाधान (हिंदी): भुजाओं की संख्या 14.4 आती है, जो पूर्णांक नहीं है। इसलिए संभव नहीं है।

Question 39. Is it possible for a regular polygon to have each interior angle equal to 145°?

क्या किसी समबहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 145° हो सकता है?

Answer / उत्तर: No / नहीं

Solution (English): Exterior angle = 35°. Number of sides = 360/35 = 72/7, not an integer.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 72/7 आती हैं, जो पूर्णांक नहीं है। अतः संभव नहीं है।

Question 40. A regular polygon has twice as many sides as a regular hexagon. Find each interior angle.

एक समबहुभुज में सम षट्भुज की तुलना में दोगुनी भुजाएँ हैं। प्रत्येक अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 150°

Solution (English): n = 12. Exterior = 360/12 = 30°. Interior = 150°.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 12 हैं। अंतः कोण = 150°।

Level 3: Diagonals and Polygon Relationships (Questions 41–60)

स्तर 3: विकर्ण और बहुभुज संबंध

Question 41. How many diagonals does a heptagon have?

सप्तभुज में कितने विकर्ण होते हैं?

Answer / उत्तर: 14

Solution (English): n(n − 3)/2 = 7 × 4/2 = 14.

समाधान (हिंदी): विकर्ण = 14।

Question 42. How many diagonals does an octagon have?

अष्टभुज में कितने विकर्ण होते हैं?

Answer / उत्तर: 20

Solution (English): 8(8 − 3)/2 = 20.

समाधान (हिंदी): 8 × 5/2 = 20।

Question 43. How many diagonals does a decagon have?

दशभुज में कितने विकर्ण होते हैं?

Answer / उत्तर: 35

Solution (English): 10(10 − 3)/2 = 35.

समाधान (हिंदी): विकर्ण = 35।

Question 44. How many diagonals does a dodecagon have?

द्वादशभुज में कितने विकर्ण होते हैं?

Answer / उत्तर: 54

Solution (English): 12(12 − 3)/2 = 54.

समाधान (हिंदी): 12 × 9/2 = 54।

Question 45. A convex polygon has 20 diagonals. Find the number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में 20 विकर्ण हैं। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 8

Solution (English): n(n − 3)/2 = 20. Thus n² − 3n − 40 = 0, or (n − 8)(n + 5) = 0. Valid n = 8.

समाधान (हिंदी): n² − 3n − 40 = 0। धनात्मक हल n = 8।

Question 46. A convex polygon has 35 diagonals. Find the number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में 35 विकर्ण हैं। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10

Solution (English): n(n − 3) = 70. Since 10 × 7 = 70, n = 10.

समाधान (हिंदी): n = 10।

Question 47. A convex polygon has 54 diagonals. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में 54 विकर्ण हैं। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): n(n − 3) = 108. For n = 12, 12 × 9 = 108.

समाधान (हिंदी): n = 12।

Question 48. A convex polygon has 90 diagonals. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में 90 विकर्ण हैं। भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 15

Solution (English): n(n − 3)/2 = 90. Therefore n(n − 3) = 180. Since 15 × 12 = 180, n = 15.

समाधान (हिंदी): n = 15।

Question 49. A convex polygon has 170 diagonals. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में 170 विकर्ण हैं। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20

Solution (English): n(n − 3) = 340. For n = 20, 20 × 17 = 340.

समाधान (हिंदी): n = 20।

Question 50. A convex polygon has 252 diagonals. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में 252 विकर्ण हैं। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 24

Solution (English): n(n − 3) = 504. Since 24 × 21 = 504, n = 24.

समाधान (हिंदी): n = 24।

Question 51. From one vertex of a convex polygon, 9 diagonals can be drawn. Find the number of sides.

एक उत्तल बहुभुज के एक शीर्ष से 9 विकर्ण खींचे जा सकते हैं। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): n − 3 = 9. Thus n = 12.

समाधान (हिंदी): n = 9 + 3 = 12।

Question 52. From one vertex of a convex polygon, 15 diagonals can be drawn. Find the total number of diagonals.

एक उत्तल बहुभुज के एक शीर्ष से 15 विकर्ण खींचे जा सकते हैं। कुल विकर्ण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 135

Solution (English): n = 15 + 3 = 18. Total diagonals = 18 × 15/2 = 135.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 18 हैं। कुल विकर्ण = 135।

Question 53. A convex polygon is divided into 10 triangles by drawing diagonals from one vertex. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज के एक शीर्ष से विकर्ण खींचने पर 10 त्रिभुज बनते हैं। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): Number of triangles = n − 2. Thus n = 12.

समाधान (हिंदी): n − 2 = 10। n = 12।

Question 54. A convex polygon is divided into 18 triangles by diagonals from one vertex. Find the sum of its interior angles.

एक उत्तल बहुभुज को एक शीर्ष से विकर्ण खींचकर 18 त्रिभुजों में बाँटा गया है। अंतः कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 3240°

Solution (English): Each triangle contributes 180°. Total = 18 × 180 = 3240°.

समाधान (हिंदी): योग = 18 × 180 = 3240°।

Question 55. Find the difference between the number of diagonals of a decagon and an octagon.

दशभुज और अष्टभुज के विकर्णों की संख्या का अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 15

Solution (English): Decagon diagonals = 35. Octagon diagonals = 20. Difference = 15.

समाधान (हिंदी): अंतर = 35 − 20 = 15।

Question 56. A convex polygon has 7 more diagonals than a hexagon. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में षट्भुज से 7 अधिक विकर्ण हैं। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: No such polygon / ऐसा कोई बहुभुज नहीं

Solution (English): A hexagon has 9 diagonals, so the required polygon would have 16. But n(n − 3)/2 = 16 gives n² − 3n − 32 = 0, whose discriminant is 137, not a perfect square. There is no integer n.

समाधान (हिंदी): आवश्यक विकर्ण 16 हैं। समीकरण का कोई पूर्णांक हल नहीं है। अतः ऐसा बहुभुज संभव नहीं है।

Question 57. A convex polygon has 25 more diagonals than a pentagon. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में पंचभुज से 25 अधिक विकर्ण हैं। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: No such polygon / ऐसा कोई बहुभुज नहीं

Solution (English): Pentagon has 5 diagonals. Required diagonals = 30. Equation n(n − 3)/2 = 30 gives n² − 3n − 60 = 0. Its discriminant is 249, not a perfect square.

समाधान (हिंदी): आवश्यक विकर्ण 30 हैं, लेकिन भुजाओं की संख्या पूर्णांक नहीं मिलती। अतः संभव नहीं है।

Question 58. A convex polygon has twice as many diagonals as sides. Find the number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में विकर्णों की संख्या भुजाओं की संख्या से दोगुनी है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 7

Solution (English): n(n − 3)/2 = 2n. Dividing by n gives n − 3 = 4. Thus n = 7.

समाधान (हिंदी): n − 3 = 4। n = 7।

Question 59. A convex polygon has three times as many diagonals as sides. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में विकर्णों की संख्या भुजाओं से तीन गुना है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9

Solution (English): n(n − 3)/2 = 3n. Thus n − 3 = 6 and n = 9.

समाधान (हिंदी): n = 9।

Question 60. A convex polygon has five times as many diagonals as sides. Find its number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में विकर्णों की संख्या भुजाओं से पाँच गुना है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 13

Solution (English): n(n − 3)/2 = 5n. Thus n − 3 = 10, giving n = 13.

समाधान (हिंदी): n = 13।

Level 4: Advanced Regular Polygon Geometry (Questions 61–80)

स्तर 4: उन्नत समबहुभुज ज्यामिति

Question 61. The central angle of a regular polygon is 40°. Find the number of sides.

एक समबहुभुज का केंद्र कोण 40° है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9

Solution (English): n = 360/40 = 9.

समाधान (हिंदी): n = 9।

Question 62. The central angle of a regular polygon is 22.5°. Find its number of sides.

एक समबहुभुज का केंद्र कोण 22.5° है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 16

Solution (English): n = 360/22.5 = 16.

समाधान (हिंदी): n = 16।

Question 63. A regular polygon has 15 sides. Find the angle between radii drawn to two adjacent vertices.

एक समबहुभुज में 15 भुजाएँ हैं। दो आसन्न शीर्षों तक खींची गई त्रिज्याओं के बीच कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 24°

Solution (English): The central angle between adjacent vertices = 360/15 = 24°.

समाधान (हिंदी): केंद्र कोण = 24°।

Question 64. A regular polygon has 12 sides. Find the smaller central angle subtended by two vertices separated by exactly two edges along the polygon.

एक समबहुभुज में 12 भुजाएँ हैं। परिधि के क्रम में दो भुजाओं की दूरी पर स्थित दो शीर्षों द्वारा बनाया गया छोटा केंद्र कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 60°

Solution (English): One central step = 360/12 = 30°. Two steps = 60°.

समाधान (हिंदी): एक चरण 30° और दो चरण 60° होंगे।

Question 65. In a regular decagon, find the smaller central angle between vertices separated by three edges.

सम दशभुज में तीन भुजाओं की दूरी पर स्थित दो शीर्षों के बीच छोटा केंद्र कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 108°

Solution (English): One central step = 36°. Three steps = 3 × 36 = 108°.

समाधान (हिंदी): केंद्र कोण = 108°।

Question 66. In a regular octagon, find the smaller central angle between vertices separated by three edges.

सम अष्टभुज में तीन भुजाओं की दूरी पर स्थित दो शीर्षों का छोटा केंद्र कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 135°

Solution (English): Central step = 360/8 = 45°. Three steps = 135°.

समाधान (हिंदी): 3 × 45 = 135°।

Question 67. In a regular hexagon ABCDEF, vertices are labelled consecutively. Find angle AOC, where O is the centre.

सम षट्भुज ABCDEF में शीर्ष क्रम से हैं। यदि O केंद्र है, तो AOC ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 120°

Solution (English): Adjacent central angle = 60°. From A to C there are two steps, giving 120°.

समाधान (हिंदी): A से C तक दो केंद्र कोण हैं। योग = 120°।

Question 68. In regular octagon ABCDEFGH, find angle AOD, where O is the centre.

सम अष्टभुज ABCDEFGH में O केंद्र है। AOD ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 135°

Solution (English): Adjacent central angle = 45°. A to D covers three steps. Angle AOD = 135°.

समाधान (हिंदी): AOD = 3 × 45 = 135°।

Question 69. In regular decagon ABCDEFGHIJ, find the smaller angle AOE, where O is the centre.

सम दशभुज ABCDEFGHIJ में O केंद्र है। छोटा कोण AOE ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 144°

Solution (English): Adjacent central angle = 36°. A to E covers four steps. Angle AOE = 144°.

समाधान (हिंदी): AOE = 4 × 36 = 144°।

Question 70. In a regular dodecagon, find the smaller central angle between vertices five edges apart.

सम द्वादशभुज में पाँच भुजाओं की दूरी पर स्थित दो शीर्षों का छोटा केंद्र कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 150°

Solution (English): One step = 360/12 = 30°. Five steps = 150°.

समाधान (हिंदी): 5 × 30 = 150°।

Question 71. Find the number of symmetry axes of a regular 18-sided polygon.

18 भुजाओं वाले समबहुभुज की सममिति रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 18

Solution (English): Every regular n-gon has n lines of symmetry.

समाधान (हिंदी): समबहुभुज में सममिति रेखाओं की संख्या भुजाओं के बराबर होती है।

Question 72. A regular polygon has 24 lines of symmetry. Find each exterior angle.

एक समबहुभुज में 24 सममिति रेखाएँ हैं। प्रत्येक बाह्य कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 15°

Solution (English): n = 24. Exterior angle = 360/24 = 15°.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण = 15°।

Question 73. A regular polygon has rotational symmetry of order 15. Find each interior angle.

एक समबहुभुज की घूर्णन सममिति का क्रम 15 है। प्रत्येक अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 156°

Solution (English): Number of sides = 15. Exterior angle = 24°. Interior angle = 156°.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 15 हैं। अंतः कोण 156°।

Question 74. A regular polygon has its smallest rotational symmetry angle equal to 18°. Find its number of diagonals.

एक समबहुभुज की न्यूनतम घूर्णन सममिति का कोण 18° है। विकर्णों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 170

Solution (English): n = 360/18 = 20. Diagonals = 20 × 17/2 = 170.

समाधान (हिंदी): n = 20। विकर्ण = 170।

Question 75. A regular polygon has an interior angle 30° greater than that of a regular hexagon. Find its number of sides.

एक समबहुभुज का अंतः कोण सम षट्भुज से 30° अधिक है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): Hexagon interior angle = 120°. Required interior = 150°. Exterior = 30°, so n = 12.

समाधान (हिंदी): अंतः कोण 150°। बाह्य कोण 30°। n = 12।

Question 76. A regular polygon has an exterior angle 15° smaller than that of a regular octagon. Find its number of sides.

एक समबहुभुज का बाह्य कोण सम अष्टभुज के बाह्य कोण से 15° कम है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): Octagon exterior = 45°. Required exterior = 30°. Thus n = 360/30 = 12.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण 30°। n = 12।

Question 77. A regular polygon has twice the number of sides of a regular pentagon. Find the difference between their interior angles.

एक समबहुभुज में सम पंचभुज से दोगुनी भुजाएँ हैं। दोनों के अंतः कोणों का अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 36°

Solution (English): Pentagon interior = 108°. Decagon interior = 144°. Difference = 36°.

समाधान (हिंदी): अंतर = 144 − 108 = 36°।

Question 78. The exterior angles of two regular polygons are in the ratio 2:3. Find the ratio of their numbers of sides.

दो समबहुभुजों के बाह्य कोणों का अनुपात 2:3 है। उनकी भुजाओं की संख्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 3:2

Solution (English): Number of sides is inversely proportional to the exterior angle. Therefore side-count ratio = 3:2.

समाधान (हिंदी): भुजाओं की संख्या बाह्य कोण के व्युत्क्रमानुपाती है। अनुपात 3:2।

Question 79. Two regular polygons have 12 and 18 sides. Find the difference between their exterior angles.

दो समबहुभुजों में 12 और 18 भुजाएँ हैं। बाह्य कोणों का अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10°

Solution (English): Exterior angles are 30° and 20°. Difference = 10°.

समाधान (हिंदी): अंतर = 30 − 20 = 10°।

Question 80. A regular polygon has 30 sides. Find the angle between the radius to a vertex and the side starting from that vertex.

एक समबहुभुज में 30 भुजाएँ हैं। किसी शीर्ष तक खींची गई त्रिज्या और उस शीर्ष से प्रारंभ होने वाली भुजा के बीच कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 84°

Solution (English): The central angle between adjacent vertices is 360/30 = 12°. The triangle formed by the centre and two adjacent vertices is isosceles. Each base angle = (180 − 12)/2 = 84°.

समाधान (हिंदी): केंद्र कोण 12° है। समद्विबाहु त्रिभुज के प्रत्येक आधार कोण = 84°।

Level 5: Toughest Polygon Geometry (Questions 81–100)

स्तर 5: अत्यंत कठिन बहुभुज ज्यामिति

Question 81. The number of diagonals of a convex polygon is equal to five times the number of triangles formed by drawing all diagonals from one vertex. Find the number of sides.

एक उत्तल बहुभुज के विकर्णों की संख्या, एक शीर्ष से विकर्ण खींचने पर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या की पाँच गुनी है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 12

Solution (English): Diagonals = n(n − 3)/2 and triangles = n − 2. Thus n(n − 3)/2 = 5(n − 2), giving n² − 13n + 20 = 0. The roots are (13 ± √89)/2, neither an integer.

समाधान (हिंदी): समीकरण n² − 13n + 20 = 0 का कोई पूर्णांक हल नहीं है। अतः ऐसा बहुभुज संभव नहीं है।

Correct Answer / सही उत्तर: No such polygon / ऐसा कोई बहुभुज नहीं।

Question 82. A convex polygon has 54 diagonals. Find the number of triangles formed by drawing all diagonals from one vertex.

एक उत्तल बहुभुज में 54 विकर्ण हैं। एक शीर्ष से सभी विकर्ण खींचने पर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 10

Solution (English): 54 diagonals correspond to n = 12. Number of triangles = n − 2 = 10.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 12 हैं। त्रिभुज = 10।

Question 83. A convex polygon has 90 diagonals. Find the difference between its total diagonals and the sum of the diagonals drawn from two distinct vertices, counting a common diagonal only once.

एक उत्तल बहुभुज में 90 विकर्ण हैं। कुल विकर्णों और दो अलग-अलग शीर्षों से खींचे जा सकने वाले भिन्न विकर्णों की संख्या का अंतर ज्ञात कीजिए। साझा विकर्ण को एक बार गिनिए।

Answer / उत्तर: Depends on whether the two vertices are adjacent / शीर्षों की स्थिति पर निर्भर

Solution (English): The polygon has n = 15 sides. Each vertex has 12 diagonals. If the two vertices are adjacent, they share no diagonal, so distinct diagonals = 24 and difference = 66. If non-adjacent, their connecting diagonal is counted twice, so distinct diagonals = 23 and difference = 67.

समाधान (हिंदी): यदि दोनों शीर्ष आसन्न हैं, तो अंतर 66 होगा। यदि आसन्न नहीं हैं, तो अंतर 67 होगा।

Question 84. A regular polygon has each interior angle equal to 5 times its exterior angle. Find its total number of diagonals.

एक समबहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण बाह्य कोण का पाँच गुना है। कुल विकर्ण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 54

Solution (English): Interior = 5x, exterior = x. Thus 6x = 180 and x = 30°. Number of sides = 12. Diagonals = 12 × 9/2 = 54.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण 30° और भुजाएँ 12 हैं। विकर्ण = 54।

Question 85. A regular polygon has each interior angle equal to 8 times its exterior angle. Find the number of diagonals.

एक समबहुभुज का अंतः कोण बाह्य कोण का आठ गुना है। विकर्णों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 135

Solution (English): 9x = 180, so exterior = 20°. n = 18. Diagonals = 18 × 15/2 = 135.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 18। विकर्ण = 135।

Question 86. The interior angle of a regular polygon is 12° greater than that of a regular decagon. Find the number of diagonals.

एक समबहुभुज का अंतः कोण सम दशभुज के अंतः कोण से 12° अधिक है। विकर्ण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 54

Solution (English): Decagon interior = 144°. Required interior = 156°. Exterior = 24°. n = 15. Diagonals = 15 × 12/2 = 90.

समाधान (हिंदी): आवश्यक भुजाएँ 15 हैं। विकर्ण = 90।

Correct Answer / सही उत्तर: 90

Question 87. A regular polygon has an interior angle 9° less than that of a regular 20-sided polygon. Find its number of sides.

एक समबहुभुज का अंतः कोण सम 20-भुज के अंतः कोण से 9° कम है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: No such regular polygon / ऐसा समबहुभुज नहीं

Solution (English): A regular 20-gon has interior angle 162°. Required interior = 153°, so exterior = 27°. Number of sides = 360/27 = 40/3, not an integer.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 40/3 आती हैं, जो पूर्णांक नहीं हैं। अतः संभव नहीं है।

Question 88. The number of diagonals of a convex polygon exceeds its number of sides by 35. Find the number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में विकर्णों की संख्या भुजाओं की संख्या से 35 अधिक है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: No such polygon / ऐसा कोई बहुभुज नहीं

Solution (English): n(n − 3)/2 − n = 35. Thus n² − 5n − 70 = 0. Discriminant = 25 + 280 = 305, not a perfect square, so no integer solution exists.

समाधान (हिंदी): समीकरण का विविक्तकर 305 है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पूर्णांक भुजाएँ संभव नहीं हैं।

Question 89. The number of diagonals of a convex polygon exceeds its number of sides by 44. Find the number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में विकर्णों की संख्या भुजाओं से 44 अधिक है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 11

Solution (English): n(n − 3)/2 − n = 44. Thus n² − 5n − 88 = 0. Discriminant = 25 + 352 = 377, not a perfect square.

समाधान (हिंदी): कोई पूर्णांक हल नहीं मिलता। ऐसा बहुभुज संभव नहीं है।

Correct Answer / सही उत्तर: No such polygon / ऐसा कोई बहुभुज नहीं।

Question 90. A convex polygon has 44 more diagonals than sides. If one side is added to the polygon, by how many does its diagonal count increase?

एक उत्तल बहुभुज में विकर्णों की संख्या भुजाओं से 44 अधिक है। यदि भुजाओं की संख्या एक बढ़ा दी जाए, तो विकर्ण कितने बढ़ेंगे?

Answer / उत्तर: Not defined for the stated polygon / दी गई शर्तों के लिए निर्धारित नहीं

Solution (English): No integer n satisfies n(n − 3)/2 − n = 44. Therefore the stated polygon cannot exist. In general, increasing the side count from n to n + 1 increases diagonals by n − 1.

समाधान (हिंदी): दी गई शर्त वाला बहुभुज संभव नहीं है। सामान्यतः एक भुजा बढ़ाने पर विकर्ण n − 1 बढ़ते हैं।

Question 91. A regular polygon has 20 sides. Find the number of diagonals joining vertices that are exactly five edges apart along the boundary.

एक सम 20-भुज में ऐसे विकर्णों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके दोनों शीर्ष परिधि के क्रम में ठीक पाँच भुजाओं की दूरी पर हों।

Answer / उत्तर: 20

Solution (English): Each vertex connects to two vertices five steps away, one in each direction. This gives 20 × 2 incidences. Every diagonal is counted twice, so total = 20.

समाधान (हिंदी): प्रत्येक शीर्ष से ऐसे दो विकर्ण बनते हैं। दोहरी गणना हटाने पर कुल 20 विकर्ण मिलते हैं।

Question 92. In a regular 12-sided polygon, how many diagonals join opposite vertices and pass through the centre?

सम 12-भुज में कितने विकर्ण विपरीत शीर्षों को जोड़ते हुए केंद्र से गुजरते हैं?

Answer / उत्तर: 6

Solution (English): Each vertex has one opposite vertex. The 12 vertices form 12/2 = 6 opposite pairs.

समाधान (हिंदी): 12 शीर्षों से 6 विपरीत युग्म बनते हैं। इसलिए 6 विकर्ण केंद्र से गुजरते हैं।

Question 93. In a regular 18-sided polygon, find the number of diagonals passing through the centre.

सम 18-भुज में केंद्र से गुजरने वाले विकर्णों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 9

Solution (English): A regular polygon with an even number n of sides has n/2 diagonals joining opposite vertices through the centre. Thus 18/2 = 9.

समाधान (हिंदी): केंद्र से गुजरने वाले विकर्ण = 18/2 = 9।

Question 94. In a regular 15-sided polygon, how many diagonals pass through its centre?

सम 15-भुज में कितने विकर्ण केंद्र से गुजरते हैं?

Answer / उत्तर: 0

Solution (English): A diagonal through the centre must connect diametrically opposite vertices. An odd-sided regular polygon has no opposite vertex pairs.

समाधान (हिंदी): विषम भुजाओं वाले समबहुभुज में विपरीत शीर्ष युग्म नहीं होते। इसलिए कोई विकर्ण केंद्र से नहीं गुजरता।

Question 95. In a regular decagon, how many diagonals are parallel to a given side?

सम दशभुज में किसी दी गई भुजा के समांतर कितने विकर्ण होते हैं?

Answer / उत्तर: 4

Solution (English): Fix one side. Among the other vertex pairs, four non-adjacent pairs form diagonals parallel to its direction. There is also one opposite side parallel to it, but that is not a diagonal.

समाधान (हिंदी): दी गई भुजा के समांतर चार विकर्ण तथा एक अन्य भुजा होती है। इसलिए विकर्णों की संख्या 4 है।

Question 96. A convex polygon has 14 sides. Find the number of diagonals that do not start from a chosen vertex.

एक उत्तल बहुभुज में 14 भुजाएँ हैं। किसी चुने हुए शीर्ष से प्रारंभ नहीं होने वाले विकर्णों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 63

Solution (English): Total diagonals = 14 × 11/2 = 77. Diagonals from chosen vertex = 14 − 3 = 11. Remaining = 77 − 11 = 66.

समाधान (हिंदी): कुल विकर्ण 77 और चुने हुए शीर्ष से 11 हैं। शेष 66।

Correct Answer / सही उत्तर: 66

Question 97. In a convex polygon, the number of diagonals is equal to the number of triangles formed by choosing any three vertices, divided by 4. Find the number of sides.

एक उत्तल बहुभुज में विकर्णों की संख्या, किसी भी तीन शीर्ष चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या के एक-चौथाई के बराबर है। भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 14

Solution (English): Diagonals = n(n − 3)/2. Number of triangles = n(n − 1)(n − 2)/6. Equation n(n − 3)/2 = n(n − 1)(n − 2)/24. Simplifying gives 12(n − 3) = (n − 1)(n − 2), or n² − 15n + 38 = 0. Its roots are (15 ± √73)/2, neither integer.

समाधान (हिंदी): समीकरण का कोई पूर्णांक हल नहीं है। इसलिए ऐसा बहुभुज संभव नहीं है।

Correct Answer / सही उत्तर: No such polygon / ऐसा कोई बहुभुज नहीं।

Question 98. A regular polygon has 90 diagonals. Find each interior angle and the smallest angle of rotational symmetry.

एक समबहुभुज में 90 विकर्ण हैं। प्रत्येक अंतः कोण तथा घूर्णन सममिति का न्यूनतम कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: Interior angle = 156°, rotational angle = 24°

Solution (English): n(n − 3)/2 = 90 gives n = 15. Smallest rotational angle = 360/15 = 24°. Interior angle = 180 − 24 = 156°.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 15 हैं। न्यूनतम घूर्णन कोण 24° तथा अंतः कोण 156°।

Question 99. A regular polygon has 170 diagonals. Find its number of symmetry axes, exterior angle and interior angle.

एक समबहुभुज में 170 विकर्ण हैं। सममिति रेखाओं की संख्या, बाह्य कोण और अंतः कोण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर: 20 symmetry axes, 18° exterior angle, 162° interior angle

Solution (English): n(n − 3)/2 = 170 gives n = 20. A regular 20-gon has 20 symmetry axes. Exterior angle = 360/20 = 18°. Interior angle = 162°.

समाधान (हिंदी): भुजाएँ 20 हैं। सममिति रेखाएँ 20, बाह्य कोण 18° तथा अंतः कोण 162°।

Question 100. A regular polygon has an interior angle of 165°. Find its number of sides, number of diagonals, number of triangles formed from one vertex, number of symmetry axes, smallest rotational angle and the number of diagonals passing through the centre.

एक समबहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 165° है। उसकी भुजाओं की संख्या, कुल विकर्ण, एक शीर्ष से बनने वाले त्रिभुज, सममिति रेखाएँ, न्यूनतम घूर्णन कोण तथा केंद्र से गुजरने वाले विकर्ण ज्ञात कीजिए।

Answer / उत्तर:

• Number of sides / भुजाएँ = 24

• Total diagonals / कुल विकर्ण = 252

• Triangles from one vertex / एक शीर्ष से त्रिभुज = 22

• Symmetry axes / सममिति रेखाएँ = 24

• Smallest rotational angle / न्यूनतम घूर्णन कोण = 15°

• Diagonals through centre / केंद्र से गुजरने वाले विकर्ण = 12

Solution (English): Exterior angle = 180 − 165 = 15°. Hence n = 360/15 = 24. Total diagonals = 24(24 − 3)/2 = 252. Triangles formed from one vertex = 24 − 2 = 22. A regular 24-gon has 24 symmetry axes and smallest rotational angle 360/24 = 15°. Since 24 is even, 24/2 = 12 diagonals connect opposite vertices through the centre.

समाधान (हिंदी): बाह्य कोण = 15°। इसलिए भुजाएँ = 24। कुल विकर्ण = 252। एक शीर्ष से बनने वाले त्रिभुज = 22। सममिति रेखाएँ = 24। न्यूनतम घूर्णन कोण = 15°। केंद्र से गुजरने वाले विकर्ण = 12।