1. RECTANGLE | आयत
Let / मान लें:
Length / लंबाई = l
Breadth / चौड़ाई = b
Area / क्षेत्रफल = l × b
Perimeter / परिमाप = 2(l + b)
Diagonal / विकर्ण = √(l² + b²)
Length / लंबाई = Area ÷ Breadth = A/b
Breadth / चौड़ाई = Area ÷ Length = A/l
2. SQUARE | वर्ग
Let side / भुजा = a
Area / क्षेत्रफल = a²
Perimeter / परिमाप = 4a
Diagonal / विकर्ण = a√2
Side from diagonal / विकर्ण से भुजा = d/√2
Area using diagonal / विकर्ण से क्षेत्रफल = d²/2
3. TRIANGLE | त्रिभुज
Let sides / भुजाएँ = a, b, c
Base / आधार = b
Height / ऊँचाई = h
Area / क्षेत्रफल = 1/2 × b × h
Perimeter / परिमाप = a + b + c
Semi-perimeter / अर्धपरिमाप = (a + b + c)/2
If semi-perimeter = s,
Area by Heron's Formula / हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल:
Area = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]
4. EQUILATERAL TRIANGLE | समबाहु त्रिभुज
Let each side / प्रत्येक भुजा = a
Perimeter / परिमाप = 3a
Height / ऊँचाई = (√3/2)a
Area / क्षेत्रफल = (√3/4)a²
Inradius / अंतःत्रिज्या = a/(2√3) = a√3/6
Circumradius / परिवृत्त त्रिज्या = a/√3 = a√3/3
Circumradius and inradius relation / संबंध:
R = 2r
Height and inradius relation:
h = 3r
Height and circumradius relation:
h = 3R/2
5. ISOSCELES TRIANGLE | समद्विबाहु त्रिभुज
Let equal sides / समान भुजाएँ = a
Base / आधार = b
Perimeter / परिमाप = 2a + b
Height / ऊँचाई = √(a² - b²/4)
Area / क्षेत्रफल = 1/2 × b × h
Area = (b/4)√(4a² - b²)
6. RIGHT-ANGLED TRIANGLE | समकोण त्रिभुज
Let:
Perpendicular / लम्ब = p
Base / आधार = b
Hypotenuse / कर्ण = h
Pythagoras Theorem / पाइथागोरस प्रमेय:
h² = p² + b²
h = √(p² + b²)
p = √(h² - b²)
b = √(h² - p²)
Area / क्षेत्रफल = 1/2 × p × b
Perimeter / परिमाप = p + b + h
Circumradius / परिवृत्त त्रिज्या = h/2
7. SCALENE TRIANGLE | विषमबाहु त्रिभुज
Sides / भुजाएँ = a, b, c
Perimeter / परिमाप = a + b + c
Semi-perimeter / अर्धपरिमाप = (a + b + c)/2
Area / क्षेत्रफल = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]
8. TRIANGLE – IMPORTANT ADVANCED FORMULAS | त्रिभुज के महत्वपूर्ण अतिरिक्त सूत्र
Let:
Area / क्षेत्रफल = Δ
Semi-perimeter / अर्धपरिमाप = s
Inradius / अंतःत्रिज्या = r
Circumradius / परिवृत्त त्रिज्या = R
Area using inradius / अंतःत्रिज्या से क्षेत्रफल:
Δ = r × s
Therefore:
r = Δ/s
Area using circumradius / परिवृत्त त्रिज्या से क्षेत्रफल:
Δ = abc/(4R)
Therefore:
R = abc/(4Δ)
If two sides a and b and included angle C are given:
Area = 1/2 × ab × sin C
Similarly:
Area = 1/2 × bc × sin A
Area = 1/2 × ca × sin B
9. PARALLELOGRAM | समांतर चतुर्भुज
Let:
Base / आधार = b
Height / ऊँचाई = h
Adjacent sides / आसन्न भुजाएँ = a and b
Area / क्षेत्रफल = b × h
Perimeter / परिमाप = 2(a + b)
If sides a and b and included angle θ are given:
Area = ab sin θ
10. RHOMBUS | समचतुर्भुज
Let:
Side / भुजा = a
Diagonals / विकर्ण = d₁ and d₂
Perimeter / परिमाप = 4a
Area / क्षेत्रफल = Base × Height
Area using diagonals / विकर्णों से क्षेत्रफल:
Area = 1/2 × d₁ × d₂
Side using diagonals / विकर्णों से भुजा:
a = 1/2 × √(d₁² + d₂²)
11. TRAPEZIUM | समलम्ब चतुर्भुज
Let parallel sides / समानांतर भुजाएँ = a and b
Height / ऊँचाई = h
Area / क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h
Height / ऊँचाई = 2A/(a + b)
Median / मध्य रेखा = (a + b)/2
Area = Median × Height
If four sides are a, b, c and d:
Perimeter / परिमाप = a + b + c + d
12. KITE | पतंगाकार चतुर्भुज
Let diagonals / विकर्ण = d₁ and d₂
Area / क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂
If pairs of equal adjacent sides are a, a, b, b:
Perimeter / परिमाप = 2(a + b)
13. GENERAL QUADRILATERAL | सामान्य चतुर्भुज
If diagonal = d and perpendicular distances of the other two vertices from the diagonal are h₁ and h₂:
Area / क्षेत्रफल = 1/2 × d × (h₁ + h₂)
14. CIRCLE | वृत्त
Let:
Radius / त्रिज्या = r
Diameter / व्यास = d
Diameter / व्यास = 2r
Radius / त्रिज्या = d/2
Area / क्षेत्रफल = πr²
Circumference / परिधि = 2πr
Circumference = πd
Radius from area / क्षेत्रफल से त्रिज्या:
r = √(A/π)
Radius from circumference / परिधि से त्रिज्या:
r = C/(2π)
Usually:
π = 22/7 or 3.14
15. SEMICIRCLE | अर्धवृत्त
Area / क्षेत्रफल = 1/2 × πr²
Curved length / चाप की लंबाई = πr
Perimeter / परिमाप = πr + 2r
Perimeter = r(π + 2)
Note: Diameter must be included while calculating perimeter.
नोट: परिमाप निकालते समय व्यास को भी शामिल किया जाता है।
16. QUADRANT | चतुर्थांश
Area / क्षेत्रफल = 1/4 × πr²
Arc length / चाप की लंबाई = πr/2
Perimeter / परिमाप = πr/2 + 2r
17. SECTOR OF A CIRCLE | वृत्त का त्रिज्यखंड
Let central angle / केंद्रीय कोण = θ°
Area of sector / त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
Area = (θ/360) × πr²
Arc length / चाप की लंबाई:
Arc Length = (θ/360) × 2πr
Perimeter of sector / त्रिज्यखंड का परिमाप:
Perimeter = 2r + Arc Length
Perimeter = 2r + (θ/360) × 2πr
18. SEGMENT OF A CIRCLE | वृत्तखंड
Area of segment / वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
Area of Segment = Area of Sector - Area of Triangle
Area = (θ/360) × πr² - 1/2 × r² sin θ
For major segment:
Area of Major Segment = Area of Circle - Area of Minor Segment
19. ANNULUS OR CIRCULAR RING | वृत्ताकार वलय
Let:
Outer radius / बाहरी त्रिज्या = R
Inner radius / आंतरिक त्रिज्या = r
Area / क्षेत्रफल = π(R² - r²)
Area = π(R + r)(R - r)
Total boundary length / कुल परिसीमा:
= 2πR + 2πr
= 2π(R + r)
20. REGULAR POLYGON | समबहुभुज
Let:
Number of sides / भुजाओं की संख्या = n
Each side / प्रत्येक भुजा = a
Perimeter / परिमाप = na
Sum of interior angles / आंतरिक कोणों का योग:
= (n - 2) × 180°
Each interior angle / प्रत्येक आंतरिक कोण:
= [(n - 2) × 180°]/n
Each exterior angle / प्रत्येक बाह्य कोण:
= 360°/n
Number of diagonals / विकर्णों की संख्या:
= n(n - 3)/2
If apothem / अंतःत्रिज्या = r:
Area = 1/2 × Perimeter × Apothem
Area = 1/2 × na × r
21. REGULAR PENTAGON | सम पंचभुज
Let each side / प्रत्येक भुजा = a
Perimeter / परिमाप = 5a
Area / क्षेत्रफल = (1/4)√[5(5 + 2√5)] × a²
22. REGULAR HEXAGON | सम षट्भुज
Let each side / प्रत्येक भुजा = a
Perimeter / परिमाप = 6a
Area / क्षेत्रफल = (3√3/2)a²
Long diagonal / बड़ा विकर्ण = 2a
Short diagonal / छोटा विकर्ण = a√3
A regular hexagon consists of 6 equilateral triangles.
एक सम षट्भुज 6 समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बनता है।
23. REGULAR OCTAGON | सम अष्टभुज
Let each side / प्रत्येक भुजा = a
Perimeter / परिमाप = 8a
Area / क्षेत्रफल = 2(1 + √2)a²
PATH-BASED FORMULAS | पथ से संबंधित सूत्र
24. PATH OUTSIDE A RECTANGLE | आयत के बाहर पथ
Rectangle = l × b
Width of path / पथ की चौड़ाई = x
Outer Length = l + 2x
Outer Breadth = b + 2x
Area of Path = (l + 2x)(b + 2x) - lb
Area of Path = 2x(l + b) + 4x²
25. PATH INSIDE A RECTANGLE | आयत के अंदर पथ
Inner Length = l - 2x
Inner Breadth = b - 2x
Area of Path = lb - (l - 2x)(b - 2x)
Area of Path = 2x(l + b) - 4x²
26. PATH OUTSIDE A SQUARE | वर्ग के बाहर पथ
Side of square = a
Width of path = x
Area of Path = (a + 2x)² - a²
Area of Path = 4x(a + x)
27. PATH INSIDE A SQUARE | वर्ग के अंदर पथ
Area of Path = a² - (a - 2x)²
Area of Path = 4x(a - x)
28. CIRCULAR PATH | वृत्ताकार पथ
Inner radius / आंतरिक त्रिज्या = r
Width of path / पथ की चौड़ाई = x
Outer radius = r + x
Area of Path = π[(r + x)² - r²]
Area of Path = πx(2r + x)
PRACTICAL MENSURATION FORMULAS | व्यावहारिक क्षेत्रमिति सूत्र
29. WHEEL AND REVOLUTIONS | पहिया एवं चक्कर
Radius of wheel = r
Distance covered in one revolution / एक चक्कर में तय दूरी:
= 2πr
If diameter = d:
Distance in one revolution = πd
Number of Revolutions = Total Distance / Circumference
चक्करों की संख्या = कुल दूरी / पहिए की परिधि
Total Distance = Number of Revolutions × Circumference
30. COST OF FENCING | बाड़ लगाने की लागत
Cost of Fencing = Perimeter × Rate per unit length
बाड़ लगाने की लागत = परिमाप × प्रति इकाई लंबाई की दर
31. COST OF FLOORING | फर्श की लागत
Cost of Flooring = Area × Rate per unit area
फर्श की लागत = क्षेत्रफल × प्रति इकाई क्षेत्रफल की दर
32. NUMBER OF TILES | टाइलों की संख्या
Number of Tiles = Area of Floor / Area of One Tile
टाइलों की संख्या = फर्श का क्षेत्रफल / एक टाइल का क्षेत्रफल
PERCENTAGE CHANGE FORMULAS | प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र
33. RECTANGLE AREA CHANGE | आयत के क्षेत्रफल में परिवर्तन
If length changes by x% and breadth changes by y%:
Percentage Change in Area = x + y + xy/100
Increase is taken as positive (+).
Decrease is taken as negative (-).
यदि वृद्धि हो तो (+) तथा कमी हो तो (-) लें।
Both increase by x%
Percentage Increase in Area = 2x + x²/100
Both decrease by x%
Percentage Decrease in Area = 2x - x²/100
Length increases by x% and breadth decreases by x%
Percentage Decrease in Area = x²/100
34. SQUARE AREA CHANGE | वर्ग के क्षेत्रफल में परिवर्तन
If side increases by x%:
Percentage Increase in Area = 2x + x²/100
If side decreases by x%:
Percentage Decrease in Area = 2x - x²/100
35. CIRCLE AREA CHANGE | वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन
If radius increases by x%:
Percentage Increase in Area = 2x + x²/100
If radius decreases by x%:
Percentage Decrease in Area = 2x - x²/100
Because:
Area ∝ r²
SIMILAR FIGURES | समरूप आकृतियाँ
36. RATIO OF SIMILAR FIGURES | समरूप आकृतियों का अनुपात
If corresponding sides are in the ratio:
a : b
Then,
Ratio of Perimeters = a : b
परिमापों का अनुपात = a : b
Ratio of Areas = a² : b²
क्षेत्रफलों का अनुपात = a² : b²
Therefore:
Area Ratio = (Side Ratio)²
Side Ratio = √(Area Ratio)
IMPORTANT UNIT CONVERSIONS | महत्वपूर्ण इकाई रूपांतरण
37. LENGTH | लंबाई
1 km = 1000 m
1 m = 100 cm
1 cm = 10 mm
1 m = 1000 mm
38. AREA | क्षेत्रफल
1 m² = 10,000 cm²
1 cm² = 100 mm²
1 km² = 10,00,000 m²
1 hectare = 10,000 m²
1 km² = 100 hectares
1 acre ≈ 4046.86 m²
1 hectare ≈ 2.471 acres
QUICK REVISION FORMULA SHEET | त्वरित पुनरावृत्ति सूत्र
Rectangle / आयत:
Area = l × b
Perimeter = 2(l + b)
Diagonal = √(l² + b²)
Square / वर्ग:
Area = a²
Perimeter = 4a
Diagonal = a√2
Triangle / त्रिभुज:
Area = 1/2 × b × h
Perimeter = a + b + c
Equilateral Triangle / समबाहु त्रिभुज:
Area = (√3/4)a²
Height = (√3/2)a
Perimeter = 3a
Parallelogram / समांतर चतुर्भुज:
Area = b × h
Perimeter = 2(a + b)
Rhombus / समचतुर्भुज:
Area = 1/2 × d₁ × d₂
Perimeter = 4a
Trapezium / समलम्ब चतुर्भुज:
Area = 1/2 × (a + b) × h
Circle / वृत्त:
Area = πr²
Circumference = 2πr = πd
Semicircle / अर्धवृत्त:
Area = 1/2 × πr²
Perimeter = πr + 2r
Sector / त्रिज्यखंड:
Area = (θ/360) × πr²
Arc Length = (θ/360) × 2πr
Circular Ring / वृत्ताकार वलय:
Area = π(R² - r²)
Regular Hexagon / सम षट्भुज:
Area = (3√3/2)a²
Perimeter = 6a
Heron's Formula / हीरोन सूत्र:
s = (a + b + c)/2
Area = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]